(完整版)判定平行四邊形的五種方法

1、判別平行四邊形的基本方法如何判別一個四邊形是平行四邊形呢?下面舉例予以說明.一、運用“兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”判別例1如圖1,在平行四邊形ABCD中,E、F在對角線AC上,且AE=CF,試說明四邊形DEBF是平行四邊形.分析:由于已知條件與對角線有關(guān)，故考慮運用“兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”進行判別.為此,需連接BD.解：連接BD交AC于點O.因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AO=CO,BO=DO.又AE=CF,所以AO-AE=CO-CF,即卩EO=FO.所以四邊形DEBF是平行四邊形.二、運用“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”判別例2如圖2，是由九根完全

2、一樣的小木棒搭成的圖形，請你指出圖中所有的平行四邊形，并說明理由.分析:設每根木棒的長為1個單位長度，則圖中各四邊形的邊長便可求得，故應考慮運用“兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形”進行判別.解：設每根木棒的長為1個單位長度，則AF=BC=1，AB=FC=1，所以四邊形ABCF是平行四邊形.同樣可知四邊形FCDE、四邊形ACDF都是平行四四邊形.因為AE=DB=2AB=DE=1,所以四邊形ABDE也是平行四邊形.三、運用“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”判別例3如圖3,E、F是四邊形ABCD的對角線AC上的兩點，AE=CF,DF=BE,DFIIBE，試說明四邊形ABCD是平行四邊形.

3、分析：題目給出的條件都不能直接判別四邊形ABCD是平行四邊形，但仔細觀察可知，由已知條件可得ADFCBE,由此就可得到判別平行四邊形所需的“一組對邊平行且相等”的條件.解：因為DFIIBE，所以ZAFD=ZCEB.因為AE=CF,所以AE+EF=CF+EF，即AF=CE.又DF=BE,所以AADF幻ACBE，所以AD=BC,ZDAF=ZBCE,所以ADIIBC.所以四邊形ABCD是平行四邊形.四、運用“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”判別例4如圖4,在平行四邊形ABCD中，上DAB、上BCD的平分線分別交BCAD邊于點E、F,則四邊形AECF是平行四邊形嗎？為什么？分析：由平行四邊形的性

4、質(zhì)易得AF/EC,又題目中給出的是有關(guān)角的條件，借助角的條件可得到平行線，故本題應考慮運用“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”進行判別.解：四邊形AECF是平行四邊形.理由：因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以AD/BC,ZDAB=/BCD,所以AFIIEC.又因為Z1=-ZDAB,Z2=!ABCD,22所以Z1=Z2因為ADIIBC,所以Z2=Z3,所以Z1=Z3,所以AEIICF.所以四邊形AECF是平行四邊形.判定平行四邊形的五種方法平行四邊形的判定方法有：（1）證兩組對邊分別平行；（2）證兩組對邊分別相等；（3）證一組對邊平行且相等；（4）證對角線互相平分；（5）證兩組對角分別相等

5、。下面以近幾年的中考題為例說明如何證明四邊形是平行四邊形。AF圖1DC一、兩組對邊分別平行如圖1,已知AABC是等邊三角形，D、E分別在邊BC、AC上，且CD=CE，連結(jié)DE并延長至點F,使EF=AE,連結(jié)AF、BE和CF(1)請在圖中找出一對全等三角形，并加以證明；(2)判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說明理由。解：(1)選證BDES5FEC證明：ABC是等邊三角形，.BC=AC,ZACD=60°CD=CE,.BD=AE,EDC是等邊三角形/.DE=EC,ZCDE=ZDEC=60°.£BDE=£FEC=120°又.EF=AE,.BD=FE

6、,.ABDE幻AFEC(2)四邊形ABDF是平行四邊形理由：由(1)知，ABC、AEDC、AAEF都是等邊三角形/CDE=/ABC=ZEF4=60。.AB/DF,BDIIAF四邊形ABDF是平行四邊形。點評：當四邊形兩組對邊分別被第三邊所截,易證截得的同位角相等,內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角相等時,可證四邊形的兩組對邊分別平行,從而四邊形是平行四邊形。二、一組對邊平行且相等例2已知：如圖2,在正方形ABCD中，G是CD上一點，延長BC到E,使CE=CG,連結(jié)BG并延長交DE于F(1) 求證：ABCG幻ADCE;(2) 將ADCE繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到DAE,判斷四邊形EBGD是什么特殊四

7、邊形？并說明理由。分析：(2)由于ABCD是正方形，所以有ABIIDC,又通過旋轉(zhuǎn)CE=AE已知CE=CG,所以E，A=CG,這樣就有BE=GD，可證EBGD是平行四邊形。解：(1)TABCD是正方形，/./BCD=ZDCE=90°又.(&=(£,BCGADCE(2)VADCE繞D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到ADAE,.CE=AE',TCE=CG,.CG=AE',四邊形ABCD是正方形.BEIDG，AB=CD.AB-AE'=CD-CG,艮卩BE'=DG.四邊形DEEG是平行四邊形點評：當四邊形一組對邊平行時，再證這組對邊相等，即可得

8、這個四邊形是平行四邊形三、兩組對邊分別相等例3如圖3所示，在ABC中，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側(cè)作等邊AABD,等邊AACE,等邊厶BCF。求證：四邊形DAEF是平行四邊形;分析：利用證三角形全等可得四邊形DAEF的兩組對邊分別相等，從而四邊形DAEF是平行四邊形。解：ABD和AFBC都是等邊三角形/./DBF+ZFBA=ZABC+ZFBA=60°.ZDBF=ZABC又BD=BA,BF=BC.ABC幻ADBF.AC=DF=AE同理AABCAEFC.AB=EF=AD.四邊形ADFE是平行四邊形點評：題設中存在較多線段相等關(guān)系時，可證四邊形的兩組對邊分別相等，從而可證四邊形是

9、平行四邊形。四、對角線互相平分例4已知：如圖4,平行四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于O,AE丄BD于E,BF丄AC于F,CG丄BD于G,DH丄AC于H,求證：四邊形EFGH是平行四邊形。011分析：因為題設條件是從四個頂點向?qū)蔷€引垂線,這些條件與四邊形EFGH的對角線有關(guān)，若能證出OE=OG,OF=OH,則問題可獲得解決。證明：TAE丄BD,CG丄BD,.ZAEO=ZCGO,-aoe=acog,OA=OC:.AOECOG同理BOFHDOH.OF=OH.四邊形EFGH是平行四邊形點評：當已知條件與四邊形兩對角線有關(guān)時,可證兩對角線互相平分,從而證四邊形是平行四邊形。五、兩組對角相等例5將

10、兩塊全等的含30°角的三角尺如圖1擺放在一起四邊形ABCD是平行四邊形嗎？理由(1)如圖2，將RtHBCD沿射線BD方向平移到RtHB1C1D1的位置，四邊形ABC1D1是平行四邊形嗎？說出你的結(jié)論和理由：。分析：因為題設與四邊形內(nèi)角有關(guān)，故考慮四邊形的兩組內(nèi)角相等解決問題。解：(1)四邊形ABCD是平行四邊形，理由如下：ZABC=ZABD+ZDBC=30°+90°=120。，ZADC=/ADB+ZCDB=90°+30°=120°又ZA=60°，ZC=60。，.ZABC=ZADC，ZA=ZC(2)四邊形abc1D1是平行四邊

11、形，理由如下：將RtHBCD沿射線方向平移到RtHBcD的位置時，有RtHC1BB1RtHADD1.ZC1BB1=ZAD1D，ZBC1B1=ZDAD1.有ZC1BA=ZABD+ZC1BB1=ZC1D1B1+ZAD1B=ZAD1C1，ZBC1D1=ZBC1B1+ZB1C1D1=ZD1AD+ZDAB=ZD1AB所以四邊形ABC1D1是平行四邊形點評：也可這樣證明：由（1）知ABCD是平行四邊形，.AB/CD,將RtBCD沿射線BD方向平移到RtB1C1D的位置時，始終有AB/C1D1,故ABC1D1是平行四邊形。判斷平行四邊形的策略在學習了“平行四邊形”這部分內(nèi)容后，對于平行四邊形的判定問題，可從

12、以下幾個方面去考慮：一、考慮“對邊”關(guān)系思路1：證明兩組對邊分別相等例1如圖1所示，在ABC中，上ACB=90°,BC的垂直平分線DE交BC于D，交AB于E，F(xiàn)在DE上，并且AF=CE.求證：四邊形ACEF是平行四邊形.證明:；DE是BC的垂直平分線,:.DF丄BC，DB=DC.（圖1）:.£FDB=上ACB=90°.1.DF/AC.CE=AE=_AB2/.Z1=Z2.又;EF/AC，AF=CE=AE，2=Z1=Z3=ZF.ACE幻EFA.AC=EF.四邊形ACEF是平行四邊形.思路2：證明兩組對邊分別平行例2已知：如圖2,在AABC中，AB=AC,E是AB的中點

13、，D在BC上，延長ED到F,使ED=DF=EB.連結(jié)FC.求證：四邊形AEFC是平行四邊形.證明：.AB=AC,./B=ZACB.；ED=EB,.ZB=,EDB.Z./ACB=/EDB.:.EFIIAC.；E是AB的中點,.BD=CD.；ZEDB=/FDC,ED=DF,/.EDBFDC.A/DEB=/F.ABICF.A四邊形AEFC是平行四邊形.思路3：證明一組對邊平行且相等例3如圖3,已知平行四邊形ABCD中,E、F分別是AB、CD上的點，AE=CF,M、N分別是DE、BF的中點.求證：四邊形ENFM是平行四邊形.證明：；四邊形ABCD是平行四邊形,AAD=BC,/A=/C.又;AE=CF,

14、.5ADEg5CBF.A/1=/2,DE=BF.；M、N分別是DE、BF的中點，.EM=FN.；DCIAB,./3=/2./1=/3.EMIFN.四邊形ENFM是平行四邊形.E1二、考慮“對角”關(guān)系思路：證明兩組對角分別相等例4如圖4,在正方形ABCD中,點E、F分別是AD、BC的中點.求證：（l）AABE幻ACDF;（2）四邊形BFDE是平行四邊形.證明：（1）在正方形ABCD中,AB=CD,AD=BC,/A=/Cll90°,；AE=AD,CF=BC,22AAE=CF.:.ABEg'CDF.(2)由(1)AABE幻ACDF知，/1=/2,/3=/4.A/BED=/DFB.在

15、正方形ABCD中，上ABC=ZADC,.ZEBF=ZEDF.四邊形BFDE是平行四邊形.三、考慮“對角線”的關(guān)系思路：證明兩條對角線相互平分例5如圖5,在平行四邊形ABCD中，P、P2是對角線BD的三等分點.求證：四邊形apcp2是平行四邊形.證明：連結(jié)AC交BD于O.四邊形ABCD是平行四邊形，OA=OC，OB=OD.BP1=DP2，.OP1=OP2.四邊形apCP2是平行四邊形.（圖5）平行四邊形的識別淺析平行四邊形是初中數(shù)學中的基本圖形，正確識別平行四邊形，是進一步學習矩形、菱形和正方形的基礎。識別平行四邊形是利用邊、角和對角線的特點，而且只需要兩個條件，為了更加清楚哪些條件能或不能識別

16、平行四邊形，我們把這些條件總結(jié)如下。1 利用定義或定理直接識別平行四邊形1.1兩組對邊分別平行，如圖1ABIICDADIIBC。1.2兩組對邊分別相等，如圖1AB=CDAC=BCO1.3兩組對角分別相等，如圖1,ZABC=ZADC,ZBAD=/BCDo1.4一組對邊平行且相等，如圖1ABIICD,AB=CD。1.5兩條對角線互相平分，如圖1,OA=OC,OB=ODo2 利用定義和定理間接識別平行四邊形C2.1 一組對邊平行且一組對角相等，如圖1,ABIICD,/ABC=ZADCo證明:；ABIICD/./ABC+ZBCD=180°又*/ZABC=ZADC/./ADC+ZBCD=180

17、°.ADIBC.四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對邊分別平行）2.2一組對邊平行且兩條對角線交點平分一條對角線，如圖1,ABICD，OA=OCo證明:;ABIICD/./BAC=/DCA在NAOB和NCOD中，ABAC=ADCA,OA=OC,ZAOB=/COD:.AAOBACOD（ASA）:.AB=CD二四邊形ABCD是平行四邊形（一組對邊平行且相等）2.3兩組鄰角互補，而且兩組鄰角要有一個公共角，如圖1,ZDAB+ZABC=180。,ZABC+ZBCD=180。證明：ZDAB+ZABC=180°.ADIIBC又-ZABC+ZBCD=180°ABICD四邊形ABC

18、D是平行四邊形（兩組對邊平行）3不能識別為平行四邊形3.1 兩組不同的鄰角互補，如圖2,ZA+ZB=180。，ZC+ZD=180°,可以畫出梯形。3.2 識別平行四邊形的條件涉及的邊、角相等關(guān)系都是對邊對角，涉及鄰邊鄰角相等的都不能做為平行四邊形識別的條件兩組鄰邊相等，如圖3,AB=AD,CB=CD,不一定是平行四邊形。兩對鄰角相等，如圖4,ZA=ZD,ZB=ZC,可以畫出等腰梯形。3.3 一組對邊平行且另一組對邊相等，如圖4ADIBCAB=CD，也可以畫出等腰梯形。圖23.4 一組對邊相等，一組對角相等，不一定是平行四邊形。反例作圖方法，如圖5:作ZABC,在邊BA上確定點A,在邊

19、BC上確定點C,過點A、B、C作OO1,以點C為圓心，以線段AB長為半徑作OC,以AC為弦作OO1的等/圓OO2,交OC于D、E兩點，則四邊形ABCD為平行四邊形，而四邊形ABCE即為符合條件的非平行四邊形，即AB=CE,ZABC=ZAEC。3.5一組對邊相等，對角線交點平分一條對角線，不一定是平行四邊形。反例作圖方法,如圖6：作線段AB,過線段AB的中點O作直線CD,過點B作BE丄CD,垂足為E,以點E為圓心，小于線段OE的長為半徑作OE,交CD于F、G兩點，以點A為圓心，BF長為半徑作0A,交直線CD于HI兩點，則四邊形AGBH和四邊形AFBI為O102平行四邊形，而四邊形AGBI和四邊形

20、AHBF即為符合條件的非平行四邊形，如在四邊形AGBI中，AI=BG,0A=0B。說明一個四邊形是平行四邊形的思路山東于秀坤平行四邊形是最基本、最重要的一類特殊四邊形如何說明一個四邊形是平行四邊形呢？要說明一個四邊形是平行四邊形，一般可以根據(jù)題目中所給的條件，分別通過下列的思路進行說明一、當已知條件出現(xiàn)在四邊形的一組對邊上時，考慮采用“兩組對邊分別平行或相等的四邊形是平行四邊形”或“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”例1如圖1,在ABC中，AD是角的平分線，DE/AC交AB于點E,EF/BC交AC于點F,試說明AE=CF.圖1分析：由AD是角的平分線，可知Z1=Z2，由DE/AC,可知2

21、2=/3,所以Z1=Z3，即可得AE=ED，要說明AE=CF，可轉(zhuǎn)化為說明ED=EC,因此，只需說明四邊形EDCF是平行四邊形就可以了.解：因為Z1=Z2,Z2=Z3,所以Z1=Z3,所以AE=ED,又因為DE/AC,EF/BC,所以四邊形EDCF是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）所以ED=CF，所以AE=CF.二、當已知條件出現(xiàn)在四邊形是對角上時,考慮“采用兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形”例2如圖2,AE、CF分別是LfABCD的內(nèi)角ZDAB、ABCD的平分線，試說明四邊形AECF是平行四邊形.B圖2解：在.rABCD中，因為ADAB=ABCD，又因為11A1=ZDA

22、B，/2=ABCD,22所以，A1=A2,因為AB/CD,所以A3=A1,A4=A2,所以A3=A4，所以A5=A6,所以四邊形AECF是平行四邊形.三、當已知條件出現(xiàn)在四邊形的對角線上時,考慮采用“兩條對角線互相平分的四邊形是平行四邊形”例3如圖3,在dABCD中，AC、BD相交于O,EF過O分別交AD.BC于E、F,GH過O分別AB.CD交于G、H.試圖3解：在ABCD中，因為AB/CD，所以A1=A2,因為OA=OC,A3=A4,所以AOGS'COH，所以OG=OH,同理OE=OF,所以四邊形egfh是平行四邊形.構(gòu)造平行四邊形解題山東鄒殿敏平行四邊形是一種特殊的四邊形，它的對邊

23、平行且相等，對角相等，對角線互相平分.許多幾何問題可以通過添加輔助線，構(gòu)造平行四邊形加以解決.一、求線段的長例1如圖1,在正AABC中，P為邊AB上一點，Q為邊AC上一點，且AP=CQ.今量得A點與線段PQ的中點M之間的距離是19cm，則P點到C點的距離等于cm.分析：作QD/AB，交BC于點D，連接PD，MD.由ABC為正三角形，易知BP=BD,AP=DQ,所以四邊形APDQ為平行四邊形.所以AMD是平行四邊形APDQ的對角線.所以AD=2AM=2x19=38(cm).由AABACBP可得PC=AD.所以PC=38cm.二、證明線段相等問題圖1例2如圖2,在梯形ABCD中，AD/BC，CB到E，使EB=AD，連接AE.求證：AE=AC.分析:連接BD由AD與BE平行且相等，易知四邊形AEBD是平行四邊形，所以BD=AE.因為AC=BD，所以AE=AC.、證明線段和差問題例3如圖3,ABC中，D,F是AB邊上兩點，且AD=BF,作DE/BC,FG/BC,分別交AC于點E,