八年級(jí)數(shù)學(xué)探索勾股定理3

1、（第（第3 3課時(shí)）課時(shí)）方法種類及歷史背方法種類及歷史背景景驗(yàn)證定理的具體過(guò)驗(yàn)證定理的具體過(guò)程程知識(shí)運(yùn)用及思想方知識(shí)運(yùn)用及思想方法法第一種類型：以趙爽的第一種類型：以趙爽的“弦圖弦圖”為代表，用幾何為代表，用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)，來(lái)證明代數(shù)式之間的恒圖形的截、割、拼、補(bǔ)，來(lái)證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系等關(guān)系; ;第二種類型：以歐幾里得的證明方法為代表，運(yùn)第二種類型：以歐幾里得的證明方法為代表，運(yùn)用歐氏幾何的基本定理進(jìn)行證明用歐氏幾何的基本定理進(jìn)行證明; ;第三種類型：以劉徽的第三種類型：以劉徽的“青朱出入圖青朱出入圖”為代表，為代表，“無(wú)字證明無(wú)字證明”. .問(wèn)題思考問(wèn)題思考 運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)

2、知識(shí)？運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？ 體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想方法？體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想方法？ 這種方法與其他方法比較，有什么這種方法與其他方法比較，有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？對(duì)某一驗(yàn)證方法對(duì)某一驗(yàn)證方法三種類型：三種類型：第一種類型：第一種類型：以趙爽的以趙爽的“弦圖弦圖”為代表，用幾何圖形的截、為代表，用幾何圖形的截、割、拼、補(bǔ)，來(lái)證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系。體現(xiàn)了以形證數(shù)、割、拼、補(bǔ)，來(lái)證明代數(shù)式之間的恒等關(guān)系。體現(xiàn)了以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何的緊密結(jié)合形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù)和幾何的緊密結(jié)合 . .第二種類型：第二種類型：以歐幾里得的證明方法為代表，運(yùn)用歐氏幾何以歐幾里得的證明方法為代表，運(yùn)用歐氏幾

3、何的基本定理進(jìn)行證明，反映了勾股定理的幾何意義的基本定理進(jìn)行證明，反映了勾股定理的幾何意義. .第三種類型：第三種類型：以劉徽的以劉徽的“青朱出入圖青朱出入圖”為代表，證明不需用為代表，證明不需用任何數(shù)學(xué)符號(hào)和文字，更不需進(jìn)行運(yùn)算，隱含在圖中的勾股定理任何數(shù)學(xué)符號(hào)和文字，更不需進(jìn)行運(yùn)算，隱含在圖中的勾股定理便清晰地呈現(xiàn)，整個(gè)證明單靠移動(dòng)幾塊圖形而得出，被稱為便清晰地呈現(xiàn)，整個(gè)證明單靠移動(dòng)幾塊圖形而得出，被稱為“無(wú)無(wú)字證明字證明”. . 方法一方法一: :三國(guó)時(shí)期吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽在為三國(guó)時(shí)期吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽在為周髀算經(jīng)周髀算經(jīng)作注作注解時(shí)，創(chuàng)制了一幅解時(shí)，創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖勾股圓方圖”，也稱為，

4、也稱為“弦圖弦圖”，這是我國(guó)對(duì)勾股定理最早的證明這是我國(guó)對(duì)勾股定理最早的證明. . 2002年世界數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開(kāi)，這屆大會(huì)會(huì)標(biāo)的中央圖案正年世界數(shù)學(xué)家大會(huì)在北京召開(kāi)，這屆大會(huì)會(huì)標(biāo)的中央圖案正是經(jīng)過(guò)藝術(shù)處理的是經(jīng)過(guò)藝術(shù)處理的“弦圖弦圖”，標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)成就，標(biāo)志著中國(guó)古代數(shù)學(xué)成就. 第一種類型：第一種類型：cb a2214() .2cabba22222.cabbaba222.cab由面積計(jì)算由面積計(jì)算,得得 展開(kāi)展開(kāi),得得 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn),得得aabbcc方法二方法二: :美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法，被稱為美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法，被稱為“總總統(tǒng)證法統(tǒng)證法”. . 如圖，梯形由三個(gè)

5、直角三角形組合而如圖，梯形由三個(gè)直角三角形組合而成，利用面積公式，列出代數(shù)關(guān)系式成，利用面積公式，列出代數(shù)關(guān)系式, ,得得化簡(jiǎn)化簡(jiǎn), ,得得2111()()2.222ab baabc 222.abc第一種類型：第一種類型：據(jù)傳是當(dāng)年畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理時(shí)做出的證明。據(jù)傳是當(dāng)年畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理時(shí)做出的證明。 將將4個(gè)全等的直角三角形拼成邊長(zhǎng)個(gè)全等的直角三角形拼成邊長(zhǎng)為為(ab)的正方形的正方形ABCD，使中間留下，使中間留下邊長(zhǎng)邊長(zhǎng)c的一個(gè)正方形洞畫(huà)出正方形的一個(gè)正方形洞畫(huà)出正方形ABCD移動(dòng)三角形至圖移動(dòng)三角形至圖2所示的位置中，所示的位置中，于是留下了邊長(zhǎng)分別為于是留下了邊長(zhǎng)分別為a

6、與與b的兩個(gè)正方的兩個(gè)正方形洞則圖形洞則圖1和圖和圖2中的白色部分面積必中的白色部分面積必定相等，所以定相等，所以c2=a2+b2圖圖1圖圖2方法方法三三第一種類型：第一種類型：第二種類型：第二種類型：以歐幾里得的證明方法為代表，運(yùn)用歐氏幾何以歐幾里得的證明方法為代表，運(yùn)用歐氏幾何的基本定理進(jìn)行證明，反映了勾股定理的幾何意義。的基本定理進(jìn)行證明，反映了勾股定理的幾何意義。如圖，過(guò)如圖，過(guò) A 點(diǎn)畫(huà)一直線點(diǎn)畫(huà)一直線 AL 使其垂直于使其垂直于 DE， 并交并交 DE 于于 L，交，交 BC 于于 M。通過(guò)證。通過(guò)證明明BCF BDA，利用三，利用三角形面積與長(zhǎng)方形面積的關(guān)角形面積與長(zhǎng)方形面積的關(guān)

7、系，得到正方形系，得到正方形ABFG與矩與矩形形BDLM等積，同理正方形等積，同理正方形ACKH與與 矩形矩形MLEC也等積，也等積，于是推得于是推得222ABACBC 第二種類型：第二種類型：以歐幾里得的證明方法為代表，運(yùn)用歐氏幾何以歐幾里得的證明方法為代表，運(yùn)用歐氏幾何的基本定理進(jìn)行證明，反映了勾股定理的幾何意義。的基本定理進(jìn)行證明，反映了勾股定理的幾何意義。第三種類型：第三種類型：以劉徽的以劉徽的“青朱出入圖青朱出入圖”為代表，證明不需用為代表，證明不需用任何數(shù)學(xué)符號(hào)和文字，更不需進(jìn)行運(yùn)算，隱含在圖中的勾股定理任何數(shù)學(xué)符號(hào)和文字，更不需進(jìn)行運(yùn)算，隱含在圖中的勾股定理便清晰地呈現(xiàn)，整個(gè)證明

8、單靠移動(dòng)幾塊圖形而得出，被稱為便清晰地呈現(xiàn)，整個(gè)證明單靠移動(dòng)幾塊圖形而得出，被稱為“無(wú)無(wú)字證明字證明”。 約公元約公元 263 年，三國(guó)時(shí)代魏國(guó)的數(shù)學(xué)家年，三國(guó)時(shí)代魏國(guó)的數(shù)學(xué)家劉徽為古籍劉徽為古籍九章算術(shù)九章算術(shù)作注釋時(shí)，用作注釋時(shí)，用“出入相補(bǔ)法出入相補(bǔ)法”證明了勾股定理。證明了勾股定理。 abc第三種類型：第三種類型：以劉徽的以劉徽的“青朱出入圖青朱出入圖”為代表，證明不需用為代表，證明不需用任何數(shù)學(xué)符號(hào)和文字，更不需進(jìn)行運(yùn)算，隱含在圖中的勾股定理任何數(shù)學(xué)符號(hào)和文字，更不需進(jìn)行運(yùn)算，隱含在圖中的勾股定理便清晰地呈現(xiàn)，整個(gè)證明單靠移動(dòng)幾塊圖形而得出，被稱為便清晰地呈現(xiàn)，整個(gè)證明單靠移動(dòng)幾塊圖

9、形而得出，被稱為“無(wú)無(wú)字證明字證明”。 做法是將一條垂直線和一條水做法是將一條垂直線和一條水平線，將較大直角邊的正方形分成平線，將較大直角邊的正方形分成 4 4 分。之后依照?qǐng)D中的顏色分。之后依照?qǐng)D中的顏色, ,將兩將兩個(gè)直角邊的正方形填入斜邊正方形個(gè)直角邊的正方形填入斜邊正方形之中，便可完成定理的證明。之中，便可完成定理的證明。單擊圖片打開(kāi)單擊圖片打開(kāi)第三種類型：第三種類型：在印度、在阿拉伯世界和歐洲出現(xiàn)在印度、在阿拉伯世界和歐洲出現(xiàn)的一種拼圖證明的一種拼圖證明abcABCDEFO方法三方法三: :意大利文意大利文藝復(fù)興時(shí)代的著名藝復(fù)興時(shí)代的著名畫(huà)家達(dá)畫(huà)家達(dá)芬奇對(duì)勾芬奇對(duì)勾股定理進(jìn)行了研究。

10、股定理進(jìn)行了研究。第三種類型：第三種類型：AaBCbDEFOABCDEF五巧板的制作ABCEDFGHIabcbcaabc這種證明方法從幾何圖形的面積變化入手，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)這種證明方法從幾何圖形的面積變化入手，運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想方法。合的思想方法。 bc利用利用五巧板五巧板拼圖拼圖驗(yàn)證驗(yàn)證勾股定理勾股定理:ccbbaa(1) (1) 勾股定理是聯(lián)系數(shù)學(xué)中數(shù)與形的第一定理。勾股定理是聯(lián)系數(shù)學(xué)中數(shù)與形的第一定理。(2) (2) 勾股定理反映了自然界基本規(guī)律勾股定理反映了自然界基本規(guī)律, ,有文明的宇宙有文明的宇宙“人人”都應(yīng)該認(rèn)識(shí)它，因而勾股定理圖被建議作為與都應(yīng)該認(rèn)識(shí)它，因而勾股定理圖被建議作為與“外星人外星人”聯(lián)系的信號(hào)。聯(lián)系的信號(hào)。(3)(3)勾股定理導(dǎo)致不可通約量的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。勾股定理導(dǎo)致不可通約量的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。(4)(4)勾股定理公式是第一個(gè)不定方程，為不定方程的解勾股定理公式是第一個(gè)不定方程，為不定方程的解題程序樹(shù)立了一個(gè)范式。題程序樹(shù)立了一個(gè)范式。我最大的收獲；我最大的收獲；我表現(xiàn)較好的方面；我表現(xiàn)較好的方面；我學(xué)會(huì)了哪些知識(shí)；我學(xué)會(huì)了哪些知