統(tǒng)計學(xué)第七章假設(shè)檢驗及方差分析

1、一、假設(shè)檢驗的意義及程序二、總體均值的假設(shè)檢驗三、總體成數(shù)的假設(shè)檢驗四、總體方差的假設(shè)檢驗（略）五、單因素方差分析六、雙因素方差分析（略）第七章 假設(shè)檢驗與方差分析0一、假設(shè)檢驗的概念什么是假設(shè)：在參數(shù)檢驗中，對總體參數(shù)的具體數(shù)值所作的陳述。就一個總體而言，總體參數(shù)包括總體均值、比例和方差總體均值、比例和方差等；分析之前之前必需陳述。 假設(shè)檢驗(Hypothesis testing)是利用樣本的實際資料檢驗事先對總體某些數(shù)量特征所作的假設(shè)是否可信的一種統(tǒng)計分析方法。 假設(shè)檢驗是從總體參數(shù)所做的一個假設(shè)開始的，然后根據(jù)樣本資料對其假設(shè)進(jìn)行分析檢驗。第一節(jié) 假設(shè)檢驗的基本理論假設(shè)檢驗的過程 拒絕假

2、設(shè)拒絕假設(shè) 別無選擇別無選擇! 作出決策作出決策總體總體有關(guān)人口壽命的分析問題我認(rèn)為人口的平我認(rèn)為人口的平均年齡是均年齡是8080歲歲 某廠生產(chǎn)一批產(chǎn)品，必須檢驗合格才能出廠，規(guī)定合格率為95%，現(xiàn)從中抽取100件進(jìn)行質(zhì)量檢查，發(fā)現(xiàn)合格率為93%，假設(shè)檢驗就是利用樣本指標(biāo)p=93%的合格率，來判斷原來假設(shè)P=95%合格率是否成立。如假設(shè)成立，產(chǎn)品就能出廠，如假設(shè)不成立，這批產(chǎn)品便不能出廠。例例1 1某地區(qū)去年職工家庭年收入為72000元，本年抽樣調(diào)查結(jié)果表明，職工家庭年收入為71000元，這是否意味著職工生活水平下降呢？我們還不能下這個結(jié)論，最好通過假設(shè)檢驗，檢驗這兩年職工家庭收入是否存在顯著

3、性統(tǒng)計差異，才能判斷該地區(qū)今年職工家庭年收入是否低于去年水平。例例2 2二、假設(shè)檢驗的基本原理（一）假設(shè)檢驗的基本思想與小概率原理（則） 1、假設(shè)檢驗的基本思想 是先對所研究的命題提出假設(shè)-無顯著性差異的假設(shè)，然后利用“小概率原理”和“概率反證法”來論證假設(shè)是否成立的一種統(tǒng)計分析方法。 2 2、小概率原理（則）、小概率原理（則）/ /顯著性水平顯著性水平 小概率原理：小概率原理：也就是實際推斷原理，它認(rèn)為在一也就是實際推斷原理，它認(rèn)為在一次實驗中，概率很小的事件，實際上是不可能發(fā)生次實驗中，概率很小的事件，實際上是不可能發(fā)生的；或者說如果在一次觀察中出現(xiàn)了小概率事件，的；或者說如果在一次觀察中

4、出現(xiàn)了小概率事件，那么應(yīng)該否定原有事件具有小概率的說法或者假設(shè)。那么應(yīng)該否定原有事件具有小概率的說法或者假設(shè)。 這個小概率標(biāo)準(zhǔn)就是假設(shè)檢驗中的這個小概率標(biāo)準(zhǔn)就是假設(shè)檢驗中的顯著性水平顯著性水平(Level of significance)(Level of significance)。 顯著水平對應(yīng)的概率度顯著水平對應(yīng)的概率度T T稱為臨界值，記為稱為臨界值，記為T T/2/2。 例如例如=0.05=0.05時，臨界值時，臨界值T T/2/2=1.96=1.96。 3 3、概率反證法：、概率反證法： 概率反證法：概率反證法：如果在其他因素給定的前提下，要證明某一事實（對總體參數(shù)假定）是否成立，

5、只要假設(shè)該事實（參數(shù)只要假設(shè)該事實（參數(shù)假定）成立，在該事實成立的前提下，來證明由該事實（參假定）成立，在該事實成立的前提下，來證明由該事實（參數(shù)假定）和樣本構(gòu)建的統(tǒng)計量的取值落在否定域內(nèi)的概率較數(shù)假定）和樣本構(gòu)建的統(tǒng)計量的取值落在否定域內(nèi)的概率較小，以此來證明假定是否成立的方法。小，以此來證明假定是否成立的方法。 通俗來講所謂反證法思想通俗來講所謂反證法思想是先提出假設(shè)是先提出假設(shè)( (檢驗假設(shè)檢驗假設(shè)H H0 0) )，再，再用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計方法確定假設(shè)成立的可能性大小，如可能性小，用適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計方法確定假設(shè)成立的可能性大小，如可能性小，則認(rèn)為假設(shè)不成立，若可能性大，則還不能認(rèn)為假設(shè)不成立。則認(rèn)

6、為假設(shè)不成立，若可能性大，則還不能認(rèn)為假設(shè)不成立。 （二）假設(shè)檢驗中命題的基本形式 假設(shè)一般包括兩部分： 原假設(shè)H0和備擇假設(shè)H1。 1、原假設(shè)又稱虛無假設(shè)或零假設(shè)。 在假設(shè)檢驗中，通常把被檢驗的那個假設(shè)稱為零假設(shè)在假設(shè)檢驗中，通常把被檢驗的那個假設(shè)稱為零假設(shè)（用符號（用符號H0表示），或者說，研究者想要收集證據(jù)給予反表示），或者說，研究者想要收集證據(jù)給予反駁的假設(shè)。駁的假設(shè)。 原假設(shè)建立的依據(jù)都是已有的、具有穩(wěn)定性的，從經(jīng)驗看，沒有發(fā)生條件的變化，是不會被輕易否定的。 假設(shè)檢驗的基本目的，就在于作出決策：接受原假設(shè)還是拒絕原假設(shè)。2、備擇假設(shè) 備擇假設(shè)又稱擇一假設(shè)，即原假設(shè)被否定之后應(yīng)選擇的

7、、與原假設(shè)邏輯對立的假設(shè)。用H1表示。0010:or HMMHMM0100:MMHMMHOR原假設(shè)和備擇假設(shè)的表現(xiàn)形式： (1) H0: =0； H1: 0 (2) H0: 0； H1: 0 原假設(shè)和備擇假設(shè)是一個完備事件組，而且原假設(shè)和備擇假設(shè)是一個完備事件組，而且相互對立相互對立 在一項假設(shè)檢驗中，原假設(shè)和備擇假設(shè)必有一在一項假設(shè)檢驗中，原假設(shè)和備擇假設(shè)必有一個成立，而且只有一個成立個成立，而且只有一個成立 2.2.先確定原假設(shè)，再確定備擇假設(shè)先確定原假設(shè)，再確定備擇假設(shè)3.等號等號“=”總是放在原假設(shè)上總是放在原假設(shè)上4.因研究目的不同，對同一問題可能提出不因研究目的不同，對同一問題可能

8、提出不同的假設(shè)同的假設(shè)(也可能得出不同的結(jié)論也可能得出不同的結(jié)論)【例【例1 1】一種零件的生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)是直徑應(yīng)為10cm，為對生產(chǎn)過程進(jìn)行控制，質(zhì)量監(jiān)測人員定期對一臺機(jī)床檢查，確定這臺機(jī)床生產(chǎn)的零件是否符合標(biāo)準(zhǔn)要求。如果零件的平均直徑大于或小于10cm，則表明生產(chǎn)過程不正常，必須進(jìn)行調(diào)整。試陳述用來檢驗生產(chǎn)過程是否正常的原假設(shè)和備擇假設(shè)【例【例2 2】一家研究機(jī)構(gòu)估計，某城市中家庭擁有汽一家研究機(jī)構(gòu)估計，某城市中家庭擁有汽車的比例超過車的比例超過30%30%。為驗證這一估計是否正確，。為驗證這一估計是否正確，該研究機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了一個樣本進(jìn)行檢驗。試該研究機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了一個樣本進(jìn)行檢驗。試陳述用于

9、檢驗的原假設(shè)與備擇假設(shè)。陳述用于檢驗的原假設(shè)與備擇假設(shè)。解：解：想收集證據(jù)予以支持的假設(shè)是想收集證據(jù)予以支持的假設(shè)是“該城該城市中家庭擁有汽車的比例超過市中家庭擁有汽車的比例超過30%”30%”。建立的。建立的原假設(shè)和備擇假設(shè)為：原假設(shè)和備擇假設(shè)為：n H0 ： m m 30% H1 ： m m 30%例例3】某品牌洗滌劑在它的產(chǎn)品說明書中聲稱：平均凈含量不少于500克。從消費(fèi)者的利益出發(fā)，有關(guān)研究人員要通過抽檢其中的一批產(chǎn)品來驗證該產(chǎn)品制造商的說明是否屬實。試陳述用于檢驗的原假設(shè)與備擇假設(shè)。（三）雙側(cè)（尾）檢驗與單側(cè)（尾）檢驗 一般地，我們可以將假設(shè)檢驗分為雙側(cè)檢驗和單側(cè)檢驗。具體地說，對總

10、體參數(shù)的檢驗形式常見的有：（1）雙側(cè)檢驗H0：=0，H1：0（2）左側(cè)檢驗H0：0，H1：0 其中(2)和(3)又合稱為單側(cè)檢驗。 在實際問題中到底使用哪種形式的假設(shè)檢驗要根據(jù)實際問題的性質(zhì)和要求來確定。1、雙尾檢驗： 雙尾檢驗中原假設(shè)的特點是，總體參數(shù)的假設(shè)值只取某一個數(shù)值。 具體形式：具體形式： 雙尾檢驗雙尾檢驗H H0 0:=:=0 0；H H1 1:0 01-1-/2/2/2/20雙尾檢驗雙尾檢驗H H0 0:=:=0 0；H H1 1:0 022220UUUUH2UU 在在假假設(shè)設(shè)的的雙雙尾尾檢檢驗驗中中，如如果果檢檢驗驗統(tǒng)統(tǒng)計計量量的的數(shù)數(shù)值值過過大大或或過過小小，都都將將否否定定

11、原原假假設(shè)設(shè)。否否定定域域位位于于正正態(tài)態(tài)分分布布曲曲線線兩兩邊邊，在在顯顯著著性性水水平平 條條件件下下，每每個個尾尾部部的的面面積積分分別別為為，臨臨界界值值為為和和。當(dāng)當(dāng)檢檢驗驗統(tǒng)統(tǒng)計計量量的的數(shù)數(shù)值值時時，就就否否定定原原假假設(shè)設(shè)；時時，認(rèn)認(rèn)為為差差異異不不顯顯著著，就就接接受受原原假假設(shè)設(shè)，見見圖圖：2212()U臨界值2()U臨界值否定域否定域接受域2、單尾檢驗： 理論上，在單尾檢驗的情況下需要對每個假設(shè)參數(shù)進(jìn)行檢驗，但一般只完成個值的檢驗，即在相等點上的檢驗。0單尾檢驗的具體形式：單尾檢驗的具體形式：00100010: :HHmmmmmmmm在單尾檢驗中，如:H，則為左尾檢驗；如

12、:H，則為右尾檢驗，見下圖： 1UU否定域接受域否定域接受域1右尾檢驗左邊檢驗0.051.645 1.64520.1 1.645 1.645UUUU 當(dāng)時，因為正態(tài)分布是雙邊的，當(dāng)單邊檢驗時，取，再查得臨界值，（四）假設(shè)檢驗中的兩類錯誤假設(shè)檢驗中各種可能結(jié)果的概率（四）假設(shè)檢驗中的兩類錯誤 研究者總是希望能做出正確的決策，但由于決策是建立在樣本信息的基礎(chǔ)之上，而樣本又是隨機(jī)的，因而就有可能犯錯誤原假設(shè)和備擇假設(shè)不能同時成立，決策的結(jié)果要么拒絕H0，要么不拒絕H0。決策時總是希望當(dāng)原假設(shè)正確時沒有拒絕它，當(dāng)原假設(shè)不正確時拒絕它，但實際上很難保證不犯錯誤 第類錯誤(錯誤)n原假設(shè)為正確時拒絕原假設(shè)

13、n第類錯誤的概率記為，被稱為顯著性水平o2.第類錯誤(錯誤)n原假設(shè)為錯誤時未拒絕原假設(shè)n第類錯誤的概率記為(Beta)（四）假設(shè)檢驗中的兩類錯誤 在統(tǒng)計檢驗中，不管我們?nèi)绾芜x擇否定域，都不可能完在統(tǒng)計檢驗中，不管我們?nèi)绾芜x擇否定域，都不可能完全避免第一類錯誤和第二類錯誤，也不可能同時把犯兩類全避免第一類錯誤和第二類錯誤，也不可能同時把犯兩類錯誤的危險壓縮到最小。對任何一個給定的檢驗而言，第錯誤的危險壓縮到最小。對任何一個給定的檢驗而言，第一類錯誤的危險越小，第二類錯誤的概率就越大；反之亦一類錯誤的危險越小，第二類錯誤的概率就越大；反之亦然。然。 一般來講，不可能具體估計出第二類錯誤的概率值。

14、第一般來講，不可能具體估計出第二類錯誤的概率值。第一類錯誤則不然，犯第一類錯誤的概率是否定域內(nèi)各種結(jié)一類錯誤則不然，犯第一類錯誤的概率是否定域內(nèi)各種結(jié)果的概率之和。果的概率之和。 被我們事先選定的可以犯第一類錯誤的概率，叫做檢被我們事先選定的可以犯第一類錯誤的概率，叫做檢驗的顯著性水平驗的顯著性水平(用用表示表示)，它決定了否定域的大小。因此，它決定了否定域的大小。因此，有人也把第一類錯誤稱之有人也把第一類錯誤稱之錯誤錯誤 。相應(yīng)地第二類錯誤被人。相應(yīng)地第二類錯誤被人稱為稱為 錯誤。錯誤。1、棄真的錯誤 當(dāng)H0為真時，不否定原假設(shè)當(dāng)然是正確的。但是當(dāng)原假設(shè)H0本來是真實的時候卻也有可能被錯誤地

15、否定掉，這種否定真實原假設(shè)的錯誤稱為第一類錯誤。犯第一類錯誤的概率的大小就是顯著性水平。2、取偽的錯誤 當(dāng)原假設(shè)H0非真時做出接受H0的選擇，這種錯誤稱為第二類錯誤，用表示犯第二類錯誤的概率。由于H0非真的狀態(tài)不是唯一的，因此取偽的概率其數(shù)值也是不確定的。 三、假設(shè)檢驗的步驟 1提出原假設(shè)HO和備擇假設(shè)Hl2給定顯著性水平 以及樣本容量n3確定檢驗統(tǒng)計量，由樣本觀察值計算統(tǒng)計量值4根據(jù)顯著性水平 ，確定統(tǒng)計量的否定域和臨界值。5按檢驗規(guī)則作出接受還是拒絕H0的判斷2Z2Z0 0對假設(shè)檢驗中各個程序的具體解釋對假設(shè)檢驗中各個程序的具體解釋 1 1、提出原假設(shè)和、提出原假設(shè)和備選假設(shè)備選假設(shè)原假設(shè)

16、原假設(shè)( (又稱虛無假設(shè)又稱虛無假設(shè)) )是接受檢驗的假設(shè)，記作是接受檢驗的假設(shè)，記作H H0 0；備選假設(shè)備選假設(shè) ( (又稱又稱替代假設(shè)替代假設(shè)) )是當(dāng)原假設(shè)被否定時的另一是當(dāng)原假設(shè)被否定時的另一種可成立的假設(shè)，記作種可成立的假設(shè)，記作H H1 1；H H0 0與與H H1 1兩者是對立的，如兩者是對立的，如H H0 0真實，則真實，則H H1 1不真實；如不真實；如H H0 0不不真實，則真實，則H H1 1為真實。為真實。 H H0 0和和H H1 1在統(tǒng)計學(xué)中稱為統(tǒng)計假設(shè)。在統(tǒng)計學(xué)中稱為統(tǒng)計假設(shè)。關(guān)于總體平均數(shù)的假設(shè)有三種情況： (1) H0: =0； H1: 0 (2) H0:

17、0； H1: 0以上三種類型，對第一種類型的檢驗，稱雙邊檢驗，因為0，包含0和MSMSw w），），F(xiàn)FFF0.050.05(df(dfb b,df,dfw w), p0.05), p0.05，拒絕零假設(shè)，拒絕零假設(shè)， 說明樣本來自不同說明樣本來自不同的正態(tài)總體，說明處理造成均值的差異有統(tǒng)計意義；的正態(tài)總體，說明處理造成均值的差異有統(tǒng)計意義； 否則否則, FF, F0.05), p0.05不能拒絕零假設(shè)，說明樣不能拒絕零假設(shè)，說明樣本來自相同的正態(tài)總體，處理間無差異。本來自相同的正態(tài)總體，處理間無差異。 二、單因素方差分析二、單因素方差分析： 對單因素試驗結(jié)果進(jìn)行分析，檢驗因素對試驗對單因素試

18、驗結(jié)果進(jìn)行分析，檢驗因素對試驗結(jié)果有無顯著性影響的方法叫單因素方差分析。結(jié)果有無顯著性影響的方法叫單因素方差分析。 單因素方差分析是兩個樣本平均數(shù)比較的引單因素方差分析是兩個樣本平均數(shù)比較的引伸，它是用來檢驗多個平均數(shù)之間的差異，從而伸，它是用來檢驗多個平均數(shù)之間的差異，從而確定因素對試驗結(jié)果有無顯著性影響的一種統(tǒng)計確定因素對試驗結(jié)果有無顯著性影響的一種統(tǒng)計方法。方法。三、單因素方差分析的方法步驟單因素方差分析的方法步驟 提出統(tǒng)計假設(shè)提出統(tǒng)計假設(shè) H H0 0: :m m1 1= =m m2 2=.=.=m mk k H H1 1:H:H0 0不成立（或不成立（或m m1 1m m2 2. .

19、 m mk k） 計算統(tǒng)計量計算統(tǒng)計量F F值值1 1、列表計算下列各值、列表計算下列各值試驗數(shù)據(jù)用試驗數(shù)據(jù)用X Xijij表示表示 i列標(biāo) i =1，2，K j行標(biāo) j = 1，2，n 各水平重復(fù)試驗數(shù)據(jù)之和 （各樣本數(shù)據(jù)之和） 各水平重復(fù)試驗數(shù)據(jù)平方和 （各樣本數(shù)據(jù)平方和）(3) 各水平重復(fù)試驗數(shù)據(jù)和的總和 （全部數(shù)據(jù)之和）(4) 各水平重復(fù)試驗數(shù)據(jù)平方和的總和 （全部數(shù)據(jù)的平方和）njijX121njijXkinjijX11kinjijX1122 2、計算離差平方和、計算離差平方和（1）總離差平方和（2）組間離差平方和（3）組內(nèi)離差平方和222ijTijijXSSXXcNNXcij222

20、2ijijijbiiXXXSScnNn wTbSSSSSS3 3、確定自由度、確定自由度（1）總自由度 dft=N-1 （2）組間自由度 dfb=k-1 （3）組內(nèi)自由度 dfw=N-k=dft-dfb4 4、計算方差、計算方差（1）組間方差 （2）組內(nèi)方差5 5、計算統(tǒng)計量、計算統(tǒng)計量F F值值bbbSSM SdfwwwSSMSdfbwM SFM S（三）查表求臨界值（三）查表求臨界值 F(dfb,dfw) dfb=k-1 dfw=N-k（四）根據(jù)統(tǒng)計量與臨界值進(jìn)行判別（四）根據(jù)統(tǒng)計量與臨界值進(jìn)行判別0.05(,)0.05bwdf dfFFp因素對試驗結(jié)果無顯著性影響0.05(,)0.05bwdfdfFFp因素對試驗結(jié)果有顯著性影響0.01(,)0.01bwdf dfFFp因素對試驗結(jié)果有高度顯著性影響對例1進(jìn)行單因素方差分析43210:mmmmHijx70.69ijx2ijx31.2482ijx方法一方法二方法三方法四13.33.00.43