小學(xué)數(shù)學(xué)幾何五大模型教師版

1、幾何五大模型一、五大模型簡介(1)等積變換模型1、等底等高的兩個三角形面積相等；2、兩個三角形高相等，面積之比等于底之比，如圖所示，Si：S2=a:b；3、兩個三角形底相等，面積在之比等于高之比，如圖所示，Si：S2=a:b；4、在一組平行線之間的等積變形，如圖所示，SaaccfSabcd；反之，如果例、如圖，三角形ABC的面積是24,DE、F分別是BGACAD的中點(diǎn)，求三D（2）鳥頭（共角）定理模型1、兩個三角形中有一個角相等或互補(bǔ)，這兩個三角形叫共角三角形；2、共角三角形的面積之比等于對應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比。如圖下圖三角形ABC,D>E分別是ARAC上或ARAC延長

2、線上的點(diǎn)則有：我們現(xiàn)在以互補(bǔ)為例來簡單證明一下共角定理!ABE：SaABC=SaABE：x(SAbABE：ABC；)=(ADA®X(AEAQ如圖連接BE,根據(jù)等積變化模型知，SADE：Sabe=ADARSxABE：&cbe=AE:CE:(Saabe+Sacbe)=AEAC因此Saade：SaabcF(Saade：Saabe)例、如圖在AABC中，D在BA的延長線上，E在AC上，且AB:AD=5:2,AE:EC=3:2,ADE的面積為12平方厘米，求ABC的面積。DC【詳解】根據(jù)鳥頭模型可知:3:5=（ABxAC）:C4Z>xAEy所以$3條去OWL（平方厘米人（3）蝴蝶

3、模型1、梯形中比例關(guān)系（“梯形蝴蝶定理”）義工演（因?yàn)?但二53瓦，所以心廣'工以二$:M:獷§1:S/S：:$4=7,：口占:岫,梯形s的對應(yīng)價數(shù)為g+b）例、如圖，梯形ABCDAB與CD平行，對角線AGBD交于點(diǎn)O,已知AOBABOC的面積分別為25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD勺面積。【詳解】由梯刪胡蝶定遑的性質(zhì)知，5:5=HJCZ）=25:35,1/物CD=5:7?所以5M阪5皿=T萬：6工=5:73=25:49*即5"二49平方雇米.而5“二臬女二§5平方厘米，所以梯距AbCD的面積為i25+35*35+4關(guān)144（平方厘米底2、任意四邊

4、形中的比例關(guān)系（“蝴蝶定理”）:5：§：=3T：I或者X.1二3；隊(duì)S-©AO.OC三嶼什邑）二鼻+與）例、如圖，四邊形ABCD勺對角線AGBD交于點(diǎn)Q如果三角形ABD的面積等于三角形BCD面積的1/3,且AO=2DO=3求CO的長度是DO6度的幾倍。t詳解】由任意四邊形蝴蝶定理的性質(zhì)知，=所以0C=WM|=3X2=6,所以O(shè)C：OD=6:3=2：lo蝴蝶定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途徑，通過構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng)的對角線的比例關(guān)系。(4)相似模型1、相似三角形：形狀相同，大小

5、不相等的兩個三角形相似；2、尋找相似模型的大前提是平行線：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊或兩邊延長線相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。3、相似三角形性質(zhì)：相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)邊)的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方。相似模型大致分為金字塔模型、沙漏模型這兩大類，注意這兩大類中都含有BC平行DE這樣的一對平行線！例、如圖，已知在平行四邊形ABC巾，AB=16AD=1QBE=4那么FC的長度是(5)燕尾模型由于陰影部分的形狀像一只燕子的尾巴,所以在數(shù)學(xué)上把這樣的幾何圖形叫做燕尾模型，看一下它都有哪些性質(zhì):Saabg：SaacG=Sa

6、bgESacge=BECES»ABGA：SBG(=S»AGAF：SGCf=AF：CFS»aagc：SabgC=SaagDSabgcFADBD例、如圖，E、D分別在AGBC上，且AE:EC=2:3,BDDC=1:2,AD與BE交于點(diǎn)F,四邊形DFEC勺面積等于22平方厘米，求三角形ABC的面積。A【詳解】如圖所示，連接方構(gòu)造燕尾模型.根據(jù)燕尾模型性質(zhì)可知，又鉆/RD=J_、$溫避_/左二二ucrDC2斯EC,現(xiàn)設(shè)s皿a份,則3皿=2佛、S52份、粉、ij£F=4苫-=1.6份、Sqcjf=4K-=2.4份。2+32+3所以邑它=2+2.扣4.4份.梟詼=2

7、+3+4=9傷。曷皿=22+gx9*5(平方厘米八二、五大模型經(jīng)典例題詳解(1)等積變換模型例1、圖中的E、F、G分別是正方形ABCDE條邊的三等分點(diǎn)，如果正方形的邊長是12,那么陰影部分的面積是多少？【詳解】把另外三個三等分點(diǎn)標(biāo)出之后，正方形的3條邊出、BC.CD就被分成了相等的三段,把點(diǎn)H在這些分點(diǎn)、正方形的頂點(diǎn)連接，這樣就把整個正方形分割成了9個形狀各不相同的三角形，同時我們把空白部分的6個三角形按順時針標(biāo)記1飛.這9個三角形的底邊都是正方形邊長的三分之一j陰影部分被分割成了其中的3個三角形*根據(jù)等積變換模型可知，CD邊上的陰晶三角形的面積與第1、2個三角形相等iBC邊上的陰影三角開彳與

8、第3、4個三角形相等AB邊上的陰影三角形與第5、6個三角形相等.因此,陰影面積是空白面積的二分之一，是正方形面積的三分之一，即:12X129土犯.例2、如圖，QE、P、M分別為直角梯形ABCDM邊ARCD上的點(diǎn)，且DQCRME彼此平行，已知AD=5BC=7AE=5EB=3求陰影部分三角形PQM勺面積。A口1詳解】如圖所示，連接CE、DE,由干DQ、ME平行，根據(jù)同底等高知,S&0MF=5M如?同理根據(jù)BC、HE平仃，有§立睦-5gtt，所以S&晦.=5ABb由于四邊用ABCD為直角梯形，所以、3,8£=5看3-$皿一£.工=；（5+了15+3卜；*

9、5乂5-：乂3乂7=25,即陰影三上上角形PQH的面積為25。（2）鳥頭（共角）定理模型例1、如圖所示，平行四邊形ABCDBE=ABCF=2CBGD=3DCHA=4AD平行四邊形ABCD勺面積為2,求平行四邊形ABC由四邊形EFGH勺面積比。【詳解】如圖所示，連接AC.BD,由于在AEBF中，乙4C與互補(bǔ)，所以根據(jù)鳥頭定理有沁=箓e=罟=因?yàn)镾-；、7A3s=1，所以S皿=3;3江EF逝xHFIXj52同理可得義斤=4乂2=晨$包片4*2=g、5=5x3=15c宙日s二-口uTXBCD_t_J'、S”也3+2一%1屋例2、如圖所示，4ABC的面積為1,BC=5BDAC=4ECDG=GS

10、=SEAF=FG求AFGS的面積。根據(jù)鳥頭定理有夢=臂器"言=2,所以5皿IS【詳解】首先根據(jù)等積變換模型知1aFGS、SgF-5江GF5瓢=萼號等"所以$山"=25皿人所以品應(yīng)=5Agb*45JlCr15C/1乂1法=懿唱W'所以"=2Sg所以即哈(3)蝴蝶模型例1、如圖，正六邊形面積為1,那么陰影部分面積為多少?K詳解】如圖所示，連接陰影四邊形的對角線，此時正六這幫被平分成兩半小設(shè)也8的面積為1份，根據(jù)正六邊形的特殊性質(zhì)知，K=2AD,再根據(jù)梯形蝴蝶定理，標(biāo)出各個三角形所占份故，所以整個正六邊用祓分成了18份，陰影部分站其中的8份，即陰影部分

11、面積為；1&9例2、如圖，長方形ABC徽CEDF分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，求余下的四邊形OFBC勺面積。AEFBAEFSDCDC【詳解】如圖所示，連接DE、在梯形EDCF中，根據(jù)梯形拗蝶定理知,Jan=§汨k*匿8V此二址=2x8=16、即*迂5，入Sm口=8+4=12pS$方壬ms=12x2=24?5工祖看coc=24-n-2-8=9。例3、如圖，已知正方形ABCD勺邊長為10厘米，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，G為BF的中點(diǎn)，求三角形BDG勺面積。51詳解】設(shè)BD與CE的交點(diǎn)為0,連接BE、DF,在梯形BCDE中，由梯形蝴蝶定理知，EO:CO

12、=5:,而，亞°=工，正萬旁、*詆口=豆聞訊tscD，所以EOCO=1:又因?yàn)镕為CE的中點(diǎn)，所以即:叩=2:1，在四邊形BFDE中，由蝴蝶定理知，£0下0=£也辦33砧=2:1，所以q一晨一葭口abfd=彳°i5irri=口三方弓3e0所以31曲?=sBFD-77"S正七號皿:D=-X10xl0-6.25（平方厘米）21616（4）相似模型例1、如圖，正方形的面積為1,E、F分別為ARBD的中點(diǎn)，GC=1/3FC求陰影部分的面積。K詳解】如圖所示，作FH垂直BC于點(diǎn)H,GI垂直BC于點(diǎn)I,根據(jù)金字塔模型知，CI=CH=CG：CF=1：3;因?yàn)?/p>

13、F是BD的中點(diǎn)，所以CH二BlCI：CE二16即BI：BC=C6-1）：6二5:6,所以$.臥田=L乂1義2=。即22624例2、如圖，長方形ABCDE為AD的中點(diǎn)，AF與BDBE分別交于G和H,OE垂直于AD交AD于E點(diǎn)，交AF于O點(diǎn)，已知AH=5,HF=3,求AG的長。D【詳解】根據(jù)長方形的性質(zhì)知，AB平行于DF,再根據(jù)沙漏模型知AB:DF=AH:HF=5:3又因?yàn)?#163;為X。的中點(diǎn):,困心=1;2達(dá)氏口五二5二二10：32利用相似三角形性質(zhì)可得*且二WB:O£=lU；m二達(dá)。二工工H尸二工（5+3）二4221040.-4C?=4x=1313(5)燕尾模型例1、如圖，正方形

14、ABCD勺面積是120平方厘米，E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC的中點(diǎn)，求四邊形BGHF勺面積。K詳解勘口圖,連接由于BE與CD平行，根據(jù)沙漏模型知，GD=BE；CD=1:2.現(xiàn)設(shè)5即=1份，根據(jù)燕尾模型知，1皿川傷、5包二2份；因此整個正方形ABCD就是f（142+2）乂2=10（份），四邊用EGHF占：1x1+1x2=-（份八所236以S工*由=120+10乂石=14(平方厘米)。例2、如圖，在ABC中，BD=2DACE=2EBAF=2FC那么ABC的面積是陰影GHI面積的幾倍？t詳解】如圖，連接AI.根據(jù)燕尾模型知,54門:5f學(xué)FC：AF1.251113c7-3&白RD：£M=2:L所艮；Siac?；Sa即=1;2;4?那么22SaBC7=；7；5asc=1S藍(lán)1+2+47同理可知，S2221工g=5S.q、SaW/二y5業(yè)亡3所以5M宅3（7田二（1一