工程振動(dòng)3——自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)

1、1. 復(fù)習(xí)模態(tài)分析理論1.1 單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)(幅頻、相頻、實(shí)頻與虛頻、品質(zhì)因子等)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)h(t)與系統(tǒng)的頻響函數(shù)H(®)是一對(duì)傅里葉變換對(duì)，與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)H(s)是一對(duì)拉普拉斯變換對(duì)。即有：H(o)=JXh(t)e-iOtdth律丁®H(O)e-iOtdoH(s)書h(t)e-stdth(t)=：jg盥H(o)eF22i復(fù)頻率響應(yīng)的實(shí)部ReH(o爪1-(o/«n)2l-(o/on)22+(2go/on)2復(fù)頻率響應(yīng)的虛部ImH(o)=-2go/On1-(o/on)22+(2go/on)2單自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)的各種表達(dá)式及其特征“()1，對(duì)頻響函

2、數(shù)特征的H(w)=2k-mw2+jT|k描述采用的幾種表達(dá)式1) 幅頻圖：幅值與頻率之間的關(guān)系曲線2) 相頻圖：相位與頻率之間的關(guān)系曲線3) 實(shí)頻圖：實(shí)部與頻率之間的關(guān)系曲線4) 虛頻圖：虛部與頻率之間的關(guān)系曲線5) 矢端軌跡圖(Nyquist圖)1.2 單自由度結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)頻響函數(shù)的各種表達(dá)形式頻響函數(shù)的基本表達(dá)式：H(o)=1=丄1=1.1k-mo2+jqkmo02-o2+jqo#k1-Q2+jn頻響函數(shù)的極坐標(biāo)表達(dá)式：H(o)=|H(o)，阮)=丄/1幅頻特性，kf2丿+q2mt一相頻特性。申=arctanII11-Q2丿頻響函數(shù)的直角坐標(biāo)表達(dá)式H(o)=HR(o)+jH1(o)HR(o

3、)=丄(_Q2)2hq2實(shí)頻特性，Hl(o)=丄虛頻特性頻響函數(shù)的矢量表達(dá)式：H(o)=HR(o)i+H1(o)j1.3 單自由度結(jié)構(gòu)阻尼系統(tǒng)頻響函數(shù)各種表達(dá)式圖形及數(shù)字特征幅頻特性：固有頻率：®0=®D阻尼比：“嗨斗Am11一m0m0相頻特性實(shí)頻特性：|H（蟻-固有頻率由零點(diǎn)M確定阻尼=gKAmm0m0正負(fù)極值點(diǎn)水平距離反映阻尼大小虛頻特性：比較虛頻曲線與幅頻曲線，二者形狀相同不過一為負(fù)峰一為正峰，但虛頻曲線半功率帶寬內(nèi)的點(diǎn)較幅頻曲線多，故用虛頻曲線作參數(shù)識(shí)別較幅頻曲線要好。Nyquist圖作參數(shù)識(shí)別較好。Nyquist圖：無論阻尼多大，半功率點(diǎn)總位于水平直徑兩端，半功率

4、點(diǎn)之間的曲線范圍相當(dāng)大，共振區(qū)在Nyquist圖上最易反映出來，故用對(duì)數(shù)幅頻圖：Bode圖不僅能在很寬頻段內(nèi)反映系統(tǒng)的幅頻特性而且能將低頻段和高頻段內(nèi)幅2.Z：/I1M頻特性用最突出的特征反映出來。2. 預(yù)習(xí)多自由度系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)2.1實(shí)模態(tài)分析對(duì)一個(gè)有n個(gè)自由度的振動(dòng)系統(tǒng)，需用n個(gè)獨(dú)立的物理坐標(biāo)描述其物理參數(shù)模型。在線性范圍內(nèi)，物理坐標(biāo)系中的自由振動(dòng)響應(yīng)為n個(gè)主振動(dòng)的線性疊加,每個(gè)主振動(dòng)都是一種特定形態(tài)的自由振動(dòng)（簡諧振動(dòng)或衰減振動(dòng)），振動(dòng)頻率即系統(tǒng)的主頻率（固有頻率或阻尼固有頻率），振動(dòng)形態(tài)即系統(tǒng)的主振型（模態(tài)或固有振型），對(duì)應(yīng)每個(gè)阻尼系統(tǒng)的主振型有相應(yīng)的模態(tài)阻尼。本節(jié)用模態(tài)坐標(biāo)法研究模態(tài)參

5、數(shù)模型和非參數(shù)模型。坐標(biāo)變換法的基礎(chǔ)是求解系統(tǒng)特征值問題。特征值與模態(tài)頻率和模態(tài)阻尼有關(guān)（不一定就是模態(tài)頻率）特征矢量與模態(tài)矢量相聯(lián)系（不一定就是模態(tài)矢量）。對(duì)無阻尼和比例阻尼系統(tǒng)，表示系統(tǒng)主振型的模態(tài)矢量實(shí)數(shù)矢量，故稱實(shí)模態(tài)系統(tǒng)，相應(yīng)的模態(tài)分析過程是實(shí)模態(tài)分析。2.2實(shí)模態(tài)坐標(biāo)系中的自由響應(yīng)根據(jù)特征矢量的正交性，n個(gè)線性無關(guān)的特征矢量j構(gòu)成一個(gè)n維矢量空間i的完備正交基，稱這一n維空間為模態(tài)空間或模態(tài)坐標(biāo)系。對(duì)于實(shí)模態(tài)系統(tǒng)，模態(tài)矢量構(gòu)成的模態(tài)空間是實(shí)線性空間。設(shè)物理坐標(biāo)系中的矢量x在模態(tài)坐標(biāo)系中的模態(tài)坐標(biāo)為y（i=l,2,n）,則x=n%=”。它是以j為變換矩陣的線性變換，i=1ii反映了物

6、理坐標(biāo)系與模態(tài)坐標(biāo)系的關(guān)系，也稱為模態(tài)展開定理。nx=工y疔申yi=1代入到振動(dòng)方程中，左乘亦，注意模態(tài)矢量的正交性，得到微分方程。寫成正則形式dir+dik?？梢?，在模態(tài)坐標(biāo)系中，無阻尼自由振動(dòng)方程變成一組解耦的振動(dòng)diagm,y+diagkjy=0其中Y'=y+diag応y=0考慮初始條件y0=diagm?TMx0i1ty0=px0=dlagpMx0mi得模態(tài)坐標(biāo)系中的自由響應(yīng)y,=Y,sin（®/+0.），ii0ii0=arctan零為與初始條件有關(guān)的常量。0.arctany0.2.3 物理坐標(biāo)系中的自由響應(yīng)=片mt+0)_片D”+0)式中D=pY(.12)如果系統(tǒng)以某

7、階固有頻率«x=工®iYsin(o.t+0.)-工D.sin(o.t+0.)D.=*%(.=1,2，,n)0.=1.=1振動(dòng)，則振動(dòng)規(guī)律D,(t0)(.12)無阻尼系統(tǒng)的主振動(dòng)。由于Yl是與初始條Xj=D.sin(Wg.t+0.)(=1,2，,n)l件有關(guān)的常量，因此，系統(tǒng)以某階固有頻率“做自由振動(dòng)時(shí)，振動(dòng)形態(tài)D.與主振型m完全町19相同，這就是主振型的物理意義。進(jìn)一步討論主振型的性態(tài)?？疾熘髡駝?dòng)下各個(gè)物理坐標(biāo)的振動(dòng)情況，寫出Xi=Djsin(°f+i)(i=12,n)中每個(gè)元素Xki=Dkisin(®Oit+0;-)=kiYisin(®Qi-

8、t+0;-)(k=1,2，-,n)在第i個(gè)主振動(dòng)中，0為與初始條件有關(guān)的常值，與物理坐標(biāo)k無關(guān)。i2.4 多自由度系統(tǒng)的復(fù)模態(tài)分析具有一般粘性阻尼和一般結(jié)構(gòu)阻尼振動(dòng)系統(tǒng)的模態(tài)矢量是復(fù)矢量，有關(guān)的模態(tài)分析基本理論稱為復(fù)模態(tài)分析。復(fù)模態(tài)矢量不具備實(shí)模態(tài)系統(tǒng)中模態(tài)矢量那樣關(guān)于M、K、C的正交性。一般粘性阻尼系統(tǒng)以某階主振動(dòng)做自由振動(dòng)時(shí)，每個(gè)物理坐標(biāo)的初相位不僅與該階主振動(dòng)有關(guān)，還與物理坐標(biāo)k有關(guān)，即各物理坐標(biāo)的初相位不同。因而，每個(gè)物理坐標(biāo)振動(dòng)時(shí)并不同時(shí)到達(dá)平衡位置和最大位置，即主振型節(jié)點(diǎn)和（線）是變化的。不具備模態(tài)保持性，主振型不再是駐波形式，而是行波形式，這是復(fù)模態(tài)系統(tǒng)的特點(diǎn)。從物理模型到模態(tài)模型的轉(zhuǎn)換，是方程Mx+Cx+Kx=f(t)解耦的數(shù)學(xué)過程。從物理意義上來認(rèn)識(shí)，這是一種從力的平衡方程變?yōu)槟芰科胶夥匠痰倪^程。方程Mx+Cx+Kx=f（t）是根據(jù)達(dá)朗貝爾原理和虎克定律建立的，在物理坐標(biāo)系統(tǒng)中，其質(zhì)量陣、剛度陣中一般有一個(gè)，有時(shí)兩個(gè)都是非對(duì)角陣，使運(yùn)動(dòng)方程不能解耦。在模態(tài)坐標(biāo)系統(tǒng)中，模態(tài)坐標(biāo)yi代表在位移向量中第i階固有振型（模態(tài)振型）所作的貢獻(xiàn)，方