4.2三角形四心的向量問題

1、相關(guān)三角形“四心”的向量問題一知識梳理：四心的概念介紹：(1) 重心：中線的交點(diǎn)，重心將中線長度分成2:1；(2) 垂心：高線的交點(diǎn)，高線與對應(yīng)邊垂直；內(nèi)心：角平分線的交點(diǎn)(內(nèi)切圓的圓心)，角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等；外心：中垂線的交點(diǎn)(外接圓的圓心)，外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。與“重心”相關(guān)的向量問題【命題1】已知G是ABC所在平面上的一點(diǎn)，若GAGBGC0，則G是ABC的重心.如圖.OA,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)【命題2】已知0是平面上一定點(diǎn)，OP=0A(ABAC),(0,)，則P的軌跡一定通過ABC的重心.IH【解析】由題意A(ABAC)，當(dāng)(0,：)時(shí)，因?yàn)?A

2、BAC)表示P滿足BC邊上的中線所在直線的向量，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的重心，如圖.7與“垂心”相關(guān)的向量問題【命題3】P是厶ABC所在平面上一點(diǎn)，若PA=PB=PCPA，則P是厶ABC的垂心.【解析】由PAPBI)=00，所以PB丄.同理可證PC丄AB,PA丄BCP是ABC的垂心如圖CBA,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=0A亠的垂心.【解析】由題意因?yàn)锳CABcosB1ACcosC-（o,二）,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過ABCABcosB即BAP=ABcosB-AC-ACcosC匹.cosB'ACACcosC-'CB'ACcosC-0,所以AP表示

3、垂直于BC的向量,在過點(diǎn)A且垂直于BC的直線上，所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的垂心，如圖.【命題5】若H為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),2+CA12HC+AB則點(diǎn)H是ABC的垂心證明:-HA.(HAHB)BA=(CACB)*BA得(HAHB-CA-CB)BA=0即(HCHC)BA=0AB_HC同理AC_HB,BC_HA,故H是AABC的垂心與“內(nèi)心”相關(guān)的向量問題BC=a.若【命題6】已知IABC所在平面上的一點(diǎn)，且AB=c,AC=b,alAbIBcIC=0，則I是厶ABC的內(nèi)心.【解析】竟fAAB,在"，則由題意得（abc嵌bABcAC=0,Al=bc.T與AC分別為AB和AC方向上的單

4、位向量，a+b+c*AB|aC|aB|ACAl與/BAC平分線共線，即Al平分.BAC.同理可證：Bl平分.ABC,Cl平分.ACB.從而I是厶ABC的內(nèi)心，如圖.【命題7】已知O是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足/:-（0,：），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的內(nèi)心.【解析】由題意得AC二當(dāng)（0,二）時(shí),AP表示.BAC的平分線所在直線方向的向量，故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的內(nèi)心，如圖.與“外心”相關(guān)的向量問題【命題8】已知O是ABC所在平面上一點(diǎn)，若OA?二OB?二OC2，則O是ABC的外心.【解析】若OAtCABCAB2x=OC，則外心，如.圖。OA-OB-OC

5、2,OA=OB-OC，則o是【命題9】已知8是平面上的一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足'BcosBAC-ACcosC（0,：），則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的外心?！窘馕觥恳?yàn)門T°B°C過BC的中點(diǎn),2當(dāng)，三（0,：）時(shí)，ABABcosBAC+ACcosC示垂直于BC的向量（注意：理由見二、4條解釋。），所以P在BC垂直平分線上，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過ABC的外心，如圖四心的相互關(guān)系1. 三角形外心與垂心的向量關(guān)系及應(yīng)用設(shè)厶ABC的外心為°，則點(diǎn)HABC的垂心的充要條件是OH=OA，OB°C。2. 三角形外心與重心的向量關(guān)系及

6、應(yīng)用設(shè)ABC的外心為°,則點(diǎn)G為ABC的重心的充要條件是二1（OA：OB:oC）33. 三角形的外心、重心、垂心的向量關(guān)系及應(yīng)用三點(diǎn)共線（°、G、HP滿足設(shè)厶ABC的外心、重心、垂心分別為°、G、H，則°、G、H三點(diǎn)連線稱為歐拉線），且OG=1GH。2二.鞏固練習(xí)選擇題1.已知A,B,C是平面上不共線的三點(diǎn)，°是厶ABC的重心，動(dòng)點(diǎn)111OP（OAOB2OC）,則點(diǎn)P一定為ABC的（）322A.AB邊中線的中點(diǎn)B.AB邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）C.重心個(gè)平面上有ABC及點(diǎn)°滿足關(guān)系式：222°ABC°B2CA22=

7、°CAB，則°為ABC的（）A外心內(nèi)心C重心D垂心3.已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足：PAPB0，則P為ABC的（）A外心B內(nèi)心C重心D垂心D.AB邊的中點(diǎn)4.已知°是平面上定點(diǎn)，代B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足：OPO（ABAC），則P的軌跡一定通過ABC的（）0A外心E內(nèi)心C重心D垂心5.已知ABC,P為三角形所在平面上的動(dòng)點(diǎn)，且動(dòng)點(diǎn)P滿足PAPCPAPBFBPCe則p點(diǎn)為三角形的（）A夕卜心E內(nèi)心C重心D垂心6.已知ABC,P為三角形所在平面上的一點(diǎn),且點(diǎn)P滿足:87已知非零向量AB與AC滿足|ABACABACBC=0且TTABACab|ac|則P點(diǎn)為三角形的（）A外心B內(nèi)心C重心D垂心22T7在，ABC中,動(dòng)點(diǎn)P滿足:CA=CB-2ABCP，則P點(diǎn)軌跡一定通過-ABC的（)A外心B內(nèi)心C重心D垂心則ABC為（）A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形TTTTTT8點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足OAOB=OBOC=OCOA，則點(diǎn)O是ABC的（）A三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C三條中線的