多項式擬合matlab之方法

1、實驗題目使用Haar小波和傅里葉變換方法濾波及數(shù)據(jù)壓縮指導(dǎo)老師：李愛國學(xué)生：陳立朝學(xué)號：16208009004專業(yè)：應(yīng)用數(shù)學(xué)西安科技大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院西安科技大學(xué)研究生課程數(shù)據(jù)倉庫與數(shù)據(jù)挖掘?qū)嶒瀳蟾鎸嶒瀳蟾嬉?、實驗題目：使用Haar小波和傅里葉變換方法濾波及數(shù)據(jù)壓縮二、實驗?zāi)康?. 掌握離散數(shù)據(jù)的Haar小波變換和傅里葉變換的定義，基本原理和方法.2使用C+實現(xiàn)數(shù)據(jù)的Haar小波變換和離散傅里葉變換.3. 掌握數(shù)據(jù)濾波的基本原理和方法.4. 掌握使用Haar小波變換和離散傅里葉變換應(yīng)用于數(shù)據(jù)壓縮的基本原理和方法，并且對兩種數(shù)據(jù)壓縮進行評價.三、實驗步驟1算法原理1.1Haar小波變換(1

2、) 平均，細節(jié)及壓縮原理設(shè)x1，x2是一組兩個元素組成的信號，定義平均與細節(jié)為a二(+x2)/2，d二(x2)/2。則可以將a，d作為原信號的一種表示，且信號可由a，d恢復(fù)，x1=a+dx2=a一d，o(2) 尺度函數(shù)和小波方程在小波分析中，引入記號e(t)=X0?1(t)，其中，X0?1(t)表示區(qū)間o,i上的特征函數(shù)。定義e(t)=e(2jtk),k=0,1,2j1j,k稱e(t)為Haar尺度函數(shù)。由上式可知，ejk都可以由e00(t)伸縮和平移得到。小波分析中，對于信號有不同分辨率的表示，當(dāng)用較低分辨率來表示原始信號時，會丟失細節(jié)信息，需要找到一個函數(shù)來描述這種信息，該函數(shù)稱之為小波函

3、數(shù)。基本的小波函數(shù)定義如下：1,0t1/2、屮(t)=X(t)X(t)=1,1/2t0,1/2)1/2,1)0,其他則屮(t)=e(2t)機2一1)。屮(t)稱為Haar小波。(t)二qJ()+0J()稱為兩尺度方程，(t)二%/廠稱為小波方程。J3)Haar小波變換計算方法設(shè)(X,X2，X)是一個長度為2n(n1)的離散信號序列，記為122n(an0,an1，,an)，該序列可以用如下的帶有尺度函數(shù)來表示：n,0n,1n,2n1f(t)=a(t)+.+a(t)n,0n,0n,2n1n,2n1一次小波分解的結(jié)果：f(t)=a(t)+.+a(t)+d屮(t)+.+d屮(t)n1,0n1,0n1,

4、2n11n1,2n11n1,0n1,0n1,2n11n1,2n11對上式積分，由尺度函數(shù)的正交性，可得J0f(t)ni,k(t)dt=an1,k。令k=0,得到a=(a+an1,0n,0n,1一般的，有a=(a+a)/V2,k=0,1,.2n-1-1n1,kn,2kn,2k+1同理，有d=(aa)/、；2,k=0,1,.2n-11n1,kn,2kn,2k+12. 傅里葉變換(1)一維連續(xù)函數(shù)的傅里葉變換定義設(shè)f(t)為連續(xù)的時間信號，則定義F(u)=J+f(t)e-j2zutdt為f(t)的傅里葉變換，其s反變換為f(u)=卜F(t)ej2zutdu。s(2)一維離散傅里葉變換對連續(xù)的時間信號

5、f(t)等間隔采樣，得到離散序列f(n)。假設(shè)采樣N次，則序列表示為f(0),f(1),.,f(N-1)。令口為離散變量，u為離散頻率變量，則一維離散傅里葉變換及其反變換定義：F(u)=N藝f(n)e-j曲n,u=0丄,-1n=0f(n)=藝F(u)ej2兀un/N,n=0,1,.,N一1u=0傅里葉變換的數(shù)學(xué)性質(zhì)中，最重要的一點是：一個在時域或空域上看起來很復(fù)雜的信號比如聲音或圖像)通常在頻域上只集中在很小一塊區(qū)域內(nèi)，而很大一部分數(shù)值都接近于零。即一個在空域中看起來占滿全空間的信號，從頻域中很可能只占用了極小一塊區(qū)域，而大部分頻率是被為零的。這就得到一個極為實用的結(jié)論：一個看起來信息量很大的

6、信號，其實可以只用極少的數(shù)據(jù)就可加以描述。只要對它先做傅里葉變換，然后只記錄那些不接近零的頻域信息就可以達到數(shù)據(jù)壓縮的目的。(3) 快速傅里葉變換FFT原理FFT的基本思想：將大點數(shù)的DFT分解為若干個小點數(shù)DFT的組合，從而減少運算量。1N-1令WN,k=e-j2znk/N，則F(u)可改寫為F(k)=N工f(n)WNn，k。令N=2M,其中VN=0F(k)=12MM為一正整數(shù)。帶入式中，得到逆-1f(n)Wn,k2Mn=0藝f(2n)Wn,k+丄藝f(2n+1)W“,kWkMMMM2MF伙)=丄藝f(nW)neMMn=0n=0n=0F(k)=丄藝f(2n+1)Wn,koMMn=0則有F(k

7、)=2IFe(kFo(k吧lF(k+M)=2IFe(k)-F(k叫l(wèi)上述推導(dǎo)說明：對一個長度為N的序列進行傅里葉變換可以通過將其劃分為2個N/2的序列進行傅里葉變換，對于N/2的傅里葉變換，可劃分為兩個N/4的變換，這一過程不斷迭代，知道兩點的序列為止，可計算出該序列的傅里葉變換。(4) 時間抽取的基2FFT蝶形算法對于(3)中的計算方法，可以采用蝶形運算符號來表示。本實驗中采用的算法是時間抽取的基2FFT算法實現(xiàn)快速傅里葉變換。3. 數(shù)據(jù)壓縮的評價準則(1)數(shù)據(jù)壓縮比設(shè)原始信號f(n)的數(shù)據(jù)量大小為S,經(jīng)過數(shù)據(jù)壓縮后，信號的數(shù)據(jù)量變?yōu)镸,般情況下MvS。則數(shù)據(jù)壓縮比率耳的定義為：由上式可知，

8、數(shù)據(jù)壓縮得越小，其數(shù)據(jù)壓縮比越大。(2)數(shù)據(jù)失真度對于壓縮后的數(shù)據(jù)，可以采用反變換等方式還原信號。設(shè)原信號為f(n)，還原信號為f1(n)，則我們定義還原信號與原始信號的差異為數(shù)據(jù)失真度。顯然，數(shù)據(jù)恢復(fù)越接近原始信號，數(shù)據(jù)失真度越小。4. 算法步驟1)Haar小波方法步驟a)讀入原始數(shù)據(jù)f(n)b) 對原始數(shù)據(jù)f(n)進行小波變換。對原始數(shù)據(jù)進行不同層級(分辨率)下的小波變換，得到不同的小波變換結(jié)果An,Dnc) 對于上步中的小波變換結(jié)果，把細節(jié)分量Dn置為0即濾波得到壓縮數(shù)據(jù)And) 對于濾波結(jié)果An，通過小波逆變換，恢復(fù)數(shù)據(jù)e) 計算恢復(fù)數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的差異，進行壓縮評價2)離散傅里葉變換

9、步驟a) 讀入原始數(shù)據(jù)f(n)b) 對原始數(shù)據(jù)f(n)進行離散傅里葉變換。使用蝶形算法計算傅里葉變換結(jié)果F(u)c) 對F(u)進行濾波，保留低頻成分，舍棄高頻成分，即得到原始數(shù)據(jù)的近似表示d) 對濾波結(jié)果的低頻數(shù)據(jù)，高頻分量恢復(fù)為零值，使用傅里葉反變換，恢復(fù)數(shù)據(jù)e) 計算恢復(fù)數(shù)據(jù)和原始數(shù)據(jù)的差異，進行壓縮評價5. 程序流程圖圖1Haar小波變換流程圖在圖1中，原始數(shù)據(jù)存放在文本文件eggs.txt中，由程序運行時讀入。對結(jié)果的濾波是舍棄小波分解的細節(jié)部分。計算結(jié)果寫入dwt.txt文件中。圖2Haar小波壓縮數(shù)據(jù)差異計算流程圖圖2是計算使用Haar小波進行數(shù)據(jù)壓縮后，與原始數(shù)據(jù)差異。圖中的f

10、(n)表示原始數(shù)據(jù)，A(n)是小波變化結(jié)果，fl(n)表示逆變換結(jié)果。圖3離散傅里葉變換流程圖圖3是傅里葉變換流程圖。原始數(shù)據(jù)是eggs.txt。對F(u)濾波時，舍棄高頻信息。計算結(jié)果寫入fft.txt文件中。圖4離散傅里葉變換壓縮數(shù)據(jù)差異計算流程圖圖4是傅里葉變化壓縮數(shù)據(jù)后的差異計算。傅里葉逆變換時，對于高頻分量補零，與低頻分量來恢復(fù)數(shù)據(jù)f1(n)。四、實驗結(jié)果分析1. 傅里葉變換西安科技大學(xué)計算機科學(xué)與技術(shù)學(xué)院11快速博里葉變換結(jié)卑:5.125832.613131.799951.414211.202691,682391.8195911.019591.UB2391.202G91.41421

11、I.7?52.613135.12583C-16,23.9457-16.6,6272?-l,-3.1S263-GZ742J(16,16傅里葉反變換結(jié)果,123455779181112131415lb12345G779IHLI121314IS16圖5測試數(shù)據(jù)集的FFT變換及IFFT變換結(jié)果在上圖中，得到測試數(shù)據(jù)集的傅里葉變換結(jié)果。圖中帶括號的是數(shù)據(jù)變換的復(fù)數(shù)結(jié)果后邊的小數(shù)是變換后的幅值?？梢钥闯?，在傅里葉變換的結(jié)果中，有1/2的數(shù)據(jù)經(jīng)過變換之后變?yōu)?值。這部分為0值的數(shù)據(jù)可以采用壓縮方式存儲，從而壓縮原始數(shù)據(jù)。并且，經(jīng)過傅里葉反變換后，原始數(shù)據(jù)可以得到良好的恢復(fù)?？焖兖^塁葉變換結(jié)果14215381

12、646-63-105129723,94V(112626,-7?89,?539,163C-29610.7f44H6.7267.&47C-127BBx5,-iaB2U)34.571218.723C-23783.7,.-19615.7126.427183.922C21S42_3,42fl63_BISE.711214.133(47717.,-26504213.371(-47249.4f9135.5718?.986C29375-3-58417_,325S.4Z1C-Z275.134H162,3i157x135C-1263?.2.4210.5179.616175.149C-25aSB,5rlllE)n-9

13、)1B9,745CE4035rXr-7S567,1?F_34RC-5RR5fl,6,-235Hfi,7)21R_832C24762.4,92GB.9163.2823362.7,4917.61?139.4G5C-1386-4,-81431322-43533J45.8,6B41.5nI32-3OSt-lfcG49.e,-109660J432.97949B.123(-5672Z,2-91554-O422,037L4G.B69C569S.91J.32921.32.2fZ2C-68?M.9,671S.22&9.G42(27301,9-Z022?-3(25844,.-51529.f)132,733-110

14、14.2,39275.3)346,22122S.1B31S9.338(-165T0-1-28T68.3?214.30311S13C-199B1*2,232M1.4119.63.S7S4(728.22384,6CltUSb.6,-4234.25.32?C-42206.1.-13533?173.13164.978&C-SU6.t8?23.2213.9U4(-165J0.4,.3795.65?G6.4809151.628ZV.67B?119.85?-9333.43,-23041.8?89,214?82.144712V.119(5865.19,-1564.23,711?Z4G,35428593.3,-

15、922.413111.751S?.3B1S(-265B6.3,14434.n119.171149.55-17E7_68,2HUEIB_57B-4627(17152.6,13691.3185.729SC759.442F13M7.2SI.4417C1971-9,1BSH2_1B3.797C859B.5B,-e45L47.0T727(138B5.-10478.707.702451.4629C60r?6,47,R47.1t2J.965R55-352?C13481.4,11662.69.fi32fiC1111B.4,3011.S444.99S2(19925,7,7261-&662-84Z4&1.FR99

16、圖6eggs.txt數(shù)據(jù)傅里葉變換結(jié)果使用eggs.txt中的數(shù)據(jù)時，由于數(shù)據(jù)量較大，此處只是部分數(shù)據(jù)截圖。數(shù)據(jù)不足2n的部分用零補齊?？梢钥闯?，變換后的數(shù)據(jù)幅值較大，且基本沒有為0數(shù)據(jù)。此時，采用閾值進行濾波處理，取閾值b二30，即將閾值小于30的值置為0。2. 小波變換圖7測試數(shù)據(jù)集的小波變換DWT由上圖的實驗結(jié)果可以看出，數(shù)據(jù)經(jīng)過小波變換后，其能量集中于數(shù)據(jù)的靠前的小波系數(shù)。對于相同的數(shù)據(jù)集，可以采用不同級別的小波變換數(shù)據(jù)。級力破變換結(jié)果0S1519-57fc70.036161-7328.444h242643B.8913907134?12235.872694.78143H543FH338

17、-9954,4472521.flR1955,06688.81943.840G30.40568197.2034010.716377.41902-8284S睥41197.131576-14197BB41-71933943-5333Q115h2589BHb5352BRR-743514-322334.fl?131.522214.253912.875105396.16655.656S53B2.B4213681436.841572.612054,854225.67482=954113=1371G4bB4sab爭1190.7?2627,61lB3e23R136-47254.44721071,277BB3.0

18、?4186.074437.81739.48324.562S71.3421346.332888.093807.772564.GS927.724763S5b29H21.151246.634835.91059,25114R?341202.7992530,034826/712831.263133.92975.511905,652167-9?2626,191679.381600.101352.71760.595176.01!2V41-5645Q5.6H122V.6b974.3931930.813R07,33786H3031578,2fi2317.1913107.63K9.59126811375110.3

19、09479.4103290.872M3,231445.3322.6274狂234735.3913162.101M9.15255B-314ftVls12h888.833793殂151U.16b2811950.913712.311B66.S5362h.7S2315,078R80.61021ET9U.141636.253937.863B9.61652.32594-17.5992022.333717.5719R9*!?210.01114.8-19211132.3B1994-75286S.033915.25 243V.52R581452030.81H_H_H_H_圖8eggs.txt數(shù)據(jù)小波變換結(jié)果由上圖，對于實驗數(shù)據(jù)，經(jīng)過小波變換后，大部分的數(shù)據(jù)都為0。正式小波變換的這一特點，使得小波變換可以用于數(shù)據(jù)的壓縮。五、實驗結(jié)論在報告的上兩節(jié)中，分別介紹了使用傅里葉變換和小波變換處理數(shù)據(jù)的方法。由實驗中，可以得到以下兩點：第一，傅里葉變換時數(shù)據(jù)的整體變換方法，數(shù)