(完整版)12-13隨機過程試題B卷答案

1、華中師范大學(xué)20122013學(xué)年第1學(xué)期期末考試試卷(B卷答案)課程名稱應(yīng)用隨機過程課程編號83610101任課教師李波：號學(xué)題型一二三四五總分分值1026302410100得分-線：名姓生學(xué)得分評閱人一、判斷題：(共5題，每題2分)1. 設(shè)B是標準布朗運動，Y=_B+a也是標準布朗運動。(T)-封ttt2. 兩個的泊松過程之和與之差一定是泊松過程。(F)：級年3. 馬氏鏈狀態(tài)與j即使互達，ij也可能有不同的周期。(F)4. 離散鞅是Markov過程。(F)5. 隨機過程X(t,o)可以看成一個二元函數(shù)。(T)-密：業(yè)專得分評閱人二、證明題：(共3題，6題10分7、8題8分,)6.設(shè)X(t)和

2、Y(t)為相互獨立的寬平穩(wěn)過程。證明(t)=X(t)Y(t)是平穩(wěn)過程。解：由于X(t)和丫(t)是相互獨立是平穩(wěn)過程，故：)系（院EZ(t)=E(X(t)Y(t)=EX(t)EY(t)=mm=常數(shù)。XYR(t+t,t)=EX(t+t)Y(t+t)X(t)Y(t)7=EX(t+t)X(t)EY(t+t)Y(t)=R(t)R(t),與t無關(guān)。XYEIZ(t)12=R(0)=R(0)R(0)<g因此Z(t)是平穩(wěn)過程。ZXY7設(shè)N(t)為Poisson過程，對s<t，證明在t時刻到達k次的條件下s時刻達到次數(shù)的概率，即PN(s)=kIN(t)=n服從二項分布。證明：PN(s)=kIN(

3、t)=n=P(N(s)=k;N(t)=n)P(N(t)=n)P(N(s)=k)P(N(t)一N(s)=n一k)e亠(九s”/k!xe一九(t-s)(九(t-s)n-k/(n一k)!P(N(t)=n)e一九t(九t)n/n!n!sk(t一s)n-kk!(n一k)!tn(s1kf1-?1<t丿Lt丿n-k=Ckn8試證連續(xù)時間馬氏鏈的向后微分方程，(t)=QP(t)。證明：由C-K方程有p(t+h)=Xp(h)p(t)jikkjP(t+h)-p(t)=工p(h)p(t)一1p(h)p(t)jjikkjiijkHihT0p(t+h)一p(t)yp(h)limjj=limy-Tkp(t)一qp(

4、t)hT0hhT0hkjiiijkHip'(t)=yqp(t)-qp(t)jikkjiijkHi得到P'(t)=QP(t)稱為向后微分方程。第1頁(共_丄頁)得分評閱人三、計算題：(共3題，每題10分)9.設(shè)顧客以速率的Poisson過程N(t)到達火車站設(shè)火車站時刻離站，問在(0,t區(qū)間內(nèi)乘客的總等待時間的期望。解：由題意設(shè)乘客的到達時間為，貝9等待時間為tii總等待時間為/(t)=蘭(t-)kk二1E(W(t)=)kkk1k1E憂(t-T)IN(t)nnt-E藝tIN(t)nkkk1k1由定理在N(t)=n條件下n個j的聯(lián)合分布等價與0,t止n個相互獨立服從均勻分布的隨機變

5、量k的聯(lián)合分布。所以可計算區(qū)tIN(t)nE區(qū)UnJtxdx-kk0t2k1k1E(W(t)藝(nt-2)PN(t)n2藝nPN(t)nn1n110.某權(quán)威機構(gòu)對主流日用品的三種品A紀C進行顧客消費習慣的調(diào)查，并建立arkov鏈模型,三種品牌間的消費轉(zhuǎn)移概率矩陣為：1/21/20_P=1/31/31/31/61/21/3a) 證明該鏈是遍歷馬氏鏈。b) 試預(yù)估各產(chǎn)品的市場占有率。c) 討論使用產(chǎn)品C的平均間隔(即該狀態(tài)的平均返回時間試解釋實際意義。解：a)因為馬爾可夫鏈是不可約的非周期有限狀態(tài)，所以遍歷b)所以馬爾可夫鏈平穩(wěn)分布存在，由定理可得方程組"兀1/2兀+1/3兀+1/6兀1

6、123兀1/2兀+1/3兀+1/2兀<2123兀0k+1/3k+1/3k3123k+k+k1I123563解上述方程組得平穩(wěn)分布為=兀=兀=-11421431414c)狀態(tài)3的平均返回時間u=4.667,即，認為使用一件產(chǎn)品認為是“一代”33平均使用第4.667代時，重新選用2。11分支過程中一個體產(chǎn)生后代的分布為=,P,P=,初始為一個母體試求第n代個041224數(shù)的均值方差及全體消亡概率。解：X上Znii=1E(X)=卩E(X)=卩nnn-1DX=DZ卩n1+y+L卩n-1=nDZnnEX=1DX=-n，n2/、111,0(s)=s=s+s2,解得消亡概率為=1424得分評閱人四、綜

7、合題：(共2題，每題12分)12.敘述馬氏鏈狀態(tài)的劃分5分!)。應(yīng)用相關(guān)理論討論下例的各個狀態(tài)。設(shè)X,n>0是馬氏鏈，其狀態(tài)空間E=0,1,2,L，轉(zhuǎn)移概率為nP=P=P=ieE,02i,i+12i,02試用轉(zhuǎn)移圖的方法考察狀態(tài)的的常返性和遍歷性，進而討論整個狀態(tài)空間的常返性和遍歷性。定義：常返正常返零常返瞬過略第3頁(共_丄頁)圖略11=，所以一般的我們有2228對狀態(tài)°來說，我們有f=2,f=2-2=4,f=2.1f(n)=丄002nn>1，故耐00丫丄=1,卩。=工nf0o)=Sn2-ng所以狀態(tài)0是正常返的,2nn>10n>1n>1又P010=P

8、0,0=2>o,從而o是非周期的,因此0是遍歷的。因為整個狀態(tài)空間是連通的，所以,oo2oo224oo對任意的狀態(tài)，它都是遍歷的。13用數(shù)學(xué)語言描述布朗運動的主要性質(zhì)，并對一維布朗運動計算E(BB)，E(B4)，ttst解：布朗運動有很多好性質(zhì)比如布朗運動是時齊的獨立增量過程，也是時齊的馬氏過程。布朗運動具有平穩(wěn)增量，且-B的分布就是n維的正態(tài)分布N(0,(t-s).t+hs+h布朗運動是鞅(需寫出鞅性的表達式)布朗運動的數(shù)字特征有cov(B,B)=sAt等。t布朗運動平移變換尺度變換后仍然是布朗運動等布朗運動的幾乎每條樣本軌道是連續(xù)的但對幾乎每條樣本軌道上的任意。一其導(dǎo)數(shù)幾乎處處不存在。等等等等BN(Oq21)tp(x)=e-x2/2Q22兀to*1刁35E(B4)=嚴-X2/2tO2dx='一o41222-)=3b412t