曾謹(jǐn)言量子力學(xué)教程第3版知識(shí)點(diǎn)總結(jié)筆記課后答案

1、第1章波函數(shù)與Schr?dinger方程1.1復(fù)習(xí)筆記一、波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋1.實(shí)物粒子的波動(dòng)性deBroglie(1923)提出了實(shí)物粒子(靜質(zhì)量M0的粒子,如電子)也具有波粒二象性(wave-particleduality)的假設(shè),即與動(dòng)量為p和能量為E的粒子相應(yīng)的波的波長(zhǎng)活口頻率必弁稱之為物質(zhì)波(matterwave).2.波粒二象性的分析(1)包括波動(dòng)力學(xué)創(chuàng)始人Schr?dinger,deBroglie等在內(nèi)的一些人,他們?cè)?jīng)把電子波理解為電子的某種實(shí)際結(jié)構(gòu),即看成三維空間中連續(xù)分布的某種物質(zhì)波包.物質(zhì)波包的觀點(diǎn)顯然夸大了波動(dòng)性一面,而實(shí)質(zhì)上抹殺了粒子性一面,是帶有片面性的.(2)與物質(zhì)

2、波包相反的另一種看法是：波動(dòng)性是由于有大量電子分布于空間而形成的疏密波.它夸大了粒子性一面,而實(shí)質(zhì)上抹殺了粒子的波動(dòng)性一面,也帶有片面性.然而,電子究竟是什么東西是粒子還是波電子既是粒子,也是波,它是粒子和波動(dòng)兩重性矛盾的統(tǒng)一.但這個(gè)波不再是經(jīng)典概念下的波,粒子也不再是經(jīng)典概念中的粒子.3 .概率波,多粒子體系的波函數(shù)把粒子性與波動(dòng)性統(tǒng)一起來.更確切地說,把微觀粒子的原子性與波的相干疊加性統(tǒng)一起來的是M.Born1926提出的概率波.3I,232表征在r點(diǎn)處的體積元3&心工中找到粒子的概率.這就是Born提出的波函數(shù)的概率詮釋.它是量子力學(xué)的根本原理之一.根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)詮釋,很自然要

3、求該粒子不產(chǎn)生,不湮沒在空間各點(diǎn)的概率之總和為1,即要求波函數(shù)小r滿足以下條件1必)|工1(dVdrdydr)這稱為波函數(shù)的歸一化normalization條件.歸一化條件就可以簡(jiǎn)單表示為4 .動(dòng)量分布概率f6P>=兩/司中動(dòng)量分布概率密度即卜p.5 .不確定性原理與不確定度關(guān)系A(chǔ)r*M衣A/2不管粒子處于什么量子態(tài)下,它的位置坐標(biāo)和動(dòng)量不能同時(shí)具有完全確定的值,這就是Heisenberg的不確定性原理,上式是它的數(shù)學(xué)表示式,它是波粒二象性的反映.6,力學(xué)量的平均值與算符的引進(jìn)令稱為動(dòng)量算符.7=斷"九f-VEC動(dòng)罪算符*J獷5他"/-rXp知?jiǎng)觢it算符.l是一個(gè)矢

4、量算符.它的三個(gè)分量可以表示為L(zhǎng)亞訪卅二一值卜六一之h=通一通=一諾卜/一才於L=丁¥一面."一話卜奈/芝一般說來,粒子的力學(xué)量A的平均值可如下求出A工,小,r為,d,?曲麗A是與力學(xué)量A相應(yīng)的算符.如波函數(shù)未歸一化,那么A年海/帆/與經(jīng)典HamiltonitH=T+V相應(yīng)的算符表示為M/+Vgdm7 .統(tǒng)計(jì)詮釋對(duì)波函數(shù)提出的要求統(tǒng)計(jì)詮釋賦予了波函數(shù)確切的物理含義.根據(jù)統(tǒng)計(jì)詮釋,究竟應(yīng)對(duì)波函數(shù)小r提出哪些要求1根據(jù)統(tǒng)計(jì)詮釋,要求|小r|2取有限值似乎是必要的,即要求小r取有限值.2根據(jù)統(tǒng)計(jì)詮釋,一個(gè)真實(shí)的波函數(shù)需要滿足歸一化條件平方可積但概率描述中實(shí)質(zhì)的問題是相對(duì)概率.因此

5、,在量子力學(xué)中弁不排除使用某些不能歸一化的理想的波函數(shù).3根據(jù)統(tǒng)計(jì)詮釋,要求|小r|2單值.是否由此可得出要求小r單值否.4波函數(shù)小r及其各階微商的連續(xù)性.二、Schr?dinger方程8 .Schr?dinger方程的弓I進(jìn)謂V1+在勢(shì)場(chǎng)Vr中的粒子的波函數(shù)滿足的微分方程,稱為Schr?dinger波動(dòng)方程,它揭示了微觀世界中物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的根本規(guī)律.2.Schr?dinger方程的討論(1)定域的概率守恒對(duì)于一個(gè)粒子來說,在全空間中找到它的概率之總和應(yīng)不隨時(shí)間改變.即IHr=0(1)式為概率守恒的微分表達(dá)式,其形式與流體力學(xué)中的連續(xù)性方程相同.(2)初值問題,傳播子Schr?dinger方程給出

6、了波函數(shù)(量子態(tài))隨時(shí)間演化的因果關(guān)系,取初始時(shí)刻為t；那么t時(shí)刻波函數(shù)可以表示為d-山/>H>/)稱為傳播子(propagator,).可以證實(shí)HrpGC,*.,/)=Sir/)力就是t時(shí)刻在r點(diǎn)找到粒子的概率波幅.3,能量本征方程以下討論一個(gè)極為重要的特殊情況一一假設(shè)勢(shì)能V不顯含t(經(jīng)典力學(xué)中,在這種勢(shì)場(chǎng)中的粒子的機(jī)械能是守恒量).其中小E(r)滿足以下方程：I"一受V'+V(熱=如(2)在有的條件下,特別是束縛態(tài)邊條件,只有某些離散的E值所對(duì)應(yīng)的解才是物理上可以接受的.這些E值稱為體系的能量本征值(energyeigenvalue),而相應(yīng)的解小(r)稱為能

7、量本征函數(shù)(energyeigenunction).方程(2)就是勢(shì)場(chǎng)V(r)中粒子的能量本征方程,也稱為不含時(shí)(time-independent)Schr?dinger方程.不同的能量本征值相應(yīng)的本征函數(shù)是正交歸一化的(設(shè)E取離散值),即(強(qiáng),也"")=Schr?dinger方程的更普遍的表示是3方是體系的Hampton算符.當(dāng)門不顯含t時(shí),體系的能量是守恒量,方程3可以別離變量.此時(shí),不含時(shí)Schr?dinger方程,即能量本征方程,為HJj=4.定態(tài)與非定態(tài)假設(shè)在初始時(shí)刻t=0體系處于某一個(gè)能量本征態(tài)小r,0=歸,那么中=#(d、(4)形式如式4的波函數(shù)所描述的態(tài),稱

8、為定態(tài)stationarystate.處于定態(tài)下的粒子具有如下特征:1粒子在空間的概率密度pr=|小r|2以及概率流密度j顯然不隨時(shí)間改變2任何不顯含t的力學(xué)量的平均值不隨時(shí)間改變.3任何不顯含t的力學(xué)量的測(cè)量概率分布也不隨時(shí)間改變.由假設(shè)干個(gè)能量不同的本征態(tài)的疊加所形成的態(tài),稱為非定態(tài)nonstationarystate.設(shè)體系由N個(gè)粒子組成,粒子質(zhì)量分別為mi(i=1,2,3,N).體系的波函數(shù)表示為小(r1,rN,t).設(shè)第i個(gè)粒子受到的外勢(shì)場(chǎng)為Ui(ri),粒子之間相互作用為V(r1,¥7),那么Schr?dinger方程表示為其中IT+音+言而不含時(shí)Schr?dinger方

9、程表示為與卜Y:+5(n)+V(n.,rG=勒g,心)E為多粒子體系的能量.三、量子態(tài)疊加原理1 .量子態(tài)及其表象當(dāng).(r)給定后,三維空間中一個(gè)粒子所有力學(xué)量的測(cè)值概率分布就確定了.從這個(gè)意義上來講,小(r)完全描述了一個(gè)三維空間中粒子的量子態(tài).所以波函數(shù)也稱為態(tài)函數(shù).2 .量子態(tài)疊加原理,測(cè)量與波函數(shù)坍縮(1)設(shè)體系處于時(shí)苗述的態(tài)下,測(cè)量力學(xué)量A所得結(jié)果是一個(gè)確切直a1即也稱為A的本征態(tài),A的本征值為a1.又假設(shè)在必態(tài)下,測(cè)量A得的結(jié)果是另一個(gè)確切值a2電也是A的一個(gè)本征態(tài),本征值為%.那么在電C*+-所描述的狀態(tài)下,測(cè)量A所得結(jié)果,既可能為a1,也可能為a2但不會(huì)是另外的值,而測(cè)得結(jié)果為2或22的相對(duì)概率是完全確定的.我們滿意是G態(tài)和6態(tài)的相干疊加態(tài).2根據(jù)vonNeumann的看法,量子態(tài)坍縮collapse即在測(cè)量過程中,粒子的狀態(tài)從疊加態(tài)坍縮成為某一能量本征態(tài)61,2課后習(xí)題詳解1.1設(shè)質(zhì)量為m的粒子在勢(shì)場(chǎng)Vr中運(yùn)動(dòng).a證實(shí)粒子的能量平均值為e-印下一式中w工方2I-1能