【教學(xué)設(shè)計(jì)】雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

1、課題： 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程一 教學(xué)目標(biāo) 1.知識(shí)與技能：（1）能理解并掌握雙曲線的定義，了解雙曲線的焦點(diǎn)、焦距；（2）能掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，能夠根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)的位置。（3）能根據(jù)已知條件求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。2.過(guò)程與方法：（1）經(jīng)歷雙曲線軌跡的探究，培養(yǎng)觀察能力和探索發(fā)現(xiàn)能力。（2）在雙曲線定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)過(guò)程中培養(yǎng)類(lèi)比推理能力、歸納能力，體會(huì)求軌跡方程過(guò)程中數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用。3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：（1）經(jīng)歷雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程的獲得過(guò)程，感受數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美和簡(jiǎn)單美。（2）通過(guò)主動(dòng)探索，感受探索的樂(lè)趣，體會(huì)數(shù)學(xué)的理性和嚴(yán)謹(jǐn)。（3）經(jīng)歷雙曲線定義的獲得過(guò)程，養(yǎng)成實(shí)事

2、求是的科學(xué)態(tài)度，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的積極態(tài)度二 教法學(xué)法（一）教學(xué)方法 引導(dǎo)探索、發(fā)現(xiàn)法設(shè)計(jì)意圖 這樣的教法可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性、積極性，使課堂氣氛更加活躍。 同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和動(dòng)手探究的能力。（二）學(xué)習(xí)方法 自主探索、合作交流 設(shè)計(jì)意圖 這樣的學(xué)法有利于培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力、自主學(xué)習(xí)能力、探索精神及合作意識(shí)（三） 教學(xué)手段 多媒體輔助教學(xué)設(shè)計(jì)意圖有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，增強(qiáng)動(dòng)感與直觀感，增大教學(xué)容量，提高教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量（四）學(xué)具 一條拉鏈，兩顆圖釘，一塊紙板。設(shè)計(jì)意圖為探究雙曲線的定義的繪圖活動(dòng)提供物質(zhì)條件。三 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 下的“再創(chuàng)造”過(guò)程。 我設(shè)計(jì)了以下教學(xué)流程：創(chuàng)設(shè)

3、情境 引入新課 抽象概括 歸納定義 類(lèi)比探究 建立方程實(shí)踐探索 形成能力 分層作業(yè) 鞏固提高 整理知識(shí) 納入系統(tǒng) （一）創(chuàng)設(shè)情境， 引入新課 本節(jié)課的開(kāi)始由多媒體演示實(shí)例，并引導(dǎo)學(xué)生觀察圖中的紅色曲線。（1）濟(jì)南市立交橋的外觀結(jié)構(gòu)；（2）為緩解交通擁堵，北京市創(chuàng)建的新式交通結(jié)構(gòu)圖；（3）城市標(biāo)志雕塑的外形；（4）自然通風(fēng)塔軸截面的外觀輪廓；（5）可樂(lè)瓶和古代鼎的曲線造型。并指出：這些紅色曲線就是數(shù)學(xué)中研究的雙曲線。上述都是實(shí)際生活中與雙曲線有關(guān)的例子。除此之外，雙曲線在自然界和科學(xué)技術(shù)中也有著廣泛的應(yīng)用，比如有的無(wú)周期彗星的運(yùn)動(dòng)軌跡是雙曲線; 利用遠(yuǎn)程雙曲線導(dǎo)航的羅蘭C衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)等。那如何定

4、義雙曲線呢？怎樣建立它的方程呢？這就是本節(jié)課所要研究的內(nèi)容，由此引出課題： 設(shè)置意圖讓學(xué)生形成雙曲線的感性認(rèn)識(shí)，感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，體現(xiàn)數(shù)學(xué)來(lái)源于生活實(shí)際，又服務(wù)于生活實(shí)際。同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光去觀察周?chē)挛锏哪芰?。（二）抽象概括 歸納定義提出思考：如何定義雙曲線呢？ 設(shè)計(jì)意圖通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)了學(xué)生的求知欲，使學(xué)生急于想知道雙曲線是滿(mǎn)足什么條件的點(diǎn)的軌跡，但現(xiàn)有知識(shí)又無(wú)從回答，形成認(rèn)知沖突，使學(xué)生進(jìn)入憤悱狀態(tài)。教師指出：為探究雙曲線的定義，先回顧橢圓的定義，即：橢圓上動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足：(0)引導(dǎo)一：若將上式改為(0)，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是怎樣的曲線呢？設(shè)計(jì)意圖“思維從疑問(wèn)開(kāi)始”， 以問(wèn)題為出發(fā)點(diǎn)

5、，創(chuàng)設(shè)有效的學(xué)習(xí)情景，不僅可以復(fù)習(xí)舊知，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，而且這樣設(shè)問(wèn)可以提高學(xué)生的求知欲，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣鼓勵(lì)學(xué)生積極參與、主動(dòng)思考，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主體作用。解決方法 讓學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備好的一條拉鏈，一塊紙板，兩枚圖釘。介紹作圖方法：在拉鏈拉開(kāi)的兩段上各選擇一點(diǎn)，分別固定在紙板上的點(diǎn)F1 ，F(xiàn)2處，取拉鎖處為M點(diǎn)，由于拉鏈兩段是等長(zhǎng)的，則，設(shè)，把筆尖放在點(diǎn)M處，隨著拉鏈的拉開(kāi)或閉攏在紙板上作圖。(如圖1)。并由此提出思考：若動(dòng)點(diǎn)M滿(mǎn)足：(0)，應(yīng)該怎樣作圖呢？讓同桌兩人一組，相互磋商、動(dòng)手繪圖，教師巡視，對(duì)有困難的小組予以幫助。然后選出一位學(xué)生代表敘述他們的畫(huà)圖過(guò)程，并展示畫(huà)圖結(jié)果。

6、對(duì)完成較好的小組予以表?yè)P(yáng)，讓學(xué)生充分體會(huì)到數(shù)學(xué)探索的樂(lè)趣和成功的喜悅。 設(shè)計(jì)意圖 雙曲線的定義為本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)之一，為了突出重點(diǎn)，開(kāi)展探究活動(dòng)，讓學(xué)生動(dòng)手操作，親身經(jīng)歷雙曲線的形成過(guò)程 圖2 圖1學(xué)生完成作圖后，再用課件演示作圖過(guò)程，指出這一條曲線(圖1)就是滿(mǎn)足：集合的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡。若將上述集合改為 ，比較兩集合的關(guān)系，取，同理可畫(huà)出此時(shí)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡(圖2)。 設(shè)計(jì)意圖課件演示不僅增強(qiáng)動(dòng)感，而且?guī)椭鷮W(xué)生克服在實(shí)際操作中的困難，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。觀察、比較，歸納： 上面兩條曲線合起來(lái)叫做雙曲線，每一條叫做雙曲線的一支。其中右邊一支滿(mǎn)足： ，左邊一支滿(mǎn)足：引導(dǎo)二：（1）在紙板上作圖說(shuō)明了什么？

7、（2）根據(jù)上述繪圖原理，雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)M應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？（3）常數(shù)2a與有什么關(guān)系？教師引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析，并歸納結(jié)論： （1）平面內(nèi)（2）動(dòng)點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)F1 ， F2的差的絕對(duì)值等于常數(shù)。 （3）并鼓勵(lì)學(xué)生根據(jù)上述三點(diǎn)結(jié)論大膽歸納出雙曲線的定義即為：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于 )的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。并引入雙曲線焦點(diǎn)和焦距的概念：這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距。 設(shè)計(jì)意圖按學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律與心理特征引導(dǎo)學(xué)生自己探索、分析，啟發(fā)學(xué)生認(rèn)識(shí)新的概念，這有利于學(xué)生對(duì)概念的全面理解，同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生從量變到質(zhì)變的辨證思維。 并實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)圖形，符號(hào)，文字三種語(yǔ)言的

8、相互轉(zhuǎn)化，滲透數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想方法。 引導(dǎo)三：如果改變常數(shù)的范圍（2a=，2a=0， 2a），動(dòng)點(diǎn)的軌跡會(huì)發(fā)生什么變化呢？解決方法教師讓學(xué)生相互討論 ，鼓勵(lì)學(xué)生大膽闡述自己的結(jié)論，并運(yùn)用課件進(jìn)行演示，歸納出： 常數(shù)2 a 動(dòng)點(diǎn)M的軌跡(1) (02a) 雙曲線 (2) 線段F1 F2的延長(zhǎng)線上以F2為端點(diǎn)的一條射線 段F2F1的延長(zhǎng)線上以F1為端點(diǎn)的一條射線(3) 2 a = 0 段F1 F2的中垂線(4) (違背了三角形三邊長(zhǎng)的關(guān)系) 不存在 設(shè)計(jì)意圖通過(guò)教師的設(shè)問(wèn)，啟發(fā)學(xué)生思考，讓學(xué)生在自主探索，合作交流中歸納概括出結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，研究問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力。上述結(jié)論是對(duì)滿(mǎn)

9、足集合的動(dòng)點(diǎn)M 的軌跡的全面說(shuō)明。（三）類(lèi)比探究 建立方程引導(dǎo)四：怎樣建立雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程呢？ 解決方法 先引導(dǎo)學(xué)生回顧求曲線方程的一般步驟，然后循此步驟，并類(lèi)比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，在教師的啟發(fā)下，由學(xué)生自主推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)學(xué)生對(duì)舊知識(shí)的回顧來(lái)了解學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握程度，同時(shí)讓學(xué)生明確思維的目的，為下一步教學(xué)搭橋鋪路第一步 建系：建立直角坐標(biāo)系，使軸經(jīng)過(guò)點(diǎn)，并且點(diǎn)與線段的中點(diǎn)重合。（在回顧橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)時(shí)如何建立坐標(biāo)系后，建立起雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)時(shí)的坐標(biāo)系。）圖3第二步 設(shè)點(diǎn)： 設(shè)是雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距為，那么，焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是()、()。又設(shè)點(diǎn)與的距離的差的

10、絕對(duì)值等于常數(shù)2 a。第三步 寫(xiě)點(diǎn)集：根據(jù)定義寫(xiě)出M點(diǎn)的軌跡構(gòu)成的點(diǎn)集：P = M | |MF1 | |MF2 | = 2 a 第四步 列方程：用坐標(biāo)法表示條件P（M），列出方f(x，y)=0，即： 第五步 化簡(jiǎn)：化方程f(x，y)=0為最簡(jiǎn)形式。 將方程化簡(jiǎn)，得 由雙曲線的定義可知，即，所以。令，其中，代入上式，得兩邊除以，得出： 對(duì)此方程要強(qiáng)調(diào)：它是雙曲線的焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)是：F1 ()、F2 ()，焦距。 設(shè)計(jì)意圖 為了真正做到讓學(xué)生主動(dòng)思考、學(xué)習(xí)，讓學(xué)生自己動(dòng)手，獨(dú)立的完成這個(gè)任務(wù)，從而進(jìn)一步體會(huì)用坐標(biāo)法求曲線方程的思想。前四步學(xué)生容易掌握，第五步的二次根式較復(fù)雜，學(xué)生常因運(yùn)

11、算能力不強(qiáng)而功虧一簣。故在此，教師不失時(shí)機(jī)地加強(qiáng)了運(yùn)算技能的訓(xùn)練。注意了引導(dǎo)學(xué)生比較橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)中的二次根式的化簡(jiǎn)：平方，賦值，將含有兩個(gè)根式之差的等式轉(zhuǎn)化為含有a，b，c三字母的整式，再化為等號(hào)右端為1的方程形式。教師對(duì)個(gè)別有困難的學(xué)生進(jìn)行必要的指導(dǎo)，并選一名學(xué)生在黑板上書(shū)寫(xiě)化簡(jiǎn)過(guò)程，然后教師點(diǎn)評(píng)。這一環(huán)節(jié)教學(xué)有助于突破本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)。 注 意：區(qū)別雙曲線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的關(guān)系：雙曲線：（，）橢 圓：（）設(shè)計(jì)意圖類(lèi)比雙曲線和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中的的關(guān)系，有助于學(xué)生克服橢圓學(xué)習(xí)中的思維定勢(shì)。引導(dǎo)五：焦點(diǎn)在軸上，并且點(diǎn)O與線段的中點(diǎn)重合，的意義同上，雙曲線的方程又如何呢 ？ 圖4解決方法先讓學(xué)生

12、作出圖4，引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較圖3與圖4，并根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)在軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)方法，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，歸納出：只需將上述標(biāo)準(zhǔn)方程中的 、互換，即：設(shè)計(jì)意圖該問(wèn)的設(shè)置，一方面是為了得出焦點(diǎn)在 y 軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；另一方面培養(yǎng)學(xué)生的類(lèi)比能力，充分發(fā)揮學(xué)生的直覺(jué)思維和數(shù)學(xué)悟性。 調(diào)動(dòng)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性， 引導(dǎo)六：觀察上述兩個(gè)不同的標(biāo)準(zhǔn)方程，思考：（1）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有何特點(diǎn)?（2）項(xiàng)的符號(hào)與該雙曲線的焦點(diǎn)所在位置有什么關(guān)系？解決方法 由學(xué)生小組交流，教師對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)行必要的點(diǎn)評(píng)，一定要讓學(xué)生對(duì)上述問(wèn)題的解答都有明確的認(rèn)識(shí)。并歸納出：由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)位置的方法：雙曲線的焦點(diǎn)

13、應(yīng)在系數(shù)為正的那一項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)軸上(正項(xiàng)定焦軸)。設(shè)計(jì)意圖觀察、比較，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題;概括、歸納，解決問(wèn)題，不僅加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的進(jìn)一步理解，而且培養(yǎng)了學(xué)生自主探究和鑒別的能力。為檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)上述結(jié)論的掌握情況布置課堂練習(xí)：判斷下列雙曲線的焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸：（1）；（2）；（3）。(四) 實(shí)踐探索 形成能力1 例題剖析，初步應(yīng)用 已知雙曲線兩焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，雙曲線上一點(diǎn)P到、的距離的差的絕對(duì)值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。解決方法 課本例題，難度不大，但能起到及時(shí)對(duì)所學(xué)概念進(jìn)行鞏固訓(xùn)練的作用。教學(xué)中緊扣定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的知識(shí)。由學(xué)生合作完成，再由學(xué)生代表發(fā)言，敘述解題過(guò)程，教師點(diǎn)評(píng)，板書(shū)規(guī)范的解題步驟。

14、并指出：上述例題的求解運(yùn)用了求曲線方程的基本方法之一： 待定系數(shù)法。設(shè)計(jì)意圖數(shù)學(xué)概念是要在運(yùn)用中得以鞏固的，通過(guò)該例題使學(xué)生進(jìn)一步理解雙曲線的定義，掌握標(biāo)準(zhǔn)方程，使知識(shí)內(nèi)化為智能。2 自我反饋，評(píng)價(jià)提高 （1）求適合條件焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)計(jì)意圖檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程結(jié)構(gòu)特征的掌握情況。（2）填空：已知方程表示雙曲線，則的取值范圍是 。設(shè)計(jì)意圖區(qū)別雙曲線的兩種不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，注意焦點(diǎn)位置的討論。（3）證明橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)相同設(shè)計(jì)意圖比較兩種圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的異同。通過(guò)反饋練習(xí)，再次加強(qiáng)學(xué)生對(duì)新知識(shí)的掌握情況，并檢驗(yàn)學(xué)生新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的形成和技能的發(fā)展?fàn)顩r，對(duì)教學(xué)中所出現(xiàn)的遺漏

15、和不足給予即時(shí)補(bǔ)救。達(dá)到鞏固，消化，檢驗(yàn)新知識(shí)的目的。同時(shí)使學(xué)生獲得的知識(shí)信息納入長(zhǎng)時(shí)記憶系統(tǒng)。（五）知識(shí)整理，納入系統(tǒng) 1 知識(shí)點(diǎn)：(1)雙曲線的定義，焦點(diǎn)，焦距的概念。(2)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程兩類(lèi)形式，如何由方程判定其焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸。(3) 的確定依據(jù)。(4)與雙曲線定義和標(biāo)準(zhǔn)方程有關(guān)的三個(gè)常數(shù) 間的關(guān)系（ 都為正常數(shù)，且c最大，結(jié)構(gòu)類(lèi)似勾股定理： ）2 數(shù)學(xué)思想： 數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化。 3 數(shù)學(xué)方法： 觀察、比較、概括、歸納、類(lèi)比分析、待定系數(shù)法。設(shè)計(jì)意圖 通過(guò)畫(huà)龍點(diǎn)睛，提綱挈領(lǐng)的小結(jié)，將所學(xué)知識(shí)納入已有的知識(shí)系統(tǒng)之中，形成學(xué)生自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。突出重點(diǎn)，抓住關(guān)鍵，培養(yǎng)學(xué)生概括能力。通過(guò)提煉數(shù)學(xué)的基本思想方法，使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)的精髓和本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。（六） 分層作業(yè)，鞏固提高 1 必做題：課本P55習(xí)題12 課后探究題：（1）求與雙曲線共焦點(diǎn)，