復(fù)變函數(shù)64學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)(hnsh)64第一頁(yè)，共17頁(yè)。- 2 -冪函數(shù)冪函數(shù)(2nwzn為自然數(shù)為自然數(shù)),),由于由于1nwnz 從而當(dāng)從而當(dāng)0z 時(shí)時(shí)0,w 即即nwz 在復(fù)平面上在復(fù)平面上除坐標(biāo)原除坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)處處是共形的。處處是共形的。令令,iizewre 得得,(6.4.1)nrn由此可見(jiàn)，在映射由此可見(jiàn)，在映射nwz 下，下， z平面的圓周平面的圓周|za 映射映射成成w平面的圓周平面的圓周|,nwa 特別是單位圓周特別是單位圓周| 1z 映射映射由由ininree 第1頁(yè)/共16頁(yè)第二頁(yè)，共17頁(yè)。- 3 -成單位成單位(dnwi)圓周，圓周，射線射線0 映射成射線映射成射線0

2、,n 角形域角形域00()n 映射成角形域映射成角形域00,n特別將角特別將角形域形域20n 映射成沿正實(shí)軸剪開(kāi)的映射成沿正實(shí)軸剪開(kāi)的w平面平面02 uvo0n yxo0 uvo2n yxo第2頁(yè)/共16頁(yè)第三頁(yè)，共17頁(yè)。- 4 -由于由于nwz 為為20n 角形域角形域z平面角形域平面角形域到到w平面平面02是一一映射，是一一映射，因此映射因此映射nwz 在在z平面上除原點(diǎn)和正實(shí)軸外是共形的平面上除原點(diǎn)和正實(shí)軸外是共形的( (這里我們將這里我們將nwz 的解析分支取在的解析分支取在0Arg2 ),z 且將角形域且將角形域0Arg2z 映射成角形域映射成角形域20Argwn 。因此因此將將以

3、原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域映射成以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域映射成以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域經(jīng)常使用映射經(jīng)常使用映射nwz 或或.nwz 第3頁(yè)/共16頁(yè)第四頁(yè)，共17頁(yè)。- 5 -2()w 求將區(qū)域求將區(qū)域|1| 2,Re0zz映射成區(qū)域映射成區(qū)域Im0w 的一個(gè)共形映射。的一個(gè)共形映射。例例1 13i3i 123 ( )z解解23 1()w3()w23 133ziwzi 211iwe ww 332ww 第4頁(yè)/共16頁(yè)第五頁(yè)，共17頁(yè)。- 6 -3()w( )w3ww 因此因此(ync)所求映射為所求映射為3ww 32w 31w33()3iziz 2i2i 3123 ( ) z133ziwz

4、i 21ww 332ww 第5頁(yè)/共16頁(yè)第六頁(yè)，共17頁(yè)。- 7 -例例2 2求將具有求將具有(jyu)(jyu)割痕割痕Re,0Imzazh 得上半平面得上半平面(pngmin)(pngmin)映射映射(yngsh)(yngsh)成單位圓的一個(gè)共形映射成單位圓的一個(gè)共形映射(yngsh)(yngsh)。1wzaaih ( ) z1()wih2()w2h 221ww 232wwh3()w2h解解第6頁(yè)/共16頁(yè)第七頁(yè)，共17頁(yè)。- 8 -h h4()w43ww 44wiwwi aih ( ) z()w1所以所以(suy)44wiwwi 33wiwi 2222whiwhi 221221whiw

5、hi 2222()()zahizahi w3()w2h1wza221ww 232wwh第7頁(yè)/共16頁(yè)第八頁(yè)，共17頁(yè)。- 9 -指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù),zwe 由于由于0zwe 所以映射所以映射zwe 在復(fù)平面上每一點(diǎn)處都是共形的。在復(fù)平面上每一點(diǎn)處都是共形的。設(shè)設(shè),izxiy we 則則ixiyee e 即即,(6.4.2)xey由此可見(jiàn)，在由指數(shù)函數(shù)由此可見(jiàn)，在由指數(shù)函數(shù)(zh sh hn sh)(zh sh hn sh)所確定的映射下，所確定的映射下，將將z平平面的直線面的直線RezC 映射成映射成w平面的圓周平面的圓周|,Cwe 將將第8頁(yè)/共16頁(yè)第九頁(yè)，共17頁(yè)。- 10 -直線直線(

6、zhxin)ImzC 映射映射(yngsh)成射線成射線Arg,wC 特別，將帶形域特別，將帶形域00Im(2 )zy 映射成角形域映射成角形域00Arg.wy( ) z0y0y()wzwe 將帶將帶形域形域0Im2z 映射映射(yngsh)成沿正實(shí)軸剪開(kāi)的復(fù)平面。成沿正實(shí)軸剪開(kāi)的復(fù)平面。( ) z2 zwe ( )w第9頁(yè)/共16頁(yè)第十頁(yè)，共17頁(yè)。- 11 -由于由于(yuy)(yuy)映射映射zwe 是是0Im2z 到到0Arg2w 一一映射一一映射(yngsh)(yngsh)，所以其逆映射所以其逆映射Lnwz 是是0Arg2z 到到0Im2w 共形映射，共形映射，( (這里我們認(rèn)為這里

7、我們認(rèn)為L(zhǎng)nz在除在除原點(diǎn)和正實(shí)軸外是解析的原點(diǎn)和正實(shí)軸外是解析的) )( )w2 i Lnwz ( ) z特別映射特別映射lnwz 將上半將上半平面平面Im0z 映射成帶形域映射成帶形域0Im.w ( ) zlnwz ( )wi 第10頁(yè)/共16頁(yè)第十一頁(yè)，共17頁(yè)。- 12 -因此將帶形域映射成角形域經(jīng)常因此將帶形域映射成角形域經(jīng)常(jngchng)(jngchng)使用映射使用映射,zwe 將角形域映射成帶形域經(jīng)常使用映射將角形域映射成帶形域經(jīng)常使用映射Ln (ln ).wzz 或或第11頁(yè)/共16頁(yè)第十二頁(yè)，共17頁(yè)。- 13 -1()w()ba i 例例3 3求將帶形域求將帶形域Re

8、azb映射成單位圓映射成單位圓| 1w 的的一個(gè)共形映射。一個(gè)共形映射。解解( ) zab3()w1()wi za21wwba 23wwe 2()wi 第12頁(yè)/共16頁(yè)第十三頁(yè)，共17頁(yè)。- 14 -( ) zabw1i( )w33wiwwi 22wweiei 11wb awb aeiei ()()iz ab aiz ab aeiei 3()w1()wi za21wwba 23wwe 33wiwwi 第13頁(yè)/共16頁(yè)第十四頁(yè)，共17頁(yè)。- 15 -( )z2例例4 4求將區(qū)域求將區(qū)域(qy)(qy)| 2,|1| 1zz映射映射(yngsh)(yngsh)成上半平面成上半平面Im0w 的一個(gè)的一個(gè)(y (y )共形映射。共形映射。1()w2 oo12解解12zwz 2()wi 212wiw ( )w2wwe 22zizwe 1i i 第14頁(yè)/共16頁(yè)第十五頁(yè)，共17頁(yè)。- 16 -( )wi 例例5 5求將區(qū)域求將區(qū)域(qy)(qy)| 1,z 且且(0)zx x映射映射(yngsh)(yngsh)成帶形域成帶形域0Imw 的一個(gè)的一個(gè)(y (y )共形映射。共形映射。解解( ) z11()w1wz 2()w112111www 22lnww 12ln1zwz 第15頁(yè)/共16頁(yè)第十六頁(yè)，共17頁(yè)。NoI