人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)全等三角形典型6類難題題型歸類

人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)全等三角形典型6類難題題型歸類角平分線型角平分線是軸對(duì)稱圖形，所以我們要充分的利用它的軸對(duì)稱性，常作的輔助線是：一利用截取一條線段構(gòu)造全等三角形，二是經(jīng)過(guò)平分線上一點(diǎn)作兩邊的垂線。（1）構(gòu)造全等三角形如圖，在ΔABC中，D是邊BC上一點(diǎn)，AD平分∠BAC，在AB上截取AE=AC，連結(jié)DE，已知DE=2cm，BD=3cm，求線段BC的長(zhǎng)。思路：截取構(gòu)造全等三角形思路：截取構(gòu)造全等三角形已知：如圖所示，BD為∠ABC的平分線，AB=BC，點(diǎn)P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，判斷PM與PN的關(guān)系．思路：構(gòu)造全等三角形思路：構(gòu)造全等三角形3.已知：如圖E在△ABC的邊AC上，且∠AEB=∠ABC。(1)求證：∠ABE=∠C；(2)若∠BAE的平分線AF交BE于F，F(xiàn)D∥BC交AC于D，設(shè)AB=5，AC=8，求DC的長(zhǎng)。思路：三角形內(nèi)角和+等量代換思路：三角形內(nèi)角和+等量代換構(gòu)造全等三角形4、如圖所示，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交BC延長(zhǎng)線于M，求證：2∠M=（∠ACB-∠B）思路：外角的性質(zhì)+代數(shù)思想思路：外角的性質(zhì)+代數(shù)思想5、如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分別平分∠BAC、∠ACB，求證：AC=AE+CD．思路：構(gòu)造全等（角平分線添加輔助線）內(nèi)角平分線形成的∠A0C=???思路：構(gòu)造全等（角平分線添加輔助線）內(nèi)角平分線形成的∠A0C=???6、如下圖，已知在四邊形ABCD中，BC＞AB,AD=CD,BD平分∠ABC.求證:∠A＋∠C=180°.（可轉(zhuǎn)化為證明一個(gè)角是另一個(gè)角的鄰補(bǔ)角）思路：構(gòu)造全等（角平分線添加輔助線）向兩邊作垂線思路：構(gòu)造全等（角平分線添加輔助線）向兩邊作垂線翻折(截取)構(gòu)造全等思路：構(gòu)造全等(角平分線添加輔助線)（3）“角平分線+垂直”構(gòu)造等腰三角形思路：構(gòu)造全等(角平分線添加輔助線)（3）“角平分線+垂直”構(gòu)造等腰三角形二、中點(diǎn)型由中點(diǎn)應(yīng)產(chǎn)生以下聯(lián)想：1、利用中心對(duì)稱圖形構(gòu)造8字型全等三角形2、想到中線，倍長(zhǎng)中線1、如圖,已知:AD是BC上的中線,且DF=DE．求證:BE∥CF．思路：構(gòu)造8字型全等三角形思路：構(gòu)造8字型全等三角形2、如圖，△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥DF，試判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論。思路：倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造全等思路：倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造全等3、如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD上的一點(diǎn)，且BE=AC，延長(zhǎng)BE交AC于F，求證：AF=EF思路：倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造全等思路：倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造全等等腰三角形兩底角相等三、多個(gè)直角型在多個(gè)直角的問(wèn)題中很容易找的條件是直角相等以及邊相等，而最難找的是銳角相等，所以“同角的余角相等”這個(gè)定理就顯得非常重要，它是證明多個(gè)直角問(wèn)題中銳角相等的有利工具。1、如圖，已知在△ABC中，∠BAC為直角，AB=AC，D為AC上一點(diǎn)，CE⊥BD于E．若BD平分∠ABC，求證CE=BD；思路：構(gòu)造全等思路：構(gòu)造全等(利用多個(gè)直角和角平分線添加輔助線)同角的余角相等2、如圖,已知：AB⊥BC于B,EF⊥AC于G,DF⊥BC于D,BC=DF．求證：AC=EF．思路：構(gòu)造全等（同角的余角相等）思路：構(gòu)造全等（同角的余角相等）3、如圖，∠ABC=90°，AB=BC，BP為一條射線，AD⊥BP，CE⊥PB，若AD=4，EC=2.求DE的長(zhǎng)。思路：構(gòu)造全等（同角的余角相等）思路：構(gòu)造全等（同角的余角相等）4、如圖∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE于D，AD=2.5cm，DE=1.7cm,求BE的長(zhǎng)。思路：構(gòu)造全等（同角的余角相等）思路：構(gòu)造全等（同角的余角相等）6.如圖(1),已知△ABC中,∠BAC=900,AB=AC,AE是過(guò)A的一條直線,且B、C在A、E的異側(cè),BD⊥AE于D,CE⊥AE于E(1)試說(shuō)明:BD=DE+CE.若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖(2)位置時(shí)(BD<CE),其余條件不變,問(wèn)BD與DE、CE的關(guān)系如何?為什么？若直線AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖(3)位置時(shí)(BD>CE),其余條件不變,問(wèn)BD與DE、CE的關(guān)系如何?請(qǐng)直接寫出結(jié)果,不需說(shuō)明.四、等腰三角形型由于等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，所以很多時(shí)候利用其軸對(duì)稱性進(jìn)行構(gòu)造全等三角形，另外等腰三角形又具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，所以經(jīng)常利用旋轉(zhuǎn)全等的知識(shí)進(jìn)行解答1、如圖所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求證：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF2.在△ABC中，,AB=AC，在AB邊上取點(diǎn)D，在AC延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使CE=BD，連接DE交BC于點(diǎn)F，求證DF=EF.3.如圖所示,已知D是等腰△ABC底邊BC上的一點(diǎn),它到兩腰AB、AC的距離分別為DE、DF,CM⊥AB,垂足為M,請(qǐng)你探索一下線段DE、DF、CM三者之間的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.五、等邊三角形型由于等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，同時(shí)等邊三角形具有豐富的邊角相等的性質(zhì)，因此當(dāng)我們看到有60度的角的時(shí)候經(jīng)常構(gòu)造等邊三角形解題。1、如圖，已知為等邊三角形，、、分別在邊、、上，且也是等邊三角形．求證：△AEF≌△CDE思路：60°的角+等量代換思路：60°的角+等量代換2、已知等邊三角形ＡＢＣ中，ＢＤ＝ＣＥ，ＡＤ與ＢＥ相交于點(diǎn)Ｐ，求∠ＡＰＥ的大小。思路：等邊三角形三邊相等思路：等邊三角形三邊相等等邊三角形三個(gè)角相等，均為60°3、如圖，D是等邊△ABC的邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，以CD為一邊向上作等邊△EDC，連接AE，找出圖中的一組全等三角形，并說(shuō)明理由．思路：等邊三角形三邊相等思路：等邊三角形三邊相等等邊三角形三個(gè)角相等，均為60°等角-等角思路：等邊三角形三邊相等思路：等邊三角形三邊相等等邊三角形三個(gè)角相等，均為60°六、折疊型1、如圖①，將邊長(zhǎng)為4cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊(點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上)，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)M處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN