線性空間習(xí)題學(xué)習(xí)教案

1、線性空間線性空間(kngjin)習(xí)題習(xí)題第一頁，共36頁。 )(Af解：構(gòu)成解：構(gòu)成(guchng).令令 | 為實系數(shù)多項式，為實系數(shù)多項式， 是是 實矩陣實矩陣 )(Af)(xf則有由于矩陣的加法和數(shù)量乘法滿足線性空間(kngjin)定義的18條規(guī)則，故2設(shè)是一個(y )構(gòu)成線性空間。實矩陣，的全體，對于矩陣的加法和數(shù)量乘法；的實系數(shù)多項式第1頁/共36頁第二頁，共36頁。3全體(qunt)解：構(gòu)成解：構(gòu)成(guchng)。因為實對稱因為實對稱(反對稱，上三角，下三角）之和、之倍數(shù)仍為反對稱，上三角，下三角）之和、之倍數(shù)仍為實對稱實對稱(反對稱，上三角，下三角），故做成線性空間。反對稱，上

2、三角，下三角），故做成線性空間。級實對稱（反對(fndu)稱，上三角）矩陣，對于矩陣的加法和數(shù)量乘法；第2頁/共36頁第三頁，共36頁。4平面上不平行(pngxng)于某一向量的全部向量所成的集合，對于向量的加法和數(shù)量乘法；解：不構(gòu)成解：不構(gòu)成(guchng)。例如，以那個已知向量為對角線。例如，以那個已知向量為對角線的任意兩個向量，它們的和不屬于這個集合。的任意兩個向量，它們的和不屬于這個集合。第3頁/共36頁第四頁，共36頁。5全體實數(shù)的二元數(shù)列(shli)，對于下面定義的運算解：構(gòu)成(guchng)。第4頁/共36頁第五頁，共36頁。6平面上的全體向量，對于通常的加法(jif)和如下定義

3、的數(shù)量乘法： 解：不能構(gòu)成(guchng)。因為，不滿足(mnz)規(guī)則5。第5頁/共36頁第六頁，共36頁。7集合與加法同6）數(shù)量乘法(chngf)定義為： 解：不能構(gòu)成(guchng)。因為 第6頁/共36頁第七頁，共36頁。8全體正實數(shù)，加法與數(shù)量乘法(chngf)定義為： 解：能構(gòu)成解：能構(gòu)成(guchng)。顯然所給集合對定義的加法(jif)和數(shù)量乘法都是封閉的，且滿足八條規(guī)則。第7頁/共36頁第八頁，共36頁。求下列求下列(xili)線性空間的維數(shù)與一組基線性空間的維數(shù)與一組基9數(shù)域 解：上的空間(kngjin)的元素(yun s)為第8頁/共36頁第九頁，共36頁。于是(ysh)是

4、nnP令維，基是 第9頁/共36頁第十頁，共36頁。10n nP解：解：i) 令，其余(qy)都是零， 所以(suy)是中全體對稱(duchn)（反對稱(duchn)，上三角）矩陣作成的數(shù)域P上的空間是對稱矩陣所成空間的一組基，維的。第10頁/共36頁第十一頁，共36頁。ii)令，其余(qy)均為零,所以(suy)它是nnnnGGGGG, 1223112,.,.,.,2)1(nn是反對(fndu)稱陣所成空間的一組基，維的。第11頁/共36頁第十二頁，共36頁。iii)令.1.ijH)(ji 所以(suy)是nnnnHHHHH,.,.,.,222111(1 )2nn 是上三角(snjio)陣所

5、成空間的一組基，維。第12頁/共36頁第十三頁，共36頁。11第3題8）中的空間(kngjin)解：數(shù)解：數(shù)1是是“零零”元，任一不等于元，任一不等于1的正實數(shù)都是線性無關(guān)的正實數(shù)都是線性無關(guān)的向量，取空間的向量，取空間(kngjin)一非一非“零零”元，例如，取元，例如，取2，對，對于任一正實數(shù)于任一正實數(shù) ，a2)(log2aa所以此空間(kngjin)是一維的，2是一組基，或者說，任意非“零”元都可作R可經(jīng)2線性表出。 的基。第13頁/共36頁第十四頁，共36頁。12實數(shù)(shsh)域上由矩陣A的全體實系數(shù)多項式組成的空間，其中解：因為解：因為(yn wi) 21,2313 i)23()

6、13()3(12qnqnqnn第14頁/共36頁第十五頁，共36頁。所以(suy)21AEA1113而)23() 13()3(2qnqnqnAAEAn下證2,AAE令,3221OEkAkAk 線性無關(guān)(wgun)。第15頁/共36頁第十六頁，共36頁。即00032213221321kkkkkkkkk其系數(shù)(xsh)行列式0)(311111222故方程(fngchng)只有零解： 0321kkk線性無關(guān)，由它們作基，構(gòu)成(guchng)三維線性空間。2,AAE第16頁/共36頁第十七頁，共36頁。在在 中，求由基中，求由基 到基到基 的過渡矩陣，并求的過渡矩陣，并求向量向量(xingling)在

7、所指基下的坐標(biāo)在所指基下的坐標(biāo).設(shè)設(shè)4P4321,43, 21,13 ),3,1 ,6,6(),1 ,2,3,5(),0,1 ,3,0(),1 ,1,1 ,2(),1 ,0,0,0(),0,1 ,0,0(),0,0,1 ,0(),0,0,0,1(11214321 在),(4321xxxx4321,下的坐標(biāo)(zubio)；第17頁/共36頁第十八頁，共36頁。解：解： 4321, 4321, 3101121163316502 A4321, 4321, 14321, A 第18頁/共36頁第十九頁，共36頁。14 ),2,1 ,3,1(),2,1 ,1 ,2(),2,2,1 ,0(),1 ,0,1

8、 ,2(),1 ,0,1,1(),1 ,1 ,2,1(),1 ,1 ,1,1(),0,1,2,1(11214321 在)0 , 0 , 0 , 1 (4321,解解：令),1 ,0,0,0(),0,1 ,0,0(),0,0,1 ,0(),0,0,0,1(4321eeee下的坐標(biāo)(zubio)；第19頁/共36頁第二十頁，共36頁。 4321, 4321,eeee 1110011112121111 Aeeee4321, Beeee4321, 2221112031111202 4321, 4321,eeee由前式得 143214321, Aeeee 代入后一式(y sh)得 BA143214321

9、, 第20頁/共36頁第二十一頁，共36頁。15.證明：實數(shù)域作為它自身證明：實數(shù)域作為它自身(zshn)上的線性空間與上的線性空間與第第3題題8）中的空間同構(gòu)。）中的空間同構(gòu)。證：因為它們證：因為它們(t men)都是實數(shù)域上的一維線性空間，都是實數(shù)域上的一維線性空間，故同構(gòu)。故同構(gòu)。第21頁/共36頁第二十二頁，共36頁。16.設(shè)設(shè) , 都是線性空間都是線性空間 的子空間，且的子空間，且 證明：如果證明：如果 的維數(shù)和的維數(shù)和 的維數(shù)相等的維數(shù)相等(xingdng)，那，那么么 。1V2VV1V2V1V2V21VV 證證：設(shè)rV 1dimr ,.,1121VV r,.,1121VV 所以(

10、suy)也是的一組基，2V且它們(t men)的維數(shù)相等，因為，可找到一組基第22頁/共36頁第二十三頁，共36頁。17.設(shè)設(shè) nnPA 1)證明證明(zhngmng)：全體與全體與AnnP AC2)EA AC3)nA.000.0.0200.001 AC記作記作的一子空間的一子空間(kngjin)，可交換的矩陣可交換的矩陣(j zhn)組成組成時，求時，求時，求時，求的維數(shù)和一組基的維數(shù)和一組基。第23頁/共36頁第二十四頁，共36頁。證：證：1)全體全體(qunt)與與A可交換的矩陣的可交換的矩陣的集合記為集合記為 )(0,ACAC )(,ACDB ,)()(ADBDABAADABDBA )

11、(ACDB ,)()()()(AkBBAkABkkBA )(ACkB 構(gòu)成(guchng)子空間。 AC2) EA nnPAC 3)設(shè) 為可與 交換的矩陣，由第四章習(xí)題(xt)5可知， 只能是對角矩陣，故維數(shù)為 ; )(ijbB ABnnnEEE,.,2211時，為一組基。第24頁/共36頁第二十五頁，共36頁。18.證明證明(zhngmng)：和：和siiV1 ),.,2(011siVVijji 證：證：必要性 ： ， 011ijiiijjiVVVV所以(suy) 011ijjiVV充分性（反證法）：設(shè)siiV1 （1）s.021不是直和，那么零向量(xingling)還有一個分解式：是直和

12、的充要條件是是直和的充要條件是第25頁/共36頁第二十六頁，共36頁。其中(qzhng)，),.,2 , 1(sjVjj 在式（1）中設(shè)最后一個(y )不為零的向量是 ，)(skk0,.021kjjkV這時kk121.因此(ync)11kjjkVkkV 011kjjkVV那么式（1）變?yōu)?，又，這與矛盾。第26頁/共36頁第二十七頁，共36頁。19.設(shè)設(shè)213010001A求求33PA解：解：SEA 113000000100010001設(shè)222111cbacbacbaBA與可交換(jiohun)，即可交換可交換(jiohun)的矩陣所成的子空間的維數(shù)的矩陣所成的子空間的維數(shù)和一組基和一組基。中全

13、體中全體(qunt)與與第27頁/共36頁第二十八頁，共36頁。),()( ,SEBBSEBAAB得BSSB SB 222111cbacbacba 113000000 222111333ccccccccc 212121222111333000000113000000cccbbbaaacbacbacbaBS第28頁/共36頁第二十九頁，共36頁。由對應(yīng)元素(yun s)相等，得221221221133330cccccbbbcaaacc (1)第29頁/共36頁第三十頁，共36頁。方程組(1)的系數(shù)矩陣(j zhn)秩為2，解空間維數(shù)為5。與A,0022211cbababaB2,ca2211,ba

14、bab110000001,0010000031,100010001,0000010031,300000013其一組基由上面(shng min)得到可經(jīng)可交換(jiohun)的矩陣為 表示，第30頁/共36頁第三十一頁，共36頁。20.求由下列向量求由下列向量 生成生成(shn chn)的子空間的交的基的子空間的交的基與維數(shù)。設(shè)與維數(shù)。設(shè)) 1 , 1 , 1 , 1()0 , 1 , 2 , 1 (21)7 , 3 , 1, 1 () 1 , 0 , 1, 2(21解：設(shè)交的向量解：設(shè)交的向量(xingling) ,22112211llkk則有, 022112211llkk即 (1), 07,

15、 03, 02, 0221222121212121llklkkllkkllkk第31頁/共36頁第三十二頁，共36頁。算得且, 07110301111121211D0011112211方程(fngchng)(1)的解空間維數(shù)為1，交的維數(shù)也為1。任取一非零解 ，)1 , 3, 4 , 1(),(2121 llkk)4 , 3 , 2 , 5(421 即它們(t men)的交為)( L得交的一組基：，是一維的，就是(jish)一組基。第32頁/共36頁第三十三頁，共36頁。21.設(shè)設(shè) 與與 分別分別(fnbi)是齊次方程組是齊次方程組 與與 的解空間，的解空間，1V2V0.21nxxxnnxxxx121.證明證明(zhngmng)： 21VVPn證證：0.21nxxx1n),0,.,0 , 1 , 1(1 ,),0,.,1 , 0 , 1(2 )1,.,0 , 0 , 1(1 n 由 nnxxxx121.的解空間(kngjin)是取基為維，第33頁/共36頁第三十四頁，共36頁。即, 0., 0, 0132