大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)三線擺測量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)講義

1、用三線擺測量剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)簡介轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的量度，其量值取決于物體形狀、質(zhì)量分布及轉(zhuǎn)軸的位置。在科學(xué)實(shí)驗(yàn)、工程技術(shù)、航天、電力、機(jī)械、儀表等工業(yè)領(lǐng)域也是一個(gè)重要參量，例如：電磁系儀表的指示系統(tǒng)，因線圈的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同，可分別用于測量微小電流或電量。在發(fā)動(dòng)機(jī)葉片、飛輪、陀螺以及人造衛(wèi)星的外形設(shè)計(jì)上，精確地測定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，都是十分必要的。對(duì)于質(zhì)量分布均勻，外形不復(fù)雜的物體可以從它的外形尺寸的質(zhì)量分布用公式計(jì)算出相對(duì)于某一確定轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，而對(duì)外形復(fù)雜和質(zhì)量分布不均勻的物體只能通過實(shí)驗(yàn)的方法，來精確地測定物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，因而實(shí)驗(yàn)方法就顯得更為重要。本實(shí)驗(yàn)介紹的三線擺法是通過扭轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)測定

2、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，物理圖像清楚、儀器簡單、操作簡便易行、操作方便、精度較高，適合各種形狀的物體，在理論和技術(shù)上都有一定的實(shí)際意義。實(shí)驗(yàn)?zāi)康?. 掌握用三線擺測定物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法;2. 驗(yàn)證轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理3. 根據(jù)不確定度公式及實(shí)驗(yàn)裝置、儀器情況，合理選擇儀器和安排測量。實(shí)驗(yàn)儀器三線擺、秒表、游標(biāo)卡尺、米尺、水準(zhǔn)儀、待測金屬圓環(huán)、兩個(gè)質(zhì)量和形狀相同的金屬圓柱體。實(shí)驗(yàn)方法(含實(shí)驗(yàn)裝置)1、原理簡述：兩個(gè)半徑分別為r、R(R>r)的剛性圓盤，用對(duì)稱分布的三條等長的無彈性、質(zhì)量可忽略的細(xì)線相連，上盤固定，則構(gòu)成一振動(dòng)系統(tǒng)，稱為三線擺。將三線擺繞其中心的豎直軸扭轉(zhuǎn)一個(gè)小小的角度，在懸線張力

3、的作用下，圓盤在一確定的平衡位置左右往復(fù)扭動(dòng)，圓盤的振動(dòng)周期與其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)。懸掛物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不同，測出的轉(zhuǎn)動(dòng)周期就不同。測出與圓盤的振動(dòng)周期及其它有關(guān)量，就能通過轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算公式算出物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。如圖，當(dāng)上、下圓盤水平時(shí)，將上圓盤繞豎直的中心軸線O1O轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，借助懸線的張力使懸掛的大圓盤繞中心軸O1O繞扭擺轉(zhuǎn)動(dòng)。同時(shí)，下圓盤的質(zhì)心O將沿著轉(zhuǎn)動(dòng)軸升降，9是扭擺角，扭擺的過程中圓盤勢能與動(dòng)能的轉(zhuǎn)化過程，扭轉(zhuǎn)的周期與下圓盤(包括置于其上的剛體)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)。當(dāng)下圓盤的扭轉(zhuǎn)角9很小時(shí)，下圓盤的振動(dòng)可以看作理想的簡諧振動(dòng)，其勢能E和動(dòng)能E分別為PKE-mghP01)1 (dh¥

4、+mI2 0(dt丿2)其中m0是下圓盤的質(zhì)量，g為重力加速度，h為下圓盤在振動(dòng)時(shí)上升的高度理-為圓頻率，砂為下圓盤質(zhì)心的速度，i0為圓盤對(duì)qo軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。dtdt01如果忽略摩擦力的影響，在重力場中由于機(jī)械能守恒：1 (dh¥+mI2 0(dt丿+mgh-恒量03)因?yàn)橄聢A盤的轉(zhuǎn)動(dòng)能遠(yuǎn)大于上下運(yùn)動(dòng)的平動(dòng)能，于是近似有1 /Id9丫2 01dt丿+mgh-恒量04)通過計(jì)算可以得到將（5）代入（4）并對(duì)t求導(dǎo)得：6）7）d20mgRrn=00dt2IH0這是一個(gè)簡諧振動(dòng)的方程，其解為mgRrW2=0IH02兀將振動(dòng)周期T=蘭代入上式可以得到:0W8）由此可見，只要準(zhǔn)確測出三線擺的有

5、關(guān)參數(shù)m0、R、r、H和T0就可以精確地求出下圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I0。如果要測定一個(gè)質(zhì)量為m的物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可先測定無負(fù)載時(shí)下圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量/0，然后將待測物體放在下圓盤上，并注意，必須讓待測物的質(zhì)心恰好在儀器的轉(zhuǎn)動(dòng)軸上。測定整個(gè)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)周期片，則系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I1可由下式計(jì)算（m+m）gRrI=oT2（9）14兀2H11其中H為放了待測物之后的上、下盤間距，一般可以認(rèn)為H1沁H，則待測物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I為：I=II=gRr+m）T2mT2（10）104兀2H0100用這種方法，在滿足實(shí)驗(yàn)要求的條件下，可以測定任何形狀物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。用三線擺可以驗(yàn)證轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理。物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量取決于物

6、體形狀的質(zhì)量分布以及相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的位置。因此，物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量隨轉(zhuǎn)軸不同而改變，轉(zhuǎn)軸可以通過物體內(nèi)部也可以在物體外部。根據(jù)平行軸定理，物體對(duì)于任意軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量厶，等于通過此物體以質(zhì)心為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ic加上物體質(zhì)量m與兩軸間距離d平方的乘積，寫為：I=I+md2（11）ac通過改變d,測量Ia與岀的關(guān)系即可驗(yàn)證轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的平行軸定理。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1、用三線擺測圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,并計(jì)算其不確定度（1）測定儀器常數(shù)R、r、H（m0為已知），自擬實(shí)驗(yàn)步驟，確保三線擺上下圓盤的水平，使儀器達(dá)到最佳測量狀態(tài)，要恰當(dāng)選擇測量儀器和用具，減小測量不確定度。（2）測量下圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量10，并計(jì)算其不確定度。轉(zhuǎn)動(dòng)三線擺上方的

7、小圓盤，使其繞自身軸轉(zhuǎn)一角度0，借助線的張力使下圓盤作扭擺運(yùn)動(dòng)，利用公式（8）,求出I0,并推導(dǎo)出不確定度的傳遞公式，計(jì)算I0的不確定度。（3）測量圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在下圓盤上放上待測圓環(huán)，要注意使圓環(huán)的質(zhì)心恰好在轉(zhuǎn)動(dòng)軸上，測量系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量厶。圓環(huán)的質(zhì)量m為已知，測量內(nèi)外直徑D、D。利用（10）求出圓1內(nèi)外環(huán)的I,并與理論值進(jìn)行比較，求出相對(duì)誤差。理論值由下式計(jì)算I=-m62+D2）（12）8內(nèi)外（4）驗(yàn)證平行軸定理將質(zhì)量和形狀尺寸相同的兩個(gè)金屬圓柱重疊起來放在下圓盤上，注意使質(zhì)心與下圓盤的質(zhì)心重合。測量轉(zhuǎn)動(dòng)軸通過圓柱質(zhì)心時(shí)，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量£，然后將兩個(gè)圓柱對(duì)稱地置于下圓盤中心的兩側(cè)。測量此時(shí)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Ia。測量圓柱質(zhì)心到中心轉(zhuǎn)軸的距離d，代入式（11）,計(jì)算I，并與測量值Ia比aa較。改變d值，測量一組Ia，并作Iad2曲線，由曲線求出厶和m,并與實(shí)驗(yàn)測量值比較，給出結(jié)論。選做實(shí)驗(yàn)三線擺在擺動(dòng)中受到空氣阻尼，振幅越來越小，它的周期如何變化？請(qǐng)觀察實(shí)驗(yàn)給出結(jié)果，并給出理論根據(jù)。增選內(nèi)容設(shè)計(jì)方法測量一不規(guī)則形狀的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，使得誤差盡量小。實(shí)驗(yàn)的重點(diǎn)和難點(diǎn)解析重點(diǎn)是要了解用三線擺測物體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的實(shí)驗(yàn)原理以及學(xué)會(huì)對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的正確處理和不確定度分析。難點(diǎn)是掌握游標(biāo)卡尺、秒表等基本測量工具的正確使用方法，調(diào)節(jié)三線擺上下圓盤的水平，使儀器達(dá)到最佳測量狀態(tài)。思