向量的知識點

1、知識結構知識結構t57301p2實際背景實際背景基本定理基本定理坐標表示坐標表示數(shù)量積數(shù)量積向量向量線性運算線性運算向量的實際應用向量的實際應用基礎知識基礎知識1.1.向量的有關概念向量的有關概念（1 1）向量：）向量：既有大小，又有方向的量既有大小，又有方向的量. 模為零的向量模為零的向量. .（2 2）向量的模（或長度）：）向量的模（或長度）：（3 3）零向量：）零向量：表示向量的有向線段的長度表示向量的有向線段的長度. .（4 4）單位向量：）單位向量：模為模為1 1的向量的向量. .（8 8）向量的數(shù)量積：）向量的數(shù)量積：（5 5）相等向量：）相等向量：長度相等且方向相同的向量長度相等

2、且方向相同的向量. .（6 6）相反向量：）相反向量：長度相等且方向相反的向量長度相等且方向相反的向量. .（7 7）平行向量）平行向量（共線向量）：（共線向量）：方向相同或相反的非零向量方向相同或相反的非零向量. .ab=| |a|b|cos|cos.2.2.向量定理向量定理（1 1）共線定理：）共線定理： （2 2）基本定理：）基本定理： 向量向量a（a00）與）與b共線，當且僅當共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)有唯一一個實數(shù)，使，使b=a. . 若若e1 1、e2 2是同一平面內(nèi)的兩個不共線是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，則對于這一平面內(nèi)的任意向量向量，則對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一

3、對實數(shù)有且只有一對實數(shù)1 1，2 2，使，使 a1e12e2.知識梳理知識梳理3.3.向量加法的運算性質(zhì)向量加法的運算性質(zhì)（1 1）ab=ba；（2 2）(ab)ca(bc)；（3 3）若若a與與b為相反向量，則為相反向量，則ab0；（4 4）若若bca，則，則cab；（5 5）|ab|a|b|，|ab|a|b|；（6 6）112231nnnO AA AA AAAO A-+=uuuruuuu ruuuu ruuuuuu ruuurL4.4.向量數(shù)乘的運算性質(zhì)向量數(shù)乘的運算性質(zhì)(1)(1) ( (a) )=( () ) a ； (2)(2) ( () ) a =a a；(3)(3) ( (ab)

4、 )=ab；5.5.數(shù)量積的運算性質(zhì)數(shù)量積的運算性質(zhì)（1 1）abba；（2 2）( (a) )b( (ab) )a( (b) )；（3 3）( (ab) )cacbc；（4 4）ab ab0；（5 5）a2 2|a|2 2；（6 6）|ab|a|b|；(7) cos;| |a babq=(8)| |cos.| |a babq=知識梳理知識梳理6.6.向量的坐標表示向量的坐標表示（1 1）設）設i、j是與是與x x軸、軸、y y軸同向的兩個單軸同向的兩個單位向量，若位向量，若ax xiy yj，則，則a(x(x，y)y)；（2 2）若點）若點A(xA(x1 1,y,y1 1) )，B(xB(x

5、2 2,y,y2 2) )，則，則 (x(x2 2x x1 1，y y2 2y y1 1).).A Buuu r7、平面向量的坐標運算1若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab(x1x2，y1y2)；2若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 (x2x1，y2y1)；3若a(x，y)，則a(x，y)；4若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2.8、向量的運算：向量的加減法、數(shù)與向量的乘積及其各運算的坐標表示和性質(zhì)，若a(x1，y1)，b(x2，y2)運算類型幾何方法坐標方法運算性質(zhì)向量的加法1.平行四邊形法則2三角形法則ab(x1x2，y1y2)abba，(ab)ca(

6、bc)向量的減法三角形法則ab(x1x2，y1y2)aba(b)數(shù)乘向量法a是一個向量滿足：0時，a與a同向；0時，a與a異向；0時，a0.a(x，y)(a)()a()aaa(ab)ababab(b0)詳解：數(shù)量積（內(nèi)積）詳解：數(shù)量積（內(nèi)積）aOAbB1B1|cosOBbba在 方向上的投影|cosa bab叫 與 數(shù)量積a b 即a b 記作（也叫內(nèi)積）（也叫內(nèi)積）|a二、向量的模和兩點間距離公式二、向量的模和兩點間距離公式: 1()( , ),ax y向量的模 長度公式 ：設2121,ABxx yy 則222,aa axy 則222121ABxxyy 11222,A x yB xy設、22

7、axy或12121.a bx xy y 2221212. ABxxyy 12123.0abx xy y12214. / /abx yx y1212222211225.cos.x xy yxyxy相關的相關的 1: 1(3, 1),(1, 2),| |.aba b ab ab 例已知求， 與 的夾角| |ab412125a bx xy y 解2211xy2222. xy5 2cos|a ba b 5 2522 2 2,3 ,2,4 ,.ababab 已知則(0,7),(4, 1)abab法一：22ababab法二：（） （）0 47 ( 1)7.abab （） （）22|13207ab 平面向量坐標的基本運算 已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)設(1