2022年高考數(shù)學(xué)考前必做題及答案

1、2022年高考數(shù)學(xué)考前必做題1.如圖，在四棱錐尸-48CD中，底面ABCO為正方形，PA=AB,朋，平面ABC£>,。為棱尸B上一動(dòng)點(diǎn)(包括端點(diǎn))，連接4。、AC. DQ.(1)求證平面以8工平面QAD.(2)求平面QAC與平面QA4所成角的余弦值的最大值.BC【分析】(1)利用線面垂直的性質(zhì)定理證明AO_L/?4,結(jié)合A£)_LA8,可證明A。J平面PAB,由面面垂直的判定定理證明即可；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求出已知點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)Q (a, 0, 1 - a) (0<aWl),利用 待定系數(shù)法求出平面和平面QAC的法向量，將平面Q4c與平面QAD所成角的余

2、弦值用a表示出來，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解最值即可.【解答】(1)證明：在正方形A8C£>中，AD1AB,因?yàn)楦?J平面 ABC£>,ABCD,所以 4£>_LB4,又A8CB4=A, AB, B4u平面以8,所以AD平面以8,又AOu平面QAD,所以平面平面QAD；(2)解：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB, AD, A尸所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角 坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)出=48=40=1,則 A (0, 0, 0), D (0, 1, 0), C (1, 1, 0),設(shè) Q (.a, 0, 1 -a) (OWaWl),所以花= (a, 0,

3、1 - a), AD = (0, 1, 0), AC = (1, 1, 0),設(shè)平面QA£>的法向量為U = (x, y, z), T則 m,AQ = 0,即+ (1 - q)z = 0,m - AD = 0' -。令 z=，則 y=0, x=a - 1,故肅= (a l, 0, a),同理可得£ =1-q, a)為平面Q4C的法向量,所以平面QAC與平面QA。所成角的余弦值為:cos<n, m> =(Q-1)2+q2|m|n| J(al)2+a2-j2(a-l)2+a2J(a-l)2+a2 / :=J2(al)2+a22q22q+13q2-4q+

4、2'令/i(a)=則九'(a)=2q2-2a+l3a24a+2'-2a2+2a = Q)解得。=()或 =i, (3a2-4a+l)所以當(dāng)OWaWl時(shí)，h' (a)恒成立,故人(a)在0, 1上單調(diào)遞增,所以 (a)的最大值為 (1) =1,故平面Q4c與平面QAO所成角的余弦值的最大值為1.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了立體幾何的綜合應(yīng)用，考查了線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的應(yīng)用，在求解空間角的時(shí)候，一般會(huì)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進(jìn)行研究，同時(shí)考查了利用導(dǎo)數(shù)求和函數(shù)最值的應(yīng)用，屬于中檔題.2 .如圖，在四棱錐P-4BCO中，底面A

5、BC。是矩形，PALPD, PA = PD, M, N分別為棱AB,尸。的中點(diǎn)，二面角P-AO-B的大小為60° , AB=3, BC=4.(1)求證：直線MN平面尸BC；(2)求二面角A-PB-C的余弦值.【分析】(1)利用中位線定理證明四邊形M8EN為平行四邊形，從而得到然 后由線面平行的判定定理證明即可；(2)取4。的中點(diǎn)F，BC的中點(diǎn)G,連接PF, FG, PG,則NPFG為二面角尸-4。- 8的平面角，即/尸F(xiàn)G=60° ,在外8中，過點(diǎn)A作于點(diǎn)兒 在PBC中， 過點(diǎn)”作可知4K交BC于點(diǎn)K,然后利用余弦定理求解所需的角和邊，可得 N44K為二面角4-PB-C的平

6、面角，最后在4HK中，由余弦定理求解即可.【解答】(1)證明：取PC的中點(diǎn)E,連接NE, EB,1又因?yàn)镹為尸。的中點(diǎn)，所以在PC£>中，NE/CD,且NE=*C£>,又用為棱A8的中點(diǎn)，貝因?yàn)榈孛?8C3為矩形，所以ABC£>, AB=CD,則 MB/NE 且 MB=NE,故四邊形M8EN為平行四邊形，所以MNEB,又MNC平面PBC, E8u平面PBC,所以直線MN平面PBC；(2)解：取AO的中點(diǎn)F, BC的中點(diǎn)G,連接PF, FG, PG,在以。中，PA=PD,貝IJPFL4。，在矩形ABCC中，可得尸GJ_43,故NPFG為二面角P-A

7、。-B的平面角，即/尸尸G=60° ,又因?yàn)槭?。?=凡PF,尸Gu平面PFG,所以平面PFG,又尸Gu平面尸F(xiàn)G,所以AO_LPG,又因?yàn)锽CAO,故BC1PG,所以PBC是等腰三角形，即PB=PC,在尸8c 中，PF=AD=2, FG=3, NPFG=60° ,由余弦定理可得，PG = V22 + 32 - 2 x 2 X 3 x cos60° = V7,故 pb=pc= ar,在AaiB中，過點(diǎn)A作A，J_P8于點(diǎn)，由余弦定理可得，cosABP = 筆g =6V11 Vil則BH=券，故AH=混,由余弦定理可知，cos4cBp = 叱/711 = 4=>

8、; 8vll VII在PBC中,過點(diǎn)H作HKJ_尸8,可知HK交BC于點(diǎn)K, 8K=3, HK= 格, 則NAHK為二面角A- PB-C的平面角，在矩形ABCO中，可得AK=3四,63,63_18在中，由余弦定理可得，cos/LAHK = = -1OD/所以二面角A- PB-C的余弦值為一夕【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面平行的判定定理的應(yīng)用，二面角的求解，余弦定理的應(yīng)用，解 題的關(guān)鍵是利用二面角的平面角找到對(duì)應(yīng)的角，考查了邏輯推理能力、空間想象能力、 化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題.3 .如圖，在四棱錐 P-ABCC 中，平面以O(shè)J_平面 A8CZ), PA=PD, AB/CD, ABLAD, AB=, A

9、D=2, C£>=3.直線尸8與平面A8CD所成的角為45° .(1)求證：PBtBC；(2)求二面角A- PB-C的正弦值.【分析】(1)取A。的中點(diǎn)O,連結(jié)OB, OC, OP,建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線PB和BC的方向向量，通過兩個(gè)向量數(shù)量積為0,即可證明；(2)求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出平面PBC和平面PAB 的法向量，由向量的夾角公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.【解答】(1)證明：由題意，取AO的中點(diǎn)O,連結(jié)08, OC, OP,因?yàn)橛? PD,則PO_LA。，又平面以O(shè)J"平面A8C£

10、;>,且平面平面ABCO=AO,POu平面 PAD,故 POJ_ 平面 4BC£>,又 4Bu平面 48CD,則 PO_LA5,以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，因?yàn)镻O_L平面ABCD,所以O(shè)B為尸8在平面ABCO內(nèi)的射影，則NP8。為直線P8與平面A8C£>所成的角，所以NP8O=45° , X PO1.OB, AD=2, OA=,所以 PO=OB=&,因?yàn)?AB=1, CD=3,所以 A (1, 0, 0), B (1, 0, 0), C ( - 1, 3, 0), P (0, 0, V2),則而= (1, 1, - V

11、2), BC = (-2, 2, 0),所以病 BC = 1 x (-2) + 1x2 + (-V2) xO = 0,故而 1 BC,即 PB1BC；(2)解：由(1)可知，PB = (1, 1, - V2), BC = (-2, 2, 0), AB = (0, 1, 0),4設(shè)平面PBC的法I可量為n = (x, y, z),則巧母=0,即產(chǎn)；0,1/ BC = 01-2x + 2y = 0令 x=l,則 y=l, z= V2,故 n = (1, 1, V2),設(shè)平面辦8的法向量為肅=(a, b, c),令a =0,則 b=0, c=l,故m = (V2, Or 1),所以|cosVn, m&g