長記憶時間序列模型及應用

1、長記憶時間序列模型及應用長記憶時間序列模型及應用王明進王明進 博士博士北京大學光華管理學院北京大學光華管理學院商務統(tǒng)計與經濟計量系商務統(tǒng)計與經濟計量系 教授教授金融風險管理中心金融風險管理中心 主任主任20102010年年6 6月月主要內容主要內容nARMA模型的回顧；n長記憶的概念；n長記憶的檢驗方法；nARFIMA模型；n一些應用；1. ARMA模型的回顧模型的回顧時間序列研究的主要任務時間序列研究的主要任務n描述時間序列中的動態(tài)（Dynamic）關聯性，用于理解其變化的規(guī)律或對其進行預測；n自相關性（autocorrelation）的刻畫0, 1, 2,0, 1, 2, cov(,),

2、corr(,), ktt kktt kkkRy yy yARMA模型的形式模型的形式nARMA(p,q)模型n其中 是白噪聲 11 ( )1,( ) ( )()( )1,qtptpqBBBByaBBBB 22()0, (),()0, for tttsE aE aE a ats taARMA模型的平穩(wěn)性條件模型的平穩(wěn)性條件n如果 ，那么ARMA模型定義了唯一的二階平穩(wěn)解( )0, for | 1zz0( )( )ttjtjjByaaBARMA模型的可逆性條件模型的可逆性條件n如果 ，那么ARMA模型能夠唯一地表達成如下的無窮階自回歸模型的形式( )0, for | 1zz0( )()()( )t

3、tjtjjBayyBARMA模型的自相關特征模型的自相關特征n任何一個平穩(wěn)的ARMA模型的自相關函數都是呈指數遞減的，即n因此自相關函數絕對可和，, kkc eas k|kk 平穩(wěn)過程的平穩(wěn)過程的譜函數譜函數n譜密度函數是定義在 上的偶函數且滿足n如果自協(xié)方差函數絕對可加，, 0, 1, 2,( )( )cos(), i kkkRfedfk d1( ), 1 2(0) 2i kkkkkffR eR ARMA模型的譜密度函數模型的譜密度函數n于是22*22*()( ), ;2()(1)(0)02(1)iaiaefefARMA模型的估計模型的估計n條件極大似然估計；n極大似然估計；n最小二乘估計；

4、單位根過程單位根過程n如果如果 ，那么，那么 稱為稱為單位單位根根過程，此時為非平穩(wěn)過程。過程，此時為非平穩(wěn)過程。n比如如下的比如如下的I(1)過程：過程：(1)0 ty11 ( )(1)( ) , ( )0, for | 1ptqtpBB yB azz 單位根的檢驗單位根的檢驗nAugmented Dickey-Fuller(ADF)檢驗(Said & Dickey 1981);nPhillips-Perron(PP)檢驗(Phillips & Perron 1988)；nPerron-Ng (PN)檢驗(Perron & Ng 1996)；nKwitkowski-Phillips-Schm

5、idt-Shin（KPSS）檢驗 (Kwitkowski et al. 1992)；上證指數日全距序列上證指數日全距序列 （1997.01.03-2010.06.18)19971999200220052007201000.020.040.060.080.10.12取對數之后的全距序列取對數之后的全距序列199719992002200520072010-6-5.5-5-4.5-4-3.5-3-2.5-2單位根檢驗的結果單位根檢驗的結果RangelnRangeADF-t(10)-8.5557*-7.3599*ADF-t(20)-5.8614*-5.4457*PP-t-30.9954*-27.875

6、*PN-t-5.4938*-5.0333*KPSS3.9385*4.6528*自相關函數圖形自相關函數圖形0100200300400500600700800-0.100.10.20.30.40.50.6(a) Range 0100200300400500600700800-0.100.10.20.30.40.50.6(b) Log Range 估計的譜密度函數估計的譜密度函數00.511.522.533.50.020.040.060.080.10.120.140.160.180.2估計的估計的ARMA模型模型n經過模型選擇階數得到2(10.9623 )(4.0875)(10.7248 )0.1

7、849AIC3743.20, BIC3761.46ttByB aARMA(1,1)殘差的殘差的Box-Ljung檢驗檢驗StatStatp-p-ValuValue eQ(10)Q(10)31.431.455554 40.00030.0003Q(20)Q(20)43.543.570701 10.00170.0017Q(50)Q(50)69.469.481818 80.03550.0355138.138.101016162. 長記憶的概念長記憶的概念基于自相關函數的定義基于自相關函數的定義n如果存在常數 ，使得n此時自相關函數不再絕對可和，01/2d21, as kdckk lim|njnjn 基

8、于譜函數的定義基于譜函數的定義n如果存在常數 ，使得n基于自相關函數和基于譜函數的定義是等價的。01/2d2 0( ) , dfaGs短程關聯和長程關聯短程關聯和長程關聯*n強相合過程（strong mixing）被稱為短程關聯（short range dependency）過程(Rosenblatt 1956);n不滿足強相合性的過程稱為長程關聯（long range dependency）過程(Lo 1991, Guegan 2005)n長記憶過程屬于這里的長程關聯過程。3. 長記憶的檢驗長記憶的檢驗重新標度極差統(tǒng)計量重新標度極差統(tǒng)計量n重新標度極差（rescaled-range）統(tǒng)計量n

9、其中/TTTQRs11111/221max()min()1 () kkTtTtTk Tk TttTTtTtRyyyysyyT 重新標度極差統(tǒng)計量的性質重新標度極差統(tǒng)計量的性質n對于短期關聯過程，n對于長記憶過程，n其中 稱為Hurst指數1/2()TpQO T()HTpQO T1/2HdR/S 分析分析n在 對 的散點圖上，短期記憶過程的點應分布在斜率1/2的直線附件，長記憶過程的點對應的直線斜率大于1/2.n根據回歸方法得到對Hurst指數的估計。logTQlogT對對數全距序列的對對數全距序列的R/S分析分析45678933.544.555.566.577.5對應的斜率估對應的斜率估計為計

10、為0.8987，因此因此d 的估計的估計為為0.3987R/S分析方法的不足分析方法的不足nR/S分析方法其實對時間序列當中的短程記憶比較敏感，模擬結果顯示，即便對于自回歸系數為0.3的AR(1)過程，經R/S方法得到的Hurst指數也有近乎一半的情形超過1/2. （Davies & Harte, 1987; Lo 1991）修正的修正的R/S統(tǒng)計量統(tǒng)計量111122111011max()min() ;12( )()( )()() 2)( () kkTjTjTk Tk TjjqTTTtTjtTtjTtjtjqjjTjQyyyyqyyqyyyyTTqq 修正的修正的R/S統(tǒng)計量的漸近分布統(tǒng)計量的

11、漸近分布對于短期過程其中V是定義在0,1上的布朗橋的全距1/2TTQVE( )/21.25Std( )(3)/60.27VV 對長記憶性的判斷對長記憶性的判斷n對于長記憶過程n因此利用該統(tǒng)計量可以對長記憶過程進行單邊的檢驗。1/2pTTQ 對數全距序列的修正的對數全距序列的修正的R/S分析分析V-statV-statp-Valuep-Valueq=14q=144.26724.26720.00000.0000Newey-West (1994)Newey-West (1994)6.60496.60490.00000.0000Andrew(1991)Andrew(1991)3.46533.46530

12、.00000.0000對對ARMA(1,1)殘差的殘差的R/S分析分析V-V-ststatatp-p-ValuValue eq=14q=142.472.4786860.00020.0002Newey-Newey-West West (1994)(1994)2.162.1661610.00300.0030Andrew(1Andrew(1991)991)2.202.2072720.00220.00224. ARFIMA模型模型模型的形式模型的形式n分數次整合ARMA模型n或者n稱之為I(d)過程，記為( )(1) ()( )dttBByB a ( )(1) ()( )dtttuBByaB ARFI

13、MA( , , )typ d q分數次差分算子分數次差分算子n其中n當 時該過程可逆。0(1) djjjBB011()(1)(1)11, !() () (1)jjdjddjdcjdjjdjjjd 1/2d 平穩(wěn)解的存在性平穩(wěn)解的存在性n當 時，該過程存在著平穩(wěn)解，能夠寫成n其中1/2d 0(1)dttkt kkyBuu1()( ) (1)dkkdc kdk平穩(wěn)解的自相關函數特征平穩(wěn)解的自相關函數特征n對于平穩(wěn)的情況，自相關函數滿足n顯然自相關函數呈雙曲（hyperbolic）律遞減（Sowell 1992; Chung 1994)21, 0dkc kd平穩(wěn)解譜密度函數的性質平穩(wěn)解譜密度函數的性

14、質n所以，2*2*( )1( ) 4sin ( 1/2,(/2)( ), ,1 ;/2)diwdfeffd 2( ) , 0dfasG記憶參數記憶參數d取不同值時取不同值時n當 時對應的是二階平穩(wěn)的長記憶過程，譜密度函數在0點奇異；n當 時對應的過程稱為反持續(xù)（anti-persistent）過程，譜密度函數在0點處等于0；n當 時，對應的是短記憶ARMA過程,譜密度函數在0點處為正數；n當 時，對應的過程非平穩(wěn)，方差無窮大，包含了單位根過程。01/2d1/20d0d 1/2d 模擬分數次白噪聲的數據模擬分數次白噪聲的數據0.3 . . .(0,1)(1),tttai i d NByaARFI

15、MA模型的估計模型的估計n條件極大似然估計；n極大似然估計；n非線性最小二乘估計；nBaillie (1996)對對數全距序列的估計對對數全距序列的估計0.44032(1)(4.0173)(10.1646 )0.1826AIC1193.711, BIC1211.972ttByB a對殘差的檢驗對殘差的檢驗StatStatp-Valuep-ValueQ(10)Q(10)6.1816.1814 40.79980.7998Q(20)Q(20)17.2217.2265650.63820.6382Q(50)Q(50)45.4545.4511110.65620.6562Q(100)Q(100)98.959

16、8.9563630.51070.5107q=14q=141.4251.4252 20.24520.2452Newey-West Newey-West (1994)(1994)1.4101.4101 10.26070.2607Andrew(199Andrew(1991)1)1.4141.4147 75. 一些應用一些應用對宏觀經濟變量的實證研究對宏觀經濟變量的實證研究nBaillie & Bollerslev (1994): 匯率nCrato & Rothman (1994), 多個宏觀變量；nDiebold & Rudebusch (1989): GNP;nDijk et al. (2000): 失業(yè)率nHassler & Wolters (1995): CPI;nTsay （2000）