《誤差理論與數(shù)據(jù)管理組織(第6版)》費(fèi)業(yè)泰-課后答案解析全

1、誤差理論與數(shù)據(jù)處理練習(xí)題第一章緒論1-7用二等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)測(cè)量某壓力得100.2Pa，該壓力用更準(zhǔn)確的辦法測(cè)得為100.5Pa，問二等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)測(cè)量值的誤差為多少？【解】在實(shí)際檢定中，常把高一等級(jí)精度的儀器所測(cè)得的量值當(dāng)作實(shí)際值。故二等標(biāo)準(zhǔn)活塞壓力計(jì)測(cè)量值的絕對(duì)誤差二測(cè)得值-實(shí)際值二100.2-100.5二-0.3(Pa)。相對(duì)誤差二二03x100%-0.3%100.51- 9使用凱特?cái)[時(shí)，g由公式g=4n2(h+h)/T2給定。今測(cè)出長(zhǎng)度(h+h)為(1.042301212±0.00005)m，振動(dòng)時(shí)間丁為(2.0480±0.0005)s。試求g及其最大相對(duì)誤差。如

2、果(h+h)12測(cè)出為(1.04220±0.0005)m,為了使g的誤差能小于0.001m/s2,T的測(cè)量必須精確到多少？【解】測(cè)得(h+h)的平均值為1.04230(m),T的平均值為2.0480(s)124兀2由g=(h+h)，得：4兀22.0480T212x1.04230=9.81053也/s2)當(dāng)(h+勺)有微小變化人(牛+勺)、T有AT變化時(shí)，令h二h+hg的變化量為：dgdg4兀28兀2gA(h+h)+gAT=-A(h+h)-(h+h)AT6(h+h)i2drT212T3i2124兀22AT=-A(h+h)-(h+h)T212T12AgIAh譜AT=誓Ah-票hAT4兀2

3、T2(Ah2AThAh2AThTg的最大相對(duì)誤差為：Ag_4K2T2Ah-2ATT4兀2T2(h1+h2)=±0.00005-2x(±°.0005)x1o。SOM%1.042302.0480如果（片+h2）測(cè)出為（1.04220±0.0005）m,為使g的誤差能小于0.001m/s2,即：Ag<0.001A(h+h)-2AT(h+h)<0.00112T12邊0005-號(hào)Tx1.04220<0.0014兀22.04802|±0.0005-1.01778AT<0.00106求得：AT<0.00055(s)1-10.檢定

4、2.5級(jí)（即引用誤差為2.5%）的全量程為100V的電壓表，發(fā)現(xiàn)50V刻度點(diǎn)的示值誤差2V為最大誤差，問該電壓表是否合格？【解】引I用誤差二示值誤差/測(cè)量范圍上限。所以該電壓表的引用誤差為：U2r=亍=100=2%由于：2%<25%mU100m所以該電壓表合格。1-13多級(jí)彈導(dǎo)火箭的射程為10000km時(shí)，其射擊偏離預(yù)定點(diǎn)不超過0km,優(yōu)秀射手能在距離50m遠(yuǎn)處準(zhǔn)確地射中直徑為2cm的靶心，試評(píng)述哪一個(gè)射擊精度高?解：多級(jí)火箭的相對(duì)誤差為10.00=°-°0001=°-°01%射手的相對(duì)誤差為：1cm0.01m50m50m=0.0002=0.002

5、%多級(jí)火箭的射擊精度高。附加1-1測(cè)得某三角塊的三個(gè)角度之和為180000'02”，試求測(cè)量的絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差解：絕對(duì)誤差等于：180。O。'02"180o=2相對(duì)誤差等于：2_21800_180X60X606480000,00000308641Q0,000031%第二章誤差的基本性質(zhì)與處理2-2.試述單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差G和算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差q，兩者物理意義和實(shí)際用途有何x不同？解】單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差表征同一被測(cè)量n次測(cè)量的測(cè)量值分散性的參數(shù)，可作為測(cè)量列中單次測(cè)量不可靠性的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)。82+82+82T2n算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差q是表征同一被測(cè)量各個(gè)獨(dú)立列算術(shù)平均值分散性的

6、參數(shù)，可x作為算術(shù)平均值不可靠性的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)xqJn在n次測(cè)量的等精度測(cè)量列中，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差的當(dāng)測(cè)量次數(shù)n愈大時(shí)，算術(shù)平均值愈接近被測(cè)量的真值，測(cè)量精度也愈高。2- 3.試分別求出服從正態(tài)分布、反正弦分布、均勻分布誤差落在后,+后中的概率?！窘狻浚?）誤差服從正態(tài)分布時(shí)p（±、；2q）=1J+乎e（2q2）d8=2J2qe（2q2）d8qV2兀J2qqV2兀o引入新變量t:t=5,8=tQ，經(jīng)變換上式成為：qP（±%'2q）=2（t）=2x0.4195=0.84=84%QJ2兀o2）誤差服從反正弦分布時(shí)因反正弦分布的標(biāo)準(zhǔn)差為：b二胎2，所以區(qū)間卜

7、血,十丘-a,a'古攵.1ip（±j2g）-f+ad81兀-aJa2-823）誤差服從均勻分布時(shí)因其標(biāo)準(zhǔn)差為：ba;?，所以區(qū)間-耳''2o,+：'2ai11P(±x/2o)J-211、2+匸d8x2xa0.8282%!2a2a2a3-'3a2-4.測(cè)量某物體重量共8次，測(cè)得數(shù)據(jù)（單位為g）為236.45,236.37,236.51,236.34,236.39，236.48，236.47，236.40，求其算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差?！窘膺x參考值x0236.0Q計(jì)算差值A(chǔ)xx-236.00竺和殘差A(yù)v等列于表0ii0i中。序號(hào)XiAxz12

8、36.450.45+0.020.00042236.370.37-0.060.00363236.510.51+0.OS0.00644236.340.:.-0.090.00815236.390.39-0.040.00166236.480.48+0.050.00257236.470.47+0.040.00168236.400.40-0.030.0009x=X。+A.yo=236.43Axo=£YAx,=0.43丈叭=-0.031=1=0.0251f=l或依算術(shù)平均值計(jì)算公式，n=8,直接求得：x-1八-23643（g）計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差：用貝塞爾公式計(jì)算：o二0.06(g)2-6測(cè)量某電路電流共5

9、次測(cè)得數(shù)據(jù)（單位為mA）為168.41,68.54,68.59,68.40,168.50。試求算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差、或然誤差和平均誤差。解：=168.49(mA)二008o=X=踏=0.04xn52=x0.08=0.05R=0.6745o=0.02513-二4X0.08二0.06T=0.7979O-=0.0327在立式測(cè)長(zhǎng)儀上測(cè)量某校對(duì)量具，重復(fù)測(cè)量5次，測(cè)得數(shù)據(jù)（單位為mm）為200015,20.0016,20.0018,20.0015,20.0011。若測(cè)量值服從正態(tài)分布,試以99的置信概率確定測(cè)量結(jié)果。解： 求算術(shù)平均值2lix=4=20.0015mmn 求測(cè)量列單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差=2.5

10、5x10-4mm用貝塞爾公式計(jì)算：b用別捷爾斯公式計(jì)算：b'二1.253*二1.253°.°°°8二2.24x1°-4mmn（n一1）5x4 求算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差b_丄255°-4=1.14x10-4mmxn56'二工二2.24¥°-4=0.0001xn5 求單次測(cè)量的極限誤差和算術(shù)平均值的極限誤差做法1：因n二5較小，算術(shù)平均值的極限誤差應(yīng)按t分布處理?，F(xiàn)自由度為：v二n-1二4;a二1-0.99二0.01,查t分布表有：t二4.60a單次測(cè)量的極限誤差：Sx=±tb二±4.6

11、°x2.55x10-4二1.173<1°-3a1.17x10-3mmlima算術(shù)平均值的極限誤差：Sx=±tb=±4.60x1.14x10-4二5.24x10-4mmlimax寫出最后測(cè)量結(jié)果L=x+6x=Go.OO15土5.24xlO-4'nmlim做法2：因假設(shè)測(cè)量值服從正態(tài)分布，并且置信概率P=2e（t）=99%，則e（t）=0.495，查正態(tài)分布積分表，得置信系數(shù)t=2.6單次測(cè)量的極限誤差：6x=±to=±2.60x2.55x10-4二6.63x10-4u0.00066lima算術(shù)平均值的極限誤差：6x=

12、77;to_二±2.60x1.14x104二2.964x10-4u0.0003limax寫出最后測(cè)量結(jié)果L=x+6x=（20.0015±0.0003）mmlim2-10用某儀器測(cè)量工件尺寸，已知該儀器的標(biāo)準(zhǔn)差。二0.001mm,若要求測(cè)量的允許極限誤差為±0.0015mm，而置信概率P為0.95時(shí)，應(yīng)測(cè)量多少次？解：根據(jù)極限誤差的意義，有o±to_=±t<0.0015xn根據(jù)題目給定得已知條件，有A.n0.001查教材附錄表3有若n二5,v二4,a二0.05，有t二2.78,tv'n2.7815"2.782.236二1.

13、24若n二4,v二3,a二0.05，有t二3.18,tv'n3.18328=1.59即要達(dá)題意要求，必須至少測(cè)量5次。2-11已知某儀器測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差為0.5pm。若在該儀器上，對(duì)某一軸徑測(cè)量一次，測(cè)得值為26.2025mm,試寫出測(cè)量結(jié)果。若重復(fù)測(cè)量10次，測(cè)得值(單位為mm)為26.2025，26.2028，26.2028，20.2025，26.2026，26.2022，20.2023，26.2025，26.2026,26.2022，試寫出測(cè)量結(jié)果。若手頭無該儀器測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差值的資料，試由中10次重復(fù)測(cè)量的測(cè)量值，寫出上述、的測(cè)量結(jié)果。解：?jiǎn)未螠y(cè)量的極限誤差以3。計(jì)算：5x二土3j二

14、土3x0.5二±1.5(im)=±0.0015mm)lim所以測(cè)量結(jié)果可表示為：26.2025±0.0015(mm)重復(fù)測(cè)量10次，計(jì)算其算術(shù)平均值為：x二刃x二26.2025(mm)i6=0.0005=i.58x10-4mmi=1取與相同的置信度，算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差：6=x5x=±36_=±3x1.58x10-4=4.74x10-45x10-4mmlimx則測(cè)量結(jié)果為：x±3_=26.2025L0.0005(mm)x若無該儀器測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差資料，則依10次重復(fù)測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差和表示測(cè)量結(jié)果。選參考值二26.202計(jì)算差值山二x-26

15、.202Ax和殘差v等列于表中。0ii0i用貝塞爾公式計(jì)算：b=2.2x10-4mm算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差：6x2.2x10-4而=0.00007mm序號(hào)XiAxz126.20250.000500226.20280.0008+0.00039X10-3326.20280.0008+0.00039X10-8420.20250.000500526.20260.0006+0.00011X10-8626.20220.0002-0.00039X10-3720.20230.0003P.00024X10-3826.20250.000500926.20260.0006+0.00011X10-81026.20220.

16、0002-0.00039X10-8x=x0+A.xo=26.2025Axo=右=0.000510i=l10丫訐=42x10-bi=l取與相同的置信度，則測(cè)量結(jié)果為：x土$i此時(shí)的測(cè)量結(jié)果為26.2025土3x0.00022=26.2025土0.00066沁26.2025土0.0007(mm)；的測(cè)量結(jié)果為26.2025土3x0.00007=26.2025土0.0002S26.2025土0.0002(mm).2-13測(cè)量某角度共兩次，測(cè)得值為a=24。13'36”，a=24。13'24”，12其標(biāo)準(zhǔn)差分別為。=3.1”，。=13.8”，試求加權(quán)算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差。12解】已知各

17、組測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差，可確定各組的權(quán)。111111p:p二：二：二：二19044:96112G63.1213.829.61190.4412?。簆=19044p二96112選取«0二24。13'36''，可由公式直接計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差:24。13'36''+19044%0+961%(12'')19044+961藝pa_iiaa+i三10£pii124。13'35.4''加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算，先求兩測(cè)量結(jié)果的殘余誤差:v0.6''v11.4”12算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為

18、:pV2ixi19044%0.62+961%(11.4)2(m1)£pi(21)(19044+961)6.6''i12-15試證明n個(gè)相等精度測(cè)得值的平均值的權(quán)為n乘以任一個(gè)測(cè)量值的權(quán)。【證明】因?yàn)榈染葴y(cè)量，可設(shè)n個(gè)測(cè)得值的標(biāo)準(zhǔn)差均為b，且其算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為：6-x又設(shè)各測(cè)量值的權(quán)相等，即：Rp2二p.二p0。n個(gè)相等精度測(cè)得值的平均12i0值的權(quán)為p，則：n個(gè)相等精度測(cè)得值的平均值的權(quán)p與各測(cè)得值的權(quán)p(i1,2-n)xxi11n1的比為P-:P=:=:=n:1xi2O'2O'O'xi.p_=npxi2-17對(duì)某量進(jìn)行10次測(cè)量，測(cè)得數(shù)

19、據(jù)為14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1，15.0，試判斷該測(cè)量列中是否存在系統(tǒng)誤差。解：先計(jì)算算術(shù)平均值：x=14.96。各測(cè)量數(shù)據(jù)的殘余誤差分別為：v=0.26v=0.04v=0.24v=0.16v=0.5412345v=0.36v=0.06v=0.16v=0.14v=0.04678910 根據(jù)殘余誤差觀察法：計(jì)算出的殘余誤差符號(hào)正負(fù)個(gè)數(shù)相同，且無顯著變化規(guī)律，因此可判斷該測(cè)量列無變化的系統(tǒng)誤差存在。 采用不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法。=0.263i按貝塞爾公式：O用別捷爾斯法計(jì)算：O=1.253n(n1)=1.2532=0.26410x9因

20、為：-r=J=T=0.667>>卩=0.004，故無根據(jù)懷疑測(cè)量列存在系統(tǒng)誤差。yjn1J101O令：T=O1（馬利科夫準(zhǔn)則）按殘余誤差校核法：前5個(gè)殘余誤差和與后5個(gè)殘余誤差的差值0.2640.263=1.004=1+卩A二乞v一藝v二0.4（0.4）二0.8iji=1j=6兩部分之差顯著不為0，則有理由認(rèn)為測(cè)量列中含有系統(tǒng)誤差。阿卑-赫梅特準(zhǔn)則n1乙vvii+1i=10.26x0.04+0.04x0.240.24x0.160.16x0.540.54x0.36+0.36x0.06+0.06x0.16一0.16x0.14+0.14x0.04=0.3056-0.3、；nlb2=9x0

21、.263=0.21u、；n1b2=0.21所以測(cè)量列中含有周期性系統(tǒng)誤差（為什么會(huì)得出互為矛盾的結(jié)論？問題出在本題給出的數(shù)據(jù)存在粗大誤差這就提醒我們?cè)谂袛嗍欠裼邢到y(tǒng)誤差前，應(yīng)先剔除粗大誤差，然后再進(jìn)行系統(tǒng)誤差判斷。）2-18、對(duì)某一線圈電感測(cè)量10次，前4次是和一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較得到的，后4次是和另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)線圈比較得到的，測(cè)得結(jié)果如下（單位為mH）:50.82，50.83，50.87，50.89；50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81試判斷前4次和后6次測(cè)量中是否存在系統(tǒng)誤差【解】將兩組數(shù)據(jù)混合排列，用秩和檢驗(yàn)法有:n=4,n=6,T=5.5+7+9+10=31.

22、512T=14,T=30,TT+所以有根據(jù)懷疑存在系統(tǒng)誤差2- 19等精度測(cè)得某一電壓10次，測(cè)得結(jié)果（單位為V）為25.94,25.97,25.98,26.01，26.04，26.02，26.04，25.98，25.96，26.07。測(cè)量完畢后，發(fā)現(xiàn)測(cè)量裝置有接觸松動(dòng)現(xiàn)象，為判明是否因接觸不良而引入系統(tǒng)誤差，將接觸改善后，又重新做了10次等精度測(cè)量，測(cè)得結(jié)果（單位為V）為25.93，25.94，25.98，26.02，26.01,25.90,25.93,26.04,25.94,26.02。試用t檢驗(yàn)法（取a=0.05）判斷兩組測(cè)量值之間是否有系統(tǒng)誤差。x=工x=26.00110S2二工(x-

23、x)2二0.00155x10i【解】計(jì)算兩組測(cè)量結(jié)果的算術(shù)平均值：y二工y二25.97110S2二工(y-y)2二0.00215y10it=(26.001-25.971)10X10(10+10-2)=1.48(10+10)(10x0.00155+10x0.00215)由v=10+10-2=18及取a=0.05，查t分布表，得°二2.1a因FF1.48<2.1，故無根據(jù)懷疑兩組數(shù)據(jù)間存在線性系統(tǒng)誤差。2- 20.對(duì)某量進(jìn)行了12次測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)為20.06，20.07，20.06，20.08，20.10，20.12，20.11，20.14，20.18，20.18，20.21，20

24、.19，試用兩種方法判斷該測(cè)量列中是否存在系統(tǒng)誤差?！窘狻肯扔?jì)算算術(shù)平均值：X=x=20.125。各測(cè)量數(shù)據(jù)的殘余誤差分別為：ii=1v=-0.065v=-0.055v=-0.065v=-0.045v=-0.025v=-0.005123456v=-0.015v=0.015v=0.055v=0.055v=0.085v=0.065789101112 根據(jù)殘余誤差觀察法：計(jì)算出的殘余誤差有規(guī)律地遞增，在測(cè)量開始與結(jié)束時(shí)誤差符號(hào)相反，故可判斷該測(cè)量列存在線性系統(tǒng)誤差。 （馬利科夫準(zhǔn)則）按殘余誤差校核法：前6個(gè)殘余誤差和與后6個(gè)殘余誤差的差值為A=vE=-0.26-0.26=-0.52iii=1i=7兩

25、部分之差顯著不為0，則有理由認(rèn)為測(cè)量列中含有線性系統(tǒng)誤差。 采用不同公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差比較法。罟=0.054按貝塞爾公式：b工lv.li用別捷爾斯法計(jì)算：b=1.2532=1.253空=0.0612x11b0.06011u=t-1=-1=0.11b0.05412=2=0.603>n1：'121=0.11，故無根據(jù)懷疑測(cè)量列存在系統(tǒng)誤差。 阿卑-赫梅特準(zhǔn)則u=0.02Jn_12=11x0.054u0.01i=1因?yàn)椋簎>x：n-b2，所以測(cè)量列中含有周期性系統(tǒng)誤差（又出現(xiàn)互為矛盾的結(jié)論，如何解釋呢？）221對(duì)某量進(jìn)行兩組測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)如下：X.i0.620.861.131.131

26、.161.181.201.211.221.261.301.341.391.411.57y.0.991.121.211.251.311.311.381.411.481.501.591.601.601.841.95試用秩和檢驗(yàn)法判斷兩組測(cè)量值之間是否有系統(tǒng)誤差。解：按照秩和檢驗(yàn)法要求，將兩組數(shù)據(jù)混合排列成下表：Ti23456789101112131415Xi0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.261.30y,0.991.121.211.25T161718192021222324252627282930xi1.341.391.411.57y,1.311.311

27、.381.411.481.501.591.601.601.841.95T=1+2+5+6+7+8+9+10.5+12+14+15+18+20+21.5+25=174z-因珥=n2=1510,秩和T近似服從正態(tài)分布，N（ni（ni；n2+D，斗nin2（ni+n2+D）012nn(n+n+1)、12,122)二24.11求出：由a=(n!(n!+n2+X)=232.5；(t=Ta=-2.43選取概率2o(t)=0.95,即e(t)=0.475，查教材附表1有：i96。由于|t|匕,因此，可以認(rèn)為兩組數(shù)據(jù)間有系統(tǒng)誤差。選取置信概率99%(顯著度0.01)，即取T(t)=0.495，由附錄表1查得:

28、：二2.60由于FI二2.43<t廠2.60，故無根據(jù)懷疑兩組數(shù)據(jù)間有系統(tǒng)誤差。2-22對(duì)某量進(jìn)行15次測(cè)量，測(cè)得數(shù)據(jù)為28.53，28.52，28.50，29.52，28.53，28.53，28.50，28.49，28.49，28.51，28.53，28.52，28.49，28.40，28.50，若這些測(cè)得值已消除系統(tǒng)誤差，試用萊以特準(zhǔn)則、格羅布斯準(zhǔn)則和狄克松準(zhǔn)則分別判別該測(cè)量列中是否含有粗大誤差的測(cè)量值?！窘狻繉⒂嘘P(guān)計(jì)算數(shù)據(jù)：平均值、殘差v等列于表中：i序號(hào)Xi叫匕128.53-0.040.00160.030.000922&52-0.050.00250.020.0004328

29、.50-0.070.004900429.520.950.9025028.53-0.040.00160.030.0009628.53-0.040.00160.030.0009rr2&50-0.070.00490082&49-0.080.0064-0.010.0001928.49-0.080.0064-0.010.0001102&51-0.060.00360.010.00011128.53-0.040.00160.030.00091228.52-0.050.00250.020.0004132&49-0.080.0064-0.010.00011428.40-0.170

30、.0289-0.10.01152&50-0.070.0049007=28.57Z-=0.01r=l丫記=0.98031=114工匕=0.04f=l=0.01481=1直接求得15個(gè)數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值及其標(biāo)準(zhǔn)差：x二15藝皆28.57i=1.'0.980315-1=0.265用萊以特準(zhǔn)則判別粗大誤差因lvJ=°95>%=°.795，故第4個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)含測(cè)量誤差，應(yīng)當(dāng)剔除。罟=°.。337再對(duì)剩余的14個(gè)測(cè)得值重新計(jì)算，得：X'=迓x=28.50c'=14ii=13c'=3x0.0337=0.1011由表知第14個(gè)測(cè)得值的殘余

31、誤差：v'（14）=0.17>3c=0.1011，故也含粗大誤差，應(yīng)剔除。再重復(fù)驗(yàn)算，剩下的13個(gè)測(cè)得值已不包含粗大誤差。用格羅布斯準(zhǔn)則判別已經(jīng)計(jì)算出15個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征量：x=28.57,c=0.265。將測(cè)得的數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，有：x=28.40,X一x=28.57一28.4=0.17（1）（1）x=29.52,x-X=29.52-28.57=0.95（15）（15）首先判別叫是否含有粗人誤差：g（二沁工=迸;浮=3.585查表213得：g°（15,0.05）=2.41貝U：g（i5）=3.585>go（15,0.05）=2.41故第4個(gè)測(cè)得數(shù)據(jù)包

32、含粗大誤差，應(yīng)當(dāng)剔除。再對(duì)剩下的14個(gè)測(cè)得值計(jì)算，判斷x是否含有粗人誤差。已知：7=28.50.b=0.03428.50-28.400.034=28.49,28.40-28.492&40-28.5329.52-28.5329.52-28.49查表214得7(15,0.05)二0.525,因：r22=1.04>(15,0.05)和廠22=0.692(15,0.05)故：)和“5)(即所測(cè)的第4和第14個(gè)測(cè)量值)包含粗人誤差，應(yīng)予剔除。g0(14,0.05)=2.37用狄克松準(zhǔn)則判別將測(cè)得的數(shù)據(jù)按從小到人的順序排列，冇:判斷最小值X與最人值X(15)是否包含粗人誤差。S11=15,以

33、統(tǒng)計(jì)量b和廠22計(jì)算再重復(fù)檢驗(yàn)剩余的13個(gè)測(cè)得值，已不再包含粗人誤差。2-26對(duì)某被測(cè)量x進(jìn)行間接測(cè)量得：2x=1.44,3x=2.1&4x=2.90其權(quán)分別為5:1:1,試求x的測(cè)量結(jié)果及其標(biāo)準(zhǔn)差？1.442.182.90【解】x=0.72,x=0.727,x=0.725,122334選取p=5,p=1,p=1123可由公式直接計(jì)算加權(quán)算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差：x二0.72+二0.72250+1x0.007+1x0.0055+1+1加權(quán)算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算，先求殘余誤差：V-=xx=0.002,V-=0.005,v_=0.003x11x2x3算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為：瓦pv2ixix(m-

34、1)藝pii=1兀D2T",得：;'5X0.0022+1x0.0052+1x0=0.002V(3-1)(5+1+1)6x=±3c_=±3x0.002=±0.006limxx=0.722±0.0062-28測(cè)量圓盤的直徑D=(72.003±0.052)mm，按公式計(jì)算圓盤面積S=兀D2/4，由于選取兀的有效數(shù)字位數(shù)不同，將對(duì)面積S計(jì)算帶來系統(tǒng)誤差，為保證S的計(jì)算精度與直徑測(cè)量精度相同，試確定兀的有效數(shù)字位數(shù)？【解】測(cè)得D的平均值為72.003mm亦x1-04230=981053(m/s2)當(dāng)D有微小變化AD、兀有Ak變化時(shí)，S的

35、變化量為：AS=聲AD+竺A兀QD。兀Ak±0.052=Ak3416X72.°°3x(±0.052)+沁24±0.0525.8813=Ak=±0.0045±0.004k取4位有效數(shù)字V第三章誤差的合成與分配3-2為求長(zhǎng)方體體積V，S接測(cè)量其各邊長(zhǎng)為：a=161.6mm,b=44.5mm,c=11.2mm,已知測(cè)量的系統(tǒng)誤差為Aa=L2mm，Ab=-0.8mm，Ac=0.5mm，測(cè)量的極限誤差為5=±0.8mm，§=±0.5mm，8=±0.5mm，試求立方體的體積及其體積的極限誤差。ab

36、c【解】立方體體積：V二abc，若不考慮測(cè)得值的系統(tǒng)誤差，則計(jì)算體積為：V=abc=161.6x44.5x11.2=80541.44(mm3)0體積V的系統(tǒng)誤差為：考慮測(cè)量系統(tǒng)誤差后的立方體體積：V=Vq-AV=80541.44-2745.744=77795.696彩77795.70(nun3)又直接測(cè)量值存在極限誤差，則間接測(cè)量體積存在的極限誤差為：訂+(子騎+仔CDCC%卩=土J(加叭r+仏爲(wèi)尸-(血戈=±44.5x11.2x(±0.8)2+161.6x11.2x(±0.5)2+161.6x44.5x(±0.5)2二+<398.722+904.

37、962-3595.62二3729.1(nm?)故測(cè)量結(jié)果為：V±5V二77795.70±3729.1(mm3)lim3 3長(zhǎng)方體的邊長(zhǎng)分別為珀,a2,a3測(cè)量時(shí)：標(biāo)準(zhǔn)差均為。；標(biāo)準(zhǔn)差各為。巧、。試求體積的標(biāo)準(zhǔn)差。解：長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式為：V=a-a-a123體積的標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)為：G")2a2+(dV1QV、)2G2da33dV現(xiàn)可求出：二a-ada231dV二a-ada132dV二a-ada123若：a=a=a=a123則有：aV.'"dKddvda1da2'da3dadada'123'123二a：'(aa)2+(a

38、a)2+(aa)2231312若：azaza123則有：a=：(aa)2a2+(aa)2a2+(aa)2a2VV2311321233- 4測(cè)量某電路的電流I二22.5mA,電壓U二12.6V,測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差分別為aI=°.5mA'au=0-1V，求所耗功率P=UI及其標(biāo)準(zhǔn)差aP?！窘狻咳舨豢紤]測(cè)得值的誤差，則計(jì)算所耗功率為：P=UI=12.6X22.5X10-3=0.2835WdPdP-二I二22.5X10-3-二U二12.6dUdI且U、I完全線性相關(guān)，故P=1,所以IdP-dp小dPdPa=,()2a2+()2a2+2paapdUu-iIdUdIuI=*'(22.5

39、xl0-3)20.12+12.62X(0.5xl0-3)2+2x22.5xlO-3x12.6xO.lx0.5xlO-3=8.55x10-3(W)若電壓、電流的測(cè)量結(jié)果相互獨(dú)立，則所耗功率標(biāo)準(zhǔn)差為°右）2e+（可）2e=（2）2+（%）2pdUu61iui=（22.5x10一3x0.1）2+（12.6x0.5x10一3）2''36.69+500625x10-3=6.69x10-3（W）3-6已知x與y的相關(guān)系數(shù)p=-1，試求u=x2+ay的方差°2。xyu【解】屬于函數(shù)隨機(jī)誤差合成問題。3-S如團(tuán)M書所示.坤恕球法測(cè)屋扎的直徑D,茸鋼球宜徑分別為坊，爲(wèi).測(cè)出踵

40、曆分別為旦,冃;謚求披測(cè)孔徑D與各直接測(cè)屋屋的函教關(guān)系爲(wèi)，耳，耳）展幷囁迫傳遞系數(shù)-【坍】由幾何羌系晶求植測(cè)孔徑D=；幽+去1+爲(wèi)一左麗一瓦+瓦5&D丄1+帆一同+鳳&d2L忖+目-足&D_&d.-£i+心_認(rèn)-呵+足SD1d.-d2+2H,-2陽、2屈+旦-HJ仏-碼+HJ&D1+2H,-2H.各宜摟測(cè)呈屋的逞蟄槎遞系數(shù)加下：殖2J何+闔-足）億-園+足）-陽、3-6&D3- 12按公式V=nr2h求圓柱體體積，若已知r約為2cm,h約為20cm,要使體積的相對(duì)誤差等于1%,試問r和h測(cè)量時(shí)誤差應(yīng)為多少?解：若不考慮測(cè)量誤差,圓柱體積

41、為V=n-r2-h=3.14x22x20=251.2cm3根據(jù)題意,體積測(cè)量的相對(duì)誤差為1%,即測(cè)定體積的相對(duì)誤差為：b=1%V即b二V-1%二251.2x1%二2.51現(xiàn)按等作用原則分配誤差,可以求出測(cè)定r的誤差應(yīng)為：b12.511=0.007cm*：2dV/dr1.412兀hr測(cè)定h的誤差應(yīng)為：=2丄-竺丄-0.142cm、.：2dV/dh1.41兀r23-10假定從支點(diǎn)到重心的長(zhǎng)度為l的單擺振動(dòng)周期為T，重力加速度可由公式T=負(fù)£給出。若要求測(cè)量g的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差乂50.1%，試問g按等作用原則分配誤差時(shí)，測(cè)量L和T的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差應(yīng)該是多少？解：由重力加速度公式，T2得,g=T2因?yàn)?/p>

42、，皿XTa_12JL氏TxTbgbt1b&2L因?yàn)闇y(cè)量項(xiàng)目有兩個(gè)，所以n=2。按等作用原理分配誤差，得b=T"=T=T=°=T=Tt、n區(qū)'2812L-28i2L辺瀝%'22g22gdi-baJa12aga-1a吟.盂左厲%2聽吒!藥T苜飛爰L綜上所述，測(cè)量L和T的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差分別是°-07072%=4和035%.】丸.07072%Lv2gv'2第四章測(cè)量不確定度評(píng)定與表示測(cè)量不確定度的步驟可歸納為1）分析測(cè)量不確定度的來源，列出對(duì)測(cè)量結(jié)果影響顯著的不確定度分量。2 ）評(píng)定標(biāo)注不確定度分量，并給出其數(shù)值7和自由度«。3 ）分

43、析所有不確定度分量的相關(guān)性，確定各相關(guān)系數(shù)P口。4）求測(cè)量結(jié)果的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，則將合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度氏及自由度V-5）若需要給出展伸不確定度，則將合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc乘以包含因子k，得展伸不確定度U二kuc。6）給出不確定度的最后報(bào)告，以規(guī)定的方式報(bào)告被測(cè)量的估計(jì)值y及合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc或展伸不確定度U，并說明獲得它們的細(xì)節(jié)。根據(jù)以上測(cè)量不確定度計(jì)算步驟。4 1某圓球的半徑為r，若重復(fù)10次測(cè)量得r±or=（3.132±0.005）cm，試求該圓球最大截面的圓周和面積及圓球體積的測(cè)量不確定度，置信概率P=99%?！窘狻壳髨A球的最大截面的圓周的測(cè)量不確定度其標(biāo)準(zhǔn)不確定度應(yīng)

44、為：u已知圓球的最大截面的圓周為：D二2r=&兀）22=、：4x3.141592x0.0052r二0.0314cm確定包含因子。查t分布表t0.99(9)二3.25,及K二3.25故圓球的最大截面的圓周的測(cè)量不確定度為：U二Ku二3.25x0.0314二0.102求圓球的體積的測(cè)量不確定度4圓球體積為：V二一兀-r33其標(biāo)準(zhǔn)不確定度應(yīng)為：QV)2f:u=c2U兀rJQ2=J16x3.141592x3.1324x0.0052二0.616dr丿r'r確定包含因子。查t分布表t0.01(9)二3.25,及K二3.25最后確定的圓球的體積的測(cè)量不確定度為U二Ku二3.25x0.616二

45、2.0024- 3測(cè)量某電路電阻R兩端的電壓U，由公式I二UR算出電路電流I。若測(cè)得U±c=(16.50土0.05)V、R±b=(4.26土0.02)。相關(guān)系數(shù)p=0.36，試求電流URURI的標(biāo)準(zhǔn)不確定度?！窘狻縄=U/RdidIdURdRR2'旦）2°2+旦何2+2旦生P“auu3rraudRurur-1X0.052+UX0.022-2丄PX0.05x0.02R2R4RR2UR=0.024- 6某數(shù)字電壓表的說明書指出，該表在校準(zhǔn)后的兩年內(nèi)，其2V量程的測(cè)量誤差不超過±（14x10-6讀數(shù)+1x10_6x量程）V,相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差為20%,若按均勻

46、分布，求1V測(cè)量時(shí)電壓表的標(biāo)準(zhǔn)不確定度;設(shè)在該表校準(zhǔn)一年后，對(duì)標(biāo)稱值為1V的電壓進(jìn)行16次重復(fù)測(cè)量，得觀測(cè)值的平均值為0.92857V，并由此算得單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差為0.000036V，若以平均值作為測(cè)量的估計(jì)值,試分析影響測(cè)量結(jié)果不確定度的主要來源,分別求出不確定度分量,說明評(píng)定方法的類別,求測(cè)量結(jié)果的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度及其自由度?！窘狻浚?）測(cè)量誤差根據(jù)相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差為20%1由B類評(píng)定，根據(jù)v二二12.5,V服從均勻分布，2（巳）2u且2V量程測(cè)量誤差（14x10-6讀數(shù)+1x10-6x量程），所以在區(qū)間（x-a,x+a）中a=14x10-6+1x10-6x2=16x10-6=1.6x10-5a

47、1.6x10-573爲(wèi)=9.24x10-6X一年后，對(duì)標(biāo)稱值為1V的電壓進(jìn)行16次重復(fù)測(cè)量X=0.92857V°=0.000036V2）不確定度評(píng)定影響測(cè)量結(jié)果不確定度的主要來源：A16次重復(fù)測(cè)量誤差B電壓表的示值誤差C電壓表的穩(wěn)定度A測(cè)量重復(fù)誤差引起的不確定度V二0.92857Vg二0.000036Vg一二二0.000009VV,16電壓重復(fù)性引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u屬于A類評(píng)定/.u=G-=9x10-6二9|L1V自由度：v=16-1=15x1V1B標(biāo)準(zhǔn)電壓表的示值誤差引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度ux2示值誤差按均勻分布計(jì)算，屬于B類評(píng)定u二14%1匕6竺二8.08xlO-6自由度：v二二1=

48、12.5X2<322(G)22X(20%)uC穩(wěn)定度引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度ux3電壓表穩(wěn)定度按均勻分布，屬B類評(píng)定1X10-6X2u二x3=8.08x10-6自由度：v=12.53合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度u=Ju2+u2+u08x10-6)2+(1.15x10-6)2二28.0x10-6二28.0卩Vc'x1x2x3自由度：v二c二28.0X10-6二28.0"u4cu4u4u4x1+x3vvv1234-9用漏電測(cè)量?jī)x直接測(cè)量正常使用中微波爐的泄漏電流5次測(cè)量的平均值為0.320mA,平均值的標(biāo)準(zhǔn)差為0.001mA;已知漏電測(cè)量?jī)x的示值誤差范圍為±5%，按均勻分布，取相對(duì)

49、標(biāo)準(zhǔn)差為±10%；測(cè)量時(shí)環(huán)境溫度和濕度的影響范圍為±2%，按三角分布，其相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差為±25%;試給出泄漏電流測(cè)量的不確定度報(bào)告（置信概率為99%）?！窘狻?）不確定度評(píng)定對(duì)泄漏電流測(cè)量不確定度影響顯著的因素有：A泄漏電流測(cè)量重復(fù)性引起的不確定度u1B示值誤差引起的不確定度u2C環(huán)境溫度與濕度引起的不確定度u3求u、u、uA測(cè)量重復(fù)誤差引起的不確定度123u=c=0.001mA=IpAv=51=4iV示值誤差（均勻分布）：0.320x5%u2amA二9.24pA1v=2G2(f)2u212x(10%)2二50環(huán)境溫度（三角分布）：0.320x2%二2.61x10-3

50、mA二2.61pA1v二一3G2(f)2u312x(25%)22）不確定度合成因不確定度各個(gè)分量相互獨(dú)立，即P二0，合成的不確定度為：iju=-Ju2+u2+u22二9.65卩V二0.00965mAc123自由度：v二uc4二57.1cu4u4u4vvv123根據(jù)“三分之一準(zhǔn)則”，對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度進(jìn)行修約得u=0.010mA=10卩Ac3）展伸不確定度取置信概率P="%,v=57，查t分布表，得t（57）=2.68,0.99泄漏電流測(cè)量的展伸不確定度為U=ku=2.68x9.65=25.862=0.025862mAc根據(jù)“三分之一準(zhǔn)則”，對(duì)展伸不確定度進(jìn)行修約得U=0.026mA=26卩A4）不確定度報(bào)告1）用合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度評(píng)定泄漏電流，則測(cè)量結(jié)果為：I=0.320mAu=10卩Av=57.1c2）用展伸不確定度評(píng)定泄漏電流，則測(cè)量結(jié)果為：I=(0.320mA土0.026)mAP=0.99v=57第五章最小二乘法原理參數(shù)最小二乘法估計(jì)矩陣形式的簡(jiǎn)單推導(dǎo)及回顧：由誤差方呈V=L-AX且要求VV最小，則：VtV=(