長(zhǎng)記憶時(shí)間序列模型及應(yīng)用

1、長(zhǎng)記憶時(shí)間序列模型及應(yīng)用長(zhǎng)記憶時(shí)間序列模型及應(yīng)用王明進(jìn)王明進(jìn) 博士博士北京大學(xué)光華管理學(xué)院北京大學(xué)光華管理學(xué)院商務(wù)統(tǒng)計(jì)與經(jīng)濟(jì)計(jì)量系商務(wù)統(tǒng)計(jì)與經(jīng)濟(jì)計(jì)量系 教授教授金融風(fēng)險(xiǎn)管理中心金融風(fēng)險(xiǎn)管理中心 主任主任20102010年年6 6月月主要內(nèi)容主要內(nèi)容nARMA模型的回顧；n長(zhǎng)記憶的概念；n長(zhǎng)記憶的檢驗(yàn)方法；nARFIMA模型；n一些應(yīng)用；1. ARMA模型的回顧模型的回顧時(shí)間序列研究的主要任務(wù)時(shí)間序列研究的主要任務(wù)n描述時(shí)間序列中的動(dòng)態(tài)（Dynamic）關(guān)聯(lián)性，用于理解其變化的規(guī)律或?qū)ζ溥M(jìn)行預(yù)測(cè)；n自相關(guān)性（autocorrelation）的刻畫0, 1, 2,0, 1, 2, cov(,),

2、corr(,), ktt kktt kkkRy yy yARMA模型的形式模型的形式nARMA(p,q)模型n其中 是白噪聲 11 ( )1,( ) ( )()( )1,qtptpqBBBByaBBBB 22()0, (),()0, for tttsE aE aE a ats taARMA模型的平穩(wěn)性條件模型的平穩(wěn)性條件n如果 ，那么ARMA模型定義了唯一的二階平穩(wěn)解( )0, for | 1zz0( )( )ttjtjjByaaBARMA模型的可逆性條件模型的可逆性條件n如果 ，那么ARMA模型能夠唯一地表達(dá)成如下的無(wú)窮階自回歸模型的形式( )0, for | 1zz0( )()()( )t

3、tjtjjBayyBARMA模型的自相關(guān)特征模型的自相關(guān)特征n任何一個(gè)平穩(wěn)的ARMA模型的自相關(guān)函數(shù)都是呈指數(shù)遞減的，即n因此自相關(guān)函數(shù)絕對(duì)可和，, kkc eas k|kk 平穩(wěn)過程的平穩(wěn)過程的譜函數(shù)譜函數(shù)n譜密度函數(shù)是定義在 上的偶函數(shù)且滿足n如果自協(xié)方差函數(shù)絕對(duì)可加，, 0, 1, 2,( )( )cos(), i kkkRfedfk d1( ), 1 2(0) 2i kkkkkffR eR ARMA模型的譜密度函數(shù)模型的譜密度函數(shù)n于是22*22*()( ), ;2()(1)(0)02(1)iaiaefefARMA模型的估計(jì)模型的估計(jì)n條件極大似然估計(jì)；n極大似然估計(jì)；n最小二乘估計(jì)；

4、單位根過程單位根過程n如果如果 ，那么，那么 稱為稱為單位單位根根過程，此時(shí)為非平穩(wěn)過程。過程，此時(shí)為非平穩(wěn)過程。n比如如下的比如如下的I(1)過程：過程：(1)0 ty11 ( )(1)( ) , ( )0, for | 1ptqtpBB yB azz 單位根的檢驗(yàn)單位根的檢驗(yàn)nAugmented Dickey-Fuller(ADF)檢驗(yàn)(Said & Dickey 1981);nPhillips-Perron(PP)檢驗(yàn)(Phillips & Perron 1988)；nPerron-Ng (PN)檢驗(yàn)(Perron & Ng 1996)；nKwitkowski-Phillips-Schm

5、idt-Shin（KPSS）檢驗(yàn) (Kwitkowski et al. 1992)；上證指數(shù)日全距序列上證指數(shù)日全距序列 （1997.01.03-2010.06.18)19971999200220052007201000.020.040.060.080.10.12取對(duì)數(shù)之后的全距序列取對(duì)數(shù)之后的全距序列199719992002200520072010-6-5.5-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2單位根檢驗(yàn)的結(jié)果單位根檢驗(yàn)的結(jié)果RangelnRangeADF-t(10)-8.5557*-7.3599*ADF-t(20)-5.8614*-5.4457*PP-t-30.9954*-27.875

6、*PN-t-5.4938*-5.0333*KPSS3.9385*4.6528*自相關(guān)函數(shù)圖形自相關(guān)函數(shù)圖形0100200300400500600700800-0.100.10.20.30.40.50.6(a) Range 0100200300400500600700800-0.100.10.20.30.40.50.6(b) Log Range 估計(jì)的譜密度函數(shù)估計(jì)的譜密度函數(shù)00.511.522.533.50.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2估計(jì)的估計(jì)的ARMA模型模型n經(jīng)過模型選擇階數(shù)得到2(10.9623 )(4.0875)(10.7248 )0.1

7、849AIC3743.20, BIC3761.46ttByB aARMA(1,1)殘差的殘差的Box-Ljung檢驗(yàn)檢驗(yàn)StatStatp-p-ValuValue eQ(10)Q(10)31.431.455554 40.00030.0003Q(20)Q(20)43.543.570701 10.00170.0017Q(50)Q(50)69.469.481818 80.03550.0355138.138.101016162. 長(zhǎng)記憶的概念長(zhǎng)記憶的概念基于自相關(guān)函數(shù)的定義基于自相關(guān)函數(shù)的定義n如果存在常數(shù) ，使得n此時(shí)自相關(guān)函數(shù)不再絕對(duì)可和，01/2d21, as kdckk lim|njnjn 基

8、于譜函數(shù)的定義基于譜函數(shù)的定義n如果存在常數(shù) ，使得n基于自相關(guān)函數(shù)和基于譜函數(shù)的定義是等價(jià)的。01/2d2 0( ) , dfaGs短程關(guān)聯(lián)和長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)短程關(guān)聯(lián)和長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)*n強(qiáng)相合過程（strong mixing）被稱為短程關(guān)聯(lián)（short range dependency）過程(Rosenblatt 1956);n不滿足強(qiáng)相合性的過程稱為長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)（long range dependency）過程(Lo 1991, Guegan 2005)n長(zhǎng)記憶過程屬于這里的長(zhǎng)程關(guān)聯(lián)過程。3. 長(zhǎng)記憶的檢驗(yàn)長(zhǎng)記憶的檢驗(yàn)重新標(biāo)度極差統(tǒng)計(jì)量重新標(biāo)度極差統(tǒng)計(jì)量n重新標(biāo)度極差（rescaled-range）統(tǒng)計(jì)量n

9、其中/TTTQRs11111/221max()min()1 () kkTtTtTk Tk TttTTtTtRyyyysyyT 重新標(biāo)度極差統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)重新標(biāo)度極差統(tǒng)計(jì)量的性質(zhì)n對(duì)于短期關(guān)聯(lián)過程，n對(duì)于長(zhǎng)記憶過程，n其中 稱為Hurst指數(shù)1/2()TpQO T()HTpQO T1/2HdR/S 分析分析n在 對(duì) 的散點(diǎn)圖上，短期記憶過程的點(diǎn)應(yīng)分布在斜率1/2的直線附件，長(zhǎng)記憶過程的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的直線斜率大于1/2.n根據(jù)回歸方法得到對(duì)Hurst指數(shù)的估計(jì)。logTQlogT對(duì)對(duì)數(shù)全距序列的對(duì)對(duì)數(shù)全距序列的R/S分析分析45678933.544.555.566.577.5對(duì)應(yīng)的斜率估對(duì)應(yīng)的斜率估計(jì)為計(jì)

10、為0.8987，因此因此d 的估計(jì)的估計(jì)為為0.3987R/S分析方法的不足分析方法的不足nR/S分析方法其實(shí)對(duì)時(shí)間序列當(dāng)中的短程記憶比較敏感，模擬結(jié)果顯示，即便對(duì)于自回歸系數(shù)為0.3的AR(1)過程，經(jīng)R/S方法得到的Hurst指數(shù)也有近乎一半的情形超過1/2. （Davies & Harte, 1987; Lo 1991）修正的修正的R/S統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量111122111011max()min() ;12( )()( )()() 2)( () kkTjTjTk Tk TjjqTTTtTjtTtjTtjtjqjjTjQyyyyqyyqyyyyTTqq 修正的修正的R/S統(tǒng)計(jì)量的漸近分布統(tǒng)計(jì)量的

11、漸近分布對(duì)于短期過程其中V是定義在0,1上的布朗橋的全距1/2TTQVE( )/21.25Std( )(3)/60.27VV 對(duì)長(zhǎng)記憶性的判斷對(duì)長(zhǎng)記憶性的判斷n對(duì)于長(zhǎng)記憶過程n因此利用該統(tǒng)計(jì)量可以對(duì)長(zhǎng)記憶過程進(jìn)行單邊的檢驗(yàn)。1/2pTTQ 對(duì)數(shù)全距序列的修正的對(duì)數(shù)全距序列的修正的R/S分析分析V-statV-statp-Valuep-Valueq=14q=144.26724.26720.00000.0000Newey-West (1994)Newey-West (1994)6.60496.60490.00000.0000Andrew(1991)Andrew(1991)3.46533.46530

12、.00000.0000對(duì)對(duì)ARMA(1,1)殘差的殘差的R/S分析分析V-V-ststatatp-p-ValuValue eq=14q=142.472.4786860.00020.0002Newey-Newey-West West (1994)(1994)2.162.1661610.00300.0030Andrew(1Andrew(1991)991)2.202.2072720.00220.00224. ARFIMA模型模型模型的形式模型的形式n分?jǐn)?shù)次整合ARMA模型n或者n稱之為I(d)過程，記為( )(1) ()( )dttBByB a ( )(1) ()( )dtttuBByaB ARFI

13、MA( , , )typ d q分?jǐn)?shù)次差分算子分?jǐn)?shù)次差分算子n其中n當(dāng) 時(shí)該過程可逆。0(1) djjjBB011()(1)(1)11, !() () (1)jjdjddjdcjdjjdjjjd 1/2d 平穩(wěn)解的存在性平穩(wěn)解的存在性n當(dāng) 時(shí)，該過程存在著平穩(wěn)解，能夠?qū)懗蒼其中1/2d 0(1)dttkt kkyBuu1()( ) (1)dkkdc kdk平穩(wěn)解的自相關(guān)函數(shù)特征平穩(wěn)解的自相關(guān)函數(shù)特征n對(duì)于平穩(wěn)的情況，自相關(guān)函數(shù)滿足n顯然自相關(guān)函數(shù)呈雙曲（hyperbolic）律遞減（Sowell 1992; Chung 1994)21, 0dkc kd平穩(wěn)解譜密度函數(shù)的性質(zhì)平穩(wěn)解譜密度函數(shù)的性

14、質(zhì)n所以，2*2*( )1( ) 4sin ( 1/2,(/2)( ), ,1 ;/2)diwdfeffd 2( ) , 0dfasG記憶參數(shù)記憶參數(shù)d取不同值時(shí)取不同值時(shí)n當(dāng) 時(shí)對(duì)應(yīng)的是二階平穩(wěn)的長(zhǎng)記憶過程，譜密度函數(shù)在0點(diǎn)奇異；n當(dāng) 時(shí)對(duì)應(yīng)的過程稱為反持續(xù)（anti-persistent）過程，譜密度函數(shù)在0點(diǎn)處等于0；n當(dāng) 時(shí)，對(duì)應(yīng)的是短記憶ARMA過程,譜密度函數(shù)在0點(diǎn)處為正數(shù)；n當(dāng) 時(shí)，對(duì)應(yīng)的過程非平穩(wěn)，方差無(wú)窮大，包含了單位根過程。01/2d1/20d0d 1/2d 模擬分?jǐn)?shù)次白噪聲的數(shù)據(jù)模擬分?jǐn)?shù)次白噪聲的數(shù)據(jù)0.3 . . .(0,1)(1),tttai i d NByaARFI

15、MA模型的估計(jì)模型的估計(jì)n條件極大似然估計(jì)；n極大似然估計(jì)；n非線性最小二乘估計(jì)；nBaillie (1996)對(duì)對(duì)數(shù)全距序列的估計(jì)對(duì)對(duì)數(shù)全距序列的估計(jì)0.44032(1)(4.0173)(10.1646 )0.1826AIC1193.711, BIC1211.972ttByB a對(duì)殘差的檢驗(yàn)對(duì)殘差的檢驗(yàn)StatStatp-Valuep-ValueQ(10)Q(10)6.1816.1814 40.79980.7998Q(20)Q(20)17.2217.2265650.63820.6382Q(50)Q(50)45.4545.4511110.65620.6562Q(100)Q(100)98.959

16、8.9563630.51070.5107q=14q=141.4251.4252 20.24520.2452Newey-West Newey-West (1994)(1994)1.4101.4101 10.26070.2607Andrew(199Andrew(1991)1)1.4141.4147 75. 一些應(yīng)用一些應(yīng)用對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)變量的實(shí)證研究對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)變量的實(shí)證研究nBaillie & Bollerslev (1994): 匯率nCrato & Rothman (1994), 多個(gè)宏觀變量；nDiebold & Rudebusch (1989): GNP;nDijk et al. (2000): 失業(yè)率nHassler & Wolters (1995): CPI;nTsay （2000）