初三數(shù)學(xué)相似三角形典型例題含答案0001

1、初三數(shù)學(xué)相似三角形（一）相似三角形是初中幾何的一個(gè)重點(diǎn)，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)，本節(jié)復(fù)習(xí)的目標(biāo)是：1.理解線段的比、成比例線段的概念，會(huì)根據(jù)比例線段的有關(guān)概念和性質(zhì)求線段的長(zhǎng)或兩線段的比，了解黃金分割。2.3.4.會(huì)用平行線分線段成比例定理進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算、證明，會(huì)分線段成已知比。能熟練應(yīng)用相似三角形的判定和性質(zhì)解答有關(guān)的計(jì)算與證明題。能熟練運(yùn)用相似三角形的有關(guān)概念解決實(shí)際問題本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容是相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及平行線分線段成比例定理。本節(jié)的難點(diǎn)內(nèi)容是利用判定定理證明兩個(gè)三角形相似以及相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用。相似三角形是平面幾何的主要內(nèi)容之一，在中考試題中時(shí)常與四邊形、構(gòu)成高分值的綜合題，

2、題型常以填空、選擇、簡(jiǎn)答或綜合出現(xiàn)，分值一般在也單獨(dú)成題，形成創(chuàng)新與探索型試題；有利于培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)。圓的知識(shí)相結(jié)合10%右，有時(shí)（二）重要知識(shí)點(diǎn)介紹：1.比例線段的有關(guān)概念：ac在比例式-二（a：b=c：d）中，a、d叫外項(xiàng)，b、c叫內(nèi)項(xiàng),bda、c叫前項(xiàng),b、d叫后項(xiàng)，d叫第四比例項(xiàng)，如果b=c,那么b叫做a、d的比例中項(xiàng)。把線段AB分成兩條線段AC和BC,使AC=AB-BC叫做把線段AB黃金分割，C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)。2.比例性質(zhì):基本性質(zhì):ad=bc合比性質(zhì):abcd等比性質(zhì):=m(b+d+nW0)=nacmb+d+n3 .平行線分線段成比例定理：定理：三條平行線截兩條直線，

3、所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，如圖:DEEFABACDFACDF推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊。4 .相似三角形的判定：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角形相似平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相

4、似5 .相似三角形的性質(zhì)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比相似三角形面積的比等于相似比的平方【典型例題】例1.(1)在比例尺是1:8000000的中國(guó)行政區(qū)地圖上，量得A、B兩城市的距離是7.5厘米，那么AB兩城市的實(shí)際距離是千米。(2)小芳的身高是1.6m,在某一時(shí)刻，她的影子長(zhǎng)2m,此刻測(cè)得某建筑物的影長(zhǎng)是18米，則此建筑物的高是米。解：這是兩道與比例有關(guān)的題目，都比較簡(jiǎn)單。(1)應(yīng)填600(2)應(yīng)填14.4。例2.如圖，已知DE/BC,EF/AB,則下列比例式錯(cuò)誤的是：A.ADABAE

5、ACADBD分析:B.CECFEAFBD.受ABCFCB由DE/BC,EF/AB可知，A、B、D都正確。而不能得到DEBCADBD故應(yīng)選Co利用平行線分線段成比例定理及推論求解時(shí)，一定要分清誰(shuí)是截線、誰(shuí)是被截線，c中RE很顯然是兩平行線段的比，因此應(yīng)是利用三角相似后對(duì)應(yīng)邊成比BC例這一性質(zhì)來寫結(jié)論，即DEADAEBC-AB-AC例3.如圖，在等邊ABC中，P為BC上一點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn)，且/APD=60,2BP=1,CD=,求ABC的邊長(zhǎng)3解：ABC是等邊三角形./C=ZB=60又/PDCW1+/APD41+60/APB41+ZC=Z1+60/PDC=APB.PD6APB,PCCD.=ABPB

6、設(shè)PC=x,貝UAB=BC=1+x2彳，x=2.AB=1+x=&.ABC的邊長(zhǎng)為3。例4.如圖：四邊形ABEGGEFHHFCDTB是邊長(zhǎng)為a的正方形,(1)求證：AEDCEA(2)求證：/AFB+ZACB=45分析：因?yàn)锳ERACEA有公共角/AEF故要證明AEDCEA只需證明兩個(gè)三角形中，夾/AER/CEA的兩邊對(duì)應(yīng)成比例即可。證明：(1)二.四邊形ABEGGEFHHFCD正方形.AB=BE=EF=FC=a/ABE=90.AE=、.2a,EC=2aAEEFECAE2a,2a.AEEC二EFAE又/CEA4AEF.CEMAEF(2) .AEFACEA /AFE土EAC 四邊形ABEG正方形 .

7、AD/BC,AG=GEAG,GE /ACBhCAD/EAG=45 /AFB吆ACB4EAC4ZCAD叱EAG/AFB吆ACB=45O且和兩底平行,例5.已知：如圖，梯形ABCD,AD/BCACBD交于點(diǎn)O,EF經(jīng)過點(diǎn)交AB于E,交CD于F求證：OE=OF證明：.AD/EF/BCOEAEOEEB;=，=BCABADABOEOEAEEBAB.+=+=*1BCADABABAB.，_1BCADOE一111同理：BCADOF1 1.=OE=OFOEOF從本例的證明過程中，我們還可以得到以下重要的結(jié)論:(Dad/ef/bc=ADEEFBBC=ADEEFBBC=111ADBC-OE-1OE=OF=-EF21

8、11r=ADBCOE1-EF2-2-即，十OFAD1_2BCEF這是梯形中的一個(gè)性質(zhì)，由此可知，在ADBGEF中，已知任何兩條線段的長(zhǎng)度，都可以求出第三條線段的長(zhǎng)度。例6.已知：如圖，ABC中,ADBC于D,DEIAB于E,DFAC于F求證:AEAFACAbB分析：觀察AE、AF、AGAB在圖中的位置不宜直接通過兩個(gè)三角形相似加以解決。因此可根據(jù)圖中直角三角形多，因而相似三角形多的特點(diǎn)，可設(shè)法尋求中間量進(jìn)行代ABAD換，通過ABDAADE,可得：=，于是得到AD2=AEAB,同理ADAEAEAC可得至ijAD2=AFAC,故可得：AEAB=AFAC,即二AFAB證明：在4ABD和4ADE中，

9、/ADBhAED=90 .ABWADE.ABAD.=ADAEAE2=AE-AB同理：ACDADF可得：AD2=AF-ACAE-AB=AF-AC,AEAC=AFAB例7.如圖，D為ABC中BC邊上的一點(diǎn)，/CADhB,若AD=6AB=8,BD=7求DC的長(zhǎng)。分析：本題的圖形是證明比例中項(xiàng)時(shí)經(jīng)常使用的“公邊共角”的基本圖形，我們可以由基本圖形中得到的相似三角形，從而得到對(duì)應(yīng)邊成比例，從而構(gòu)造出關(guān)于所求線段的方程，使問題得以解決。解：在ADCABAC中 /CADhB,/C=ZC AD6BACADDCAC;=一ABACBCX/AD=6AD=&BD=7.DC_AC_3AC-7DC4DC3即,ACC43解

10、得：DC=9J+DC-4例8.如圖，在矩形ABC邛,E是CD的中點(diǎn)，BEXAC于F,過F作FG/AB交AE于G,求證：A(j=AF-FC證明：在矩形ABCD,AD=BC/ADChBCE=90又E是CD的中點(diǎn)，DE=CE RtAADERtABCEAE=BE FG/AB,AEAG二BEBFAG=BF在RtABC中，BFAC于F RtABFCRtAAFBAFFBBFFCBF2=AF-FCaG=af-FCCHLAB于點(diǎn)H,BH=3AH且四例9.如圖，在梯形ABCD43,AD/BC若/BCD的平分線邊形AHCD勺面積為21,求HBC勺面積。BC分析：因?yàn)閱栴}涉及四邊形AHCD所以可構(gòu)造相似三角形。把問題

11、轉(zhuǎn)化為相似三角形的面積比而加以解決。解：延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)P .OHLAB,CD平分/BCDCB=CP且BH=PH BH=3AH .PAAB=1:2 .PAPB=1:31. AD/BC.PADPBC,SAPAD:SAPBC=1：9GItSAPCH-2SAPBCSapad=S四邊形AHCD=2：7S四邊形AHCD-21-SApad-SAPBC=54Sahbc1二萬(wàn)SAPBC=27一、填空題1. 已知叱2b=9,則a：b=2a-b52. 若三角形三邊之比為3:5:7,與它相似的三角形的最長(zhǎng)邊是21cm,則其余兩邊之和是cm3. 如圖，ABC中，DE分別是AB.AC的中點(diǎn)，BC=q則DE=;ADE

12、AABC的面積之比為：。4. 已知線段a=4cm,b=9cm,則線段a、b的比例中項(xiàng)c為cm。5. 在ABC中，點(diǎn)DE分別在邊ARAC上，DE/BC如果AD=&DB=6EC=9那么AE=6. 已知三個(gè)數(shù)1,2,J3,請(qǐng)你添上一個(gè)數(shù)，使它能構(gòu)成一個(gè)比例式，則這個(gè)數(shù)是7. 如圖，在梯形ABCD中，AD/BC,EF/BC,若AD=12cmBC=18cmAEEB=2:3,則EF=8. 如圖，在梯形ABCD43,AD/BC/A=90,BDLCDAD=qBC=10則梯形的面積為:二、選擇題1.如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比是3:4,那么它們的對(duì)應(yīng)高的比是A. 9:16B. 32C.3D.3:72.在比例尺為

13、的實(shí)際面積是1:m的某市地圖上,米2規(guī)劃出長(zhǎng)a厘米,寬b厘米的矩形工業(yè)園區(qū)，該園區(qū)ab3. 已知，如圖,AEBEECFCEF4210mB.DE/BC,DE一二一ABBC其中正確的比例式的個(gè)數(shù)是A.4個(gè)B.3abEF/AB,C.駕1041_2Dabm.104則下列結(jié)論:BFBCCEEA3）一CFBFC.2個(gè)D.14. 如圖，在ABC中，AB=24,AC=18,D是AC上一點(diǎn)，AD=12在AB上取一點(diǎn)E,使A、DE三點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的三角形與ABCffi似，則AE的長(zhǎng)是A.16B.14C.16或14D.16或9E,5. 如圖，在RtABC中，/BAC=90,D是BC的中點(diǎn)，A已AD,交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

14、則下列結(jié)論正確的是A.AAEDACBC. ABAEACEB.AAEBACDD. AAE(DAC、解答題：1.如圖，AD/EG/BC,AD=6BC=9AE:AB=23,求GF的長(zhǎng)。2.如圖，ABC中,D是AB上一點(diǎn),且AB=3AD/B=75,/CDB=60,求證：ABSCBD3.如圖,BEAABC的夕卜接圓O的直徑，CD為ABC的高,B求證：AC-BC=BE-CD4.如圖，RtABC中，/ACB=90,AD平分/CAB交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)C作CELAD于E,CE的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F,過點(diǎn)E作EGBC交AB于點(diǎn)G,AE-AD=1GAB=4、運(yùn)，(1)求證：CE=EF(2)求EG的長(zhǎng)參考答案一、填空題

15、：1.19:132.243.3;1:44.65.12、2等。26 .只要是使得其中兩個(gè)數(shù)的比值等于另外兩個(gè)數(shù)的比值即可，如：27 .14.48.166二、選擇題：1.C2.D3.C4.D5.C三、解答題：1. 解：AD/EG/BCEG_AE 在ABC中，有BCABEFBE在ABD中，有ADAB .AE:AB=2:3 .BE:AB=1:3八2-1EG=BC,EF=AD33 BC=9,AD=6EG=6EF=2，GF=EGEF=42. 解：過點(diǎn)B作BEXCDT點(diǎn)E, /CDB=60,/CBD=75/DBE=30,/CBE4CBD-/DBE=7530=45CBE是等腰直角三角形。 .AB=3AD設(shè)AD=k,貝UAB=3k,BD=2k.DE=k,BE=.3kBC=16k,BD2k、,2BC,6k-3BC_6k_2AB一3T一，3BDBC=BCAB .ABSACBD3. 連結(jié)EC,cc.BC=BC ./E=ZA又BE是