多元函數(shù)微積分PPT學習教案

1、會計學1多元函數(shù)微積分多元函數(shù)微積分一、一、 平面點集平面點集坐標平面坐標平面 平面點集平面點集 E=(x,y)|(x,y)E=(x,y)|(x,y)滿足的條件滿足的條件 鄰域鄰域 U(A,U(A,)=(x,y)|(x-x)=(x,y)|(x-x0 0) )2 2+(y-y+(y-y0 0) )2 2 2 2 U(A,U(A,)=(x,y)|x-x)=(x,y)|x-x0 0|,|y-y,|y-y0 0| 空心鄰域空心鄰域 U U0 0(A,(A,)=(x,y)|0(x-x)=(x,y)|0(x-x0 0) )2 2+(y-y+(y-y0 0) )2 2 2 2 U(A,U(A,)=(x,y)

2、|x-x)=(x,y)|x-x0 0|,|y-y,|y-y0 0|= 累次極限存在累次極限存在? 重極限存在重極限存在 = 次極限存在且相等次極限存在且相等? 作業(yè)作業(yè)： P99: 1(5)(7),2(4)(5)P99: 1(5)(7),2(4)(5)小結(jié)：小結(jié)：1、掌握二元函數(shù)極限和累次極限的概念；、掌握二元函數(shù)極限和累次極限的概念；2、了解有關定理和推論；、了解有關定理和推論；3、掌握重極限和累次極限的求法（含不存在）。、掌握重極限和累次極限的求法（含不存在）。 第23頁/共40頁一、一、 二元函數(shù)的連續(xù)性概念二元函數(shù)的連續(xù)性概念定義定義 設設f為定義在為定義在2RD ( (它或者是它或者

3、是的聚點，或者是的聚點，或者是DP 0的孤立點的孤立點).).對于對于上的二元函數(shù)上的二元函數(shù)，只要只要時，就有時，就有DPUP);(0D, | )()(|0PfPfD, 0, 0則稱則稱關于集關于集合合連續(xù)連續(xù). .fD0P在在點點0P在點在點簡稱簡稱f連續(xù)連續(xù). .若若在在fD上任何點關于集合上任何點關于集合D連續(xù)連續(xù), ,則稱則稱為為連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù). .fD上的上的第24頁/共40頁若若0P為為D的孤立點，的孤立點，則則必為必為0P關于關于fD的連續(xù)點。的連續(xù)點。若若的聚點，則的聚點，則關于關于f).()(lim00PfPfDPPP0P為為DD在在0P連續(xù)等價于連續(xù)等價于特別地特別地,

4、 ,當左邊極限存在但不等于當左邊極限存在但不等于的的可去間斷點可去間斷點. .)(0Pf時，時，為為0Pf一般地一般地, ,當當?shù)倪B續(xù)性的連續(xù)性. .若上式不成立若上式不成立( (其含義與一元函數(shù)的對應其含義與一元函數(shù)的對應0P為為D情形相同情形相同) )，則稱，則稱為為0Pf的的不連續(xù)點不連續(xù)點( (或或間斷點間斷點).).的聚點時，就用上式判斷在該點的的聚點時，就用上式判斷在該點的第25頁/共40頁如上節(jié)例如上節(jié)例1 1給出的函數(shù)在原點連續(xù)；事實上，給出的函數(shù)在原點連續(xù)；事實上，注注：若一元函數(shù)在某點連續(xù)，將它看作二元函數(shù)，：若一元函數(shù)在某點連續(xù)，將它看作二元函數(shù)，則在相應點仍連續(xù)。則在相

5、應點仍連續(xù)。).1 , 2(7)(lim22) 1 , 2(),(fyxyxyx類似地，例類似地，例2 2給出的函數(shù)也在原點連續(xù)（給出的函數(shù)也在原點連續(xù)（P94P94）。）。例例3 3、4 4給出的函數(shù)在原點不連續(xù)。給出的函數(shù)在原點不連續(xù)。若把例若把例3 3給出的函數(shù)改為給出的函數(shù)改為 ).0 , 0(),( ,12,0,| ),(),( ,2),(222yxmmxmxyyxyxyxxyyxf則它沿直線則它沿直線 在原點連續(xù)。在原點連續(xù)。mxy 第26頁/共40頁設設,),(),(00000yyyxxxDyxPyxP則稱則稱),(),( ),(),(),(00000000yxfyyxxfyxf

6、yxfyxfz為為在點在點f0P的的全增量全增量?？捎迷隽啃问矫枋隹捎迷隽啃问矫枋鲫P于關于fD在在0P的連續(xù)性：的連續(xù)性：.lim),(),(),(000zDyxyx).,(),(),(),(),(),(000000000000yxfyyxfyxfyxfyxxfyxfyx若在全增量中取若在全增量中取0 x或或, 0y則相應的函數(shù)增量稱則相應的函數(shù)增量稱為為偏增量偏增量，記為，記為第27頁/共40頁注意：偏增量的和不一定等于全增量。注意：偏增量的和不一定等于全增量。.,),(0001xyxyyxf容易證明：若二元函數(shù)在某內(nèi)點連續(xù)，則對單個自變量容易證明：若二元函數(shù)在某內(nèi)點連續(xù)，則對單個自變量都在

7、該點連續(xù)。但是反過來，二元函數(shù)在某內(nèi)點對單個都在該點連續(xù)。但是反過來，二元函數(shù)在某內(nèi)點對單個自變量都連續(xù)，并不能保證該函數(shù)的連續(xù)性。例如，自變量都連續(xù)，并不能保證該函數(shù)的連續(xù)性。例如，若若),(0yxfx的一元函數(shù)在的一元函數(shù)在時時,),(lim0000yxfxx則表示當則表示當0yy 作為作為0 x連續(xù)。連續(xù)。同理同理, ,若若,),(lim0000yxfyy),(yxf0則表示則表示在在0y連續(xù)。連續(xù)。第28頁/共40頁定理定理16.716.7( (復合函數(shù)的連續(xù)性定理復合函數(shù)的連續(xù)性定理) ) 設函數(shù)設函數(shù)在在xy的某鄰域內(nèi)有定義，的某鄰域內(nèi)有定義，),(000yxP平面上點平面上點則復

8、合函數(shù)則復合函數(shù)).,(000yxv),(yxu和和),(yxv連續(xù)；函數(shù)連續(xù)；函數(shù)0P并在點并在點在在uv),(000vuQ),(vuf平面上點平面上點的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義, ,并在點并在點0Q連續(xù)連續(xù), ,其中其中),(000yxu),(),(),(yxyxfyxg也連續(xù)。也連續(xù)。0P在點在點若二元函數(shù)在一點連續(xù)，則與一元函數(shù)一樣，可以證明若二元函數(shù)在一點連續(xù)，則與一元函數(shù)一樣，可以證明它在這點近旁具有局部有界性、局部保號性以及有理運它在這點近旁具有局部有界性、局部保號性以及有理運算的各個法則。下面僅證明二元復合函數(shù)的連續(xù)性定理算的各個法則。下面僅證明二元復合函數(shù)的連續(xù)性定理.

9、 .練習練習: :說明下列函數(shù)的連續(xù)性說明下列函數(shù)的連續(xù)性.)sin(3sin),(223yxexxyxfy第29頁/共40頁二、二、 有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)本段討論有界閉域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。它們可以本段討論有界閉域上多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。它們可以看作是閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的推廣。看作是閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的推廣。定理定理16.816.8( (有界性與最大、最小值定理有界性與最大、最小值定理) ) 若函若函數(shù)數(shù)2RD 上連續(xù)，則上連續(xù)，則有界閉域有界閉域最大值與最小值。最大值與最小值。f在在f在在D上有界，且能取得上有界，且能取得定理定理16.916.9(

10、(一致連續(xù)性定理一致連續(xù)性定理) ) 若函數(shù)若函數(shù)2RD 上連續(xù)，則上連續(xù)，則f在有界閉域在有界閉域f在在D上一致連續(xù)。即對上一致連續(xù)。即對只只要要就就有有,),(QP. | )()(|QfPf, 0, 0第30頁/共40頁實際上，定理實際上，定理16.816.8與與16.916.9中的有界閉域可改為有界閉中的有界閉域可改為有界閉集集( (證明過程無原則性變化證明過程無原則性變化) )。定理。定理16.1016.10中的有界閉域中的有界閉域( (它保證連通性它保證連通性) )不可改為有界閉集不可改為有界閉集( (開集、閉集不一定開集、閉集不一定具有連通性具有連通性) )。此外，定理。此外，定理

11、16.1016.10中的連續(xù)函數(shù)的值域中的連續(xù)函數(shù)的值域必定是一個區(qū)間。必定是一個區(qū)間。的實的實數(shù)數(shù)定理定理16.1016.10( (介值定理介值定理) ) 設函數(shù)設函數(shù)上連續(xù)，若上連續(xù)，若f在有界閉域在有界閉域21PP,為為D中任意兩點，且中任意兩點，且則對任何滿足不等式則對任何滿足不等式)()(21PfPf),()(21PfPf2RD , ,DP 0使得使得必存在點必存在點.)(0Pf第31頁/共40頁2 2、考察下列函數(shù)的連續(xù)性：、考察下列函數(shù)的連續(xù)性：作業(yè)作業(yè): P105: 1(1)(3)(5), 3.那么它在那么它在練習練習： 1 1、若函數(shù)、若函數(shù)1| ),(22yxyxD上具有哪

12、些性質(zhì)？上具有哪些性質(zhì)？),0 , 0(),(, 0),0 , 0(),(,1),(22yxyxyxyxf . 0 , 0, 0 ,),( )2( ;)cos(1),( ) 1 ()sin(22yyyxfyxyxfyxy第32頁/共40頁小結(jié)：小結(jié)：1、掌握二元函數(shù)的連續(xù)性概念、掌握二元函數(shù)的連續(xù)性概念 ；2、了解有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。、了解有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。第33頁/共40頁一、一、 基本內(nèi)容和要求基本內(nèi)容和要求1、了解平面點集的有關概念，了解平面上的完備、了解平面點集的有關概念，了解平面上的完備 性定理，了解多元函數(shù)的概念。性定理，了解多元函數(shù)的概念。2、理解二元函數(shù)的極限和累

13、次極限的概念，并會、理解二元函數(shù)的極限和累次極限的概念，并會計算，知道它們之間的聯(lián)系。計算，知道它們之間的聯(lián)系。3、了解二元函數(shù)的連續(xù)性概念和有界閉域上連續(xù)、了解二元函數(shù)的連續(xù)性概念和有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。函數(shù)的性質(zhì)。第34頁/共40頁二、二、 作業(yè)問題作業(yè)問題P92, 3,5.P99, 1(5)(7)，2(4).P104, 1(3).三、三、 練習題練習題.1 )3();ln( )2();21ln( )1( .122222yxzwxyxzyxz求下列函數(shù)的定義域第35頁/共40頁.nm,|n)(m,E )4;| ),(3,r , 10 , 1r0| ),rE )2;10|,E ) 1. . 21121212122為整數(shù)）；為無理數(shù)（）（的聚點集合求下列平面點集NnErrryxyxEEnn.),(lim . 3的定義敘述yxfyax第36頁/共40頁.)0 , 0(),(|),( . 4的極限在和研究yxxyyxgyxxyyxf.)0 , 0( 1sin1sin)3(),( . 5的累次極限和全面極限在研究yxyxyxf. ,0y: . 0,cos1),( . 62在全平面上連續(xù)使得的值上定義能否在直線問設ffyyxyyxf第37頁