高等數(shù)學(xué)2017年最新課件數(shù)學(xué)精神與方法第七講.

1、數(shù)學(xué)精神與方法數(shù)學(xué)精神與方法第七講第七講 運(yùn)算與迭代的威力（三）運(yùn)算與迭代的威力（三）3.3 3.3 迭代產(chǎn)生的混沌與分形迭代產(chǎn)生的混沌與分形回顧自然數(shù)的基本原理之一回顧自然數(shù)的基本原理之一遞歸原理：遞歸原理： 清楚了。理。這已在第五講中講正是基于上面的遞歸原本質(zhì)上運(yùn)算，其定義的合理性歸方式定義的；這兩種是用遞法和乘法兩種運(yùn)算，都例如，自然數(shù)系中的加。出遞歸定義的理論依據(jù)上述定理是我們可以做且，滿足的映射的唯一到素。那么，存在的任一個(gè)事先給定的元是為一個(gè)映射，是一個(gè)集合，設(shè) . , 0 : nnfnfafSfSSaSSS遞歸原理無限次迭代會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象？無限次迭代會(huì)發(fā)生什么現(xiàn)象？ 加法和乘法連

2、同其逆運(yùn)算（減法和除法）的威力在上一講我們已有所加法和乘法連同其逆運(yùn)算（減法和除法）的威力在上一講我們已有所感受。想一想，感受。想一想，“數(shù)形合一數(shù)形合一”的實(shí)現(xiàn)，竟然是對(duì)自然數(shù)無限次地運(yùn)用簡(jiǎn)單四的實(shí)現(xiàn)，竟然是對(duì)自然數(shù)無限次地運(yùn)用簡(jiǎn)單四則運(yùn)算的結(jié)果。那么，我們?cè)隗@嘆則運(yùn)算的結(jié)果。那么，我們?cè)隗@嘆“萬物皆數(shù)萬物皆數(shù)”此言不虛的同時(shí)，能不感受此言不虛的同時(shí)，能不感受運(yùn)算運(yùn)算尤其是無限次運(yùn)算尤其是無限次運(yùn)算的震撼嗎？！感謝上蒼讓我們，按邏輯給予的震撼嗎？！感謝上蒼讓我們，按邏輯給予的啟示，憑借自身心靈的力量就學(xué)會(huì)了無限次運(yùn)算。的啟示，憑借自身心靈的力量就學(xué)會(huì)了無限次運(yùn)算。 在此，我們提醒大家，不要忘

3、記遞歸原理和數(shù)學(xué)歸納法原理的作用，在此，我們提醒大家，不要忘記遞歸原理和數(shù)學(xué)歸納法原理的作用，不要無視不要無視“無限無限” 的觀念所蘊(yùn)含的超越性力量。的觀念所蘊(yùn)含的超越性力量。SSSSSafffffNNNNN.迭代與動(dòng)力系統(tǒng)迭代與動(dòng)力系統(tǒng) 自然界中的許多現(xiàn)象，是由嚴(yán)格的因果關(guān)系所支配的。例如，月亮的陰晴圓缺、四季的交替更迭、日食和月食的發(fā)生等等。這一類完全由因果關(guān)系支配的系統(tǒng)，叫做決定性系統(tǒng)。研究決定性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)分支，稱作動(dòng)力系統(tǒng)理論。 決定性系統(tǒng)的基本特征是：在這個(gè)系統(tǒng)中，今日的種種現(xiàn)象，是昨日種種現(xiàn)象的必然結(jié)果；而明日種種現(xiàn)象，又以今日的種種現(xiàn)象為其原因。這就是說，從系統(tǒng)的初始狀態(tài)出發(fā)，依

4、據(jù)系統(tǒng)的因果規(guī)律，將確定系統(tǒng)的未來的一切。 從數(shù)學(xué)的角度看，一個(gè)映射:SS 可以代表某種因果規(guī)律，其定義域 S 用于表示系統(tǒng)的各種可能狀態(tài)構(gòu)成的集合。設(shè) x0S 表示一個(gè)初始狀態(tài)，那么由狀態(tài) x0 到下一個(gè)狀態(tài)(x0) 就是因果規(guī)律 在起作用；設(shè)想這種規(guī)律相繼地不斷作用下去，我們就會(huì)得到一個(gè)狀態(tài)的序列一個(gè)迭代序列： x0， x1=(x0) ， x2 =(x1) ， x3 =(x2) ，。 動(dòng)力系統(tǒng)理論的基本目的就是了解一個(gè)迭代過程之最終的或漸進(jìn)的性態(tài)。迭代這一數(shù)學(xué)模式成為描述決定性系統(tǒng)的理想工具。迭代這一數(shù)學(xué)模式成為描述決定性系統(tǒng)的理想工具?；靖拍罨靖拍?子動(dòng)力系統(tǒng)。上所定義的動(dòng)力系統(tǒng)的在

5、，稱之為上的一個(gè)離散動(dòng)力系統(tǒng)可以定義出不變集。此時(shí)，的為，則稱適合，如果對(duì)于連續(xù)映射定義。合記作的全體周期點(diǎn)組成的集的軌道稱為周期軌道。周期點(diǎn)。周期點(diǎn)為的真周期，此時(shí)亦稱叫做成立的最小正整數(shù)得的一個(gè)周期點(diǎn)，并將使為，則稱使得動(dòng)點(diǎn)；如果存在正整數(shù)的不為，則稱適合，如果對(duì)于連續(xù)映射定義的軌道。簡(jiǎn)稱的正向軌道，以下我們稱作表示自然數(shù)系其中我們記及初始點(diǎn)所定義的離散動(dòng)力系統(tǒng)對(duì)于由連續(xù)映射定義或離散動(dòng)力系統(tǒng)。所定義的半動(dòng)力系統(tǒng)，為由稱迭代序列是一個(gè)連續(xù)映射。我們是一個(gè)度量空間，設(shè)定義XAAAAAAXAXXnxxnxxxxxnxxxXxXXxxkxxXxXXidXXXnnkkkX:4Per:3)(Orb,

6、:2,:1000001210, NN混沌的數(shù)學(xué)描述 注注：在動(dòng)力系統(tǒng)理論中，對(duì)混沌有許多可行的定義，我們選擇的定義適用面較寬且較易檢驗(yàn)。 。義為之間的并行間隙度，定與表示軌道其中，且適合點(diǎn)列，存在，使得對(duì)于任一點(diǎn)，即，存在常數(shù)對(duì)初始值是敏感相依的）（；中稠密，即在合的全體周期點(diǎn)組成的集）（中稠密）；在（意思是，有的任一非空開集是拓?fù)鋫鬟f的，即，對(duì)）（上是混沌的：在）三條成立，便稱）和（），下述（是一個(gè)連續(xù)映射。如果是一個(gè)度量空間，設(shè)xxxxxxxxxxxxXxXxXXXUXUUXXXXXknkknnnnnnnnkkkk,dsup:Orb,OrbdOrbOrbOrb,OrbdOrb,Orbdin

7、f, 0,dlim03PerPer21321:d,0000定義5定義5 在著一定的規(guī)則因素。則反映出這種系統(tǒng)中存混沌系統(tǒng)的。，使得和兩個(gè)不能同時(shí)有這樣的，互無干的子系統(tǒng)，亦即系統(tǒng)不能分解成兩個(gè)相可分解性，即，混沌，意味著這種系統(tǒng)的不混沌動(dòng)力系統(tǒng)的要意義和影響了。界具有重動(dòng)力系統(tǒng)為什么對(duì)科學(xué)共識(shí)，就不難理解混沌“永動(dòng)機(jī)”不可制造的達(dá)成的想一想科學(xué)界好不容易具有重要意義和影響。在認(rèn)識(shí)論和方法論方面科學(xué)界混沌系統(tǒng)的這一屬性對(duì)則上不能做長(zhǎng)期預(yù)測(cè)。所以，對(duì)混沌系統(tǒng)，原；都無關(guān)和與注意，于是混沌動(dòng)力系統(tǒng)，具測(cè)呢？長(zhǎng)期預(yù)么，對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)能否做程預(yù)測(cè)總是可行的。那因此，對(duì)動(dòng)力系統(tǒng)做短；因?yàn)榈倪B續(xù)性，由：對(duì)任意的

8、周期點(diǎn)稠密性周期點(diǎn)稠密性, ,的，并且的，并且都是非空的，即開又閉都是非空的，即開又閉與與不變子集不變子集拓?fù)鋫鬟f性拓?fù)鋫鬟f性對(duì)初值的敏感依賴性對(duì)初值的敏感依賴性評(píng)注評(píng)注B BA AX XB BA AB BA ABAXXxxxxxxxxmnknkknnnknkmkn:00,dsuplim0,dlim0,dsuplim00N附錄附錄 度量空間的概念度量空間的概念 。個(gè)度量空間，記作構(gòu)成了一連同其上的距離；此時(shí)，我們說上的一個(gè)度量，或距離為那么稱（三角不等式）（對(duì)稱性）（正定性），并且，）（適合映射是一個(gè)非空集合，如果設(shè)d,X,d,d,d,d,d3,d,d2, yx0,d0,d1:dXXyzzxy

9、xxyyxyxyxXXXR定義定義 的稠密子集。是中是稠密的，或稱在，那么我們就說如果為完全閉集。，則稱為完全集；如果稱，則為閉集；如果，則稱為開集。如果，則稱如果的內(nèi)部，導(dǎo)集與閉包。分別為和，并稱使得，其中使得的一個(gè)子集。我們記是是一個(gè)度量空間，設(shè)XAXAXAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAxxxAxXxAxuXuxAxXxAXAXoonnno,0,dlim,d,B,B0d,定義定義的子空間。簡(jiǎn)稱的誘導(dǎo)子空間，稱之為了度量空間的度量，這就自動(dòng)生成就自動(dòng)構(gòu)成了上限制在的一個(gè)非空子集，那么是是一個(gè)度量空間，設(shè)d,d,d,dd,00000XXXXXXXXX定義定義混沌動(dòng)力系統(tǒng)的例子混沌動(dòng)力系

10、統(tǒng)的例子例例1 符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)（試證之）項(xiàng)相同。的前，則反之，若，則項(xiàng)相同，即，的前若題：另外，不難證明下列命。）（；）（時(shí)成立；，且等號(hào)僅在）（述三條成立：構(gòu)成度量空間，即，下易知，。類似表示并在其上定義度量或：，所組成的序列空間與考慮由兩個(gè)字母，例如1,21,d;21,d), 1 , 0(1,d,d,d3,d,d20,d1d,2:,d,), 2 , 1 , 0(10:10222210021022nninknniikkkkk命題命題 動(dòng)力系統(tǒng)。，稱作兩個(gè)字母的符號(hào)所定義的離散動(dòng)力系統(tǒng)是連續(xù)的）（不難證明上的移位映射上的移位映射；由所定義，稱作由設(shè)映射2222103212,:2 2:

11、 :定義6定義6上是混沌的。上是混沌的。 在在移位映射移位映射定理1定理12 2理：我們現(xiàn)在來證明下述定 證畢對(duì)初值是敏感相依的。此蘊(yùn)含著；，并且那么，時(shí)。，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，其中，命，對(duì)）。；故，并且，那么，命對(duì)）是拓?fù)鋫鬟f的。；從而于是，。從而，使得則命）分三步給出證明。1,d,dsupOrb,Orbd021,d1001003Per021,dPer,2Orb21,d,000011111010110001101000100011100100101111101111102210210210210210nnnnnknkknnnnnnnnnnnnnnnmnmnnnnmnNNNN證明證明例例2 單位圓周上的

12、混沌系統(tǒng)單位圓周上的混沌系統(tǒng)上是混沌的。上是混沌的。在S在S定理2定理2C C1 1 。上的自映射誘導(dǎo)?？紤]復(fù)平面上的標(biāo)準(zhǔn)度量所并且其上配備的度量由，間，即，的單位圓周構(gòu)成的字空上表示復(fù)平面以211111,SS:S1SSzzzz C 證畢對(duì)初值是敏感相依的。這就證得。且，我們有，那么命，設(shè)）對(duì)（。次單位根。由此可見，周期點(diǎn)就是的亦即，其中，即，周期點(diǎn)，那么的是）設(shè)（是拓?fù)鋫鬟f的。由此立即可知，從而有充分大，使現(xiàn)取使得，那么存在的一個(gè)非空開集，設(shè)是）如果（。易知，我們有21eOrb,Orbd0lim, 2 , 1 , 0eeS3SPer1222, 1, 0122eeSe2Se2.e0eS1)S(

13、2i2ii11ii21i1iii1121nnnnnnnnnnntnnntnzzzzzznzzznkknztUnUtUUzzznnn證明證明例例3 Logistic映射映射f?(x)=?x(1-x) 的一個(gè)不變集。是當(dāng)然，托集中的軌道則構(gòu)成一個(gè)康，而始終留在向出發(fā)的軌道都將最終趨的從此開稠集中任一點(diǎn)使得，中便有了一個(gè)稠密開集，那么一旦的不變子集；是，之中，即單位區(qū)間，出發(fā)的軌道仍在，的從時(shí)，當(dāng)局性變化：相圖在性態(tài)上發(fā)生了全的軌道的整體時(shí)，變?yōu)榇笥趶男∮诮y(tǒng)；當(dāng)參數(shù)都定義一個(gè)離散動(dòng)力系數(shù)每個(gè)二次函）映射。此函數(shù)族中的作邏輯斯蒂（統(tǒng)理論中非常著名，稱沌動(dòng)力系。這個(gè)二次函數(shù)族在混，參數(shù)考慮二次函數(shù)族ff

14、fxfffxxxf10104101010444Logistic01 。的定義是上是混沌的，其中在康托集時(shí)，上是混沌的；當(dāng)在單位區(qū)間1,0,1,0141,0144xfnxxxxfxxxfnN定理3定理3開區(qū)間）。，它不包含任何非空的）和完全不連通的（即果它是完全閉的（即，稱作是一個(gè)康托集，如的一個(gè)子集，單位閉區(qū)間 定義定義10?的的構(gòu)構(gòu)造造 與與它它上上面面的的軌軌道道?的的構(gòu)造說明構(gòu)造說明0I1I0Ayx110 x1x2x3x4x5x 。，。，間滿區(qū)間的每一個(gè)都單調(diào)地映個(gè)閉區(qū)把這并且，；，組成，例如，個(gè)兩兩分離的閉區(qū)間由，：的開區(qū)間組成。需指出個(gè)兩兩嚴(yán)格分離由其中，那么命xfxfAAAAAfA

15、xfxAnnnnnnkknnnnnnlim102II102102,10,II11100100110 。使得且；單調(diào)減地映滿，而將單調(diào)增地映滿將且那么，。命的最大值時(shí)，）當(dāng)（上是混沌的。在可得到是連續(xù)滿射，我們因此上是混沌的，并注意在，由例其中交換圖，我們考察下面的映射）對(duì)（性態(tài)。解邏輯斯蒂映射的混沌更好地幫助我們了理的證明概要，這可以我們?cè)诖藘H給出上述定AxfnxffAAfxffghxxxfxxkxxhzzgzzhgfkhgxfnN定理3的證理1,01,0,1,0I1,0I,1,0II,42121,42121,1,42121I,42121,0I1421421 , 0S2.14, 12,121,

16、Re,1,01,1S1,01,1S1101010414221414 證畢上是混沌的。在為同胚，故上是混沌的，又在，由例上的移位映射。是其中射交換圖的同胚，并有如下的映到是從那么，時(shí)。當(dāng)時(shí)，當(dāng)其中如下：現(xiàn)定義fhhfhhxfxfxxxxxxhhnnnn222221021021I, 1I, 0,: 怎樣的性態(tài)變化？及的軌道有怎樣的性態(tài)以時(shí)，也就是問，當(dāng)而終于出現(xiàn)混沌的呢？漸演變?yōu)閺?fù)雜，的軌道是如何從簡(jiǎn)單逐的增加，著一個(gè)有趣的問題是：隨異常復(fù)雜。有混沌現(xiàn)象，迭代軌道時(shí)，研究的一清二楚；當(dāng)單，已被的迭代軌道的性態(tài)很簡(jiǎn)時(shí)，在此我們指出：當(dāng)xffxfxxxf43413倍周期分支與倍周期分支與Feigenb

17、aumFeigenbaum現(xiàn)象現(xiàn)象 隨著隨著參數(shù)參數(shù) ? 的增大，的增大，f?(x)=?x(1-x) 的相圖的相圖的演變規(guī)律的演變規(guī)律x?1421316123混混 沌沌 區(qū)區(qū)0分支圖的解釋分支圖的解釋 周期軌道；穩(wěn)定的條穩(wěn)定的后失穩(wěn)，并隨即出現(xiàn)一越過周期點(diǎn)在穩(wěn)定的，使得列的一個(gè)嚴(yán)格增的有界序現(xiàn)一個(gè)規(guī)律：存在參數(shù)繼續(xù)考察下去，可以發(fā)的穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)。都是，并且，即其中的兩點(diǎn)滿足，周期軌道出現(xiàn)了一條穩(wěn)定的時(shí)，導(dǎo)致當(dāng)時(shí)發(fā)生了失穩(wěn)狀況，這變?yōu)榇笥谟尚∮谠趨?shù)值得注意的是：點(diǎn)；也變成一個(gè)不穩(wěn)定不動(dòng)同時(shí)的一個(gè)不穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)，為時(shí)，當(dāng)周期點(diǎn)。除不動(dòng)點(diǎn)外，沒有其他的穩(wěn)定度很低；，此時(shí)，為，吸引區(qū)間為它的一個(gè)穩(wěn)定不動(dòng)

18、點(diǎn)而的一個(gè)不穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)，為時(shí)，當(dāng)周期的周期點(diǎn)。周期點(diǎn)）外，沒有其他除不動(dòng)點(diǎn)（即時(shí)，注意，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)。則成為它的一個(gè)穩(wěn)定不而的一個(gè)不穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)，變?yōu)闀r(shí)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)；排斥右吸引的半穩(wěn)定不重合，此時(shí)不動(dòng)點(diǎn)為左和的不動(dòng)點(diǎn)時(shí)，當(dāng)；和一個(gè)不穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)有一個(gè)穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)時(shí)，當(dāng)。和的不動(dòng)點(diǎn)為映射，對(duì)于21,10,2613333103-1303111 , 0101101Logistic01121110111010111110111011031130101011010kkfxxxxxxfxxfxxfxxfxfxxfxfxfxxxfxxfxxxxxf 時(shí)，才出現(xiàn)混沌。越過即穩(wěn)定時(shí)，當(dāng)其所有周期軌道均不清，邏輯斯蒂映射只有由分

19、支圖，我們可以看性。們?cè)谖锢砩暇哂锌捎^測(cè)周期點(diǎn)的出現(xiàn)，因?yàn)樗@里，我們僅關(guān)心穩(wěn)定常數(shù)。稱為常數(shù)現(xiàn)象，觀察到，因此稱為年被美國(guó)物理學(xué)家首先在現(xiàn)象體形式似乎無關(guān)。這個(gè)間上光滑自映射族的具，具有普適性，它與區(qū)尤其是。收斂，比例）；收斂，且）一些更有趣的現(xiàn)象通過計(jì)算，還可以發(fā)現(xiàn)。：岔點(diǎn)，由下述關(guān)系確定中各項(xiàng)都稱為倍周期分?jǐn)?shù)列象。是著名的倍周期分岔現(xiàn)。這就周期軌道；條穩(wěn)定的后失穩(wěn)，并隨之產(chǎn)生一越過周期軌道在周期軌道；繼而穩(wěn)定的條穩(wěn)定的后失穩(wěn)，并隨即產(chǎn)生一越過周期軌道在FeigenbaumFeigenbaumFeigenbaum. J .M1978669201609. 4lim2569945672. 3l

20、im11,844211112213211kkkkkkkkkkkkkkxfdxdxxfkkkk迭代與分形（迭代與分形（fractalfractal） 例例3中的中的Logistic映射映射f?(x)=?x(1-x) ，當(dāng)，當(dāng)?大于大于4時(shí)，時(shí)，會(huì)在單位區(qū)間會(huì)在單位區(qū)間0,1中中產(chǎn)生一個(gè)不變集產(chǎn)生一個(gè)不變集?，使得，使得f?(x)在在?上是混沌的。上是混沌的。 ?是一個(gè)是一個(gè)康托集，其幾康托集，其幾何形態(tài)呈現(xiàn)出復(fù)雜的不規(guī)則性。值得注意的是，何形態(tài)呈現(xiàn)出復(fù)雜的不規(guī)則性。值得注意的是， ?這種集合也可以看作這種集合也可以看作是由迭代模式生成。是由迭代模式生成。康托三分集的構(gòu)造康托三分集的構(gòu)造無限次使用

21、給定的迭代模式無限次使用給定的迭代模式迭代模式科赫（科赫（KochKoch） 雪花曲線的構(gòu)造雪花曲線的構(gòu)造Koch雪花曲線是由如下的簡(jiǎn)單模式經(jīng)無限次迭代雪花曲線是由如下的簡(jiǎn)單模式經(jīng)無限次迭代而成的：而成的：迭代模式曲曲線線是是多多少少維維的？的？ 簡(jiǎn)單迭代的無限次使用竟然能使二維正方形由一條曲線填滿簡(jiǎn)單迭代的無限次使用竟然能使二維正方形由一條曲線填滿迭代模式迭代模式分形幾何分形幾何 分形的概念是1975年由英國(guó)數(shù)學(xué)家B.B.Mandelbrot引入的；此概念是指歐氏空間中那種“支離破碎”的集合。 分形的研究開拓了人們對(duì)于維度、尺度、結(jié)構(gòu)的新看法 ；由此產(chǎn)生了分形幾何這樣一個(gè)數(shù)學(xué)分支。 三十年間

22、，混沌理論、分形幾何與復(fù)雜性科學(xué)匯合，把觸角伸入物理、化 學(xué)、生理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)、氣象學(xué)，乃至于天文學(xué)所談及的星體分布等領(lǐng)域，試圖解釋過去科學(xué)家們所忽略的非線性現(xiàn)象，進(jìn)而解釋大自然和人類社會(huì)的復(fù)雜系統(tǒng)及其結(jié)構(gòu) 。 非整數(shù)的非整數(shù)的HausdorffHausdorff維數(shù)維數(shù)分形的重要特征之一分形的重要特征之一 維數(shù)是幾何對(duì)象的一個(gè)重要特征量。對(duì)于歐氏空間及其線性流形，它們的維數(shù)我們很清楚；對(duì)于歐氏空間中的每個(gè)局部可以與一定維數(shù)的線性流形同胚的子集，其維數(shù)也是清楚的。它們的維數(shù)統(tǒng)統(tǒng)都是整數(shù)。例如，點(diǎn)是0維的，線段和圓周是1維的，正方形和球面是2維的，等等。 可是，康托集C、科赫曲線K和皮亞諾曲線P（具有精細(xì)的