向量的知識點

1、知識結(jié)構(gòu)知識結(jié)構(gòu)t57301p2實際背景實際背景基本定理基本定理坐標表示坐標表示數(shù)量積數(shù)量積向量向量線性運算線性運算向量的實際應(yīng)用向量的實際應(yīng)用基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識1.1.向量的有關(guān)概念向量的有關(guān)概念（1 1）向量：）向量：既有大小，又有方向的量既有大小，又有方向的量. 模為零的向量模為零的向量. .（2 2）向量的模（或長度）：）向量的模（或長度）：（3 3）零向量：）零向量：表示向量的有向線段的長度表示向量的有向線段的長度. .（4 4）單位向量：）單位向量：模為模為1 1的向量的向量. .（8 8）向量的數(shù)量積：）向量的數(shù)量積：（5 5）相等向量：）相等向量：長度相等且方向相同的向量長度相等

2、且方向相同的向量. .（6 6）相反向量：）相反向量：長度相等且方向相反的向量長度相等且方向相反的向量. .（7 7）平行向量）平行向量（共線向量）：（共線向量）：方向相同或相反的非零向量方向相同或相反的非零向量. .ab=| |a|b|cos|cos.2.2.向量定理向量定理（1 1）共線定理：）共線定理： （2 2）基本定理：）基本定理： 向量向量a（a00）與）與b共線，當且僅當共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)有唯一一個實數(shù)，使，使b=a. . 若若e1 1、e2 2是同一平面內(nèi)的兩個不共線是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，則對于這一平面內(nèi)的任意向量向量，則對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一

3、對實數(shù)有且只有一對實數(shù)1 1，2 2，使，使 a1e12e2.知識梳理知識梳理3.3.向量加法的運算性質(zhì)向量加法的運算性質(zhì)（1 1）ab=ba；（2 2）(ab)ca(bc)；（3 3）若若a與與b為相反向量，則為相反向量，則ab0；（4 4）若若bca，則，則cab；（5 5）|ab|a|b|，|ab|a|b|；（6 6）112231nnnO AA AA AAAO A-+=uuuruuuu ruuuu ruuuuuu ruuurL4.4.向量數(shù)乘的運算性質(zhì)向量數(shù)乘的運算性質(zhì)(1)(1) ( (a) )=( () ) a ； (2)(2) ( () ) a =a a；(3)(3) ( (ab)

4、 )=ab；5.5.數(shù)量積的運算性質(zhì)數(shù)量積的運算性質(zhì)（1 1）abba；（2 2）( (a) )b( (ab) )a( (b) )；（3 3）( (ab) )cacbc；（4 4）ab ab0；（5 5）a2 2|a|2 2；（6 6）|ab|a|b|；(7) cos;| |a babq=(8)| |cos.| |a babq=知識梳理知識梳理6.6.向量的坐標表示向量的坐標表示（1 1）設(shè)）設(shè)i、j是與是與x x軸、軸、y y軸同向的兩個單軸同向的兩個單位向量，若位向量，若ax xiy yj，則，則a(x(x，y)y)；（2 2）若點）若點A(xA(x1 1,y,y1 1) )，B(xB(x

5、2 2,y,y2 2) )，則，則 (x(x2 2x x1 1，y y2 2y y1 1).).A Buuu r7、平面向量的坐標運算1若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)；2若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 (x2x1，y2y1)；3若a(x，y)，則a(x，y)；4若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2.8、向量的運算：向量的加減法、數(shù)與向量的乘積及其各運算的坐標表示和性質(zhì)，若a(x1，y1)，b(x2，y2)運算類型幾何方法坐標方法運算性質(zhì)向量的加法1.平行四邊形法則2三角形法則ab(x1x2，y1y2)abba，(ab)ca(

6、bc)向量的減法三角形法則ab(x1x2，y1y2)aba(b)數(shù)乘向量法a是一個向量滿足：0時，a與a同向；0時，a與a異向；0時，a0.a(x，y)(a)()a()aaa(ab)ababab(b0)詳解：數(shù)量積（內(nèi)積）詳解：數(shù)量積（內(nèi)積）aOAbB1B1|cosOBbba在 方向上的投影|cosa bab叫 與 數(shù)量積a b 即a b 記作（也叫內(nèi)積）（也叫內(nèi)積）|a二、向量的模和兩點間距離公式二、向量的模和兩點間距離公式: 1()( , ),ax y向量的模 長度公式 ：設(shè)2121,ABxx yy 則222,aa axy 則222121ABxxyy 11222,A x yB xy設(shè)、22

7、axy或12121.a bx xy y 2221212. ABxxyy 12123.0abx xy y12214. / /abx yx y1212222211225.cos.x xy yxyxy相關(guān)的相關(guān)的 1: 1(3, 1),(1, 2),| |.aba b ab ab 例已知求， 與 的夾角| |ab412125a bx xy y 解2211xy2222. xy5 2cos|a ba b 5 2522 2 2,3 ,2,4 ,.ababab 已知則(0,7),(4, 1)abab法一：22ababab法二：（） （）0 47 ( 1)7.abab （） （）22|13207ab 平面向量坐標的基本運算 已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)設(shè)(1