20XX年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷試題(理科)以及答案(全國1卷解析版)

1、2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（全國1卷）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1（5分）已知集合Mx|4x2，Nx|x2x60，則MN（）Ax|4x3Bx|4x2Cx|2x2Dx|2x32（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|zi|1，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（x，y），則（）A（x+1）2+y21B（x1）2+y21Cx2+（y1）21Dx2+（y+1）213（5分）已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，則（）AabcBacbCcabDbca4（5分）古希臘時期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（0

2、.618，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是（）A165cmB175cmC185cmD190cm5（5分）函數(shù)f（x）在，的圖象大致為（）ABCD6（5分）我國古代典籍周易用“卦”描述萬物的變化每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是（）ABCD7（5分）已知非零向量，滿足|2|，且（），則與的夾角為（）ABCD8（5分）如圖是求的程

3、序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入（）AABA2+CADA1+9（5分）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和已知S40，a55，則（）Aan2n5Ban3n10CSn2n28nDSnn22n10（5分）已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1（1，0），F(xiàn)2（1，0），過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，則C的方程為（）A+y21B+1C+1D+111（5分）關(guān)于函數(shù)f（x）sin|x|+|sinx|有下述四個結(jié)論：f（x）是偶函數(shù)f（x）在區(qū)間（，）單調(diào)遞增f（x）在，有4個零點(diǎn)f（x）的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號是（）ABCD12（5分）已知三棱錐PABC的四個頂點(diǎn)在球O的球面

4、上，PAPBPC，ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，CEF90°，則球O的體積為（）A8B4C2D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13（5分）曲線y3（x2+x）ex在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為 14（5分）記Sn為等比數(shù)列an的前n項和若a1，a42a6，則S5 15（5分）甲、乙兩隊進(jìn)行籃球決賽，采取七場四勝制（當(dāng)一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束）根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊以4：1獲勝的概率是 16（5分）已知雙曲線C：

5、1（a0，b0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)若，0，則C的離心率為 三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17（12分）ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c設(shè)（sinBsinC）2sin2AsinBsin C（1）求A；（2）若a+b2c，求sinC18（12分）如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)（1）證

6、明：MN平面C1DE；（2）求二面角AMA1N的正弦值19（12分）已知拋物線C：y23x的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P（1）若|AF|+|BF|4，求l的方程；（2）若3，求|AB|20（12分）已知函數(shù)f（x）sinxln（1+x），f（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)證明：（1）f（x）在區(qū)間（1，）存在唯一極大值點(diǎn)；（2）f（x）有且僅有2個零點(diǎn)21（12分）為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪

7、試驗當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和，一輪試驗中甲藥的得分記為X（1）求X的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi（i0，1，8）表示“甲藥的累計得分為i時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p00，p81，piapi1+bpi+cpi+1（i1，2，7），其中aP（X1），bP（X0

8、），cP（X1）假設(shè)0.5，0.8（i）證明：pi+1pi（i0，1，2，7）為等比數(shù)列；（ii）求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）22（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為2cos+sin+110（1）求C和l的直角坐標(biāo)方程；（2）求C上的點(diǎn)到l距離的最小值選修4-5：不等式選講（10分）23已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc1證明：（1）+a2+b2+c

9、2；（2）（a+b）3+（b+c）3+（c+a）3242019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（全國1卷）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1（5分）已知集合Mx|4x2，Nx|x2x60，則MN（）Ax|4x3Bx|4x2Cx|2x2Dx|2x3【分析】利用一元二次不等式的解法和交集的運(yùn)算即可得出【解答】解：Mx|4x2，Nx|x2x60x|2x3，MNx|2x2故選：C【點(diǎn)評】本題考查了一元二次不等式的解法和交集的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題2（5分）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|zi|1，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（x，y），則（）A（x

10、+1）2+y21B（x1）2+y21Cx2+（y1）21Dx2+（y+1）21【分析】由z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（x，y），可得zx+yi，然后根據(jù)|zi|1即可得解【解答】解：z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為（x，y），zx+yi，zix+（y1）i，|zi|，x2+（y1）21，故選：C【點(diǎn)評】本題考查復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的幾何意義，正確理解復(fù)數(shù)的幾何意義是解題關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題3（5分）已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，則（）AabcBacbCcabDbca【分析】由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性易得log20.20，20.21，00.20.31，從而得出a，b，c的大小關(guān)系【解答】解：alog2

11、0.2log210，b20.2201，00.20.30.201，c0.20.3（0，1），acb，故選：B【點(diǎn)評】本題考查了指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，增函數(shù)和減函數(shù)的定義，屬基礎(chǔ)題4（5分）古希臘時期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（0.618，稱為黃金分割比例），著名的“斷臂維納斯”便是如此此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是若某人滿足上述兩個黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是（）A165cmB175cmC185cmD190cm【分析】充分運(yùn)用黃金分割比例，結(jié)合圖形，計算可估計身高【解答】解：頭

12、頂至脖子下端的長度為26cm，說明頭頂?shù)窖屎淼拈L度小于26cm，由頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比是0.618，可得咽喉至肚臍的長度小于42cm，由頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是，可得肚臍至足底的長度小于110，即有該人的身高小于110+68178cm，又肚臍至足底的長度大于105cm，可得頭頂至肚臍的長度大于105×0.61865cm，即該人的身高大于65+105170cm，故選：B【點(diǎn)評】本題考查簡單的推理和估算，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題5（5分）函數(shù)f（x）在，的圖象大致為（）ABCD【分析】由f（x）的解析式知f（x）為奇函數(shù)可排除A，然后計算f（）

13、，判斷正負(fù)即可排除B，C【解答】解：f（x），x，f（x）f（x），f（x）為，上的奇函數(shù)，因此排除A；又f（），因此排除B，C；故選：D【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是奇偶性和特殊值，屬基礎(chǔ)題6（5分）我國古代典籍周易用“卦”描述萬物的變化每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“”和陰爻“”，如圖就是一重卦在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個陽爻的概率是（）ABCD【分析】基本事件總數(shù)n2664，該重卦恰有3個陽爻包含的基本個數(shù)m20，由此能求出該重卦恰有3個陽爻的概率【解答】解：在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，基本事件總數(shù)n2664，該重卦恰有3個陽爻包含的基本個

14、數(shù)m20，則該重卦恰有3個陽爻的概率p故選：A【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題7（5分）已知非零向量，滿足|2|，且（），則與的夾角為（）ABCD【分析】由（），可得，進(jìn)一步得到，然后求出夾角即可【解答】解：（），故選：B【點(diǎn)評】本題考查了平面向量的數(shù)量積和向量的夾角，屬基礎(chǔ)題8（5分）如圖是求的程序框圖，圖中空白框中應(yīng)填入（）AABA2+CADA1+【分析】模擬程序的運(yùn)行，由題意，依次寫出每次得到的A的值，觀察規(guī)律即可得解【解答】解：模擬程序的運(yùn)行，可得：A，k1；滿足條件k2，執(zhí)行循環(huán)體，A，k2；滿足條件k2，執(zhí)行循環(huán)體，A，k3；

15、此時，不滿足條件k2，退出循環(huán)，輸出A的值為，觀察A的取值規(guī)律可知圖中空白框中應(yīng)填入A故選：A【點(diǎn)評】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，是基礎(chǔ)題9（5分）記Sn為等差數(shù)列an的前n項和已知S40，a55，則（）Aan2n5Ban3n10CSn2n28nDSnn22n【分析】根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則有，求出首項和公差，然后求出通項公式和前n項和即可【解答】解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由S40，a55，得，an2n5，故選：A【點(diǎn)評】本題考查等差數(shù)列的通項公式以及前n項和公式，關(guān)鍵是求出等差數(shù)列的公差以及首項，屬于基礎(chǔ)題10（5分）已

16、知橢圓C的焦點(diǎn)為F1（1，0），F(xiàn)2（1，0），過F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，則C的方程為（）A+y21B+1C+1D+1【分析】根據(jù)橢圓的定義以及余弦定理列方程可解得a，b，可得橢圓的方程【解答】解：|AF2|2|BF2|，|AB|3|BF2|，又|AB|BF1|，|BF1|3|BF2|，又|BF1|+|BF2|2a，|BF2|，|AF2|a，|BF1|a，在RtAF2O中，cosAF2O，在BF1F2中，由余弦定理可得cosBF2F1，根據(jù)cosAF2O+cosBF2F10，可得+0，解得a23，ab2a2c2312所以橢圓C的方程為：+1故選：

17、B【點(diǎn)評】本題考查了橢圓的性質(zhì)，屬中檔題11（5分）關(guān)于函數(shù)f（x）sin|x|+|sinx|有下述四個結(jié)論：f（x）是偶函數(shù)f（x）在區(qū)間（，）單調(diào)遞增f（x）在，有4個零點(diǎn)f（x）的最大值為2其中所有正確結(jié)論的編號是（）ABCD【分析】根據(jù)絕對值的應(yīng)用，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可【解答】解：f（x）sin|x|+|sin（x）|sin|x|+|sinx|f（x）則函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，故正確，當(dāng)x（，）時，sin|x|sinx，|sinx|sinx，則f（x）sinx+sinx2sinx為減函數(shù)，故錯誤，當(dāng)0x時，f（x）sin|x|+|sinx|sinx+sinx2sinx

18、，由f（x）0得2sinx0得x0或x，由f（x）是偶函數(shù)，得在，）上還有一個零點(diǎn)x，即函數(shù)f（x）在，有3個零點(diǎn)，故錯誤，當(dāng)sin|x|1，|sinx|1時，f（x）取得最大值2，故正確，故正確是，故選：C【點(diǎn)評】本題主要考查與三角函數(shù)有關(guān)的命題的真假判斷，結(jié)合絕對值的應(yīng)用以及利用三角函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵12（5分）已知三棱錐PABC的四個頂點(diǎn)在球O的球面上，PAPBPC，ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，CEF90°，則球O的體積為（）A8B4C2D【分析】由題意畫出圖形，證明三棱錐PABC為正三棱錐，且三條側(cè)棱兩兩互相垂直，再由補(bǔ)形法求外接球球O的

19、體積【解答】解：如圖，由PAPBPC，ABC是邊長為2的正三角形，可知三棱錐PABC為正三棱錐，則頂點(diǎn)P在底面的射影O為底面三角形的中心，連接BO并延長，交AC于G，則ACBG，又POAC，POBGO，可得AC平面PBG，則PBAC，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點(diǎn)，EFPB，又CEF90°，即EFCE，PBCE，得PB平面PAC，正三棱錐PABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，把三棱錐補(bǔ)形為正方體，則正方體外接球即為三棱錐的外接球，其直徑為D半徑為，則球O的體積為故選：D【點(diǎn)評】本題考查多面體外接球體積的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查計算能力，是中檔題二、填空題：本題共4小題，每小題5

20、分，共20分。13（5分）曲線y3（x2+x）ex在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為y3x【分析】對y3（x2+x）ex求導(dǎo)，可將x0代入導(dǎo)函數(shù)，求得斜率，即可得到切線方程【解答】解：y3（x2+x）ex，y'3ex（x2+3x+1），當(dāng)x0時，y'3，y3（x2+x）ex在點(diǎn)（0，0）處的切線斜率k3，切線方程為：y3x故答案為：y3x【點(diǎn)評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)上某點(diǎn)的切線方程，切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為斜率是解題關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題14（5分）記Sn為等比數(shù)列an的前n項和若a1，a42a6，則S5【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，建立方程求出q的值，結(jié)合等比數(shù)列的前n項和公式進(jìn)行計算即可

21、【解答】解：在等比數(shù)列中，由a42a6，得q6a12q5a10，即q0，q3，則S5，故答案為：【點(diǎn)評】本題主要考查等比數(shù)列前n項和的計算，結(jié)合條件建立方程組求出q是解決本題的關(guān)鍵15（5分）甲、乙兩隊進(jìn)行籃球決賽，采取七場四勝制（當(dāng)一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束）根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊以4：1獲勝的概率是0.18【分析】甲隊以4：1獲勝包含的情況有：前5場比賽中，第一場負(fù)，另外4場全勝，前5場比賽中，第二場負(fù)，另外4場全勝，前5場比賽中，第三場負(fù)，另外4場全勝，前5

22、場比賽中，第四場負(fù)，另外4場全勝，由此能求出甲隊以4：1獲勝的概率【解答】解：甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨(dú)立，甲隊以4：1獲勝包含的情況有：前5場比賽中，第一場負(fù)，另外4場全勝，其概率為：p10.4×0.6×0.5×0.5×0.60.036，前5場比賽中，第二場負(fù)，另外4場全勝，其概率為：p20.6×0.4×0.5×0.5×0.60.036，前5場比賽中，第三場負(fù)，另外4場全勝，其概率為：p30.6×0.6×0

23、.5×0.5×0.60.054，前5場比賽中，第四場負(fù)，另外4場全勝，其概率為：p30.6×0.6×0.5×0.5×0.60.054，則甲隊以4：1獲勝的概率為：pp1+p2+p3+p40.036+0.036+0.054+0.0540.18故答案為：0.18【點(diǎn)評】本題考查概率的求法，考查相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題16（5分）已知雙曲線C：1（a0，b0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)若，0，則C的離心率為2【分析】由題意畫出圖形，結(jié)合已知可得F1BOA

24、，寫出F1B的方程，與y聯(lián)立求得B點(diǎn)坐標(biāo)，再由勾股定理求解【解答】解：如圖，且0，OAF1B，則F1B：y，聯(lián)立，解得B（，），則，4c2，整理得：b23a2，c2a23a2，即4a2c2，e故答案為：2【點(diǎn)評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查計算能力，是中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17（12分）ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c設(shè)（sinBsinC）2sin2AsinBsin C（1）求A；（2）若a+b2

25、c，求sinC【分析】（1）由正弦定理得：b2+c2a2bc，再由余弦定理能求出A（2）由已知及正弦定理可得：sin（C），可解得C的值，由兩角和的正弦函數(shù)公式即可得解【解答】解：（1）ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c設(shè)（sinBsinC）2sin2AsinBsin C則sin2B+sin2C2sinBsinCsin2AsinBsinC，由正弦定理得：b2+c2a2bc，cosA，0A，A（2）a+b2c，A，由正弦定理得，解得sin（C），C，C，sinCsin（）sincos+cossin+【點(diǎn)評】本題考查了正弦定理、余弦定理、三角函數(shù)性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題

26、18（12分）如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA14，AB2，BAD60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn)（1）證明：MN平面C1DE；（2）求二面角AMA1N的正弦值【分析】（1）過N作NHAD，證明NMBH，再證明BHDE，可得NMDE，再由線面平行的判定可得MN平面C1DE；（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以垂直于DC得直線為x軸，以DC所在直線為y軸，以DD1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面A1MN與平面MAA1的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角AMA1N的正弦值【解答】（1）證明：如圖，過N作NHAD，則NHAA1，且，又

27、MBAA1，MB，四邊形NMBH為平行四邊形，則NMBH，由NHAA1，N為A1D中點(diǎn)，得H為AD中點(diǎn)，而E為BC中點(diǎn)，BEDH，BEDH，則四邊形BEDH為平行四邊形，則BHDE，NMDE，NM平面C1DE，DE平面C1DE，MN平面C1DE；（2）解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以垂直于DC得直線為x軸，以DC所在直線為y軸，以DD1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則N（，2），M（，1，2），A1（，1，4），設(shè)平面A1MN的一個法向量為，由，取x，得，又平面MAA1的一個法向量為，cos二面角AMA1N的正弦值為【點(diǎn)評】本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用空間向量

28、求解空間角，是中檔題19（12分）已知拋物線C：y23x的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線l與C的交點(diǎn)為A，B，與x軸的交點(diǎn)為P（1）若|AF|+|BF|4，求l的方程；（2）若3，求|AB|【分析】（1）很具韋達(dá)定理以及拋物線的定義可得（2）若3，則y13y2，x13x2+4t，再結(jié)合韋達(dá)定理可解得t1，x13，x2，再用弦長公式可得【解答】解：（1）設(shè)直線l的方程為y（xt），將其代入拋物線y23x得：x2（t+3）x+t20，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x22t+，x1x2t2，由拋物線的定義可得：|AF|+|BF|x1+x2+p2t+4，解得t，直線l的方程為yx（2）若3，則

29、y13y2，（x1t）3×（x2t），化簡得x13x2+4t，由解得t1，x13，x2，|AB|【點(diǎn)評】本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬中檔題20（12分）已知函數(shù)f（x）sinxln（1+x），f（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)證明：（1）f（x）在區(qū)間（1，）存在唯一極大值點(diǎn)；（2）f（x）有且僅有2個零點(diǎn)【分析】（1）f（x）的定義域為（1，+），求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)一步求導(dǎo)，得到f（x）在（1，）上為減函數(shù)，結(jié)合f（0）1，f（）1+1+10，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)f（x）在（1，）上存在唯一得零點(diǎn)x0，結(jié)合單調(diào)性可得，f（x）在（1，x0）上單調(diào)遞增，在（x0，）上單調(diào)遞減，可得f（x

30、）在區(qū)間（1，）存在唯一極大值點(diǎn)；（2）由（1）知，當(dāng)x（1，0）時，f（x）0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x（0，x0）時，f（x）0，f（x）單調(diào)遞增；由于f（x）在（x0，）上單調(diào)遞減，且f（x0）0，f（）0，可得函數(shù)f（x）在（x0，）上存在唯一零點(diǎn)x1，結(jié)合單調(diào)性可知，當(dāng)x（x0，x1）時，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x（）時，f（x）單調(diào)遞減當(dāng)x（，）時，f（x）單調(diào)遞減，再由f（）0，f（）0然后列x，f（x）與f（x）的變化情況表得答案【解答】證明：（1）f（x）的定義域為（1，+），f（x）cosx，f（x）sinx+，令g（x）sinx+，則g（x）cosx0在（1，）恒成立，f（x）

31、在（1，）上為減函數(shù)，又f（0）1，f（）1+1+10，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)f（x）在（1，）上存在唯一的零點(diǎn)x0，結(jié)合單調(diào)性可得，f（x）在（1，x0）上單調(diào)遞增，在（x0，）上單調(diào)遞減，可得f（x）在區(qū)間（1，）存在唯一極大值點(diǎn)；（2）由（1）知，當(dāng)x（1，0）時，f（x）單調(diào)遞增，f（x）f（0）0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x（0，x0）時，f（x）單調(diào)遞增，f（x）f（0）0，f（x）單調(diào)遞增；由于f（x）在（x0，）上單調(diào)遞減，且f（x0）0，f（）0，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)f（x）在（x0，）上存在唯一零點(diǎn)x1，結(jié)合單調(diào)性可知，當(dāng)x（x0，x1）時，f（x）單調(diào)遞減，f（x）f（

32、x1）0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x（）時，f（x）單調(diào)遞減，f（x）f（x1）0，f（x）單調(diào)遞減當(dāng)x（，）時，cosx0，0，于是f（x）cosx0，f（x）單調(diào)遞減，其中f（）1ln（1+）1ln（1+）1ln2.61lne0，f（）ln（1+）ln30于是可得下表： x （1，0）0 （0，x1）x1 （） （） f（x） 0+0 f（x） 減函數(shù) 0 增函數(shù) 大于0 減函數(shù) 大于0 減函數(shù) 小于0結(jié)合單調(diào)性可知，函數(shù)f（x）在（1，上有且只有一個零點(diǎn)0，由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知，f（x）在（，）上有且只有一個零點(diǎn)x2，當(dāng)x，+）時，f（x）sinxln（1+x）1ln（1+）1ln30，

33、因此函數(shù)f（x）在，+）上無零點(diǎn)綜上，f（x）有且僅有2個零點(diǎn)【點(diǎn)評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，考查函數(shù)零點(diǎn)的判定，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查函數(shù)與方程思想，考查邏輯思維能力與推理運(yùn)算能力，難度較大21（12分）為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈

34、則甲藥得1分，乙藥得1分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得1分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分甲、乙兩種藥的治愈率分別記為和，一輪試驗中甲藥的得分記為X（1）求X的分布列；（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi（i0，1，8）表示“甲藥的累計得分為i時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則p00，p81，piapi1+bpi+cpi+1（i1，2，7），其中aP（X1），bP（X0），cP（X1）假設(shè)0.5，0.8（i）證明：pi+1pi（i0，1，2，7）為等比數(shù)列；（ii）求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性【分析】（1）由題意可得X的所

35、有可能取值為1，0，1，再由相互獨(dú)立試驗的概率求P（X1），P（X0），P（X1）的值，則X的分布列可求；（2）（i）由0.5，0.8結(jié)合（1）求得a，b，c的值，代入piapi1+bpi+cpi+1，得到（pi+1pi）4（pipi1），由p1p0p10，可得pi+1pi（i0，1，2，7）為公比為4，首項為p1的等比數(shù)列；（ii）由（i）可得，p8（p8p7）+（p7p6）+（p1p0）+p0，利用等比數(shù)列的前n項和與p81，得p1，進(jìn)一步求得p4P4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率，結(jié)合0.5，0.8，可得在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認(rèn)為甲藥更有效的概率為，此時得出錯誤結(jié)論的

36、概率非常小，說明這種試驗方案合理【解答】（1）解：X的所有可能取值為1，0，1P（X1）（1），P（X0）+（1）（1），P（X1）（1），X的分布列為： X1 0 1 P （1）+（1）（1）（1）（2）（i）證明：0.5，0.8，由（1）得，a0.4，b0.5，c0.1因此pi0.4pi1+0.5pi+0.1pi+1（i1，2，7），故0.1（pi+1pi）0.4（pipi1），即（pi+1pi）4（pipi1），又p1p0p10，pi+1pi（i0，1，2，7）為公比為4，首項為p1的等比數(shù)列；（ii）解：由（i）可得，p8（p8p7）+（p7p6）+（p1p0）+p0，p81，p1，P4（p4p3）+（p3p2）+（p2p1）+（p1p0）+p0p1P4表示最終認(rèn)為甲藥更有效的概率由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認(rèn)為甲藥更有效的概率為，此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗方案合理【點(diǎn)評】本題是函數(shù)與數(shù)列的綜合題，主要考查數(shù)列和函數(shù)的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列，根據(jù)條件推出數(shù)列的遞推關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵綜合性較強(qiáng)，有一定的難度（二）選考題：共10分。請考生在第2