利用反證法解幾何問(wèn)題

1、利用反證法解幾何問(wèn)題作者：宋海峰單位：新鄉(xiāng)市第十一中學(xué)專(zhuān)業(yè)：數(shù)學(xué)時(shí)間：2008、6利用反證法解幾何問(wèn)題新鄉(xiāng)市第十一中學(xué)宋海峰摘要：闡明反證法的定義、種類(lèi)以及證明的一般步驟，探索了反證法在中學(xué)數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：反證法、證明、矛盾、補(bǔ)集反證法是數(shù)學(xué)中常用的一種方法，我們對(duì)一些數(shù)學(xué)命題的證明，如果從正面入手實(shí)行解答比較困難或較為繁雜時(shí)，可從反面或側(cè)面實(shí)行考慮，通過(guò)先解決其反面問(wèn)題，利用補(bǔ)集思想，進(jìn)而使問(wèn)題得到解決，這樣解決問(wèn)題的方法，就是正反則反的思想方法反證法就是正反則反的思想方法的重要體現(xiàn)。反證法特別適用于否定性、存有性、唯一性問(wèn)題。應(yīng)該說(shuō)“反證法是一個(gè)積極的、主動(dòng)的證明大法”。反證

2、法也稱(chēng)為歸謬法。英國(guó)數(shù)學(xué)家哈代（G.H.Hardy,1877-1947）對(duì)于這樣證法給過(guò)一個(gè)很有意思的評(píng)論。在棋類(lèi)比賽中，經(jīng)常采用一種策略，叫“棄子取勢(shì)”，即犧牲一些棋子以換取優(yōu)勢(shì)。哈代指出，歸謬法是遠(yuǎn)比任何棋術(shù)更為高超的一種策略。棋手能夠犧牲的是幾個(gè)棋子，而數(shù)學(xué)家能夠犧牲的整個(gè)一盤(pán)棋。歸謬法就是作為一種能夠想象的最了不起的策略而產(chǎn)生的。用反證法證明一個(gè)命題常采用以下步驟：（1）假定命題的結(jié)論不成立，（2）實(shí)行推理，在推理中出現(xiàn)下列情況之一：與已知條件矛盾；與公理或定理矛盾，（3）因?yàn)樯鲜雒艿某霈F(xiàn)，能夠斷言，原來(lái)的假定“結(jié)論不成立”是錯(cuò)誤的，（4）肯定原來(lái)命題的結(jié)論是準(zhǔn)確的。反證法在數(shù)學(xué)解題

3、當(dāng)中是一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，它在幾何題目的應(yīng)用極為廣泛，在平面幾何、立體幾何、解析幾何都有應(yīng)用，在這里選擇幾個(gè)有代表性的題目，加3以介紹說(shuō)明:、證明幾何量之間的關(guān)系例1已知：四邊形ABCD中，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn),1EF(ABCD)。2求證：AB/CD。證明：假設(shè)AB不平行于CD。如圖，連結(jié)E、F、G分別是AD、BC、AC的中點(diǎn)，1GE/CD,GECD；GF/AB,2AC,取AC的中點(diǎn)G,連結(jié)EG、FG。G1AB。2AB不平行于CD, GE和GF不共線，GEGFEF1GE、GF、EF組成一個(gè)三角形。但GEGF(ABCD)二EF2與矛盾。AB/CD例2:直線PO與平面：相交于OPOA=

4、POB=POC。求證：PO_。證明：假設(shè)PO不垂直平面。作PH_:-并與平面:-相交于H，此時(shí)I由P作PE_OA于E,PF_OB于F,根據(jù)三垂線定理可知，HE_OA,HF.POA二.POB,PO是公共邊，RtPOE二RtPOFOE=OF又OH-OH RtOFH三RtOEH FOH所以，OH同理可證，但是，OB二/EOH是.AOB的平分線。0H是.AOC的平分線。和OC是兩條不重合的直線,盾。，過(guò)點(diǎn)0在平面：內(nèi)引直線OA、OB、OC，H、0不重合，連結(jié)0H。PO_：。例3:已知A、B、C、D是空間的四個(gè)點(diǎn)，AB、CD是異面直線。求證：AC和BD是異面直線。證明：假設(shè)AC和BD不是異面直線，那么A

5、C和BD在同一平面內(nèi)。所以，A、C、B、D四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，這樣，AB、CD就分別有兩個(gè)點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi)，則AB、CD在這個(gè)平面內(nèi)，即AB和CD不是異面直線。這與已知條件產(chǎn)生矛盾。所以，AC和BD是異面直線上面所舉的例子，用直接證法證明都比較困難，尤其是證兩條直線是異面直線，常采用反證法。二、證明“唯一性”問(wèn)題在幾何中需要證明符合某種條件的點(diǎn)、線、面只有一個(gè)時(shí)，稱(chēng)為“唯一性”問(wèn)題。例3：過(guò)平面:-上的點(diǎn)A的直線a二，求證：a是唯一的。證明：假設(shè)a不是唯一的，則過(guò)A至少還有一條直線b，b_:a、b是相交直線，a、b能夠確定一個(gè)平面1。設(shè)：和：相交于過(guò)點(diǎn)A的直線C。a_,b_,a_c,b_c。這樣在

6、平面：內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A就有兩條直線垂直于C，這與定理產(chǎn)生矛盾。所以，a是唯一的。例4：試證明：在平面上所有通過(guò)點(diǎn)（.2,0）的直線中，至少通過(guò)兩個(gè)有理點(diǎn)（有理點(diǎn)指坐標(biāo)x、y均為有理數(shù)的點(diǎn)）的直線有一條且只有一條。證明：先證存有性。因?yàn)橹本€y=0，顯然通過(guò)點(diǎn)（2,0），且直線y=0至少通過(guò)兩個(gè)有理點(diǎn)，例如它通過(guò)（0,0）和（1,0）。這說(shuō)明滿(mǎn)足條件的直線有一條。再證唯一性。假設(shè)除了直線y二0外還存有一條直線y二kxb（k=0或b=0）通過(guò)點(diǎn)（2,0）,且該直線通過(guò)有理點(diǎn)人（&,%）與B（X2,y2），其中、X2、y2均為有理數(shù)。因?yàn)橹本€y=kxb通過(guò)點(diǎn)（.2,0）,所以-2k，于是y二k（x-

7、2），且k=0。又直線通過(guò)A（xi,yi）與B（X2,y2）兩點(diǎn)，所以力二k（xi-.2）,y=k（x-：-；'2）一，得y1-y2=k(xx2)。因?yàn)锳、B是兩個(gè)不同的點(diǎn)，且k=0，所以Xi=x2,y-y2,由，得k匸上，且k是不等于零的有理數(shù)。XX?由，得.2=x1-“。k此式的左邊是無(wú)理數(shù)，右邊是有理數(shù)，出現(xiàn)了矛盾。所以，平面上通過(guò)點(diǎn)（.2,0）的直線中，至少通過(guò)兩個(gè)有理點(diǎn)的直線只有一條。綜上所述，滿(mǎn)足上述條件的直線有一條且只有一條。關(guān)于唯一性的問(wèn)題，在幾何中有，在代數(shù)、三角等學(xué)科中也有。這類(lèi)題目用直接證法證明相當(dāng)困難，所以一般情況下都采用間接證法。即用反證法或同一法證明，用反證

8、法證明有時(shí)比同一法更方便。三、證明不可能問(wèn)題幾何中有一類(lèi)問(wèn)題，要證明某個(gè)圖形不可能有某種性質(zhì)或證明具有某種性質(zhì)的圖形不存有。它們的結(jié)論命題都是以否定形式出現(xiàn)的，若用直接證法證明有一定的困難。而它的否定命題則是某個(gè)圖形具有某種性質(zhì)或具有某種性質(zhì)的圖形存有，所以，這類(lèi)問(wèn)題非常適宜用反證法。例5:求證：拋物線沒(méi)有漸近線。證明：設(shè)拋物線的方程是y2=2px（p=0）。假設(shè)拋物線有漸近線，漸近線的方程是y=axb，易知a、b都不為0。因?yàn)闈u近線與拋物線相切于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，于是方程組:y2=2px（1）y=ax+b（2）的兩組解的倒數(shù)都是0。將（2）代入（1），得222ax2（ab-p）xb=0（3）設(shè)X、X

9、2是（3）的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理，可知2(ab-p)b2XX2=2，X1X2_2aa則丄1XX2'2(ab-一24,XX2X1X2b2%x2%x2b2(5)由(4)、(5),可推得p=0,這于假設(shè)p=0矛盾。所以，拋物線沒(méi)有漸近線。關(guān)于不可能問(wèn)題是幾何中最常見(jiàn)也是非常重要的一種類(lèi)型。因?yàn)樗慕Y(jié)論是以否定形式出現(xiàn),采用直接證法有困難，所以這類(lèi)問(wèn)題一般都使用反證法加以證明。四、證明“至少存有”或“不多于”問(wèn)題在幾何中存有一類(lèi)很特殊的問(wèn)題，就是證明具有某種性質(zhì)的圖形至少有一個(gè)或不多于幾個(gè)。因?yàn)檫@類(lèi)問(wèn)題能找到直接論證的理論根據(jù)很少，用直接證法有一定困難。如果采用反證法，添加了否定結(jié)論這個(gè)新的假設(shè)

10、，就能夠推出更多的結(jié)論，容易使命題獲證。例6:已知：四邊形ABCD中，對(duì)角線AC=BD=1。求證：四邊形中至少有一條邊不小于。2證明：假設(shè)四邊形的邊都小于，因?yàn)樗倪呅沃兄辽儆幸粋€(gè)角不是鈍角(這個(gè)結(jié)論也可用反2證法證明)，不妨設(shè).A90°，根據(jù)余弦定理，得BD2=AD2AB2-2ADABcosA，222BD-ADAB,即BD乞AD2AB2：-.(2)2(2)2=1。22這與已知四邊形BD=1矛盾。所以，四邊形中至少有一條邊不小于。2總來(lái)說(shuō)之，反證法是證明數(shù)學(xué)命題的一種重要方法，是數(shù)學(xué)家的一個(gè)精良武器.一般地說(shuō)，當(dāng)“結(jié)論”的反面比“結(jié)論”本身更簡(jiǎn)單、更詳細(xì)、更明確時(shí)，宜考慮用反證法去證。其次，否定型命題(命題的結(jié)論是不可能”，不能表示為”，不是”，不存有”不等于”，不具有某種性質(zhì)”等)，唯一性命題，存有性命題，至少”、至多”型命題，某些命題的逆命題等都可用反證法去證。此外，有的肯定式命題，因?yàn)橐阎?，或結(jié)論涉及到無(wú)限個(gè)元素，(4)7如“無(wú)限多個(gè)數(shù)”，“無(wú)窮多交點(diǎn)”，“無(wú)限不循環(huán)小數(shù)”等，因?yàn)槲覀円苯幼C明無(wú)限的情形比較困難，因而也往往采用反證法。反