數(shù)值分析作業(yè)思考題

1、數(shù)值分析思考題11、討論絕對(duì)誤差(限)、相對(duì)誤差(限)與有效數(shù)字之間的關(guān)系。2、相對(duì)誤差在什么情況下可以用下式代替？exxerXX3、查閱何謂問題的“病態(tài)性”，并區(qū)分與“數(shù)值穩(wěn)定性”的不同點(diǎn)。4、取收1.41,計(jì)算無16,下列方法中哪種最好？為什么？_3_211(1)32V2,(2)75V2,(3)3,(4)6,(5)9970232221數(shù)值實(shí)驗(yàn)數(shù)值實(shí)驗(yàn)綜述：線性代數(shù)方程組的解法是一切科學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)與核心問題。求解方法大致可分為直接法和迭代法兩大類。直接法一一指在沒有舍入誤差的情況下經(jīng)過有限次運(yùn)算可求得方程組的精確解的方法，因此也稱為精確法。當(dāng)系數(shù)矩陣是方的、稠密的、無任何特殊結(jié)構(gòu)的中小規(guī)模線

2、性方程組時(shí)，Gauss消去法是目前最基本和常用的方法。如若系數(shù)矩陣具有某種特殊形式，則為了盡可能地減少計(jì)算量與存儲(chǔ)量，需采用其他專門的方法來求解。Gauss消去等同于矩陣的三角分解，但它存在潛在的不穩(wěn)定性，故需要選主元素。對(duì)正定對(duì)稱矩陣，采用平方根方法無需選主元。方程組的性態(tài)與方程組的條件數(shù)有關(guān)，對(duì)于病態(tài)的方程組必須采用特殊的方法進(jìn)行求解。數(shù)值計(jì)算方法上機(jī)題目11、實(shí)驗(yàn)1.病態(tài)問題實(shí)驗(yàn)?zāi)康模核惴ㄓ小皟?yōu)”與“劣”之分，問題也有“好”和“壞”之別。所謂壞問題就是問題本身的解對(duì)數(shù)據(jù)變化的比較敏感，反之屬于好問題。希望讀者通過本實(shí)驗(yàn)對(duì)此有一個(gè)初步的體會(huì)。數(shù)值分析的大部分研究課題中，如線性代數(shù)方程組、矩

3、陣特征值問題、非線性方程及方程組等都存在病態(tài)的問題。病態(tài)問題要通過研究和構(gòu)造特殊的算法來解決，當(dāng)然一般要付出一些代價(jià)(如耗用更多的機(jī)器時(shí)間、占用更多的存儲(chǔ)空間等)。問題提出：考慮一個(gè)高次的代數(shù)多項(xiàng)式p(x)(x1)(x2).(x20)20(E1-1)(xk)k1顯然該多項(xiàng)式的全部根為l,2,，20,共計(jì)20個(gè)，且每個(gè)根都是單重的(也稱為簡單的)?，F(xiàn)考慮該多項(xiàng)式方程的一個(gè)擾動(dòng),、19-p(x)x0(E1-2)19其中是一個(gè)非常小的數(shù)。這相當(dāng)于是對(duì)(E1-1)中x的系數(shù)作一個(gè)小的擾動(dòng)。我們希望比較(E1-1)和(E1-2)根的差別，從而分析方程(E1-1)的解對(duì)擾動(dòng)的敏感性。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：為了實(shí)現(xiàn)方便

4、，我們先介紹兩個(gè)Matlab函數(shù)：“roots"和"poly”,輸入函數(shù)u=roots(a)其中若變量a存儲(chǔ)n1維的向量，則該函數(shù)的輸出u為一個(gè)n維的向量。設(shè)a的元素依次為a1,a2，an1,則輸出u的各分量是多項(xiàng)式方程nn1八a1xa2x.anxan10的全部根，而函數(shù)b=poly(v)的輸出b是一個(gè)n+1維變量，它是以n維變量v的各分量為根的多項(xiàng)式的系數(shù)。可見“roots”和“Poly”是兩個(gè)互逆的運(yùn)算函數(shù).ve=zeros(1,21);ve(2)=ess;roots(poly(1:20)+ve)上述簡單的Matlab程序便得到(E1-2)的全部根，程序中的“ess”即

5、是(E1-2)中的。實(shí)驗(yàn)要求：(1)選擇充分小的ess,反復(fù)進(jìn)行上述實(shí)驗(yàn)，記錄結(jié)果的變化并分析它們。如果擾動(dòng)項(xiàng)的系數(shù)很小，我們自然感覺(E1-1)和(E1-2)的解應(yīng)當(dāng)相差很小。計(jì)算中你有什么出乎意料的發(fā)現(xiàn)？表明有些解關(guān)于如此的擾動(dòng)敏感性如何？(2)將方程(E1-2)中的擾動(dòng)項(xiàng)改成x18或其他形式，實(shí)驗(yàn)中又有怎樣的現(xiàn)象出現(xiàn)？(3)請(qǐng)從理論上分析產(chǎn)生這一問題的根源。注意我們可以將方程(E1-2)寫成展開的形式，*、2019八p(x,)xx.0同時(shí)將方程的解x看成是系數(shù)的函數(shù)，考察方程的某個(gè)解關(guān)于的擾動(dòng)是否敏感，與研究它關(guān)于的導(dǎo)數(shù)的大小有何關(guān)系？為什么？你發(fā)現(xiàn)了什么現(xiàn)象，哪些根關(guān)于的變化更敏感？2

6、、實(shí)驗(yàn)2。多項(xiàng)式插值的振蕩現(xiàn)象，即插值的龍格(Runge)現(xiàn)象問題提出：考慮在一個(gè)固定的區(qū)間上用插值逼近一個(gè)函數(shù)。顯然，拉格朗日插值中使用的節(jié)點(diǎn)越多，插值多項(xiàng)式的次數(shù)就越高、自然關(guān)心插值多項(xiàng)式的次數(shù)增加時(shí)，Ln(x)是否也更加靠近被逼近的函數(shù)。龍格給出的一個(gè)例子是極著名并富有啟發(fā)性的。設(shè)區(qū)間1,1上函數(shù)f(x)1Z2125x2實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：Xi12i,i0,1,2,.,nn考慮區(qū)間1,1的一個(gè)等距劃分，分點(diǎn)為則拉格朗日插值多項(xiàng)式為Ln(X)125x2li(x)其中的lj(x),i0,1,2,.,n是n次拉格朗日插值基函數(shù)。實(shí)驗(yàn)要求：(1)選擇不斷增大白分點(diǎn)數(shù)目n2,3,.,畫出原函數(shù)f(x)及插值

7、多項(xiàng)式函數(shù)Ln(x)在1,1上的圖像，比較并分析實(shí)驗(yàn)結(jié)果。(2)選擇其他的函數(shù)，例如定義在區(qū)間-5,5上的函數(shù),，、x，、h(x)4,g(x)arctanx1x重復(fù)上述的實(shí)驗(yàn)看其結(jié)果如何。(3)區(qū)間a,b上切比雪夫點(diǎn)的定義為xkbaba(2k1)cosA-,k1,2,.,n122(2(n1)以Xi,x2,.,xn1為插值節(jié)點(diǎn)構(gòu)造上述各函數(shù)的拉格朗日插值多項(xiàng)式，比較其結(jié)果。3、實(shí)驗(yàn)3。樣條插值的收斂性問題提出一般的多項(xiàng)式插值不能保證收斂性，即插值的節(jié)點(diǎn)多,值又如何呢？理論上證明樣條插值的收斂性是比較困難的，實(shí)驗(yàn)可以驗(yàn)證這一理論結(jié)果。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：請(qǐng)按一定的規(guī)則分別選擇等距或者非等距的插值節(jié)點(diǎn)，慮實(shí)驗(yàn)

8、2.中的函數(shù)或選擇其它你有興趣的函數(shù)，可以用效果不一定就好。對(duì)樣條函數(shù)插也超出了本課程的內(nèi)容。通過本并不斷增加插值節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù)?？糓atab的函數(shù)"spne"作此函數(shù)的三次樣條插值。在較新版本的Matlab中，還提供有spline工具箱，你可以找到極豐富的樣條工具，包括B-樣條。實(shí)驗(yàn)要求：(1)隨節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)增加，比較被逼近函數(shù)和樣條插值函數(shù)誤差變化情況。分析所得結(jié)果并與拉格朗目多項(xiàng)式插值比較。(2)樣條插值的思想最早產(chǎn)生于工業(yè)部門。作為工業(yè)應(yīng)用的例子，考慮如下問題：某汽車制造商用三次樣條插值設(shè)計(jì)車門的曲線，其中一段的數(shù)據(jù)如下：xk012345678910yk0.00.791.5

9、32.192.713.033.272.893.063.193.29'yk0.80.2(3)計(jì)算此實(shí)驗(yàn)的B-樣條插值(選做)。數(shù)值計(jì)算方法(二)1、利用Newton方法和Muller(拋物線)方法計(jì)算下列方程f(x)2xex2cos(x)60在區(qū)間1,3上的實(shí)根，要求精度為105,并比較迭代次數(shù)2、用Gauss列主元消去法求解下列方程組6224x10128410x21031333x33964218x4163、用改進(jìn)的平方根(ALDLT分解)法求解下列方程組4060013063192002522652Xi122X266X3365x4216X521一、實(shí)驗(yàn)名稱：矩陣的LU分解.二、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模?/p>

10、用不選主元的LU分解和列主元種方法.三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與要求(1)用所熟悉的計(jì)算機(jī)語言將不選主元和列主元程序求解下面的84階方程組LU分解求解線性方程組Ax=b,并比較這兩實(shí)驗(yàn)一LU分解編成通用的子程序，然后用編寫的(715L5151514/將計(jì)算結(jié)果與方程組的精確解進(jìn)行比較，并就此談?wù)勀銓?duì)Gauss消去法的看法。(2)寫出追趕法求解三對(duì)角方程組的過程，并編寫程序求該實(shí)驗(yàn)中的方程組實(shí)驗(yàn)二一、實(shí)驗(yàn)名稱：實(shí)對(duì)稱正定矩陣的A的Cholesky分解.二、實(shí)驗(yàn)?zāi)康模河闷椒礁ê透倪M(jìn)的平方根方法求解線性方程組Ax=b.三、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與要求用所熟悉的計(jì)算機(jī)語言將Cholesky分解和改進(jìn)的Cholesky分解編成通

11、用的子程序，然后用編寫的程序求解對(duì)稱正定方程組Ax=b,其中(1)b隨機(jī)的選取，系數(shù)矩陣為100階矩陣/10111()1I10I110111011/(2)系數(shù)矩陣為40階Hilbert矩陣，即系數(shù)矩陣A的第i行第j列元素為電j二百:口，向量b的第i個(gè)分量為加=/y(3)用實(shí)驗(yàn)一的程序求解這兩個(gè)方程組，并比較所有的計(jì)算結(jié)果，然后評(píng)價(jià)各個(gè)方法的優(yōu)劣。實(shí)驗(yàn)三實(shí)驗(yàn)名稱：直接法的時(shí)間復(fù)雜性試驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)?zāi)康模悍謩e用三種不同方法求解線性方程組Ax=b,不同工作量得出不同時(shí)間。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與要求：生成方程組Axb中矩陣A和右端項(xiàng)b,分別用xAb,xinv(A)*b和三角分解法計(jì)算，并分別記錄所花費(fèi)的CPU時(shí)間，進(jìn)行

12、分析比較。實(shí)驗(yàn)要求：(1)取n300,隨機(jī)生成A的一條主對(duì)角線元素和二條次對(duì)角線元素，使A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的三對(duì)角陣和b;其中三條對(duì)角線元素分別用三個(gè)一維數(shù)組存儲(chǔ)；(2)用Matlab語言自編M文件分別用xAb,xinv(A)*b和追趕法計(jì)算這三對(duì)角方程組；并分別記錄所花費(fèi)的CPU時(shí)間；(3)分析結(jié)果，得出你的結(jié)論。數(shù)值分析思考題41、Gauss消去法和LU三角分解法解線性方程組的工作量相同嗎？工作量為多少？平方根方法的工作量為多少？2、求解一個(gè)線性方程的LU分解法什么條件下可以保障成功？選主元的目的是什么？分別用列主元和全主元Gauss消去法求解下列方程組：12x13x23x31518x13x

13、2x315x1x2x363、用平方根方法（Cholesky分解法）求解下列方程組，并用緊湊格式存儲(chǔ)。1648x14454x238422x3104、已知線性方程組2.00021.9998x141.99982.0002x24（1）求系數(shù)矩陣的逆A1和條件數(shù)cond（A）;,44T（2）若方程組右端有微小擾動(dòng)b210,210，不用求解方程組，試?yán)媒馀c系數(shù)擾動(dòng)之間的關(guān)系式來估計(jì)解的相對(duì)變化率。數(shù)值分析思考題51、插值與擬合的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)分別是什么？2、寫出n次多項(xiàng)式擬合的一般形式，奇函數(shù)和偶函數(shù)的多項(xiàng)式擬合的一般形式。3、詳述你所知道的矩陣分解，它們的意義如何？4、超定（矛盾）線性方程組的最小二乘

14、解有哪些情況？說明它與廣義逆的關(guān)系。5、給出各種正交化方法的優(yōu)劣比較。6、用Householder變換求解下列線性方程組的極小最小二乘解11244x12355x213466x314577乂4156849實(shí)驗(yàn)一1 .根據(jù)Matlab語言特點(diǎn)，描述Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法。2 .編寫Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR迭代法的M文件。.、_-2020.3 .給定AR為五對(duì)角矩陣3121411了萬1414123121141231214123(1)選取不同的初始向量x(0)及右端面項(xiàng)向量b,給定迭代誤差要求，分別用編寫的Jacobi迭代法和

15、Gauss-Seidel迭代法程序求解，觀察得到的序列是否收斂？若收斂，通過迭代次數(shù)分析計(jì)算結(jié)果并得出你的結(jié)論。(2)用編寫的SOR迭代法程序，對(duì)于(1)所選取的初始向量x(0)及右端面項(xiàng)向量b進(jìn)行求解，松馳系數(shù)3取1<3<2的不同值，在|x(k)x(k1)|105時(shí)停止迭代，通過迭代次數(shù)分析計(jì)算結(jié)果并得出你的結(jié)論。實(shí)驗(yàn)二題目：多項(xiàng)式最小二乘法摘要：對(duì)于具體實(shí)驗(yàn)時(shí)，通常不是先給出函數(shù)的解析式，再進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，而是通過實(shí)驗(yàn)的觀察和測(cè)量給出離散的一些點(diǎn)，再來求出具體的函數(shù)解析式。又因?yàn)闇y(cè)量誤差的存在，實(shí)際真實(shí)的解析式曲線并不一定通過測(cè)量給出的所有點(diǎn)。最小二乘法是求解這一問題的很好的方法，本

16、實(shí)驗(yàn)運(yùn)用這一方法實(shí)現(xiàn)對(duì)給定數(shù)據(jù)的擬合。數(shù)學(xué)原理：對(duì)于給定的測(cè)量數(shù)據(jù)(xi,fi)(i=1,2，n),設(shè)函數(shù)分布為my(x)ajj(x)j0(j=0,1，m)特別的，取j(x)為多項(xiàng)式j(luò)(x)xj則根據(jù)最小二乘法原理，可以構(gòu)造泛函H(ao,a,am)(fii1ajj0j(xi)Hak(k=0,1，m)則可以得到法方程(0，0)(0,1)(1，0)(1,1)(f，0)(f，1)m)(1，m)m)am(f，m)求該解方程組，則可以得到解a0，a1,am,因此可得到數(shù)據(jù)的最小二乘解mf(x)ajj(x)j0程序設(shè)計(jì)：編寫求解多項(xiàng)式擬合的Matlab函數(shù)子程序?qū)嶒?yàn)要求：用最小二乘法處理下面的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).x

17、i3456789fi2.012.983.505.025.476.027.05并作出f(x)的近似分布圖分別采用一次，二次、五次和偶數(shù)次多項(xiàng)式來擬合數(shù)據(jù)得到相應(yīng)的擬合多項(xiàng)式，并分別作出它們的曲線圖。實(shí)驗(yàn)三實(shí)驗(yàn)名稱：非線性方程組數(shù)值求解的Newton類方法試驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)?zāi)康模河肗ewton類方法求解線性方程組F(x)=0,理解其解的復(fù)雜性、初始點(diǎn)選擇策略、減少算法工作量的方法等。實(shí)驗(yàn)內(nèi)容與要求：分別用Newton法用Broyden秩1校正法求解下面非線性方程組3x1cos(x2x3)0.5022Xi81(x20.1)sinx31.060e會(huì)20x31(103)0(1) 寫出MATLAB源代碼；(2) 給出迭代五次以上的結(jié)果