第3章_平面問(wèn)題有限元法

1、第第3章章 平面問(wèn)題的有限元法平面問(wèn)題的有限元法3.1 結(jié)構(gòu)的離散化結(jié)構(gòu)的離散化3.2 三角形常應(yīng)變單元的位移模式和形函數(shù)三角形常應(yīng)變單元的位移模式和形函數(shù)3.5 整體分析整體分析3.6 等效節(jié)點(diǎn)載荷計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)載荷計(jì)算3.8 有限元分析的實(shí)例有限元分析的實(shí)例3.3 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?.4 單元位移函數(shù)的選擇原則單元位移函數(shù)的選擇原則3.7 約束條件的處理約束條件的處理v將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu)將連續(xù)體變換為離散化結(jié)構(gòu) 將連續(xù)體劃分為將連續(xù)體劃分為有限有限多個(gè)、有限大小的多個(gè)、有限大小的單元單元， 并使這些單元僅在并使這些單元僅在節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)處連結(jié)起來(lái)，構(gòu)成所謂處連結(jié)起來(lái)，構(gòu)成所謂“離散化

2、結(jié)構(gòu)離散化結(jié)構(gòu)”。(c) 深梁（離散化結(jié)構(gòu)）3.1 結(jié)構(gòu)的離散化結(jié)構(gòu)的離散化離散化要注意離散化要注意:1.1.單元形狀的選擇單元形狀的選擇: : 平面問(wèn)題的單元，按其幾何平面問(wèn)題的單元，按其幾何特性可分為兩類：特性可分為兩類：以三節(jié)點(diǎn)三角形為基礎(chǔ)；以三節(jié)點(diǎn)三角形為基礎(chǔ)；以任意四邊形為基礎(chǔ)。以任意四邊形為基礎(chǔ)。 較高精度的三角形等參數(shù)單元；較高精度的三角形等參數(shù)單元； 運(yùn)用非常廣泛的運(yùn)用非常廣泛的四邊形等參數(shù)單元四邊形等參數(shù)單元。這兩類都可以增加節(jié)點(diǎn)也構(gòu)成一系列單元：這兩類都可以增加節(jié)點(diǎn)也構(gòu)成一系列單元：首選三角形單元和等參數(shù)單元。首選三角形單元和等參數(shù)單元。2.2.對(duì)稱性的利用對(duì)稱性的利用 利

3、用結(jié)構(gòu)和載荷的對(duì)稱性：如結(jié)構(gòu)和載荷都對(duì)于某軸對(duì)稱，利用結(jié)構(gòu)和載荷的對(duì)稱性：如結(jié)構(gòu)和載荷都對(duì)于某軸對(duì)稱，可以取一半來(lái)分析；若對(duì)于可以取一半來(lái)分析；若對(duì)于x x軸和軸和y y軸都對(duì)稱，可以取四分之軸都對(duì)稱，可以取四分之一來(lái)分析。一來(lái)分析。3.3.單元的劃分原則單元的劃分原則 通常集中載荷的作用點(diǎn)、分布載荷強(qiáng)度的突變點(diǎn)、分通常集中載荷的作用點(diǎn)、分布載荷強(qiáng)度的突變點(diǎn)、分布載荷與自由邊界的分界點(diǎn)，支承點(diǎn)都應(yīng)取為節(jié)點(diǎn)布載荷與自由邊界的分界點(diǎn)，支承點(diǎn)都應(yīng)取為節(jié)點(diǎn)單元的形狀和尺寸可以根據(jù)要求進(jìn)行調(diào)整。對(duì)于重要或應(yīng)單元的形狀和尺寸可以根據(jù)要求進(jìn)行調(diào)整。對(duì)于重要或應(yīng)力變化急劇的部位，單元應(yīng)劃分得小些；對(duì)于次要和應(yīng)

4、力變力變化急劇的部位，單元應(yīng)劃分得小些；對(duì)于次要和應(yīng)力變化緩慢的部位，單元可劃分得大些；中間地帶以大小逐漸變化緩慢的部位，單元可劃分得大些；中間地帶以大小逐漸變化的單元來(lái)過(guò)渡?；膯卧獊?lái)過(guò)渡。單元的劃分原則單元的劃分原則 單元數(shù)量要根據(jù)計(jì)算精度和計(jì)算機(jī)的容量來(lái)決定。在保單元數(shù)量要根據(jù)計(jì)算精度和計(jì)算機(jī)的容量來(lái)決定。在保證精度的前提下，盡可能減少單元數(shù)量。證精度的前提下，盡可能減少單元數(shù)量。不要把不同厚度或不同材料的區(qū)域劃分在一個(gè)單元里。不要把不同厚度或不同材料的區(qū)域劃分在一個(gè)單元里。單元的劃分原則單元的劃分原則 根據(jù)誤差分析，應(yīng)力及位移的誤差都和單元的最小內(nèi)角根據(jù)誤差分析，應(yīng)力及位移的誤差都和單

5、元的最小內(nèi)角正弦成反比，所以單元的邊長(zhǎng)力求接近相等。即單元的三正弦成反比，所以單元的邊長(zhǎng)力求接近相等。即單元的三（四）條邊長(zhǎng)盡量不要懸殊太大。（四）條邊長(zhǎng)盡量不要懸殊太大。4.4.節(jié)點(diǎn)的編號(hào)節(jié)點(diǎn)的編號(hào)應(yīng)盡量使應(yīng)盡量使同一單元的節(jié)點(diǎn)編號(hào)相差小些同一單元的節(jié)點(diǎn)編號(hào)相差小些，以減少整體，以減少整體剛度矩陣的半帶寬，節(jié)約計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)。剛度矩陣的半帶寬，節(jié)約計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)。上圖，節(jié)點(diǎn)順短邊編號(hào)為好。上圖，節(jié)點(diǎn)順短邊編號(hào)為好。3.2 三角形常應(yīng)變單元的位移模式和形函數(shù)三角形常應(yīng)變單元的位移模式和形函數(shù)首先以平面單元中最基本的三節(jié)點(diǎn)三角形單元為例，介紹首先以平面單元中最基本的三節(jié)點(diǎn)三角形單元為例，介紹有限元法。有

6、限元法。單元分析的步驟可表示如下：?jiǎn)卧治龅牟襟E可表示如下：節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)位移內(nèi)部各點(diǎn)內(nèi)部各點(diǎn)位移位移應(yīng)變應(yīng)變應(yīng)力應(yīng)力節(jié)點(diǎn)力節(jié)點(diǎn)力 單元分析單元分析分為四步求出相鄰各量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系分為四步求出相鄰各量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系, ,綜合起來(lái)綜合起來(lái), ,得出由得出由節(jié)點(diǎn)位移求節(jié)點(diǎn)力的轉(zhuǎn)換關(guān)系節(jié)點(diǎn)位移求節(jié)點(diǎn)力的轉(zhuǎn)換關(guān)系: :eeekFek 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃囄灰颇Ｊ轿灰颇Ｊ?.1.位移模式位移模式Tiiiewvu.單元的若干個(gè)節(jié)點(diǎn)有基本未知量，即單元的若干個(gè)節(jié)點(diǎn)有基本未知量，即位移模式位移模式: 單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移表達(dá)式，假定為坐標(biāo)的簡(jiǎn)單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移表達(dá)式，假定為坐標(biāo)的簡(jiǎn)單函數(shù)。單函數(shù)。反映單元的

7、位移分布形態(tài)，是單元內(nèi)的插值函數(shù)。反映單元的位移分布形態(tài)，是單元內(nèi)的插值函數(shù)。在節(jié)點(diǎn)處等于該節(jié)點(diǎn)位移。在節(jié)點(diǎn)處等于該節(jié)點(diǎn)位移。位移模式可表示為：位移模式可表示為：eNfN N為為形態(tài)矩陣形態(tài)矩陣（形函數(shù)矩陣形函數(shù)矩陣） 平面問(wèn)題每個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量有兩個(gè)，所以整個(gè)單元有平面問(wèn)題每個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量有兩個(gè)，所以整個(gè)單元有6 6個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量，即個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量，即6 6個(gè)自由度。個(gè)自由度。單元節(jié)點(diǎn)位移列陣單元節(jié)點(diǎn)位移列陣: :TmmjjiiTmTjTievuvuvu三角形單元有6個(gè)自由度，內(nèi)部任一點(diǎn)的位移是由6個(gè)節(jié)點(diǎn)位移分量完全確定的，位移模式中應(yīng)含有6個(gè)待定系數(shù)，所以位移模式位移模式可取為： ayxvy

8、xu。654321,位移函數(shù)一般用位移函數(shù)一般用多項(xiàng)式多項(xiàng)式來(lái)構(gòu)造。來(lái)構(gòu)造。位移模式位移模式: 單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移表達(dá)式，假定為坐標(biāo)的簡(jiǎn)單單元內(nèi)任一點(diǎn)的位移表達(dá)式，假定為坐標(biāo)的簡(jiǎn)單函數(shù)。函數(shù)。反映單元的位移分布形態(tài)。反映單元的位移分布形態(tài)。在彈性體內(nèi)，位移變化非常復(fù)雜。有限元法將整個(gè)彈性體在彈性體內(nèi)，位移變化非常復(fù)雜。有限元法將整個(gè)彈性體分割成許多小單元，在每個(gè)單元內(nèi)采用簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)近似分割成許多小單元，在每個(gè)單元內(nèi)采用簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)近似表達(dá)單元的真實(shí)位移，將各單元連接起來(lái)，便可近似表達(dá)表達(dá)單元的真實(shí)位移，將各單元連接起來(lái)，便可近似表達(dá)整個(gè)彈性體的真實(shí)位移函數(shù)。整個(gè)彈性體的真實(shí)位移函數(shù)。這種化整

9、為零、化繁為簡(jiǎn)的方法，正是有限元法的精華。這種化整為零、化繁為簡(jiǎn)的方法，正是有限元法的精華。假設(shè)節(jié)點(diǎn)i，j，m的坐標(biāo)分別為(xi,yi),(xj,yj),(xm,ym)2.2.形函數(shù)形函數(shù)聯(lián)立求解左邊3個(gè)方程，得：其中A為三角形單元的面積注意注意：為了使得出的面積值不為負(fù)值，節(jié)點(diǎn)：為了使得出的面積值不為負(fù)值，節(jié)點(diǎn)i,j,m的次序必的次序必須是逆時(shí)針。至于將那個(gè)節(jié)點(diǎn)作為起始點(diǎn)須是逆時(shí)針。至于將那個(gè)節(jié)點(diǎn)作為起始點(diǎn)i則沒(méi)有關(guān)系。則沒(méi)有關(guān)系。同理，求解右邊的三個(gè)方程，得到a4，a5，a6，解得：mmmmjjjjiiiivycxbavycxbavycxbaAv21mjimjimmjjixxcyybyxy

10、xa11,11,式中：i，j，m輪換mmmmjjjjiiiiuycxbauycxbauycxbaAu21整理后得：)m, (A21輪換令jiycxbaNiiiiiimmjjiiiimjjiivNvNvNvNvuNuNuNuNum其中Ni，Nj，Nm是坐標(biāo)的線性函數(shù)，反應(yīng)了單元的位移形態(tài)，稱為形（狀）函數(shù)形（狀）函數(shù)。eekjiNINININ寫成矩陣形式式中：I 二階單位陣，N 形函數(shù)矩陣f3.3.三角形面積坐標(biāo)三角形面積坐標(biāo)定義：定義：在三角形內(nèi)任一點(diǎn)在三角形內(nèi)任一點(diǎn)P P，向三個(gè)，向三個(gè)角點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)）連線，將原三角形分割角點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)）連線，將原三角形分割成三個(gè)子三角形，設(shè)子三角形的面積成三個(gè)子三

11、角形，設(shè)子三角形的面積分別是：分別是：A Ai i，A Aj j，A Am m，則：，則：AALiiAALjjAALmm即即面積坐標(biāo)定義為子三角形與原三角形面積之比面積坐標(biāo)定義為子三角形與原三角形面積之比；記為：記為：P P（L Li i，L Lj j，L Lm m）。）。面積坐標(biāo)的性質(zhì)：面積坐標(biāo)的性質(zhì)：AAAAmji1.1.1mjiLLLL Li i，L Lj j，L Lm m中只有兩個(gè)是獨(dú)立的。中只有兩個(gè)是獨(dú)立的。2.2.三角形三個(gè)角點(diǎn)處三角形三個(gè)角點(diǎn)處) 0 , 0 , 1 ( i) 1 , 0 , 0 (m) 0 , 1 , 0 ( j3.3.三條邊上三條邊上i-j:Li-j:Lm m

12、=0 =0 j-m:Lj-m:Li i=0 =0 m-i:Lm-i:Lj j=0 =0 形心處：形心處：31mjiLLL推論：三角形內(nèi)一條平行于三角形任一邊的直線推論：三角形內(nèi)一條平行于三角形任一邊的直線上的各點(diǎn)，具有相同的與該邊對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值。上的各點(diǎn)，具有相同的與該邊對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)值。iiiHhL 面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換：面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換：)(2111121ycxbayxyxyxAiiimmjji（i,j,m)(21ycxbaAAALiiiii(i,j,m)因此：iiNL mmNL jjNL 即三角形面積坐標(biāo)就是三角形相應(yīng)的形函數(shù)。即三角形面積坐標(biāo)就是三角形相應(yīng)的形函數(shù)。mmjjiiy

13、xyxyxA11121所以，位移模式也可以用面積坐標(biāo)表示為：所以，位移模式也可以用面積坐標(biāo)表示為：iimmjjiiiimjjiivLvLvLvLvuLuLuLuLum)(21ycxbaAAALiiiii(i,j,m)將面積坐標(biāo)的表達(dá)式：將面積坐標(biāo)的表達(dá)式：寫成矩陣形式：寫成矩陣形式：yxcbacbacbaALLLmmmjjjiiimji121求逆得：求逆得：mjimjimjiLLLyyyxxxyx1111第第1行展開為面積坐標(biāo)性質(zhì)行展開為面積坐標(biāo)性質(zhì)1，第，第2行和第行和第3行展開即為局部的面積坐標(biāo)行展開即為局部的面積坐標(biāo)和整體直角坐標(biāo)的關(guān)系：和整體直角坐標(biāo)的關(guān)系：iimmjjiiiimjji

14、iyLyLyLyLvxLxLxLxLxm例例 題題下圖為一平面應(yīng)力的直角三角形單元，直角邊長(zhǎng)均為下圖為一平面應(yīng)力的直角三角形單元，直角邊長(zhǎng)均為a,a,厚度為厚度為t t，彈性模量為，彈性模量為E,E,泊松比泊松比=0.3,=0.3,求形函數(shù)。求形函數(shù)。1.1.單元應(yīng)變單元應(yīng)變emmjjiimjimjixyyxbcbcbccccbbbAxvyuyvxu00000021eB ), (0021mjibccbABiiiiimjiBBBB 應(yīng)變矩陣應(yīng)變矩陣為常量，單元內(nèi)應(yīng)變是常數(shù)3.3 單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃噀eSDBD mjimjiSSSBBBDDBS2.2.單元應(yīng)力單元應(yīng)力S稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)換矩陣應(yīng)力轉(zhuǎn)

15、換矩陣)(),(2121)1 (22fmjibccbcbAEiiiiii。iiDBS應(yīng)用平面應(yīng)力問(wèn)題的彈性矩陣：應(yīng)用平面應(yīng)力問(wèn)題的彈性矩陣： 2100010112ED陣：平面應(yīng)力問(wèn)題，彈性矩 應(yīng)變矩陣為常量，單元內(nèi)應(yīng)力也是常數(shù)，相鄰單元的應(yīng)變與應(yīng)力將產(chǎn)生突變，但位移是連續(xù)的。 )1 (2210001-10-112-11-1）（）（陣：平面應(yīng)變問(wèn)題，彈性矩ED 能量轉(zhuǎn)換與守恒定律能量轉(zhuǎn)換與守恒定律，是自然界基本的運(yùn)動(dòng)規(guī)律之一。，是自然界基本的運(yùn)動(dòng)規(guī)律之一。實(shí)功原理：處于平衡狀態(tài)的可變形固體，在受外力作用實(shí)功原理：處于平衡狀態(tài)的可變形固體，在受外力作用而變形時(shí)外力對(duì)其相應(yīng)的位移所做的功（實(shí)功），等

16、于而變形時(shí)外力對(duì)其相應(yīng)的位移所做的功（實(shí)功），等于積蓄在物體中的應(yīng)變能（實(shí)應(yīng)變能）。積蓄在物體中的應(yīng)變能（實(shí)應(yīng)變能）。能量法的優(yōu)點(diǎn)：與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)，因而應(yīng)用極為廣泛。能量法的優(yōu)點(diǎn)：與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)，因而應(yīng)用極為廣泛。能量法與數(shù)學(xué)工具能量法與數(shù)學(xué)工具變分法的結(jié)合，導(dǎo)出虛位移（虛功變分法的結(jié)合，導(dǎo)出虛位移（虛功）原理，使得用數(shù)學(xué)分析的方法解決力學(xué)問(wèn)題的理論得）原理，使得用數(shù)學(xué)分析的方法解決力學(xué)問(wèn)題的理論得到發(fā)展而更趨完善。到發(fā)展而更趨完善。3.3.虛位移（功）原理虛位移（功）原理TmmjjiievuvuvuTymxmyjxjyixieFFFFFFF單元節(jié)點(diǎn)力列陣：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)力列陣：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)虛位

17、移列陣：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)虛位移列陣：節(jié)點(diǎn)力在虛位移所做的功：節(jié)點(diǎn)力在虛位移所做的功：ymmyjjxjjyiixiiFuFvFuFvFuWeTeFW簡(jiǎn)寫為：簡(jiǎn)寫為：4.4.單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃噀B單元虛應(yīng)變：?jiǎn)卧搼?yīng)變：?jiǎn)卧獌?nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的功（虛應(yīng)變能）：?jiǎn)卧獌?nèi)應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的功（虛應(yīng)變能）：tdxdyUxyxyyyAxx)(其中：其中：t t為單元厚度為單元厚度eeSDBD單元應(yīng)力：?jiǎn)卧獞?yīng)力：eTATeTAtdxdyDBBtdxdyUW虛功原理eeeeTekFtdxdyDBBFtdxdyDBBkTe為單元面積A單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃噆 ke e取決于單元的大小、方向和彈性常數(shù)，而取決于

18、單元的大小、方向和彈性常數(shù)，而與單元的位置無(wú)關(guān)，即不隨單元或坐標(biāo)軸的平行移動(dòng)而改與單元的位置無(wú)關(guān)，即不隨單元或坐標(biāo)軸的平行移動(dòng)而改變。變。對(duì)于三角形常應(yīng)變單元：對(duì)于三角形常應(yīng)變單元：tADBBkTe單元?jiǎng)偠染仃嚍閷?duì)稱矩陣。單元?jiǎng)偠染仃嚍閷?duì)稱矩陣。mmmjmijmjjjiimijiimjiTmTjTiekkkkkkkkkBBBDBBBksrsrsrsrsrsrsrsrrsbbcccbbcbccbccbbAEtk21212121)1 (42對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題：mjismjir,;,其中例例 題題下圖為一平面應(yīng)力的直角三角形單元，直下圖為一平面應(yīng)力的直角三角形單元，直角邊長(zhǎng)均為角邊長(zhǎng)均為a,a,厚度為

19、厚度為t t，彈性模量為，彈性模量為E,E,泊松泊松比比=0.3,=0.3,求單元?jiǎng)偠染仃?。求單元?jiǎng)偠染仃嚒＠碚摿W(xué)中質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系（剛體）的虛位移原理；理論力學(xué)中質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系（剛體）的虛位移原理；材料力學(xué)中桿件的虛位移原理。材料力學(xué)中桿件的虛位移原理。彈性力學(xué)中的彈性力學(xué)中的虛位移（虛功）原理虛位移（虛功）原理：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)給與該物體微小在外力作用下處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)給與該物體微小位移時(shí)，位移時(shí)，外力總虛功外力總虛功在數(shù)值上在數(shù)值上等于變形體的總虛應(yīng)變能等于變形體的總虛應(yīng)變能。虛：虛：微小的、任意的、可能的，變分的思路微小的、任意的、可能的，變分的思路實(shí)功實(shí)功是力

20、在自己產(chǎn)生位移上所做的功，是力在自己產(chǎn)生位移上所做的功，虛功虛功是力在別的是力在別的（人為的）因素產(chǎn)生的位移上做的功。所謂（人為的）因素產(chǎn)生的位移上做的功。所謂”虛虛“并不并不是虛無(wú)，而是可能、虛設(shè)的意思。是虛無(wú)，而是可能、虛設(shè)的意思。“虛虛”的表達(dá)：的表達(dá)：l虛位移（虛功）原理：虛位移（虛功）原理：3.4 單元位移函數(shù)的選擇原則單元位移函數(shù)的選擇原則三角形常應(yīng)變單元簡(jiǎn)單，精度較差，要提高精度：三角形常應(yīng)變單元簡(jiǎn)單，精度較差，要提高精度：1.1.增加單元數(shù)目和節(jié)點(diǎn)數(shù)目；增加單元數(shù)目和節(jié)點(diǎn)數(shù)目；2.2.采用更高精度的單元。采用更高精度的單元。FEM中的一系列工作，都是以中的一系列工作，都是以位移

21、模式位移模式為基礎(chǔ)的。所以當(dāng)單元趨于很小時(shí)，為基礎(chǔ)的。所以當(dāng)單元趨于很小時(shí)，即即x, y0時(shí)，為了使時(shí)，為了使FEM之解逼近于真解，即為了保證之解逼近于真解，即為了保證FEM收斂性收斂性,位移位移模式應(yīng)滿足下列條件：模式應(yīng)滿足下列條件：1. 位移模式必須能反映單元的反映單元的剛體位移剛體位移。單元位移包含兩部分：本單元的形變引起的位移；其他單元的形變引起單元位移包含兩部分：本單元的形變引起的位移；其他單元的形變引起的位移，即剛體位移。在位移函數(shù)中，的位移，即剛體位移。在位移函數(shù)中，常數(shù)項(xiàng)即提供剛體位移常數(shù)項(xiàng)即提供剛體位移。2. 位移模式必須能反映單元的反映單元的常量應(yīng)變。常量應(yīng)變。單元應(yīng)變包含

22、兩部分：變量應(yīng)變和常量應(yīng)變。位移函數(shù)的單元應(yīng)變包含兩部分：變量應(yīng)變和常量應(yīng)變。位移函數(shù)的一次項(xiàng)提供常一次項(xiàng)提供常量應(yīng)變量應(yīng)變。當(dāng)單元當(dāng)單元0時(shí)，單元中的位移和應(yīng)變都趨近于基本量時(shí)，單元中的位移和應(yīng)變都趨近于基本量剛體位移和常量位剛體位移和常量位移。移。3. 位移模式應(yīng)盡可能反映位移的盡可能反映位移的連續(xù)性連續(xù)性l 使相鄰單元之間的位移保持連續(xù)使相鄰單元之間的位移保持連續(xù)，即受力后，相鄰單元在，即受力后，相鄰單元在公共邊界上，即既不互相脫離，也不互相嵌入。公共邊界上，即既不互相脫離，也不互相嵌入。使相鄰單元在公共節(jié)點(diǎn)處具有相同的位移。使相鄰單元在公共節(jié)點(diǎn)處具有相同的位移。l使單元內(nèi)部的位移保持連

23、續(xù)使單元內(nèi)部的位移保持連續(xù)。位移函。位移函數(shù)取坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)。數(shù)取坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)。滿足條件滿足條件1 1、2 2的單元，稱為的單元，稱為完備單元完備單元；滿足條件；滿足條件3 3的單元，的單元，稱為稱為協(xié)調(diào)單元協(xié)調(diào)單元。常采用常采用“帕斯卡三角形帕斯卡三角形”來(lái)選取位移模式代數(shù)多項(xiàng)式的形式。來(lái)選取位移模式代數(shù)多項(xiàng)式的形式。按照帕斯卡三角形選擇位移模式的原則：按照帕斯卡三角形選擇位移模式的原則：1.1.多項(xiàng)式的階次及項(xiàng)數(shù)，由單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)目和自由度數(shù)目多項(xiàng)式的階次及項(xiàng)數(shù)，由單元的節(jié)點(diǎn)數(shù)目和自由度數(shù)目來(lái)決定。保證多項(xiàng)式中的來(lái)決定。保證多項(xiàng)式中的待定系數(shù)待定系數(shù)同單元的同單元的自由度自由度數(shù)目

24、數(shù)目相相一致一致，以避免在確定待定系數(shù)時(shí)增加困難。，以避免在確定待定系數(shù)時(shí)增加困難。2.2.當(dāng)高次多項(xiàng)式只選取一部分項(xiàng)時(shí)，應(yīng)遵循當(dāng)高次多項(xiàng)式只選取一部分項(xiàng)時(shí)，應(yīng)遵循“對(duì)稱性對(duì)稱性”原原則，即取其最高次中的位置對(duì)稱的相應(yīng)項(xiàng)，以保證在各坐則，即取其最高次中的位置對(duì)稱的相應(yīng)項(xiàng)，以保證在各坐標(biāo)軸方向上具有相同的精度。標(biāo)軸方向上具有相同的精度。3.3.應(yīng)滿足完備性和協(xié)調(diào)應(yīng)滿足完備性和協(xié)調(diào)性要求。性要求。3 3節(jié)點(diǎn)三角形單元：節(jié)點(diǎn)三角形單元：yaxaavyaxaau6543216 6節(jié)點(diǎn)三角形單元：節(jié)點(diǎn)三角形單元：2121121098726524321yaxyaxayaxaavyaxyaxayaxaau4

25、 4節(jié)點(diǎn)四邊形單元：節(jié)點(diǎn)四邊形單元：xyayaxaavxyayaxaau876543213.5 整體分析整體分析 結(jié)構(gòu)的整體分析是將離散后的所有單元通過(guò)節(jié)點(diǎn)連結(jié)構(gòu)的整體分析是將離散后的所有單元通過(guò)節(jié)點(diǎn)連接成原結(jié)構(gòu)，進(jìn)行分析。接成原結(jié)構(gòu)，進(jìn)行分析。 分析過(guò)程是將所有單元平衡方程組集成分析過(guò)程是將所有單元平衡方程組集成整體平衡方整體平衡方程程，引進(jìn)，引進(jìn)邊界條件邊界條件后求解后求解整體節(jié)點(diǎn)位移向量整體節(jié)點(diǎn)位移向量。整體平衡方程：整體平衡方程：F=KF=KK K為整體剛度矩陣為整體剛度矩陣TTnTTnTTnTTnFFFF21122112設(shè)彈性體被劃分為設(shè)彈性體被劃分為N N個(gè)三角形單元和個(gè)三角形單元

26、和n n個(gè)節(jié)點(diǎn)，則結(jié)構(gòu)就個(gè)節(jié)點(diǎn)，則結(jié)構(gòu)就有有2n2n個(gè)自由度。個(gè)自由度。K K2n2n2n2n整體剛度矩陣的組裝：整體剛度矩陣的組裝：例：例：求下面結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣求下面結(jié)構(gòu)的整體剛度矩陣解：解：1 1）結(jié)構(gòu)離散，單元和節(jié)點(diǎn)編碼）結(jié)構(gòu)離散，單元和節(jié)點(diǎn)編碼用三角形單元把該結(jié)構(gòu)分成用三角形單元把該結(jié)構(gòu)分成4 4個(gè)單元，個(gè)單元，6 6個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)兩種編碼：一是節(jié)點(diǎn)兩種編碼：一是節(jié)點(diǎn)總碼節(jié)點(diǎn)總碼；二是；二是節(jié)點(diǎn)局部碼節(jié)點(diǎn)局部碼，每個(gè)三角，每個(gè)三角形單元的三個(gè)節(jié)點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较虻捻樞蚋髯跃幋a為形單元的三個(gè)節(jié)點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较虻捻樞蚋髯跃幋a為i i，j,mj,m。單元單元1 1：節(jié)點(diǎn)號(hào)碼：節(jié)點(diǎn)號(hào)碼1 1，

27、2 2，3 3單元單元2 2：節(jié)點(diǎn)號(hào)碼：節(jié)點(diǎn)號(hào)碼2 2，5 5，3 3單元單元3 3：節(jié)點(diǎn)號(hào)碼：節(jié)點(diǎn)號(hào)碼5 5，6 6，3 3單元單元4 4：節(jié)點(diǎn)號(hào)碼：節(jié)點(diǎn)號(hào)碼2 2，4 4，5 52 2）分別寫出各個(gè)單元的分塊剛度矩陣：）分別寫出各個(gè)單元的分塊剛度矩陣：1111122111311211333231232111kkkkkkkkkk2223222552223225222233355352kkkkkkkkkk單元單元1 1：節(jié)點(diǎn)號(hào)碼：節(jié)點(diǎn)號(hào)碼1 1，2 2，3 3單元單元2 2：節(jié)點(diǎn)號(hào)碼：節(jié)點(diǎn)號(hào)碼2 2，5 5，3 3單元單元3 3：節(jié)點(diǎn)號(hào)碼：節(jié)點(diǎn)號(hào)碼5 5，6 6，3 3單元單元4 4：節(jié)點(diǎn)號(hào)碼

28、：節(jié)點(diǎn)號(hào)碼2 2，4 4，5 53333366365353356355333363563kkkkkkkkkk4454452444444242542442245545kkkkkkkkkk3 3）組裝整體剛度矩陣）組裝整體剛度矩陣?yán)脝卧謮K矩陣中，各子塊的節(jié)點(diǎn)利用單元分塊矩陣中，各子塊的節(jié)點(diǎn)和單元信息，直接把單元?jiǎng)偠鹊母髟蛦卧畔?，直接把單元?jiǎng)偠鹊母髟厮腿肟傮w剛度矩陣的相應(yīng)行列上，素送入總體剛度矩陣的相應(yīng)行列上，并同總體剛度矩陣該元素的已有值相并同總體剛度矩陣該元素的已有值相加。加?！皩?duì)號(hào)入座對(duì)號(hào)入座”組裝一般規(guī)則：組裝一般規(guī)則：1)1)當(dāng)當(dāng)KKrsrs 中中r=sr=s時(shí)，該點(diǎn)被哪幾個(gè)單元

29、所共有時(shí)，該點(diǎn)被哪幾個(gè)單元所共有，則整體剛度矩陣中的子矩陣，則整體剛度矩陣中的子矩陣KKrsrs 就是這幾就是這幾個(gè)單元的剛度矩陣中的子矩陣個(gè)單元的剛度矩陣中的子矩陣KKrsrs e e的相加。的相加。2)2)當(dāng)當(dāng)KKrsrs 中中rsrs時(shí)，若時(shí)，若rsrs邊是組合體的內(nèi)邊，則邊是組合體的內(nèi)邊，則整體剛度矩陣中的子矩陣整體剛度矩陣中的子矩陣KKrsrs 就是共用該邊的兩就是共用該邊的兩相鄰單元?jiǎng)偠染仃囍械淖泳仃囅噜弳卧獎(jiǎng)偠染仃囍械淖泳仃嘖Krsrs e e的相加。的相加。3)3)當(dāng)當(dāng)KKrsrs 中中r r和和s s不同屬于任何單元時(shí)，整體剛度矩陣中不同屬于任何單元時(shí)，整體剛度矩陣中的子矩陣

30、的子矩陣KKrsrs=0 =0 。366365363356455355255454353253452252445444442336335235333233133232132131425225424223123422222122121113112111000000000000kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkK整體剛度矩陣的性質(zhì)：整體剛度矩陣的性質(zhì)：1 1）整體剛度矩陣是對(duì)稱矩陣。）整體剛度矩陣是對(duì)稱矩陣。2 2）整體剛度矩陣每一個(gè)元素的物理意義：）整體剛度矩陣每一個(gè)元素的物理意義：3 3）整體剛度矩陣的主對(duì)角線上的元素總是正的。）整體剛度矩陣的主對(duì)角線上的

31、元素總是正的。4 4）整體剛度矩陣是一個(gè)奇異陣。只有排除剛體位移后）整體剛度矩陣是一個(gè)奇異陣。只有排除剛體位移后，K K才是正定的，其逆矩陣才存在。才是正定的，其逆矩陣才存在。在在 F=KF=K中，令節(jié)點(diǎn)中，令節(jié)點(diǎn)1 1在在x x方向的位移方向的位移u u1 1=1=1，而其余，而其余節(jié)點(diǎn)位移均為節(jié)點(diǎn)位移均為0 0，則：，則：1 )2(1 ) 12(413121112211nnynxnyxyxKKKKKKFFFFFF5 5）整體剛度矩陣是一個(gè)稀疏陣。）整體剛度矩陣是一個(gè)稀疏陣。離散后結(jié)構(gòu)的任一節(jié)點(diǎn)，只和與它相連的元素發(fā)生聯(lián)離散后結(jié)構(gòu)的任一節(jié)點(diǎn)，只和與它相連的元素發(fā)生聯(lián)系，所以系，所以K K存在

32、大量的零元素，而非零元素往往分布在存在大量的零元素，而非零元素往往分布在主對(duì)角線的附近。主對(duì)角線的附近。帶形矩陣帶形矩陣半帶寬：半帶寬：在半個(gè)斜帶形區(qū)域內(nèi)，每在半個(gè)斜帶形區(qū)域內(nèi)，每行具有的元素個(gè)數(shù)，用行具有的元素個(gè)數(shù)，用d d表示。表示。半帶寬半帶寬d=d=（相鄰節(jié)點(diǎn)碼的最大差值（相鄰節(jié)點(diǎn)碼的最大差值+1+1）2 2半帶存儲(chǔ)：半帶存儲(chǔ)：利用帶形矩陣的特點(diǎn)和矩陣的對(duì)稱性，計(jì)算利用帶形矩陣的特點(diǎn)和矩陣的對(duì)稱性，計(jì)算機(jī)中可以只存儲(chǔ)上半帶的元素。機(jī)中可以只存儲(chǔ)上半帶的元素。在同一網(wǎng)格中，如果采用不同的編碼方式，則相應(yīng)的半在同一網(wǎng)格中，如果采用不同的編碼方式，則相應(yīng)的半帶寬也可能不同。帶寬也可能不同。應(yīng)

33、采取合理的節(jié)點(diǎn)編碼方式（使相鄰節(jié)點(diǎn)碼盡可能小）應(yīng)采取合理的節(jié)點(diǎn)編碼方式（使相鄰節(jié)點(diǎn)碼盡可能?。员愕玫阶钚〉陌霂?，從而節(jié)約計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)容量。，以便得到最小的半帶寬，從而節(jié)約計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)容量。不同的編碼方式，相鄰不同的編碼方式，相鄰節(jié)點(diǎn)的最大差值分別為節(jié)點(diǎn)的最大差值分別為4 4，6 6，8 8，半帶寬分別為，半帶寬分別為1010，1414，1818。3.6 等效節(jié)點(diǎn)載荷計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)載荷計(jì)算根據(jù)有限元法的思想，所有有關(guān)的量都要轉(zhuǎn)換為節(jié)點(diǎn)的量。根據(jù)有限元法的思想，所有有關(guān)的量都要轉(zhuǎn)換為節(jié)點(diǎn)的量。結(jié)構(gòu)所受的載荷也必須轉(zhuǎn)換為等效的節(jié)點(diǎn)載荷。結(jié)構(gòu)所受的載荷也必須轉(zhuǎn)換為等效的節(jié)點(diǎn)載荷。整體剛度方程中的整體剛

34、度方程中的載荷列陣載荷列陣F F，是由彈性體全部，是由彈性體全部單元等單元等效節(jié)點(diǎn)力集合而成效節(jié)點(diǎn)力集合而成，而單元的等效節(jié)點(diǎn)力，是由作用在，而單元的等效節(jié)點(diǎn)力，是由作用在單元上的集中力、表面力和體積力分別移植到節(jié)點(diǎn)上，單元上的集中力、表面力和體積力分別移植到節(jié)點(diǎn)上，再逐點(diǎn)加以合成求得。再逐點(diǎn)加以合成求得。ptdxdyfqtdlfGfFTTTeTeeeeePQRF做虛功。虛功等于單元上外力所單元等效節(jié)點(diǎn)力所做的eNf單元內(nèi)虛位移ptdxdyNqtdlNGNFTTTTeeTeptdxdyNPqtdlNQGNRTeTeTe體積力等效節(jié)點(diǎn)力表面力等效節(jié)點(diǎn)力集中力等效節(jié)點(diǎn)力1.1.單元自重：?jiǎn)卧灾兀?/p>

35、下面用上述公式計(jì)算幾種常用載荷作用下的等效節(jié)點(diǎn)力。下面用上述公式計(jì)算幾種常用載荷作用下的等效節(jié)點(diǎn)力。三角形單元三角形單元i,j,mi,j,m的厚度為的厚度為t t，重度為，重度為，面積為，面積為A A，則，則體積力：體積力：0Vp節(jié)點(diǎn)力為：節(jié)點(diǎn)力為：dxdyNNNNNtPTmmjjieV0000000Ni由形函數(shù)的性質(zhì)得：由形函數(shù)的性質(zhì)得：3NAAdxdyi則：則：TTAAAAAAetAtPV101010310000000333333受自重載荷作用下的等效節(jié)受自重載荷作用下的等效節(jié)點(diǎn)力為單元重量的點(diǎn)力為單元重量的1/31/3。ptdxdyNPTe2.2.均布面力：均布面力：三角形單元三角形單元

36、i,j,mi,j,m的的ijij邊上作用有均勻的分布力，集度為：邊上作用有均勻的分布力，集度為：sysxsqqq單元節(jié)點(diǎn)力為：?jiǎn)卧?jié)點(diǎn)力為：dlqqNNNNNNtsysxTmjimjies000000Q由形函數(shù)性質(zhì)：由形函數(shù)性質(zhì)：T002Qsysxsysxeqqqqtls把作用于把作用于ijij邊上的均布面力按靜力等效平均分配到該邊邊上的均布面力按靜力等效平均分配到該邊兩端的節(jié)點(diǎn)上。兩端的節(jié)點(diǎn)上。qtdlNQTeijdlNiji213.3.線性分布面力：線性分布面力：三角形單元三角形單元i,j,mi,j,m的的ijij邊上作用有三角形分布表面力邊上作用有三角形分布表面力設(shè)設(shè)j j點(diǎn)表面力為點(diǎn)表

37、面力為0 0，i i點(diǎn)集度為：點(diǎn)集度為：sysxqqT31313232002Qsysxsysxeqqqqtls4.4.集中力：集中力：集中力集中力G G作用與作用與ijij邊上作用邊上作用Te00R2211yllxllyllxllPPPP總載荷的總載荷的2/32/3分配給分配給i i點(diǎn)，點(diǎn)，1/31/3分配給分配給j j點(diǎn)。點(diǎn)。整體剛度矩陣的奇異性，可以通過(guò)引入邊界約束條件來(lái)排除彈性體的剛整體剛度矩陣的奇異性，可以通過(guò)引入邊界約束條件來(lái)排除彈性體的剛體位移，以達(dá)到求解的目的。引用邊界條件后，待求節(jié)點(diǎn)未知量的數(shù)目體位移，以達(dá)到求解的目的。引用邊界條件后，待求節(jié)點(diǎn)未知量的數(shù)目和方程的數(shù)目可相應(yīng)的減

38、少。和方程的數(shù)目可相應(yīng)的減少。3.7 約束條件的處理約束條件的處理引入節(jié)點(diǎn)位移最常用的方法有以下兩種：引入節(jié)點(diǎn)位移最常用的方法有以下兩種：計(jì)算機(jī)常用的方法是，以某種方法引入已知的節(jié)點(diǎn)位移（包計(jì)算機(jī)常用的方法是，以某種方法引入已知的節(jié)點(diǎn)位移（包括零約束位移），而保持非常原有的數(shù)目不變，只是括零約束位移），而保持非常原有的數(shù)目不變，只是修正修正K K和和F F中的某些元素中的某些元素，以避免計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)做大的變動(dòng)。，以避免計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)做大的變動(dòng)。2211221144434241343332312423222114131211yxyxFFFFvuvuKKKKKKKKKKKKKKKK設(shè)已知設(shè)已知u u1

39、1=1 1，u u2 2=3 3，則，則3431412332312111221144422422000100000001KKFKKFvuvuKKKKyy若已知節(jié)點(diǎn)若已知節(jié)點(diǎn)i i在在y y方向位移方向位移v vi i，則令，則令K K中的元素中的元素K K（2i2i）（）（2i2i）為為1 1，第，第2i2i行和行和第第2i2i列的其余元素都為零。列的其余元素都為零。F F中的第中的第2i2i個(gè)元素則用位移個(gè)元素則用位移v vi i的已知值代入的已知值代入，F(xiàn) F中的其他各行元素都減去節(jié)點(diǎn)位移的已知值與原來(lái)中的其他各行元素都減去節(jié)點(diǎn)位移的已知值與原來(lái)K K中這行的相應(yīng)元中這行的相應(yīng)元素的乘積。

40、素的乘積。若已知節(jié)點(diǎn)若已知節(jié)點(diǎn)i i在在x x方向位移方向位移u ui i，則令，則令K K中的元素中的元素K K（2i-12i-1）（）（2i-12i-1）為為1 1，第，第2i-12i-1行和第行和第2i-12i-1列的其余元素都為零。列的其余元素都為零。F F中的第中的第2i-12i-1個(gè)元素則用位移個(gè)元素則用位移u ui i的已知的已知值代入，值代入，F(xiàn) F中的其他各行元素都減去中的其他各行元素都減去節(jié)點(diǎn)位移的已知值與原來(lái)節(jié)點(diǎn)位移的已知值與原來(lái)K K中這行的中這行的相應(yīng)元素的乘積相應(yīng)元素的乘積。1. 1. 化化1 1置置0 0法法2. 2. 乘大數(shù)法乘大數(shù)法21533311511122

41、1144434241341533323124232221141312151110101010yyFKFKvuvuKKKKKKKKKKKKKKKK將將K K中與已知節(jié)點(diǎn)位移相關(guān)的主對(duì)角線元素乘上一個(gè)計(jì)算中與已知節(jié)點(diǎn)位移相關(guān)的主對(duì)角線元素乘上一個(gè)計(jì)算機(jī)可接受的充分大的數(shù)，同時(shí)將機(jī)可接受的充分大的數(shù)，同時(shí)將F F中的對(duì)應(yīng)元素?fù)Q上中的對(duì)應(yīng)元素?fù)Q上已知已知節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)位移與與對(duì)角線元素對(duì)角線元素及及同一個(gè)大數(shù)同一個(gè)大數(shù)的乘積。的乘積。設(shè)已知設(shè)已知u u1 1=1 1，u u2 2=3 3，則，則3.8 有限元分析的實(shí)例有限元分析的實(shí)例有限元法的解題過(guò)程有限元法的解題過(guò)程2.2.結(jié)構(gòu)的離散化結(jié)構(gòu)的離散化。

42、包括單元?jiǎng)澐?、?jié)點(diǎn)和單元編號(hào)、節(jié)點(diǎn)坐。包括單元?jiǎng)澐?、?jié)點(diǎn)和單元編號(hào)、節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算。標(biāo)計(jì)算。3.3.等效節(jié)點(diǎn)力的計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力的計(jì)算。按單元逐個(gè)進(jìn)行分析，計(jì)算體積力、表面力和集中按單元逐個(gè)進(jìn)行分析，計(jì)算體積力、表面力和集中力的等效節(jié)點(diǎn)力，進(jìn)行疊加，得到每個(gè)單元的等效節(jié)力的等效節(jié)點(diǎn)力，進(jìn)行疊加，得到每個(gè)單元的等效節(jié)點(diǎn)力載荷。點(diǎn)力載荷。對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)，所有環(huán)繞該節(jié)點(diǎn)的單對(duì)每個(gè)節(jié)點(diǎn)，所有環(huán)繞該節(jié)點(diǎn)的單元節(jié)點(diǎn)力求和，得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的節(jié)元節(jié)點(diǎn)力求和，得到整個(gè)結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)力載荷列陣。點(diǎn)力載荷列陣。1.1.力學(xué)模型的確定力學(xué)模型的確定。根據(jù)工程實(shí)際情況確定問(wèn)題的力學(xué)模型，。根據(jù)工程實(shí)際情況確定問(wèn)題的力學(xué)模型，并按一定

43、比例繪制結(jié)構(gòu)圖，確定尺寸、載荷和約束情況等。并按一定比例繪制結(jié)構(gòu)圖，確定尺寸、載荷和約束情況等。4.4.計(jì)算各單元的剛度矩陣計(jì)算各單元的剛度矩陣。由各單元的常數(shù)。由各單元的常數(shù)b bi i、b bj j、b bm m、c ci i、c cj j、c cm m及單元面積、彈性常數(shù)，計(jì)算各單元的剛度矩陣。及單元面積、彈性常數(shù)，計(jì)算各單元的剛度矩陣。5.5.組裝整體剛度矩陣組裝整體剛度矩陣。將各個(gè)單元的剛度矩陣組集在一起，。將各個(gè)單元的剛度矩陣組集在一起，形成整體剛度矩陣。形成整體剛度矩陣。6.6.建立整體平衡方程，引入約束條件，建立整體平衡方程，引入約束條件，求解節(jié)點(diǎn)位移求解節(jié)點(diǎn)位移。7.7.求解單元應(yīng)力求解單元應(yīng)力。根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移。根據(jù)節(jié)點(diǎn)位移e e表示的節(jié)點(diǎn)應(yīng)