傳遞函數(shù)矩陣的狀態(tài)空間最小實(shí)現(xiàn)

1、傳遞函數(shù)矩陣最小實(shí)現(xiàn)方法降階法人們在設(shè)計(jì)復(fù)雜系統(tǒng)時(shí)，總是希望在構(gòu)造系統(tǒng)之前用模擬計(jì)算機(jī)或數(shù)字計(jì)算機(jī)對所設(shè)計(jì)的系統(tǒng)進(jìn)行仿真，以檢查系統(tǒng)性能是否達(dá)到指標(biāo)要求。給定嚴(yán)格真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s),為尋找一個(gè)維數(shù)最小的(A,B,C),使C(sI-A),B=G(s),則稱該(A,B,C)是G(s)的最小實(shí)現(xiàn)，也稱為不可約實(shí)現(xiàn)。最小實(shí)現(xiàn)是系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的一種非常重要的實(shí)現(xiàn)方式，關(guān)于最小實(shí)現(xiàn)的特性，有下列幾個(gè)重要結(jié)論：(1)(A,B,C)為嚴(yán)格真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)的最小實(shí)現(xiàn)的充要條件是(A,B)能控且(A,C)能觀測。(2)嚴(yán)格真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣G(s)的任意兩個(gè)最小實(shí)現(xiàn)(A,B,C)與(AB,C)之問必代數(shù)等價(jià)，即兩

2、個(gè)最小實(shí)現(xiàn)之間由非奇異線性變換陣T使得式子A=t,at,b=t,b,C=ct成立。(3)傳遞函數(shù)矩陣G(s)的最小實(shí)現(xiàn)的維數(shù)為G(s)的次數(shù)%,或G(s)的極點(diǎn)多項(xiàng)式的最高次數(shù)。為了尋求傳遞函數(shù)矩陣的最小實(shí)現(xiàn)，就意味著要把系統(tǒng)中不能控和不能觀測的狀態(tài)變量消去而不至于影響系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。求最小實(shí)現(xiàn)的方法有三種：1、降階法。根據(jù)給定的傳遞函數(shù)矩陣G(s),第一步先寫出滿足G(s)的能控型實(shí)現(xiàn)，第二步從中找出能觀測子系統(tǒng)；或者第一步先寫出滿足G(s)的能觀測型實(shí)現(xiàn)，第二步從中找出能控子系統(tǒng)，均可求得最小實(shí)現(xiàn)。2、直接求取約當(dāng)型最小實(shí)現(xiàn)的方法。若G(s)諸元容易分解為部分分式形式，運(yùn)用直接求取約當(dāng)型最

3、小實(shí)現(xiàn)的方法是較為方便的。3用漢克爾矩陣法求取最小實(shí)現(xiàn)的方法。下面主要研究降階法(先求能控型再求能觀測子系統(tǒng)的方法)并舉例說明。先求能控型再求能觀測子系統(tǒng)的方法設(shè)(pxq)傳遞函數(shù)矩陣G(s),且p<q時(shí)，優(yōu)先采用本法。取出G(s)的第j歹I，記為Gj(s),是Uj至y(s)的傳遞函數(shù)矩陣，有Gj(s)=gij(s).gqj(s)T=Pij(S)qij(s)Pqj(s)/qqj(s)記dj(s)為qij(s),%(s)的最小公倍式,則1TGj(s)=nij(s)nqj(s)dj(s)nini1設(shè)dj(s)=saj,njs-aj,isaj,。則nj(s)=%,njsnj'+Bkn-

4、s'/+十'j,is+%,o,i=1,.q在此dj(s)是q個(gè)子系統(tǒng)傳遞函數(shù)的公共部分，由單輸入-多輸出系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)可知，能用能控規(guī)范I型的Aj、bj實(shí)現(xiàn)dj(s),由n(s)的諸系數(shù)確定Cj,這時(shí)Gj(s)的實(shí)現(xiàn)為一0I”Aj=可。一為,。一可，,或研bj0I：Ir0IJ1I'M1j,01j,1Cj"-ppILqj，0qj,1p11J,nj4PJqj,nj1qnj令j=1,，P，便可得Gj(s)的實(shí)現(xiàn)為Ann二A2bnxp二Cqn=C1C2AP1Cp1bPP當(dāng)p<q時(shí)，顯見A、B、C的維數(shù)均較小，且有£nj=n。上述實(shí)現(xiàn)一定能j1控，但不一點(diǎn)能

5、觀測，需要找出能觀測部分，為此需要判別（A,C）的能觀測行。若（A,C）能觀測，則（A,B,C）為最小實(shí)現(xiàn);若rankQo=rankCCA=n0<n_CAn則從Qo中選出no個(gè)線性無關(guān)行，記為S;在附加（n-）個(gè)任意行（通常為單位矩陣In的任意行），記為§,即MlSS1TVn構(gòu)造nn的非奇異變換陣T,T=1SI5一引入變換乂=丁乂，由能觀測性的結(jié)構(gòu)分解可知一氏Bo-AOoAAo其中能觀測子系統(tǒng)（Ao,Bo,Co）即為所求的最小實(shí)現(xiàn)。（A0,B0,C0）有如下簡化求法：記丁為T1-iSnonSiUnnoU1(n_no)n=SUu/二SUIISi_SiUSU1S3nooIno有SU

6、=L>o由ct'=c!Uu/LICucu=coo,有Co=CUAUU1SAUSAU"_Ao飛iAUSiAuJ燈o,有Ao=SAUAo由TBS15一BSB1百,1sB一.Boj有Bo=SB于是由能控型化為能控能觀測型的簡化步驟可歸結(jié)為:i.構(gòu)造S陣（從Qo中選出n。個(gè)線性無關(guān)行）；2 .由SU=1%,求出U陣;3 .計(jì)算最小實(shí)現(xiàn)。A=SAU,B0=SB,C0=CU。由于S選擇的任意性及求解U的任意性，最小實(shí)現(xiàn)不唯一，但最小實(shí)現(xiàn)的維數(shù)是唯一的，且系統(tǒng)都是能控能觀測的。下面舉例說明該法。例1、已知傳遞函數(shù)矩陣G(s),求最小實(shí)現(xiàn)。上G(s)=jS+1s+3s+1s2解：化G(

7、s)為嚴(yán)格真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣(?(s)G(s)=_1_s+1-11s3-1-C?(s)Ds+1求6(s)的最小實(shí)現(xiàn)gi(s)=_1_s+11l_s+1g2(s)=s+31：.s+2(s2)(s3)s2Ls-3.令d1(s)=s+1,d2(s)=s2+5s+6,其能控規(guī)范I型實(shí)現(xiàn)為C-?lC1-!-1jb20=，1C22小1-3-1-G?(s)的能控型實(shí)現(xiàn)為A-IL0-10.0011010-01_jC二匕1小；-1C=rank11cA一一121-1-11-1-6-3J62=rank=3=n&(s)的最小實(shí)現(xiàn)。G(s)的最小實(shí)(A,C)的能觀測性判別：由于rankC=2=mCrankQ。=ra

8、nk*A1即(A,C)能觀測。(A,B,C)能控且能觀測，即為現(xiàn)為(A,B,C,D)。例2、求下列G(s)的最小實(shí)現(xiàn)維數(shù)及最小實(shí)現(xiàn)G(s)-(s1)(s2)-24s62s3(s+1)(s+3)-1_(s+1)(s+2)(s+1)(s+2).解(1)確定最小實(shí)現(xiàn)維數(shù)n:所有G(s)的一階子式的最小公分母為(s+1)(s+2)；二階子式只有一個(gè)0,其分母為任意常數(shù)。故所有子式的最小公分母仍為(s+1)(s+2),有n5=2o(2)g(s)=產(chǎn)；6(s+1)(s+2)1-21g2(s)=2s3(s1)(s2)1!-1令di(s)=dz(s)=(s+1)(s+2),其能控規(guī)范I型實(shí)現(xiàn)為I36G=1|L24103C2=2<1A/,0C-IC1C21(A,C)的能觀測性判別：由于rankC=2=m一64321'C-20-10一c|CA-8-6-4-3rankQ0=rank=rankCA=rank=2<4CA10-20-1CAn口1i1210654623_(A,C)不完全可觀測。從Q0中選出二行構(gòu)成S陣，S=，64321-20-10由SU=12求U陣:U