2019學年高一數(shù)學人教A版必修4同步練習：2.3.2平面向量的正交分解、坐標表示及坐標運算(含解析)

1、第二章平面向量2. 3 平面向量的基本定理及坐標表示2. 3.2 平面向量的正交分解、坐標表示及坐標運亠厶學習間標1. 理解向量的坐標表示.2. 掌握向量的相關坐標運算：兩坐標的和、兩坐標的差、數(shù)乘向 量坐標和向量的坐標運算.、平面向量的坐標表示1 .平面向量的正交分解：把一個向量分解為 兩個互相垂直的向量叫做向量的正交分解.2. 在平面直角坐標系中，分別取與 x 軸、y 軸方向相同的兩個單 位向量 i, j 作為基底.對于平面內(nèi)的一個向量 a,由平面向量的基本 定理可知，有且只有一對實數(shù) x、y 使得 a = xi+ yj.這樣平面內(nèi)的任一 向量 a 都可由 x、y 唯一確定，我們把有序數(shù)對

2、( (x, y)叫做向量 a 的坐 標，記作 a= (x, y)，其中 x 叫做 a 在 x 軸上的坐標，y 叫做 a 在 y 軸 上的坐標，a= (x, y)叫做向量的坐標表示.3. 幾個特殊向量的坐標表示.i = (1, 0), j = (0, 1),0= (0, 0).4. 以原點 0 為起點作向量 OA， 設 OA = xi + yj,則向量 OA 的坐標 (x,y)，就是終點 A 的坐標；反過來，終點 A 的坐標(x, y)也就是向量 0A 的坐標.思考應用1. 點的坐標和向量的坐標有什么區(qū)別和聯(lián)系？解析：( (1) )點的坐標是反映點的位置，它由點的位置決定，向量的 坐標反映的是向

3、量的大小和方向，其僅僅由大小和方向決定，與位置 無關；( (2)向量的坐標等于其終點坐標減去其起點坐標，當向量起點在 原點時，向量的終點坐標就等于向量的坐標.二、向量的坐標運算1. 兩個向量和差的坐標運算.若 a=( (X1, y1), b=( (X2, y2) ),貝 S a+ b=(劉 + X2, y“+ y2); a b= (*X2, y1 y2).2. 數(shù)乘向量的坐標運算.若 a= (x, y),貝 S 入尸(入x入 y).3. 向量 AB 的坐標表示.若已知 A(X1, yd,B(X2,y2),則 AB =仕2冷，y?yd.即一個向 量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去始

4、點的坐標.思考應用2. 向量平移前后始點、終點的坐標發(fā)生了變化，而向量本身的坐標卻不變，這怎么解釋呢？解析：解決這個問題的關鍵是探討始點、終點坐標的變化是否會引起向量坐標的變化，向量 AB 經(jīng)過平移以后得到向量CD,這兩個向量 的坐標分別等于其相對應的終點的坐標減去始點坐標，即使對應的始 點、終點坐標不同，但由坐標表示過程中構造的平行四邊形全等可知， 其差值是不變的，所以一個向量的坐標只和表示它的有向線段的始點、 終點的相對位置相關，而與具體位置無關.自測自旺1.若 0(0, 0), A(- 1, 3)且 3 OA,則點 B 的坐標為(B)A. (3, 9)B. (-3, 9)C. (-3,

5、3) D. (3,- 3)解析：(0B= 3 0A= 3(- 1, 3)= (-3, 9),所以點 B 的坐標為(-3, 9).故選 B.2.已知 MlA =( 2, 4), MlB =(2, 6),則*AB=(D)A. (0, 5) B. (0, 1)C. (2, 5) D. (2, 1)M1 1) (12)3.已知 A(0, 0), B運，一 RC-2, 3 ,則(D)A.AB=1 1D.AC+AB= o, 3)A AB=-2 3B.Bb=0,1解析：AB=1， 3 ,BC=( 1, 1),CA=；， 3，AC+AB=4.若點 A( 2, 1), B(1, 3),則BA=( 3, 2).基

6、 I 礎 11 提 I 升1.若 AB=(2, 3),且點 A 的坐標為(1, 2),則點 B 的坐標為( (C)C.(3, 5)D.(4, 4)2. 已知平行四邊形 OABC(O 為原點),(OA= (2, 0), OB= (3, 1), 則0C 等于(A)A. (1, 1) B. (1, 1)C. ( 1, 1) D. ( 1, 1)解析：0C = AB= OB 0A= (3, 1) (2, 0) = (1, 1),故選 A.3. 若向量 a = (1, 1), b= (1, 1), c= ( 1, 2),貝 S c 等于(B)A13口口1A. Qa + qbB ?a?b313 丄人人C

7、?a ?bD. ?a +課時M修A. (1,1)B.(1,4設 a= (4, 3), b= (x, 5), c= ( 1, y)，若 a+ b= c,則(x, y)=_.解析：/ a+ b= c,. (4 + x, 2) = ( 1, y),答案：( (5, 2)n5. 若將向量 a= ( 3, 1)按逆時針方向旋轉得到向量 b,則 b 的坐標為_.答案：( (一 1,3)6. 已知平行四邊形 OABC(O 為原點),OA= (2, 0), 0B= (3, 1), 則OC 等于(A)A. (1,1) B. (1, 1)C. ( 1, 1) D. ( 1, 1)解析：OC = Afe=OBOA=

8、 (3, 1) (2, 0) = (1, 1),故選 A.鞏畫提固7._作用于原點的兩個力 F1=(2, 2), F2=(1, 3)，為使它們平衡， 需加力尸尸3=.答案：( (3, 5)8. 已知 A(2, 3),B(4, 3),點 P在線段 AB的延長線上， 且 Ap =3PB，求點P的坐標.解析：設 P(x, y),由點 P 在線段 AB 的延長線上，且 AP = 2 PB ,(x 2, y 3)= 2(x 4, y+ 3),X=8，y=15.2x 4 = 3x12,x= 82二 P 點的坐標為( (8, 15) ).9. 已知 A( 2, 1), B(1, 7),求線段 AB 的三等分

9、點 P, Q 的坐 標(其中 P 距點 A 近).解析：設 P(x, y),vP 為 AB 的三等分點，二AP=：AB,即(X+2, y 1)= 3( (3, 6).x+ 2= 1,x= 1,?y 1 = 2,y= 3. P( 1, 3)同理可求 Q(0, 5).10. 在正方形 ABCD 中，P 為對角線 BD 上的一點，PECF 是矩 形，用向量方法證明 PA= EF已知若 a = (x, y),則|a|2= x2+ y2).證明：建立如下圖所示的平面直角坐標系，設正方形的邊長為a,則 A(0, a).設|DP|=V入vpia)，則 F今今入入，0) )所以 EF =0,= (1 + 3t, 3t+ 2),二 P(1 + 3t, 3t+ 2).2(1) 若點 P 在 x 軸上，則 2 + 3t= 0,二 t=-3；1(2) 若點 P 在 y 軸上，則 1 + 3t= 0,二 t=-3；1 + 3t0,1(3) 若點 P 在第一象限上，則 c OX n t 3.2+ 3t0,3課堂小轄1. 要清楚向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具 體位置無關，只與其相