單元剛度矩陣組裝及整體分析

1、7.4單元剛度矩陣組裝及整體分析7.4.1單剛組裝形成總剛根據(jù)全結(jié)構(gòu)的平衡方程可知，總體剛度矩陣是由單元剛度矩陣集合而成的如果一磴F個結(jié)構(gòu)的計算模型分成斥個單元，那么總體剛度矩陣可由各個單元的剛度矩陣組裝而成，即j紂K是由每個單元的剛度矩陣的每個系數(shù)按其腳標(biāo)編號“對號入座”疊加而成的這種疊加要求在同一總體坐標(biāo)系下進(jìn)行如果各單元的剛度矩陣是在單元局部坐標(biāo)下建立的，就必須要把它們轉(zhuǎn)換到XYZ統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)（總體）坐標(biāo)系.將總體坐標(biāo)軸分別用表示，對某單元有曲盯式中，和分別是局部坐標(biāo)系和總體坐標(biāo)系下的單元結(jié)點位移向量；T為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換陣，僅與兩個坐標(biāo)系的夾角有關(guān)，這樣就有r=ZrrB可是該單元在總體坐標(biāo)系下的

2、單元剛度矩陣.以后如不特別強調(diào)，總體坐標(biāo)系下的各種物理參數(shù)均不加頂上的橫杠.下面就通過簡單的例子來說明如何形成總體剛度矩陣.設(shè)有一個簡單的平面結(jié)構(gòu)，選取6個結(jié)點，劃分為4個單元.單元及結(jié)點編號如圖3-27所示.每個結(jié)點有兩個自由度.總體剛度矩陣的組裝過程可分為下面幾步：456圖7-27（1）按單元局部編號順序形成單元剛度矩陣圖7-27中所示的單元，結(jié)點的局部編號順序為形成的單元剛度矩陣以子矩陣的形式給出是20/16（2）將單元結(jié)點的局部編號am換成總體編號，相應(yīng)的把單元剛度矩陣中的子矩陣的下標(biāo)也換成總體編號.對下圖3-27所示單元的剛度矩陣轉(zhuǎn)換成總體編號后為（3）將轉(zhuǎn)換后的單元剛度矩陣的各子矩

3、陣，投放到總體剛度矩陣的對應(yīng)位置上單元的各子矩陣投放后情況如下：(4)將所有的單元都執(zhí)行上述的1,2,3步,便可得到總體剛度矩陣，如式(3-9)其中右上角的上標(biāo)丘表示第丘單元所累加上的子矩陣.(3-9)(5)從式(3-9)可看出，總體剛度矩陣中的子矩陣AB是單元剛度矩陣的子矩陣轉(zhuǎn)換成總體編號后具有相同的下標(biāo)，的那些子矩陣的累加總體剛度矩陣第行的非零子矩陣是由與結(jié)點相聯(lián)系的那些單元的子矩陣向這行投放所構(gòu)成的.7.4.2結(jié)點平衡方程我們首先用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法建立結(jié)點平衡方程連續(xù)介質(zhì)用有限元法離散以后，取出其中任意一個結(jié)點，從環(huán)繞點各單元移置而來的結(jié)點載荷為昭二遲迂嚴(yán)Z.式中*表示對環(huán)繞結(jié)點的所有單元求

4、和，環(huán)繞結(jié)點的各單元施加于結(jié)點的結(jié)點力為-.因此，結(jié)點'的平衡方程可表示為（3-10）以K代入平衡方程，得到以結(jié)點位移表示的結(jié)點的平衡方程，對于每個結(jié)點，都可列出平衡方程,于是得到整個結(jié)構(gòu)的平衡方程組如下：均二舊可鬥式中，K為整體剛度矩陣，為全部結(jié)點位移組成的向量，為全部結(jié)點載荷組成的向量.當(dāng)然，如果各點的載荷向量也是在單元局部坐標(biāo)下建立的，在合成以前，也應(yīng)把它們轉(zhuǎn)換到統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)（總體）坐標(biāo)系下，即lr（PiY劃式中，是總體坐標(biāo)系下的結(jié)點載荷向量，為坐標(biāo)轉(zhuǎn)換陣.7.4.3位移邊界條件均二何在有限元法對結(jié)構(gòu)進(jìn)行整體分析時，建立了整體剛度矩陣K，也得到了結(jié)構(gòu)的剛度平衡方程，即結(jié)構(gòu)剛度方程的

5、求解相當(dāng)于總剛K求逆的過程但是，從數(shù)學(xué)上看，未經(jīng)處理的總剛是對稱、半正定的奇異矩陣，它的行列式值為零，不能立即求逆從物理意義看，在進(jìn)行整體分析時，結(jié)（P）構(gòu)是處于自由狀態(tài)，在結(jié)點載荷的作用下，結(jié)構(gòu)可以產(chǎn)生任意的剛體位移所以，在已知結(jié)點載荷（PJ（可的條件下，仍不能通過平衡方程惟一地解出結(jié)點位移為了使問題可解，必須對結(jié)構(gòu)加以足夠的位移約束，也就是應(yīng)用位移邊界條件首先要通過施加適當(dāng)?shù)募s束，消除結(jié)構(gòu)的鋼體位移，再根據(jù)問題要求設(shè)定其他已知位移所以，處理位移邊界條件在有限元分析步驟中十分重要.=0色二約束的種類包括使某些自由度上位移為零，或給定其位移值，還有給定支承剛度等，本書涉及前兩種處理約束的方法，

6、常用的有刪行刪列法、分塊法、置大數(shù)法和置“1”法等，下面分別予以介紹.1、刪行刪列法若結(jié)構(gòu)的某些結(jié)點位移值為零時（即與剛性支座連接點的位移），則可將總體剛度矩陣中相應(yīng)的行列、刪行刪列劃掉，然后將矩陣壓縮即可求解這種方法的優(yōu)點是道理簡單.如果刪去的行列很多，則總體剛度矩陣的階數(shù)可大大縮小通常用人工計算時常采用該方法若用計算機算題，在程序編制上必帶來麻煩，因為剛度矩陣壓縮以后，剛度矩陣中各元素的下標(biāo)必全改變因而一般計算機算題不太采用.2分塊法為了理解這個方法，我們把方程直"=鬥分塊如下:【心禺】冋pq【心【心(3-11)其中，假設(shè)是給定的結(jié)點位移;是無約束的（自由）結(jié)點位移因而是已知的結(jié)

7、點力;是未知的結(jié)點力方程（3T1）可以寫為(3-12)(3-13)其中，疋1不是奇異的，因而可以解方程（3-12）得出5嚴(yán)心廣（爲(wèi)-甩殆(3-14)玄A一旦知道了，就可以由方程（3-13）求得未知結(jié)點力在全部給定的結(jié)點自由度都等于零的特殊情況下，我們可以刪除對應(yīng)于的各行和各列（即刪行刪列法），故可把方程簡寫為(3-15)3置“1”法由于全部給定的結(jié)點位移通常都不能在位移向量的開始或終了，故分塊法的編號方法是很麻煩的因此，為了引入給定的邊界條件席可以采用下述等價的方法.可以把方程（3-12）和（3-13）合在一起寫為(3-16)心叫戸二0-心疋;!CTwJkri/I在實際計算中，方程（3-16）

8、所示的過程可以在不重新排列所述方程的情況下用下述分塊的方法為進(jìn)行.步驟（1）如果把給定為，則載荷向量P可以修改為P、=_磴尹曾3=1,2,，芹兀為結(jié)點自由度總數(shù).步驟除對角線元素以外，使K中對應(yīng)于的行和列為零，而對角線元素為1,即步驟在載荷向量中引入規(guī)定的值，即£=必對全部規(guī)定的結(jié)點位移均應(yīng)反復(fù)運用上述過程（步驟（1）到（3）應(yīng)當(dāng)指出，由于這個過程保持了方程的對稱性，因此，K可以按帶狀存儲，而且?guī)缀醪粫黾泳幹瞥绦虻墓ぷ髁?4置大數(shù)法置大數(shù)法的思路是：在總體剛度矩陣中，把指定位移所對應(yīng)的行和列的對角元素乘上一個很大1屮，一、,、的數(shù)，如，此行其他兀素保持不變，同時把該行對應(yīng)的載荷項也

9、相應(yīng)地用來代替，這里為指定位移，于是原平衡方程組變?yōu)轼P仏-擊-2L懇22"疋加-=->=<-心%g_瓦1瓦2"J_£_除第行外，其他各行仍保持原來的平衡特性，而第個方程式展開為心$+心乞+1屮疋詞+心二1屮心/屮K-由于上式中的比其他項的系數(shù)大得多，求和后可略去其小量，則上式變?yōu)?屮諮二10口疋加：V&即這樣就用近似方程組代替原方程組，得到近似滿足邊界條件的解當(dāng)指定位移為零時，只要將對角元素乘上一個大數(shù)，而相應(yīng)的載荷項經(jīng)證明可以不置零刪行刪列法適用于指定零位移點，而置大數(shù)法適用于給定位移（包括零位移）.5斜支座的處理對于簡單的約束情況（如限定某

10、些結(jié)點位移為零或取得給定數(shù)值），可以用前述置大數(shù)法處理有的結(jié)構(gòu)在直角坐標(biāo)系內(nèi)建立了位移方程組，但在某個斜邊上受有法向約束如圖3-28所示正方形固支板，受均布橫向載荷，對此，可利用對稱性而只計算其1/8，如圖中ABC部分，其中AC為固支邊，按對稱性,日二0AB邊上有，但在BC邊上應(yīng)限定繞BC的轉(zhuǎn)用等于零.為處理此類斜邊上的約束，須對斜邊上的結(jié)點做坐標(biāo)變換.若結(jié)構(gòu)的總體坐標(biāo)系為為斜支座的局部坐標(biāo)系（見圖3-29）對于邊界結(jié)點，須限定方向位移，為此，將邊界結(jié)點的位移及載荷都變換到局部坐標(biāo)ArVrrJfyxt軸系設(shè)軸與斜支座的軸夾角為，逆時針為正，圖7-28圖7-29則依據(jù)第二單中坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系有其中,

11、sinacosa.或?qū)懗?3-17)與位移關(guān)系相同有(3-18)將上兩式帶入結(jié)構(gòu)剛度方程有X】夠-叩F瞪J.-冷H瓦覘-d:>二<好&一心©©療J-K<-T(3-19)這樣把位移到列陣中凡是斜支座的結(jié)點位移矢量都用局部坐標(biāo)表示了.將式（3-19）中第行左右兩邊前乘以"I勺邑-心殍-乓7?口瓦劃瓦規(guī)疋/周卜=;-&心心心盯-陰_(3-20)由上式可見：凡是邊界點的斜支座，在剛度方程中對應(yīng)于斜支座的位移和載荷向量均可直接斜支座的局部坐標(biāo)值，總剛度距陣中的相應(yīng)行列需作相應(yīng)的變換.?養(yǎng)Vyr上式的系數(shù)矩陣仍然是對稱的，而且此方程中結(jié)點位沿

12、軸表示，這樣，限定方向的位移就很方便了.實際計算中，并不需要建立結(jié)構(gòu)總的位移方程組后再進(jìn)坐標(biāo)變換而可以在形成單元剛度矩陣和結(jié)點載荷之后，就對斜支座點進(jìn)行坐標(biāo)變換，把變換后的單元剛度矩陣和結(jié)點載荷疊加入總剛度矩陣和總載荷的相應(yīng)位置，最后疊加形成的也就是方程組（3-20），即需要處理的結(jié)點，應(yīng)該在單元計算中完成坐標(biāo)變換后再疊加，當(dāng)結(jié)構(gòu)有不同的斜邊約束時，都可以這樣處理，只不過對不同邊上的結(jié)點，應(yīng)按不同的方向余弦矩陣變換就是了.7.4.4總剛度平衡方程的求解應(yīng)用有限元法，最終都是歸結(jié)為解總體剛度平衡方程，它實際上是以總體剛度矩陣為系數(shù)矩陣的大型線性代數(shù)方程組通過對結(jié)構(gòu)施加位移邊界條件，消除了結(jié)構(gòu)的剛

13、體位移，從而消除總體剛度矩陣的奇（可異性，解這個線性代數(shù)方程組可求出結(jié)位移我們已知，總體剛度矩陣具有大型、對稱、稀疏、帶狀分布、正定、主元占優(yōu)勢的特點，稀疏表示剛度矩陣含有大量的零元素，帶狀表示非零元素集中在主對角線兩側(cè)求解方程組應(yīng)抓住上述特點，才能提高效率.首先，要為總剛度矩陣選擇適當(dāng)?shù)拇鎯Ψ绞?，常用的有?1) 整體存儲總剛總剛的全部元素以二維數(shù)組形式放在計算機內(nèi)存中，存儲效率最低，適用于小型問題的分析.(2) 等帶寬二維存儲總剛.總剛的下三角或上三角的帶內(nèi)元素取最大半帶寬以二維數(shù)組形式存放在計算機內(nèi)存中其行數(shù)同整體總剛，列數(shù)等于最大半帶寬.(3) 一維變帶寬存儲總剛將總剛下三角實際半帶寬

14、內(nèi)元素逐行存放在一個一維數(shù)組內(nèi).其次，根據(jù)總剛度矩陣的存儲方式，選擇適當(dāng)?shù)那蠼鈩偠确匠痰姆椒ǎ壕€性代數(shù)方程組的解法分直接解法(如高斯消去法、三角分解法)和迭代解法(如高斯-賽德爾迭代、超松弛迭代)，本書主要討論幾種常用的直解法.(1) 高斯消去法適合整體存儲總剛.由于需要集合完整總剛，內(nèi)存利用和計算效率都比較低但高斯消去法原理和程序簡單，作為初學(xué)便于理解.(2) 對稱消元法利用剛度矩陣對稱，有每次消元的子陣均對稱的性質(zhì)，對高斯消去法稍加改進(jìn)形成這樣就是只需組裝總剛的上三角或下三角部分(3) 帶消元法將對稱消元法進(jìn)一步改造，使之適合總剛的等帶寬二維存儲.（4）因子化法（三角分解）又稱Choles

15、ky分解，適合一維變帶寬存儲總剛這上方法儲效率高，計算速度快，應(yīng)用較為普遍.此外，還有一種方法，叫做波前法波前法實際上也是一種改進(jìn)的高斯消去法它建立一個稱為“波前”的空間，各單元剛度系數(shù)依次進(jìn)入波前.一旦與某自由度有關(guān)的所有單元的剛度系數(shù)全部裝入，便可將相應(yīng)的變量消去經(jīng)過消元的方程的系數(shù)隨即退出波前，存放在計算機的外存中.這樣就可騰出空間裝入新的剛度系數(shù)所以，波前法不需要生成完整的總剛，而是邊組裝邊消元，“成熟”一個消去一個消元完成后，全部系數(shù)都已存儲在計算機的外存或緩沖區(qū)中.回代時將各方程的系數(shù)按“先出后入”的順序調(diào)入內(nèi)存求解.由此可見，這種方法是利用計算機充裕的外存資源，以多耗取機時來緩解

16、內(nèi)存不足的矛盾，以便適應(yīng)較大規(guī)模的問題隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，內(nèi)存資源不斷擴大，對具有稀疏、帶狀性質(zhì)的有限元剛度方程，這種以時間換取空間的辦法得不償失另一方面，波前法的闡述和程序設(shè)計比較復(fù)雜，且對多種單元并存的結(jié)構(gòu)使用不便所以，本書不擬介紹波前法.本書第九章將詳細(xì)討論適合整體存儲總剛的高斯消去法和適合一維變帶寬存儲的因子化法以及有關(guān)的程序設(shè)計問題，以下僅列出這兩種方法的梗概.1、高斯消去法高斯循序消去法的一般公式:對于n階線性代數(shù)方程鬥，需進(jìn)行"1次消元采用循序消去時，第m次消元以m-1疋.次消元后的m行元素作為主元行，為主元，對第行元素J）的消元公式為(3-21)G打二豹+1,朋+2

17、*)0巒)PK).式中等的上角碼(m)，表示該元素是經(jīng)過第m次消元后得到的結(jié)果同樣，可以把經(jīng)過m次消元后的系數(shù)矩陣和載荷陣分別記為式表時第m次消元是在經(jīng)m-1次消元的基礎(chǔ)上進(jìn)行的.消元過程中，主元及被消元素的位置可見圖3-30(a)圖中陰影部分已完成消元過程的元素，主元行以下的矩陣為待消部分在進(jìn)行第m次時，1-m行元素的消元過程已經(jīng)完成，其中的元素就是消元最后得到的上三角陣中的元素.m行發(fā)下的元素消元過程尚未結(jié)束，連同m行元素在內(nèi)構(gòu)成一個待消的方陣.消元共需進(jìn)行n-1次.消元完成后，即可回代求解我們把消元最后結(jié)果記為三角陣，回代公式可寫作J-i+1/(3-22)回代過程自后向前進(jìn)行當(dāng)回代求解時,已經(jīng)解得回代示意圖見圖3-30(b)，陰影部分為已求得解答的部分.0（那圖7-30高斯消去法2三角分解法總體剛度平衡方程旳心中，K是對稱、正定矩陣，因而可做