淺談數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)與思維能力的培養(yǎng)

1、淺談數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)與思維能力的培養(yǎng)儋州市2011年度中小學(xué)教師各學(xué)科教育教學(xué)論文評(píng)選 數(shù)學(xué)科 初中儋州市白馬井中學(xué) 符天榜 摘 要:數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)是數(shù)學(xué)教育教學(xué)本身的需要，是提高學(xué)生解題能力的需要。初中數(shù)學(xué)教學(xué)中要注意在知識(shí)發(fā)生過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)思想方法，在思維教學(xué)活動(dòng)過(guò)程中挖掘數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)學(xué)思想方法不僅會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)、數(shù)學(xué)審美活動(dòng)起著指導(dǎo)作角，而且會(huì)對(duì)學(xué)生的思維產(chǎn)生深刻影響，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的廣泛遷移，甚至包括從數(shù)學(xué)領(lǐng)域向非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的遷移，實(shí)現(xiàn)思維能力和思想素質(zhì)的理性發(fā)展關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想方法 滲透 挖掘 強(qiáng)化 內(nèi)化一、對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)。所謂數(shù)學(xué)思想，就是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，

2、是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。所謂數(shù)學(xué)方法，就是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本程序，是數(shù)學(xué)思想的具體反映。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)的行為。運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題的過(guò)程就是感性認(rèn)識(shí)不斷積累的過(guò)程，當(dāng)這種量的積累達(dá)到一定程序時(shí)就產(chǎn)生了質(zhì)的飛躍，從而上升為數(shù)學(xué)思想。若把數(shù)學(xué)知識(shí)看作一幅構(gòu)思巧妙的藍(lán)圖而建筑起來(lái)的一座宏偉大廈，那么數(shù)學(xué)方法相當(dāng)于建筑施工的手段，而這張藍(lán)圖就相當(dāng)于數(shù)學(xué)思想。通過(guò)數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)的能力才會(huì)有一個(gè)大幅度的提高。掌握數(shù)學(xué)思想，就是掌握數(shù)學(xué)的精髓。數(shù)學(xué)思想方法是從數(shù)學(xué)內(nèi)容中提煉出來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓，是將數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)能力的橋梁。初中數(shù)學(xué)思想方法教育，是培養(yǎng)和提高學(xué)生素質(zhì)的重要內(nèi)容

3、。新的課程標(biāo)準(zhǔn)(2007年修改稿)突出強(qiáng)調(diào)：“在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)好概念的基礎(chǔ)上掌握數(shù)學(xué)的規(guī)律（包括法則、性質(zhì)、公式、公理、定理、數(shù)學(xué)思想和方法，不僅掌握基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能、還要獲得基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)以及滲透基本數(shù)學(xué)思想方法。即由“雙基”為“四基”。因此，數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)應(yīng)作為新課改中所必須把握的教學(xué)要求。中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)涵蓋了辯證思想的理念，反映出數(shù)學(xué)基本概念和各知識(shí)點(diǎn)所代表的實(shí)體同抽象的數(shù)學(xué)思想方法之間的相互關(guān)系。在歷年的中考?jí)狠S題中，它的設(shè)計(jì)原理是通過(guò)“數(shù)學(xué)思想方法”來(lái)設(shè)計(jì)的。思維經(jīng)歷一個(gè)：由“淺”到“深”發(fā)展的過(guò)程。因此，在常規(guī)的課堂教學(xué)中要注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的滲透，逐步提高學(xué)生的思維能

4、力。數(shù)學(xué)實(shí)體內(nèi)部各單元之間相互滲透和維系的關(guān)系，升華為具有普遍意義的一般規(guī)律，便形成相對(duì)的數(shù)學(xué)思想方法，即對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)整體性的理解。數(shù)學(xué)思想方法確立后，便超越了具體的數(shù)學(xué)概念和內(nèi)容，只以抽象的形式而存在，控制及調(diào)整具體結(jié)論的建立、聯(lián)系和組織，并以其為指引將數(shù)學(xué)知識(shí)靈活地運(yùn)用到一切適合的范疇中去解決問(wèn)題。數(shù)學(xué)思想方法不僅會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)、數(shù)學(xué)審美活動(dòng)起著指導(dǎo)作角，而且會(huì)對(duì)個(gè)體的世界觀、方法論產(chǎn)生深刻影響，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的廣泛遷移，甚至包括從數(shù)學(xué)領(lǐng)域向非數(shù)學(xué)領(lǐng)域的遷移，實(shí)現(xiàn)思維能力和思想素質(zhì)的飛躍?？梢?jiàn)，良好的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)不完全取決于教材內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn)的數(shù)量，更應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系、結(jié)合和組織方式，

5、把握結(jié)構(gòu)的層次和程序展開(kāi)后所表現(xiàn)的內(nèi)在規(guī)律。數(shù)學(xué)思想方法能夠優(yōu)化這種組織方式，使各部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)融合成有機(jī)的整體，發(fā)揮其重要的指導(dǎo)作用。因此，新課標(biāo)明確提出開(kāi)展數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)要求，旨在引導(dǎo)學(xué)生去把握數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)的核心和靈魂，其重要意義顯而易見(jiàn)。那么，初中數(shù)學(xué)思想方法有哪些呢? 二、認(rèn)識(shí)初中數(shù)學(xué)思想方法。初中數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含多種的數(shù)學(xué)思想方法，關(guān)于數(shù)學(xué)山西的提法總說(shuō)紛紜，但最基本的數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論思想、轉(zhuǎn)化的思想、方程與函數(shù)的思想，突出這些基本思想方法，就相當(dāng)于抓住了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓。 1、數(shù)形結(jié)合的思想 數(shù)形結(jié)合是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，其應(yīng)用廣泛，靈活巧妙?！睌?shù)缺形時(shí)少直

6、觀，形無(wú)數(shù)時(shí)難入微”是我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授的名言，是對(duì)數(shù)形結(jié)合的作用進(jìn)行了高度的概括 。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多定律、定理及公式等?？梢杂脠D形來(lái)描述。而利用圖形的直觀，則可以由抽象變具體，模糊變清晰，使數(shù)學(xué)問(wèn)題的難度下降，從而可以從圖形中找到有創(chuàng)意的解題思路。如代數(shù)列方程解應(yīng)用題中的行程問(wèn)題，往往借助幾何圖形，靠圖形感知來(lái)”支持”抽象的思維過(guò)程，從而尋求數(shù)量之間的相依關(guān)系。例：求不等式組的自然數(shù)解.分析:欲求不等式組的自然數(shù)解,一般思路是先求出不等式組的解集,再在數(shù)軸上表示出其解集,從而進(jìn)一步求出問(wèn)題的答案.解答:解不等式得 解不等式得 所以,原不等式組的解集是,其解集在數(shù)軸上表示如圖1所示 圖

7、1 所以,其自然數(shù)解為0、1、2.評(píng)注：自然數(shù)也就是非負(fù)整數(shù)，在這里易漏掉0. 分類討論的思想 分類討論思想是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類的數(shù)學(xué)思想。對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行分類，可以降低學(xué)習(xí)難度，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的針對(duì)性。滲透分類思想，可以訓(xùn)練思維的條理性2、 因此，在教學(xué)中應(yīng)啟發(fā)學(xué)生按不同的情況去對(duì)同一對(duì)象進(jìn)行能夠分類，幫助他們掌握好分類的方法原則，形成分類的思想。如當(dāng)取何實(shí)數(shù)時(shí)，對(duì)的值的分類討論:當(dāng)時(shí)，；當(dāng)3時(shí)，。例.等腰三角形的周長(zhǎng)為16，其中一條邊的長(zhǎng)是6，求另兩條邊的長(zhǎng).分析:由于已知的“一條邊的長(zhǎng)是6”，未告之是腰長(zhǎng),還是底邊長(zhǎng),所以應(yīng)分類討論求解.解答：(1)

8、當(dāng)周長(zhǎng)為16，腰長(zhǎng)為6時(shí),該等腰三角形的另兩邊：一條邊為腰，長(zhǎng)為6，另一條邊為底邊，長(zhǎng)為16-6-6=4，即另兩邊分別為6和4； (2)當(dāng)周長(zhǎng)為16，底邊長(zhǎng)為6時(shí),該等腰三角形的另兩邊都是腰，其長(zhǎng)為（16-6）÷2=5，即另兩邊長(zhǎng)為5、5. 評(píng)注：求解有關(guān)等腰三角形的邊、角問(wèn)題時(shí)，在題中未附圖形且未指名已知的邊、角是該等腰三角形的底或腰（底角或頂角）的情況下，均需用分類討論思想求解. 3、轉(zhuǎn)化思想 數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程就是一系列轉(zhuǎn)化的過(guò)程，中學(xué)數(shù)學(xué)處處都體現(xiàn)出轉(zhuǎn)化的思想，如化繁為簡(jiǎn)、化難為易，化未知為已知，化高次為低次等，是解決問(wèn)題的一種最基本的思想。因此在教學(xué)中，首先要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到常

9、用的很多數(shù)學(xué)方法實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化的方法，從而確信轉(zhuǎn)化是可能的，而且是必須的；其次結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行有意識(shí)的訓(xùn)練，使學(xué)生掌握這一具有重大價(jià)值的思想方法。例如:當(dāng)時(shí)，求的值。該題可以采用直接代入法，但是更簡(jiǎn)易的方法應(yīng)為先化簡(jiǎn)再求值，此時(shí)原式。4、 函數(shù)與方程的思想 辯證唯物主義認(rèn)為，世界上一切事物都是處在運(yùn)動(dòng)、變化和發(fā)展的過(guò)程中，這就要求我們教學(xué)中重視函數(shù)的思想方法的教學(xué)。華東師大版教材把函數(shù)思想已經(jīng)滲透到初一、二教材的各個(gè)內(nèi)容之中。因此，教學(xué)上要有意識(shí)、有計(jì)劃、有目的地培養(yǎng)函數(shù)的思想方法。例如：進(jìn)行求代數(shù)式的值的教學(xué)時(shí)，通過(guò)強(qiáng)調(diào)解題的第一步“當(dāng)時(shí)”的依據(jù)，滲透函數(shù)的思想方法-字母每取一個(gè)值，代數(shù)

10、式就有唯一確定的值。如代數(shù)式x2-4中 ，當(dāng)x=1時(shí)，則x2-4=-3；當(dāng)x=2，則x2-4=0通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)以上問(wèn)題的討論，將靜態(tài)的知識(shí)模式演變?yōu)閯?dòng)態(tài)的討論，這樣實(shí)際上就賦予了函數(shù)的形式，在學(xué)生的頭腦中就形成了以運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)去領(lǐng)會(huì)，這就是發(fā)展函數(shù)思想的重要途徑。例如.一個(gè)多邊形的外角和是內(nèi)角和的，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).分析:根據(jù)“邊形的內(nèi)角和等于”與“多邊形的外角和等于”和已知條件，列方程可求解.解答:設(shè)多邊形的邊數(shù)為，則根據(jù)題意得方程： 解得 所以，這個(gè)多邊形的邊數(shù)為9評(píng)注：對(duì)方程思想的考查主要有兩個(gè)方面：一是列方程（組）解應(yīng)用題；二是列方程（組）解決代數(shù)問(wèn)題或幾何問(wèn)題.例4四川5.12特大地

11、震受災(zāi)地區(qū)急需大量賑災(zāi)帳篷，某帳篷生產(chǎn)企業(yè)接到生產(chǎn)任務(wù)后，加大生產(chǎn)投入、提高生產(chǎn)效率，實(shí)際每天生產(chǎn)帳篷比原計(jì)劃多200頂，已知現(xiàn)在生產(chǎn)3000頂帳篷所用的時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn)2000頂?shù)臅r(shí)間相同現(xiàn)在該企業(yè)每天能生產(chǎn)多少頂帳篷？分析：和列一元一次方程解應(yīng)用題一樣，尋找等量關(guān)系。抓住關(guān)鍵句：實(shí)際每天生產(chǎn)帳篷比原計(jì)劃多200頂；現(xiàn)在生產(chǎn)3000頂帳篷所用的時(shí)間與原計(jì)劃生產(chǎn)2000頂?shù)臅r(shí)間相同。解：設(shè)現(xiàn)在該企業(yè)每天能生產(chǎn)頂帳篷，則原計(jì)劃每天生產(chǎn)（）頂帳篷由題意，得：解得 經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解 原方程的解是 答：現(xiàn)在該企業(yè)每天能生產(chǎn)頂帳篷我們又該如何進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)呢？我認(rèn)為可著重從以下幾個(gè)方面入手:

12、三、數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)實(shí)踐體會(huì)。1、在知識(shí)發(fā)生過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)思想方法由于初中學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)比較貧乏，抽象思想能力也較為薄弱，把數(shù)學(xué)思想、方法作為一門獨(dú)立的課程還缺乏應(yīng)有的基礎(chǔ)。因而只能將數(shù)學(xué)知識(shí)作為載體，把數(shù)學(xué)思想和方法的教學(xué)滲透到數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中。教師要把握好滲透的契機(jī)，重視數(shù)學(xué)概念、公式、定理、法則的提出過(guò)程，知識(shí)的形成、發(fā)展過(guò)程，解決問(wèn)題和規(guī)律的概括過(guò)程，使學(xué)生在這些過(guò)程中展開(kāi)思維，從而發(fā)展他們的科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，形成獲取、發(fā)展新知識(shí)，運(yùn)用新知識(shí)解決問(wèn)題。忽視或壓縮這些過(guò)程，一味灌輸知識(shí)的結(jié)論，就必然失去滲透數(shù)學(xué)思想、方法的一次次良機(jī)。如華東師大版第二章有理數(shù)，與原來(lái)部編教材相比，它少了

13、一節(jié)“有理數(shù)大小的比較”，而它的要求則貫穿在整章之中。在數(shù)軸教學(xué)之后，就引出了“在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大”，“正數(shù)都大于0，負(fù)數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)”。而兩個(gè)負(fù)數(shù)比大小的全過(guò)程單獨(dú)地放在絕對(duì)值教學(xué)之后解決。教師在教學(xué)中應(yīng)把握住這個(gè)逐級(jí)滲透的原則，既使這一章節(jié)的重點(diǎn)突出，難點(diǎn)分散；又向?qū)W生滲透了形數(shù)結(jié)合的思想，學(xué)生易于接受。在滲透數(shù)學(xué)思想、方法的過(guò)程中，教師要精心設(shè)計(jì)、有機(jī)結(jié)合，要有意識(shí)地潛移默化地啟發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟蘊(yùn)含于數(shù)學(xué)之中的種種數(shù)學(xué)思想方法，切忌生搬硬套，和盤托出，脫離實(shí)際等錯(cuò)誤做法。比如，教學(xué)二次不等式解集時(shí)結(jié)合二次函數(shù)圖象來(lái)理解和記憶，總結(jié)歸納出解集在“兩根之間”

14、、“兩根之外”，利用形數(shù)結(jié)合方法，從而比較順利地完成新舊知識(shí)的過(guò)渡。2、在思維教學(xué)活動(dòng)過(guò)程中，揭示數(shù)學(xué)思想方法 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)必須充分暴露思維過(guò)程，讓學(xué)生參與教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，揭示其中隱含的數(shù)學(xué)思想，才能有效地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，下面以“多邊形內(nèi)角和定理”的課堂教學(xué)為例，簡(jiǎn)要說(shuō)明。 教學(xué)目標(biāo)：增強(qiáng)運(yùn)用化歸思想處理多邊形問(wèn)題的一般策略；掌握運(yùn)用類比、歸納、猜想思想指導(dǎo)思維，發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和定理的結(jié)論；學(xué)會(huì)用化歸思想指導(dǎo)探索論證途徑，掌握化歸方法；加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識(shí)。 教學(xué)過(guò)程：（ 1）創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，激發(fā)探索欲望，蘊(yùn)涵類比化歸思想。教師：三角形和四邊形的內(nèi)角和分別為多少？四邊

15、形內(nèi)角和是如何探求的？（轉(zhuǎn)化為三角形）那么，五邊形內(nèi)角和你會(huì)探索求嗎？六邊形、七邊形 n 邊形內(nèi)角和又是多少呢？（ 2 ）鼓勵(lì)大膽猜想，指導(dǎo)發(fā)現(xiàn)方法，滲透類比、歸納、猜想思想。教師：從四邊形內(nèi)角和的探求方法，能給你什么啟發(fā)呢？五邊形如何化歸為三角形？數(shù)目是多少？六邊形 n 邊形呢？你能否用列表的方式給出多邊形內(nèi)角和與它們邊數(shù)、化歸為三角形的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系？從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？猜一猜 n 邊形內(nèi)角和有何結(jié)論？類比、歸納、猜想的含義和作用，你能理解和認(rèn)識(shí)嗎？（ 3 ）暴露思維過(guò)程、探索論證方法，揭示化歸思想、分類方法。我們?nèi)绾悟?yàn)證或推斷上面猜想的結(jié)論呢？既然多邊形內(nèi)角和可化歸為三角形來(lái)處理，那么

16、化歸方法是否唯一的呢？一點(diǎn)與多邊形的位置關(guān)系怎樣？（分類思想指導(dǎo)化歸方法的探索）哪一種對(duì)獲取證明最簡(jiǎn)潔？（至此，教材中在多邊形內(nèi)任取一點(diǎn) O ，連結(jié)點(diǎn)O與多邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)，可得幾個(gè)三角形的思維過(guò)程得以充分自然地暴露）（ 4 ）反思探索過(guò)程，優(yōu)化思維方法，激活化歸思想。教師：從上面的探索過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)化歸思想有很大作用，但是，又是什么啟發(fā)我們用這種思想指導(dǎo)解決問(wèn)題呢？原來(lái)，我們是選擇考察幾個(gè)具體的多邊形，如四邊形、五邊形等，發(fā)現(xiàn)特殊情形下的解決方法，再把它運(yùn)用到一種特殊化思想當(dāng)中。我們?cè)賮?lái)考察一下式子： n 邊形內(nèi)角和 =n×180°-360°，你能設(shè)計(jì)一個(gè)幾何

17、圖形來(lái)解釋嗎？對(duì)于 n 邊形內(nèi)角和=（n-1）180°-180°，又能作怎樣的幾何解釋呢？(至此，我們又可探索出另一種思維方法，即”在多邊形某一邊上任取一點(diǎn) O ，連結(jié)點(diǎn)O與多邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)來(lái)分割三角形)讓學(xué)生親自參加與探索定理的結(jié)論及證明過(guò)程，大大激發(fā)了學(xué)生的求知興趣，同時(shí)，他們也體驗(yàn)到“創(chuàng)造發(fā)明”的愉悅，數(shù)學(xué)思想在這一過(guò)程中得到了有效的發(fā)展。 3、在問(wèn)題解決過(guò)程中強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法3501200BAC 在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，常常出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象:學(xué)生在課堂聽(tīng)懂了，但課后解題，特別是遇到新題型便無(wú)所適從。究其原因就在于教師在教學(xué)中僅僅是就題論題，殊不知授之以“漁”比授之以“魚”

18、更為重要。因此，在數(shù)學(xué)問(wèn)題的探索的教學(xué)中重要的是讓學(xué)生真正領(lǐng)悟隱含于數(shù)學(xué)問(wèn)題探索中的數(shù)學(xué)思想方法。針對(duì)這種現(xiàn)象，教師應(yīng)全面展示知識(shí)發(fā)生發(fā)展過(guò)程，并發(fā)揮學(xué)生的主體作用，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與數(shù)學(xué)的全過(guò)程，讓全體學(xué)生能在躬行的探索中理解知識(shí)，掌握方法，感悟數(shù)學(xué)思想。例如:求下圖中BCA的度數(shù)。 方法1：先求出BAC=600，后利用三角形內(nèi)角和即可得BCA=1800-600-350=850方法2：直接利用三角形外角性質(zhì)，求得BCA=1200-350=850顯然上述的問(wèn)題解決過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)比較不同的方法，體會(huì)到了數(shù)學(xué)思想在解題中的重要作用，激發(fā)學(xué)生的求知興趣，從而加強(qiáng)了對(duì)數(shù)學(xué)思想的認(rèn)識(shí)。4、及時(shí)總結(jié)以逐步

19、內(nèi)化數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)教材是采用蘊(yùn)含披露的方式將數(shù)學(xué)思想溶于數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，因此，適時(shí)對(duì)數(shù)學(xué)思想做出歸納、概括是十分必要的。概括數(shù)學(xué)思想方法要納入教學(xué)計(jì)劃，應(yīng)有目的、有步驟地引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)思想的提煉概括過(guò)程，尤其是在章節(jié)結(jié)束或單元復(fù)習(xí)中對(duì)知識(shí)復(fù)習(xí)的同時(shí)，將統(tǒng)攝知識(shí)的數(shù)學(xué)思想方法概括出來(lái)，可以加緊學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用意識(shí)，也使其對(duì)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想解決問(wèn)題的具體操作方式有更深刻的了解，有利于活化所學(xué)知識(shí)，形成獨(dú)立分析、解決問(wèn)題的能力。 概括數(shù)學(xué)思想一般可分兩步進(jìn)行：一是揭示數(shù)學(xué)思想的內(nèi)容、規(guī)律，即將數(shù)學(xué)對(duì)象共同具有屬性或關(guān)系抽取出來(lái)；二是明確數(shù)學(xué)思想方法與知識(shí)的聯(lián)系，即將抽取出來(lái)的共性推廣到同類的

20、全部對(duì)象上去，從而實(shí)現(xiàn)從個(gè)別性認(rèn)識(shí)上升為一般性認(rèn)識(shí)。比如，通過(guò)解方程（ x-2 )2 +(x-2)-2=0，發(fā)現(xiàn)也可用換元法來(lái)求解。在此基礎(chǔ)上推廣也可用換元法求解。由此概括出換元法可以將復(fù)雜方程轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單方程，從而認(rèn)識(shí)到化歸思想是對(duì)換元法的高度概括，還可進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，它是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的高度概括。 由于同一數(shù)學(xué)知識(shí)可表現(xiàn)出不同的數(shù)學(xué)思想方法，而同一數(shù)學(xué)思想方法又常常分布在許多不同的知識(shí)點(diǎn)里，所以通過(guò)課堂小結(jié)、單元總結(jié)或總復(fù)習(xí)，甚至是某個(gè)概念、定理公式、問(wèn)題數(shù)學(xué)都可以在縱橫兩方面歸納概括出數(shù)學(xué)思想方法。第二，有利于記憶。布魯納認(rèn)為，“除非把一件件事情放進(jìn)構(gòu)造得好的模型里面，否則很快就會(huì)忘記?！薄皩W(xué)習(xí)基本原理的目的，就在于保證記憶的喪失不是全部喪失，而遺留下來(lái)的東西將使我們?cè)谛枰臅r(shí)候得以把一件件事情重新構(gòu)思起來(lái)。高明的理論不僅是現(xiàn)在用以理解現(xiàn)象的工具，而且也是明天用以回憶那個(gè)現(xiàn)象的工具?！庇纱丝梢?jiàn)，數(shù)學(xué)思想、方法作為數(shù)學(xué)學(xué)科的“一般原理”，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是至關(guān)重要的。無(wú)怪乎有人認(rèn)為，對(duì)于中學(xué)生“不管他們將來(lái)從事什么業(yè)務(wù)工作，唯有深深地銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)的精神、數(shù)學(xué)的思維方法、研究方法，卻隨時(shí)隨地發(fā)生作用，使他們受益終生?！钡谌?，學(xué)習(xí)基本原理有利于“原理和態(tài)度的遷移”。布魯納認(rèn)為，“這種類型的遷移應(yīng)該是教育過(guò)程的核心用基本的和一般的觀念來(lái)不