高一數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及練習(xí)題

1、期中考復(fù)習(xí)第一章集合與函數(shù)概念（10, 11班）一、集合有關(guān)概念1 .集合的含義2 .集合的中元素的三個(gè)特性：（1）元素的確定性如：世界上最高的山（P1,1）（2）元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合H,A,P,Y（解題 時(shí)，最后注意檢臉是否滿(mǎn)足互異性）研究p3, 7、 8;元素的無(wú)序性：如：a,b,c）和a,c,b）是表示同一個(gè)集合3 .集合的表示：如：我校的籃球隊(duì)員），太平落大西洋,印度洋，北冰洋）（D用拉丁字母表示集合:A二俄校的籃球隊(duì)員）,B二1,2,3,4,5）（2）集合的表示方法:列舉法與描述法。注意:常用數(shù)集及其記法：非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N正整數(shù)集N*或N+整數(shù)

2、集Z有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集R2,集合的表示法（研究P2, 8;）D 列舉法：a,b,c）2）描M=y | y = x2-2x + 1, xeR）M=（x|y = x2-2x + 1, xeR（注意代表元素！ ） （P5, 2）3） Venn :（研究 P5, 4/7/9）4、集合的分類(lèi)：有限集含有有限個(gè)元素的集合（2）無(wú)限集含有無(wú)限個(gè)元素的集合空集不含任何元素的集合例：（x*二-5（研究P3,2）二、集合間的基本關(guān)系（切記，有包含關(guān)系要優(yōu)先考慮空 集）（P3、10）1. “包含”關(guān)系一子集（最高次項(xiàng)前面有參數(shù)時(shí)，要討論 它與0的關(guān)系）注意：Aq6有兩種可能（1） A是B的一部分，；（2） A與B是同

3、一集合。2. “相等“關(guān)系：A=B （525,且5W5,2 5=5）實(shí)例：設(shè)A=x|x2-1=0） B=（-1,1） “元素相同則兩集合相等”即：任何一個(gè)集合是它本身的子集。A A真子集:如果A B,且A B那就說(shuō)集合A是集合B的算子集，記作A SB （或B力）如果A B, B C ,那么A C如果A B同時(shí)B A那么A二B規(guī)定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有n個(gè)元素的集合，含有2n個(gè)子集，2”個(gè)真子集三、集合的運(yùn)算(p3,6;P4, 4/7/10, P5, 10;P6, 5/8)運(yùn)算類(lèi)交集并集補(bǔ)集定由所有屬于A(yíng)且屬于E nB （讀作'A交B'）, n b

4、= x|x 6 A, IxeB.由所有屬于集合A或?qū)?UB (讀作并B' ) , P U B =(x|x e A,或 x eB).設(shè)S是一個(gè)集合，A是S記作QA,即CsAx 1 x e S,且x 任 A韋恩圖示圖1圖2o性ACIA=AAUA=ACA) n B)An。二。AU。二A=G (AUB)質(zhì)An b二Bn aAUB=BUAA) U QB)AABcAAUBo A=Cu(AnB)AABcBAUBoBAU (CUA) =UAH MA)二 S例題：/、1 .下列四組鼠是()A某班所有高個(gè)子的學(xué)生B著名的藝術(shù)家C一切很大的書(shū)D倒數(shù)等于它自身的實(shí)數(shù)2 .集合a, b, c )的實(shí)子集共有 個(gè)

5、3,若集合上y|y=x2-2x+1,xeR),N=(x|x0),則 M 與 N 的關(guān)系是.4.設(shè)集合A二珅c<2, B=4<4,若AqB,則0的取值范圍是名學(xué)生做的物理、化學(xué)兩種實(shí)瞼，已知物理實(shí)聆做得正確得有40人，化學(xué)實(shí)瞼做得正確得有31人,2、2數(shù)的解析表達(dá)式(P10, 9、4)求函數(shù)的解析式的主要方法有：D湊配法已知fx_L)=x2+l，求f(x)2)特定系教法已知一次函數(shù)f (x)滿(mǎn)足f(f (x)=4x-1, 求千(X)3)換元法已知千(4+ 2) =x+46,求f (x)(注意新 換元的范圍)4)消參法(函數(shù)方程法)已知：=兩種實(shí)驗(yàn)都做錯(cuò)得有4人，則這兩種實(shí)瞼都做對(duì)的有

6、 人。觀(guān)察法(遇比上下都力x,優(yōu)先分離相數(shù))配方法7,已知集合 A二x| x2+2x-8=0), B=x| x2-5x+6=0), C=(x| x2-mx+m2-19=0),若 BflC豐 Q, AflC二Q,求m 的值(3)代換法(注意：解不等式時(shí)，乘以除以一個(gè)數(shù)時(shí)，注意討論它的符號(hào)，如果是 負(fù)數(shù)，記住變號(hào)。)二、函數(shù)的有關(guān)概念 定義(P9, 1/;P10, 1)1 .定義或：能使函教式有意義的實(shí)數(shù)彳的集合稱(chēng)為函數(shù)的定義垓。(1)具體函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是(P30,9；P37, 2/4)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的根開(kāi)方數(shù)不小于零;時(shí)效式的真教必須大于零；指教、對(duì)教式的

7、底必須大于零且不等于1.如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四財(cái)運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義城是使各部分都有意義的長(zhǎng)日翻獲魁縱制數(shù)為零底不可以等于零，常用變換方法有三種實(shí)除問(wèn)題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)除問(wèn)題有意義.1)平移變換抽象函數(shù)定義域：(P9,6；P21,5;)2)伸縮變換相同函數(shù)的判斷方法:表達(dá)式相同(與表示自變量和函數(shù)值的密塊怖四弧(pio, 2) 定 義 域一致(P 9 ,3 時(shí)洋區(qū)間慨念)2 .值域：先考慮其定義域(P9, 7/8；P10, 10/6；P14, 6)(1)區(qū)間的分類(lèi)：開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間5 .映射(箭射靶，且箭要全射出去)定義：(P11, 1/3/5/6/7/

8、9/10)對(duì)于映射尸：加夕來(lái)說(shuō)，則應(yīng)滿(mǎn)足:集合力中的每一個(gè)元素,在集合6中都有象,并且象是唯一的;(2)集合力中不同的元素，在集合夕中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)；不要求集合夕中的每一個(gè)元素在集合力中都有原象。一一映射：一對(duì)一，且集合B當(dāng)中沒(méi)有多余的元素(P11, 8)6,分段函數(shù) (一般畫(huà)圖處理題目)(P11,9;P12,7；P24,10)在定義城的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的苗教。(2)各部分的自變量的取值情況.分段的數(shù)的定義城是各段定義城的交集，值城是各段值城的并集.注意：分段函數(shù)單調(diào)性，除了保證每一段的單調(diào)性， 還要保證最值之間的關(guān)系，即整體的單調(diào)性。(補(bǔ)充:復(fù)合的數(shù)如果 y二f(u)(u&

9、#163;M),u二g(x)(x£A),則 y=fg(x)=F(x) (xEA)稱(chēng)為 f、g 的復(fù)合函數(shù)。二,函數(shù)的性質(zhì)1.函數(shù)的單調(diào)性隔部性質(zhì))(P12, 1/2；P14, 2/3)(1)增函數(shù)設(shè)函數(shù)y二f(x)的定義域?yàn)镮,如果時(shí)于定義圾I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量如x2,當(dāng)也時(shí), 如果時(shí)于區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值3 x2,當(dāng)妁2時(shí)，都有f(x)f(x，那么就說(shuō)F仞在這個(gè)區(qū) 注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；(2)圖象的特點(diǎn)如果函數(shù)尸尸仞在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說(shuō)函教尸尸仞在這一區(qū)間上具有儼格的)單調(diào)性，,舀數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A)定義法：(P14,

10、 9/8；P15, 9；P30,10)任取 Xi, x?ED,且 xKxz； 作差 f(x)-f(xj;(3)變形(通常是因式分解和配方);6)定號(hào)(即判斷差f(xj - f&2)的正負(fù))；下轉(zhuǎn)論(制出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).圖象法(從圖象上看升降)(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性(P14, 4；p31,9;P39, 8)復(fù)合函數(shù)/g仞的單調(diào)性與枸成它的函教老仞，尸的單調(diào)性密切相關(guān)，其規(guī)律：“同增異成” 注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義城的子區(qū)間，不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫(xiě)成其并集.(D)利用已知函數(shù)的單調(diào)性。(一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，雙勾函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù))

11、(P12,3/4/5/6；P14, 1/5)注：增+增二增；減加減二減(P13, 3/4)8.函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))(1)偶函數(shù)一般地,對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(一x)二f(x),那么f(x)就叫做偶函教.(2).專(zhuān)函數(shù)9 .抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性(P14, 9；P15, 10;P24,11, 12；P23, 9/6)10 .舀教最大(小)值利用二次函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的最大(小)值(P16, 9/2/5/8；P17, 8)先畫(huà)圖，畫(huà)出對(duì)稱(chēng)軸，移動(dòng)區(qū)間對(duì)于開(kāi)口向下的情況，討論類(lèi)似。其實(shí)無(wú)論開(kāi)口向上還是向下，都只有以下兩種結(jié)論:一敕地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)X

12、,都有f(一X)二一f(x),那么f(x)就叫做奇函教.h若 一方,則 /(A)max = max<(3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng).(圖像/(6.=|】而了'(?)4一京|,/()卜法)利用定義判斷由教奇偶性的步驟：首先確定函數(shù)的定義城，并判斷其是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng);0域定f(一x)與f(x)的關(guān)系；若一9尿小則/皿/,/(吼/(女而/(?),/()另外，當(dāng)二次舀數(shù)開(kāi)口向上時(shí)，自變量的取值離開(kāi)軸越遠(yuǎn)，則對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大；反過(guò)來(lái),當(dāng)二次函數(shù)開(kāi)口向下時(shí)，自變量的取值離開(kāi)作出相應(yīng)結(jié)論:若f(一X)= f(x)或f(-x)-f(X)= 0

13、,則f(x)是偶舀數(shù);若f(一X)二一瞅49就蝴副語(yǔ)新圖是奇的虬注意：的數(shù)定義或關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是由數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看由教的定義或是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)札若利稱(chēng)財(cái)函數(shù)是非奇非偶黯.若對(duì)稱(chēng)，再根據(jù)定義判定；由f(-x)tf(x)R%f(x)/ 利用田去求函教的最大(小)值(P22, 5;)奇*奇二偶，偶*偶二偶，奇*偶二奇(3)利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值：(2)奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間單調(diào)性相同，如果x=O有如果的數(shù)y二f(x)在區(qū)間a, b上單調(diào)遞增，在區(qū)間b, c上單調(diào)遞減則函教y二f (x)在x4處有最大值f (b);意義，注意利用f(O)=0解題；偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間單調(diào)性相反。如果函教

14、y二f(x)在區(qū)間a, b上單調(diào)遞減，在區(qū)間b, c上單調(diào)遞增則函教y二f (x)在x二b處有最小值f (b);11:恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，(一般求什么，就把它 放到 一邊。)(p24,9;P17,8;P37,6/7/10 ;p44, 6；p45, 4；)例題：1 .求下列函數(shù)的定義城：，5)(3)2-卜 + 3|-3- V X + 12 .設(shè)函數(shù)八制的定義城為»則函數(shù)八./)的定義垓?yàn)? .若函數(shù)/(x +1)的定義垓?yàn)?-2, 3,則由數(shù)/(2x-1)的定義域是 x+2(x<-l)"4 函/ f(x) = x2(-l<.r<2) » 右

15、/=3，則、-2a(x>2)5 .求下列函數(shù)的值域:(1)y = x2+2.r-3 (xeR)y"+2x-3 xe,2(3) y = x- Jl-2K(4) y = J-犬 +4x+56,已知的數(shù)/(xT) =1-4x,求函教/(x), /(2x+l)的解析式7 .已知函數(shù)/滿(mǎn)足2/m+/(-x) = 3工+4,則/(X)二 08 .設(shè)仙是 R 上的奇函數(shù),且當(dāng) xe(0,-wo)Bt, /(x) = .r(l + </7),則當(dāng) xe(7o,0)時(shí) f(x)/在R上的解析式為9 .求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(1) y = x2 +2x+3 (2)y = yj-x2 +2x+

16、3 (3) y = -6|a|-110 .判斷舀數(shù)y = r、l的單調(diào)性并證明你的結(jié)論.11 .設(shè)的數(shù))=匕=判斷它的奇偶性并且求證：/3= ./(.”). 1 X.k第二章基本初等函教一、指數(shù)函數(shù)(一)指數(shù)與指數(shù)暴的運(yùn)算負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；0的任何次方根都是0,記作強(qiáng)=0。當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，= a ,當(dāng)是偶教時(shí)，物7 Tal=<')-a (a < 0)*2 .分?jǐn)?shù)指數(shù)春,正教的分教指數(shù)幕的意義，規(guī)定：m a11 =也尸(。> 0,?, £ N*, > 1)- 1 1 1ta = 、_r (a > 0,?," e N , > 1)。的正分

17、數(shù)指”等于o,。的負(fù)分?jǐn)?shù)指教界沒(méi)有意義3 .實(shí)數(shù)指數(shù)森的運(yùn)算性質(zhì)(1) a a =a ("O,seR)(2)(')' ="' (a>O,r,seR)(3)(Mr =。"'(a>u,r,swR)注意利用平方差公式，完全平方之間的關(guān)系，以及立方差公式。(p27, 9,10, p28, 9/10； p29, 4/6)(二)指教函教及其性質(zhì))，= 1(4 >0,且工1)(注意值域大于 零)2、取數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10<a<1/-/-11-定義城R定義城R值垓y>0使城y>0在R上單調(diào)遞增在

18、R上單調(diào)遞減非奇非偶函教非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)(0, 1)函教圖象都過(guò)定點(diǎn)(0, 1)注意：利用函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合圖象還可以看出：(1)在a, b上，f(x) = ax(a > Ofia 1)值域是f(a),f(b)或 f(b),f(a)；(2)若x - 0,則f(x)wl; f(x)奧逅所有正數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)xwR；(3)時(shí)于指數(shù)的數(shù)f(x) = aYa>0且awl),總有Al) = a ；二、時(shí)數(shù)函數(shù)(切記真數(shù)大于零，注意定義域)(一)對(duì)數(shù)說(shuō)明：注意底數(shù)的限制4 >0,且“W1；© a* = N olog. N = x ；-log-A,-注意對(duì)我的書(shū)寫(xiě)格式,二二

19、一二二二兩個(gè)重要對(duì)教：常用對(duì)數(shù):以10為底的對(duì)教IgN ;自然對(duì)教：以無(wú)理教6 = 2.71828為底的時(shí)數(shù)的對(duì)數(shù)InN.(二)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a>0,且awl, M >0, N>0,那么: log.QW N) = log. M + logfl N ；® log a = log。M - log. N ;9 log“ Mn = n logfl M n e R).注意：換底公式log , b = J%1B (6/ > 0 ,且 a Hl; c > 0 ,且 cWl； Z? > 0).' log, a利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論(P35, 3/5

20、/6/8/9；P36, 3/4Z6/8) log /?w = logn/? ； (2) loguZ? = -!(3) ，log/, a(注意：解對(duì)數(shù)指數(shù)方程不等式，或者比較大小都是化 為同底數(shù)。若真數(shù)一樣，利用換底公式(2);同時(shí)解對(duì)數(shù)方程時(shí)，要驗(yàn)根，是否真數(shù)大于0)(二)時(shí)效函數(shù)(區(qū)別清楚定義域?yàn)镽和值域?yàn)镽, X2前 面有參數(shù)時(shí)，別忘記討論它與0的關(guān)系)1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念：的數(shù) y = logfl x(a > 0 ，且 “ Hl) 叫做對(duì)數(shù)函教,其中X是自變量,函教的定義垓是(0, +00).注意：對(duì)教函數(shù)的定義與指數(shù)的數(shù)類(lèi)似，都是形式定義，注意辨別。如:y = 21og,x,)，=喀J都不是對(duì)數(shù)舀數(shù)，而只能稱(chēng)其為時(shí)效型舀數(shù).對(duì)教閾教對(duì)原數(shù)的眼制：(a >0,且W1).2、對(duì)數(shù)函教的性質(zhì):a>10<a<1L 二上4-7/<11、一-定義戰(zhàn)x>0定義城x>0值或?yàn)镽值域?yàn)镽在R上遞增在R上述戚函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)(1, 0)舀數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)(1, 0)注意：對(duì)于y=loga g(x),若u=g(x)為二次函數(shù)，先畫(huà) 圖，取x軸上半部的圖像，再結(jié)合圖像解題。(一定 注意先求定義城，真數(shù)大于0)f (x)=的圖像要記住，若有f(a)