連續(xù)性隨機(jī)變量詳解復(fù)習(xí)過(guò)程

1、連續(xù)性隨機(jī)變量詳解.,)(,d)()(, )(簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱(chēng)稱(chēng)概概率率密密度度密密度度函函數(shù)數(shù)的的概概率率稱(chēng)稱(chēng)為為其其中中為為連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量則則稱(chēng)稱(chēng)有有使使對(duì)對(duì)于于任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)非非負(fù)負(fù)函函數(shù)數(shù)存存在在的的分分布布函函數(shù)數(shù)如如果果對(duì)對(duì)于于隨隨機(jī)機(jī)變變量量XxfXttfxFxxFXx 一、概率密度的概念與性質(zhì)一、概率密度的概念與性質(zhì)1.定義定義xo)(xf11d)( xxfS1SxxfSxxd)(211 1x 2x )()()3(1221xFxFxXxP ;d)(21xxfxx xxfxd)(2 證明證明.d)(21xxfxx )()(1221xFxFxXxP xxfxd)(1 性質(zhì)性質(zhì)

2、;0)()1( xf;1d)()2( xxf證明證明 .d)()(1xxfF ).()(,)()4(xfxFxxf 則則有有處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)若若)(aFaXP ,d)(xxfa 1aXPaXP xxfxxfad)(d)( )(1aF xxfxxfad)(d)( .d)(xxfa 同時(shí)得以下計(jì)算公式同時(shí)得以下計(jì)算公式注意注意 對(duì)于任意可能值對(duì)于任意可能值 a ,連續(xù)型隨機(jī)變量取連續(xù)型隨機(jī)變量取 a 的概率等于零的概率等于零.即即. 0 aXP證明證明aXP . 0 由此可得由此可得xxfxaaxd)(lim0 連續(xù)型隨機(jī)變量取值落在某一連續(xù)型隨機(jī)變量取值落在某一區(qū)間的概率與區(qū)間的開(kāi)閉無(wú)關(guān)區(qū)間

3、的概率與區(qū)間的開(kāi)閉無(wú)關(guān)bXaP bXaP bXaP .bXaP 密度函數(shù) X p(x)( )( )xF xp t dt2.4. P(X=a) = 0分布列: pn = P(X=xn) 2. F(x) =()iixxP Xx 3. F(a+0) = F(a); P(aXb) = F(b)F(a).4. 點(diǎn)點(diǎn)計(jì)較5. F(x)為階梯函數(shù)。 5. F(x)為連續(xù)函數(shù)。 F(a0) = F(a). F(a0) F(a). 0 aXP若若X是連續(xù)型隨機(jī)變量，是連續(xù)型隨機(jī)變量， X=a 是不是不可能事件，則有可能事件，則有, 0 aXP若若是不可能事件是不可能事件aX . 0 aXP若若 X 為離散型隨機(jī)

4、變量為離散型隨機(jī)變量, 注意注意連連續(xù)續(xù)型型離離散散型型是是不不可可能能事事件件則則不不能能確確定定aX .271)3(;)2(;)1(., 0, 43,22, 30,)( XPXkxxxkxxfX求求的分布函數(shù)的分布函數(shù)求求確定常數(shù)確定常數(shù)其它其它具有概率密度具有概率密度隨機(jī)變量隨機(jī)變量設(shè)設(shè)解解, 1d)()1( xxf由由例例1的的概概率率密密度度為為知知由由Xk61)2( ., 0, 43,22, 30,6)(其它其它xxxxxf, 1d)22(d3043 xxxkx得得.61 k解之得解之得 . 4, 1, 43,d)22(d6, 30,d6, 0, 0)(3030 xxxxxxxxx

5、xxFxx得得由由 xxxfxFd)()( . 4, 1, 43,423, 30,12, 0, 0)(22xxxxxxxxF即即271)3( XP)1()27(FF .4841 二、常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布二、常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布).,(,),(, 0,1)(baUXbaXbxaabxfX記為記為區(qū)間上服從均勻分布區(qū)間上服從均勻分布在區(qū)間在區(qū)間則稱(chēng)則稱(chēng)其它其它具有概率密度具有概率密度設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量定義定義 1. 均勻分布均勻分布xo)(xf a b概率密度概率密度函數(shù)圖形函數(shù)圖形均勻分布概率密度函數(shù)均勻分布概率密度函數(shù)演示演示均勻分布的意義均勻分布的意義,),(Xba變量

6、變量上服從均勻分布的隨機(jī)上服從均勻分布的隨機(jī)在區(qū)間在區(qū)間.),(性性是是相相同同的的內(nèi)內(nèi)的的可可能能中中任任意意等等長(zhǎng)長(zhǎng)度度的的子子區(qū)區(qū)間間落落在在區(qū)區(qū)間間baxo)(xf a bab 1 lablp l ., 1, 0)(bxbxaabaxaxxF分布函數(shù)分布函數(shù)xo)(xF a b 1均勻分布分布函數(shù)圖形均勻分布分布函數(shù)圖形演示演示隨機(jī)變量, 解解：依題意， X U ( 0, 30 ) 以7:00為起點(diǎn)0，以分為單位其它, 0300,301)(xxp某公共汽車(chē)站從上午7時(shí)起，每15分鐘來(lái)一班車(chē)，即 7:00，7:15，7:30, 7:45等時(shí)刻有汽車(chē)到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時(shí)間X是7:0

7、0 到 7:30 之間的均勻試求他候車(chē)時(shí)間少于5 分鐘的概率.從上午7時(shí)起，7:30等時(shí)刻有汽車(chē)到達(dá)汽車(chē)站，每15分鐘來(lái)一班車(chē)，即 7:00，7:15，例例13到 7:15 之間，或在7:25 到 7:30 之間到達(dá)車(chē)站.所求概率為：10152530PXPX其它, 0300,301)(xxp3130130130251510dxdx即乘客候車(chē)時(shí)間少于5 分鐘的概率是1/3.為使候車(chē)時(shí)間X 少于 5 分鐘，乘客必須在7:101e00001xXxf xxX,( ),.,.()定定義義設(shè)設(shè)連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的概概率率密密度度為為其其中中為為常常數(shù)數(shù) 則則稱(chēng)稱(chēng)服服從從參參數(shù)數(shù)為為 的的指指數(shù)

8、數(shù)分分布布2. 指數(shù)分布指數(shù)分布指數(shù)分布密度指數(shù)分布密度函數(shù)圖形函數(shù)圖形演示演示 某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布.例如例如無(wú)線(xiàn)電元件的壽命無(wú)線(xiàn)電元件的壽命 、電力設(shè)備的壽命、動(dòng)物的、電力設(shè)備的壽命、動(dòng)物的壽命等都服從指數(shù)分布?jí)勖榷挤闹笖?shù)分布.應(yīng)用與背景應(yīng)用與背景分布函數(shù)分布函數(shù)11e00 0 xxF xx,( ),.指數(shù)分布分布函數(shù)圖形指數(shù)分布分布函數(shù)圖形演示演示例例1414（單位：分鐘）是以間設(shè)打一次電話(huà)所用的時(shí)X解：的密度函數(shù)為X 00010110 xxexpx 2010XPBP則令：B= 等待時(shí)間為10-20分鐘 201010101dxex20101

9、0 xe21ee2325. 0在你機(jī)變量如果某人剛好為參數(shù)的指數(shù)分布的隨101分鐘之間的分鐘到求你需等待前面走進(jìn)公用電話(huà)間，2010概率例例1 15 設(shè)某類(lèi)日光燈管的使用壽命設(shè)某類(lèi)日光燈管的使用壽命 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為=2000的指數(shù)分布的指數(shù)分布(單位單位:小時(shí)小時(shí)).(1)任取一只這種燈管任取一只這種燈管, 求能正常使用求能正常使用1000小時(shí)以小時(shí)以上的概率上的概率. (2) 有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000 小時(shí)以小時(shí)以上上,求還能使用求還能使用1000小時(shí)以上的概率小時(shí)以上的概率. . 0, 0, 0,e1)(20001xxxFxX 的分布函數(shù)為

10、的分布函數(shù)為解解1000)1( XP10001 XP)1000(1F .607. 0e21 10002000)2( XXP10001000,2000 XPXXP10002000 XPXP1000120001 XPXP)1000(1)2000(1FF .607. 0e21 指數(shù)分布的重要性質(zhì)指數(shù)分布的重要性質(zhì) :“無(wú)記憶性無(wú)記憶性”.).,(,)0(,e21)(22)(22NXXxxfXx記為記為的正態(tài)分布或高斯分布的正態(tài)分布或高斯分布服從參數(shù)為服從參數(shù)為則稱(chēng)則稱(chēng)為常數(shù)為常數(shù)其中其中的概率密度為的概率密度為設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量定義定義 3. 正態(tài)分布正態(tài)分布(或或高斯分布高斯分布)高

11、斯資料高斯資料正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征;)1(對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)曲曲線(xiàn)線(xiàn)關(guān)關(guān)于于x ;21)(,)2(xfx取取得得最最大大值值時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ; 0)(,)3(xfx時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng);)4(處有拐點(diǎn)處有拐點(diǎn)曲線(xiàn)在曲線(xiàn)在x ;,)(,)6(軸作平移變換軸作平移變換著著只是沿只是沿圖形的形狀不變圖形的形狀不變的大小時(shí)的大小時(shí)改變改變當(dāng)固定當(dāng)固定xxf;)5(軸為漸近線(xiàn)軸為漸近線(xiàn)曲線(xiàn)以曲線(xiàn)以 x.,)(,)7(圖圖形形越越矮矮越越胖胖越越大大圖圖形形越越高高越越瘦瘦越越小小而而形形狀狀在在改改變變不不變變圖圖形形的的對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)軸軸的的大大小小時(shí)時(shí)改改變變當(dāng)當(dāng)固固定定xf正態(tài)分布密度函數(shù)圖形正態(tài)分

12、布密度函數(shù)圖形演示演示正態(tài)分布的分布函數(shù)正態(tài)分布的分布函數(shù)txFxtde21)(222)( 正態(tài)分布分布函數(shù)圖形正態(tài)分布分布函數(shù)圖形演示演示 正態(tài)分布是最常見(jiàn)最重要的一種分布正態(tài)分布是最常見(jiàn)最重要的一種分布,例如例如測(cè)量誤差測(cè)量誤差, 人的生理特征尺寸如身高、體重等人的生理特征尺寸如身高、體重等 ;正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長(zhǎng)度、重量直徑、長(zhǎng)度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布高度等都近似服從正態(tài)分布.正態(tài)分布的應(yīng)用與背景正態(tài)分布的應(yīng)用與背景 正態(tài)分布下的概率計(jì)算正態(tài)分布下的概率計(jì)算txFxtde21)(222)( xXP ? 原函數(shù)不是原函數(shù)不是初等函數(shù)初等函數(shù)方法

13、一方法一:利用利用MATLAB軟件包計(jì)算軟件包計(jì)算(演示演示)方法二方法二:轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表計(jì)算轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表計(jì)算).1, 0(,1, 0),(2NN記記為為態(tài)態(tài)分分布布的的正正態(tài)態(tài)分分布布稱(chēng)稱(chēng)為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正這這樣樣時(shí)時(shí)中中的的當(dāng)當(dāng)正正態(tài)態(tài)分分布布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為,e21)(22 xxx 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為.,de21)(22 xtxxt標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形正態(tài)分布的性質(zhì)(1) p(x) 關(guān)于 是對(duì)稱(chēng)的.p(x)x0在 點(diǎn) p(x) 取得最大值.(2) 若 固

14、定, 改變, (3) 若 固定, 改變,小p(x)左右移動(dòng), 形狀保持不變. 越大曲線(xiàn)越平坦; 越小曲線(xiàn)越陡峭.p(x)x01(1) (0),2xx)( x1( ) x標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0, 1)密度函數(shù)記為 (x),分布函數(shù)記為 (x).(2)()1( )xx (x) 的計(jì)算(1) x 0 時(shí), 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表.(2) x a) =1(a); (3) P(aXb) = (b)(a); (4) 若a 0, 則 P(|X|a) = P(aX1.96) , P(|X|1.96)P(|X|1/2, 所以 b 0, 反查表得: (1.66) = 0.9515, 故 b = 1.66而 (a) =

15、0.0495 1/2,所以 a k = PXk, 則 k = ( ).3課堂練習(xí)(1) 設(shè) X N(, 42), Y N(, 52), 記 p1 = PX 4，p2 = PY +5, 則( ) 對(duì)任意的 ，都有 p1 = p2 對(duì)任意的 ，都有 p1 p2 課堂練習(xí)(2) 設(shè) X N( , 2), 則隨 的增大， 概率 P| X | ( ) 單調(diào)增大 單調(diào)減少 保持不變 增減不定課堂練習(xí)(3).225. 1),1 , 0( XPNX求求已已知知解解225. 1 XP)25. 1 ()2( 8944. 09772. 0 例例15 . 0828. 0 例例8 證明證明).(1)(xx xxxxde

16、21)(22 xxxde2122 xxde2122 xxxde2122 ).(1x 證明證明例17 對(duì)某地抽樣調(diào)查，考生的外語(yǔ)成績(jī)（百分制）近似服從正態(tài)分布，平均分為72，且96分以上的考生比率為2.3%，求考生成績(jī)?cè)?0至84分之間的概率。（答案：0.682）解：已知2=0.977, 又1-P（X-72）/（96-72）/=1-（2）=0.023, =12P（60-72）/（84-72）/=2（1）-1=0.682關(guān)鍵在于必須記住正態(tài)分布的，2，3分位點(diǎn)及所取得概率值。分布函數(shù)分布函數(shù)概率密度概率密度三、小結(jié)三、小結(jié)2. 常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布常見(jiàn)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布 xttfxFd)()

17、(. 1 連連續(xù)續(xù)型型隨隨機(jī)機(jī)變變量量均勻分布均勻分布正態(tài)分布正態(tài)分布(或高斯分布或高斯分布)指數(shù)分布指數(shù)分布 正態(tài)分布有極其廣泛的實(shí)際背景正態(tài)分布有極其廣泛的實(shí)際背景, 例如測(cè)量例如測(cè)量誤差誤差, 人的生理特征尺寸如身高、體重等人的生理特征尺寸如身高、體重等 ,正常正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長(zhǎng)度、重量高度直徑、長(zhǎng)度、重量高度,炮彈的彈落點(diǎn)的分布等炮彈的彈落點(diǎn)的分布等, 都服從或近似服從正態(tài)都服從或近似服從正態(tài)分布分布.可以說(shuō)可以說(shuō),正態(tài)分布是自然界和社會(huì)現(xiàn)象中最正態(tài)分布是自然界和社會(huì)現(xiàn)象中最為常見(jiàn)的一種分布為常見(jiàn)的一種分布, 一個(gè)變量如果受到大量微小一個(gè)變量如果受到大量微小的、獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響的、獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響, 那么這個(gè)變量一般那么這個(gè)變量一般是一個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量是一個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量.3. 正態(tài)分布是概率論中最重要的分布正態(tài)分布是概率論中最重要的分布另一方面另一方面,有些分布有些分布(如二項(xiàng)分布、泊松分布如二項(xiàng)分布、泊松分布)的極的極限分布是正態(tài)分布限分布是正態(tài)分布.所以所以,無(wú)論在實(shí)踐中無(wú)論在實(shí)踐中,還是在理還是在理論上論上