向量組的線性表示ppt課件

1、定義定義1 1 . , 21個分量個分量稱為第稱為第個數(shù)個數(shù)第第個分量，個分量，個數(shù)稱為該向量的個數(shù)稱為該向量的維向量，這維向量，這組稱為組稱為所組成的數(shù)所組成的數(shù)個有次序的數(shù)個有次序的數(shù)iainnnaaanin分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量復(fù)向量. .分量全為實數(shù)的向量稱為分量全為實數(shù)的向量稱為實向量實向量，nn例如例如), 3 , 2 , 1(n)1(,32 ,21(innii n維實向量維實向量n維復(fù)向量維復(fù)向量第第1個分量個分量第第n個分量個分量第第2個分量個分量),(21nTaaaa naaaa21 維向量寫成一行，稱為維向量寫成一行，稱為行向量行向量，也就是行，

2、也就是行矩陣，通常用等表示，如：矩陣，通常用等表示，如： TTTTba,n 維向量寫成一列，稱為維向量寫成一列，稱為列向量列向量，也就是列，也就是列矩陣，通常用等表示，如：矩陣，通常用等表示，如： ,bann注意注意行向量和列向量總被看作是行向量和列向量總被看作是兩個不同的兩個不同的向量向量；行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩陣的運算法則矩陣的運算法則進(jìn)行運算；進(jìn)行運算；當(dāng)沒有明確說明是行向量還是列向量時，當(dāng)沒有明確說明是行向量還是列向量時，都當(dāng)作都當(dāng)作列向量列向量.向量向量)3( n解析幾何解析幾何線性代數(shù)線性代數(shù)既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的實數(shù)組成的數(shù)組有次序的

3、實數(shù)組成的數(shù)組幾何形象：可隨意幾何形象：可隨意平行移動的有向線段平行移動的有向線段代數(shù)形象：向量的代數(shù)形象：向量的坐標(biāo)表示式坐標(biāo)表示式),(21nTaaaa 空間空間)3( n解析幾何解析幾何線性代數(shù)線性代數(shù)點空間點空間：點的集合：點的集合向量空間向量空間：向量的集合：向量的集合代數(shù)形象：向量空代數(shù)形象：向量空間中的平面間中的平面 dczbyaxzyxrT ),(幾何形象：空間幾何形象：空間直線、曲線、空間直線、曲線、空間平面或曲面平面或曲面 dczbyaxzyx ),(),(zyxP),(zyxrT 一一對應(yīng)一一對應(yīng) RxxxxxxxRnnnT ,),(2121 bxaxaxaxxxxnnn

4、T 221121),( 叫做叫做 維向量空間維向量空間n 時，時， 維向量沒有直觀的幾何形象維向量沒有直觀的幾何形象n3 n叫做叫做 維向量空間維向量空間 中的中的 維超平面維超平面Rnn1 n確定飛機的狀態(tài)，需確定飛機的狀態(tài)，需要以下要以下6個參數(shù)：個參數(shù)：飛機重心在空間的位置參數(shù)飛機重心在空間的位置參數(shù)P(x,y,z)機身的水平轉(zhuǎn)角機身的水平轉(zhuǎn)角)20( 機身的仰角機身的仰角)22( 機翼的轉(zhuǎn)角機翼的轉(zhuǎn)角)( 所以，確定飛機的狀態(tài)，需用所以，確定飛機的狀態(tài)，需用6維向量維向量),( zyxa 維向量的實際意義維向量的實際意義n向量相等：向量相等： = (a1, a2, , an), =(b

5、1, b2, , bn)零向量：零向量：;)();,0;,()0; 容易驗證向量的線性運算滿足下面的運算規(guī)律: (1) 向量加法滿足 1) 交換律 2) 結(jié)合律 ( 3) 對任一向量有 4) 對任一向量有 (2) 向量的數(shù)乘運算滿足 1) 1= ;()()() ;(3);2);, ,k ll kklkklklnk l 2) 向量的線性運算成立分配律 1) k()=k () =上述均為 維向量均為實數(shù). 若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）若干個同維數(shù)的列向量（或同維數(shù)的行向量）所組成的集合叫做向量組所組成的集合叫做向量組例如例如維維列列向向量量個個有有矩矩陣陣mnaijAnm)( aaaa

6、aaaaaaaaAmnmjmmnjnj21222221111211a1. , , 的的列列向向量量組組稱稱為為矩矩陣陣向向量量組組Aa1a2ana2ajana1a2ajan維行向量維行向量個個又有又有矩陣矩陣類似地類似地nmijaAnm)(, aaaaaaaaaaaaAmnmminiinn21212222111211 T1 T2 Ti Tm T1 T2 Ti Tm向量組向量組 , , ， 稱為矩陣稱為矩陣A的行向量組的行向量組 T1 T2 Tm 反之，由有限個向量所組成的向量組可以構(gòu)反之，由有限個向量所組成的向量組可以構(gòu)成一個矩陣成一個矩陣.矩陣構(gòu)成一個組維列向量所組成的向量個mnnmm, 2

7、1矩矩陣陣構(gòu)構(gòu)成成一一個個的的向向量量組組維維行行向向量量所所組組成成個個nmnmTmTT , 21 TmTTB 21 ),( 21mA b xaxaxann2211線性方程組的向量表示線性方程組的向量表示 .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn方程組與增廣矩陣的列向量組之間方程組與增廣矩陣的列向量組之間一一對應(yīng)一一對應(yīng)，組實數(shù)組實數(shù)，對于任何一，對于任何一給定向量組給定向量組mmkkkA,: 2121 定義定義., 21個個線線性性組組合合的的系系數(shù)數(shù)稱稱為為這這，mkkk，稱為向量組的一個稱為向量組的一個向量向量 2211

8、mmkkk 線性組合線性組合123412341110:,1201111023231201A aaaaAaaaa 向量組向量組 的一個線性組合：例例 mmb2211，使使，一一組組數(shù)數(shù)如如果果存存在在和和向向量量給給定定向向量量組組mmbA ,: 2121. 2211有有解解即即線線性性方方程程組組bxxxmm 的的線線性性組組合合，這這時時稱稱是是向向量量組組則則向向量量Ab 向量向量 能能由向量組由向量組 線性表示線性表示bA 向量b能由向量組A線性表示.1234123411106:,1201723A aaaabaaaab 123124627xxxxxx方程組方程組 有解有解. 例例1122

9、3344bx ax ax ax a定義定義 . .,:,: 2121這這兩兩個個能能相相互互線線性性表表示示，則則稱稱量量組組與與向向若若向向量量組組稱稱線線性性表表示示，則則向向量量組組組組中中的的每每個個向向量量都都能能由由若若及及設(shè)設(shè)有有兩兩個個向向量量組組BAABBAsm 向量組向量組 能由向量組能由向量組 線性表示線性表示向量組等價向量組等價BA例例 設(shè)有兩個向量組設(shè)有兩個向量組A : : 及及B : :112212112212,2,2,2,2,baabaaabbabb 1210,01aa 1211,12bb 則稱向量組向量組A與向量組與向量組B等價等價.使使在數(shù)在數(shù)存存量量線性表示

10、，即對每個向線性表示，即對每個向能由能由（和和（若記若記,), 2 , 1().,),212121mjjjjsmkkksjbABbbbBA mmjjjjkkkb 2211,),2121 mjjjmkkk （ ),21sbbb（從而從而 msmmssmkkkkkkkkk21222211121121), （ . )(數(shù)數(shù)矩矩陣陣稱稱為為這這一一線線性性表表示示的的系系矩矩陣陣ijsmkK 矩矩陣陣：為為這這一一表表示示的的系系數(shù)數(shù)的的列列向向量量組組線線性性表表示示，矩矩陣陣的的列列向向量量組組能能由由，則則矩矩陣陣若若BACBACnssmnm snssnnsnbbbbbbbbbccc2122221112112121),),（ TsTTmsmmssTmTTaaaaaaaaa 2121222211121121：為這一表示的系數(shù)矩陣為這一表示的系數(shù)矩陣的行向量組線性表示的行向量組線性表示的行向量組能由的行向量組能由同時，同時，ABC,. . 的行向量組等價的行向量組等價的行向量組與的行向量組與于是于是的行向量組線性表示，的行向量組線性表示，的行向量組能由的行向量組能由可知，可知，由初等變換可逆性由初等變換可逆性的行向量組線性表示的行向量組線性表示組能由組能由的行向量的行向量，即，即