線性代數(shù)總復(fù)習(xí)及典型例題

1、線性代數(shù)總復(fù)習(xí)線性代數(shù)總復(fù)習(xí)第一章第一章 行列式行列式二階行列式的計(jì)算方法二階行列式的計(jì)算方法.2112221122211211aaaaaaaa 第一節(jié)第一節(jié) n階行列式的定義階行列式的定義三階行列式的計(jì)算方法三階行列式的計(jì)算方法沙路法沙路法323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa 322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD nnnn 212)1(21)1( 一些常用的行列式結(jié)果：一些常用的行列式結(jié)果：nnnnaaaaaa000222112111122nna aa nn

2、 2121 kkkkmmmmbbbb*aaaaDMMMMMM111111110 *1111mmmmaaaaMM .1111kkkkbbbbMM行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. . 性質(zhì)性質(zhì)1.1行列式的某一行（列）中所有元素的行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面公因子可以提到行列式符號(hào)的外面 性質(zhì)性質(zhì)1.2式為零。式為零。行列式的某一行（列）中的所有元素都行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一數(shù)乘以同一數(shù) k ，等于用數(shù)，等于用數(shù) k 乘此行列式乘此行列式.如果行列式中有一行如果行列式中有一行(列列)為零，那么行列為零，那么行列第二節(jié)第二節(jié)

3、行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)對(duì)換行列式的兩行（列）對(duì)換行列式的兩行（列）,行列式變號(hào)行列式變號(hào). 性質(zhì)性質(zhì)1.3則此行列式為零則此行列式為零.如果行列式有兩行（列）完全相同，如果行列式有兩行（列）完全相同，比例，那么行列式為零比例，那么行列式為零 性質(zhì)性質(zhì)1.4如果行列式中有兩行（列）對(duì)應(yīng)成如果行列式中有兩行（列）對(duì)應(yīng)成如果行列式的某一行（列）的元素都是如果行列式的某一行（列）的元素都是則則D等于下列兩個(gè)行列式之和：等于下列兩個(gè)行列式之和：例如第例如第i 行的元素都是兩數(shù)之和行的元素都是兩數(shù)之和 性質(zhì)性質(zhì)1.5兩數(shù)之和，兩數(shù)之和，nnnnininiiiinaaacbcbcbaaaDMMMMMM21

4、221111211 nnnniniinaaabbbaaaDMMMMMM212111211 nnnniniinaaacccaaaMMMMMM212111211 同一數(shù)然后加到另一行同一數(shù)然后加到另一行(列列)對(duì)應(yīng)的元素上去，行對(duì)應(yīng)的元素上去，行列列 把行列式的某一行（列）的各元素乘以把行列式的某一行（列）的各元素乘以 性質(zhì)性質(zhì)1.6式不變式不變 (倍加運(yùn)算倍加運(yùn)算)計(jì)算行列式常用方法：計(jì)算行列式常用方法：(1)利用定義利用定義;(2)利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值從而算得行列式的值第三節(jié)第三節(jié) 行列式按行行列式按行(列列)展開展開數(shù)余子

5、式的乘積，即數(shù)余子式的乘積，即.ijijAaD 引理引理一個(gè)一個(gè)n階行列式，如果第階行列式，如果第i 行所有元素除行所有元素除ija外都為零，外都為零，ija與它的代與它的代那么這個(gè)行列式等于那么這個(gè)行列式等于式某行式某行(列列)元素與另一行元素與另一行(列列)對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子行列式的某行行列式的某行(列列)的所有元素與其對(duì)應(yīng)的所有元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于該行列式的值。的代數(shù)余子式乘積之和等于該行列式的值。式乘積之和等于零。式乘積之和等于零。行列行列行列式按行（列）展開法則是把高階行行列式按行（列）展開法則是把高階行列式的計(jì)算化為低階行列式計(jì)算的重要列式的計(jì)算化

6、為低階行列式計(jì)算的重要工具工具. ;,0,1jijiDAankkjki當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) ;,0,1jijiDAankjkik當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)?shù)诙碌诙?矩陣及其運(yùn)算矩陣及其運(yùn)算一、矩陣的概念一、矩陣的概念 由由 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)nm njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 稱為稱為m行行n列列矩陣矩陣, ,簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱 矩陣矩陣. .nm 排成的排成的m行行n列的數(shù)表列的數(shù)表mnmmnnaaaaaaaaaMMM212222111211 Anm 其中其中 個(gè)數(shù)稱為矩陣個(gè)數(shù)稱為矩陣A的元素，數(shù)的元素，數(shù)ija稱為矩陣稱為矩陣A的第的第i 行第行第j 列的元素列的元素. 1. 矩陣的基本概念矩陣的基本概念 加法加法 數(shù)

7、與矩陣相乘數(shù)與矩陣相乘 矩陣與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘 方陣的冪方陣的冪 轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣 對(duì)稱及反對(duì)陳矩陣對(duì)稱及反對(duì)陳矩陣 方陣的行列式方陣的行列式 1. 矩陣的基本運(yùn)算：矩陣的基本運(yùn)算： 二、矩陣的運(yùn)算二、矩陣的運(yùn)算2. 矩陣的運(yùn)算規(guī)律：矩陣的運(yùn)算規(guī)律： ;1ABBA 交換律：交換律： .2CBACBA 結(jié)合律：結(jié)合律：加法：加法： ;:1AA 結(jié)合律結(jié)合律 :2 分配律分配律 .BABA ;AAA 數(shù)乘：數(shù)乘： ;1BCACAB ,3ACABCBA ;CABAACB BABAAB 2（其中其中 為數(shù)）為數(shù)）; ; 乘法：乘法：方陣的冪運(yùn)算：方陣的冪運(yùn)算：kllkAA )(（2）lklkAA

8、A （1） 注意：注意： .kkkBAAB ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 轉(zhuǎn)置運(yùn)算：轉(zhuǎn)置運(yùn)算：由由n階方陣階方陣A的元素的元素按原相對(duì)位置按原相對(duì)位置所構(gòu)成所構(gòu)成或或A.det A稱為方陣稱為方陣A的行列式，記作的行列式，記作的行列式，的行列式，3. 方陣的行列式及其性質(zhì)方陣的行列式及其性質(zhì)AAT BAAB 方陣的行列式滿足下列規(guī)律：方陣的行列式滿足下列規(guī)律：（2）（3）（設(shè)（設(shè)A、B為為n階方陣，階方陣， 為數(shù)）為數(shù)） （1）;AAn . .列標(biāo)列標(biāo)三、逆矩陣三、逆矩陣1. 基本概念基本概念對(duì)于對(duì)于n階方陣階方陣A，如果存在一個(gè)，如果存在一個(gè)n階方陣階方

9、陣B使得使得EBAAB 則稱則稱B是是A的逆矩陣，并稱矩陣的逆矩陣，并稱矩陣A是可逆矩陣或滿秩是可逆矩陣或滿秩.1 A矩陣，或非奇異矩陣矩陣，或非奇異矩陣, ,記為記為說明說明 若若A是可逆矩陣，則是可逆矩陣，則A的逆矩陣是的逆矩陣是唯一唯一的的. .11AA 寫寫成成不不能能將將 注意注意各元素各元素aij 的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式Aij 構(gòu)成如下構(gòu)成如下n階方陣階方陣 nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111稱為矩陣稱為矩陣A的的伴隨矩陣伴隨矩陣. .,)(nnijaA 設(shè)有設(shè)有n階方陣階方陣A由行列式由行列式 中中 *A注意注意: :伴隨陣伴隨陣與原矩陣與原矩陣A元素位置

10、的對(duì)應(yīng)關(guān)系元素位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系.EAAAAA 設(shè)設(shè)A為為n階方陣，階方陣，A*為其伴隨矩陣，則為其伴隨矩陣，則2. 基本定理基本定理,11 AAA且且.的伴隨陣的伴隨陣是是其中其中AA 設(shè)設(shè)A為為n階方陣，則階方陣，則,0 AA可逆可逆或或若若(EAB 設(shè)設(shè)A、B 都是都是n階方陣，階方陣，.1 AB則則, )EBA AA且且可逆可逆則則數(shù)數(shù)可逆可逆若若, 0,2 且且也可逆也可逆則則為同階可逆矩陣為同階可逆矩陣若若,3ABBA 1ABB1 1 A .111 AA .,1111AAAA 且且也可逆也可逆則則可逆可逆若若3. 可逆矩陣的性質(zhì)可逆矩陣的性質(zhì) .,4AAAAT 且且也可逆也可逆則則可逆

11、可逆若若TT1 1 .,511 AAA則有則有可逆可逆若若 .1212 AA推推廣廣1AmA1 mA1 1A(1)利用定義利用定義（一般適用于證明題一般適用于證明題） (3)待定系數(shù)法待定系數(shù)法(4) 初等變換法初等變換法:步驟如下步驟如下 ;21AAA 利用公式利用公式4. 逆矩陣的計(jì)算方法逆矩陣的計(jì)算方法);()1(EAM構(gòu)造矩陣構(gòu)造矩陣1,)()2( AEEAEA對(duì)應(yīng)部分即為對(duì)應(yīng)部分即為右邊右邊后后單位矩陣單位矩陣化為化為將將施行初等行變換施行初等行變換對(duì)對(duì)M.21tAAAA tAOAOAA21設(shè)方陣設(shè)方陣分塊對(duì)角矩陣的性質(zhì)分塊對(duì)角矩陣的性質(zhì)則則 1. 可可逆逆，且且即即矩矩陣陣則則如如

12、果果AAtiAi, 0, 2 , 10 .21 tAAAAoo1 1 1 1 2. ktkkkAOAOAA21. 3 四、分塊矩陣四、分塊矩陣 nn 0000002211特殊地，如果特殊地，如果 是對(duì)角矩陣是對(duì)角矩陣當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)nn ,2211都不為零時(shí)，都不為零時(shí)， 是可逆矩陣，且是可逆矩陣，且 11221111000000nn knnkkk 0000002211則則矩陣的初等變換包括矩陣的初等變換包括3 3種：對(duì)換變換、數(shù)乘變換種：對(duì)換變換、數(shù)乘變換和倍加變換。這三種初等變換的過程都是可逆的，和倍加變換。這三種初等變換的過程都是可逆的，且其逆變換是同一類型的初等變換且其逆變換是同一類型

13、的初等變換. .列標(biāo)列標(biāo)五、矩陣的初等變換與初等矩陣五、矩陣的初等變換與初等矩陣1.初等變換與初等矩陣初等變換與初等矩陣nmrOOOE 設(shè)設(shè)A是一個(gè)是一個(gè) 非零矩陣，那么非零矩陣，那么A一定一定nm 可以通過有限次初等行變換化為行階梯形及行最可以通過有限次初等行變換化為行階梯形及行最簡(jiǎn)形，再進(jìn)行初等列變換化為如下標(biāo)準(zhǔn)形：簡(jiǎn)形，再進(jìn)行初等列變換化為如下標(biāo)準(zhǔn)形：其中其中r 就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù).注意：注意：初等變換不改變矩陣的可逆性。初等變換不改變矩陣的可逆性。 對(duì)于任何一個(gè)非零矩陣對(duì)于任何一個(gè)非零矩陣,都可以先進(jìn)行初等行變換化都可以先進(jìn)行初等行變換化為行階

14、梯形及行最簡(jiǎn)形為行階梯形及行最簡(jiǎn)形,再進(jìn)行初等列變換化為標(biāo)準(zhǔn)形再進(jìn)行初等列變換化為標(biāo)準(zhǔn)形.A的右邊乘以相應(yīng)的的右邊乘以相應(yīng)的n階初等矩陣階初等矩陣. .nm 設(shè)設(shè)A是一個(gè)是一個(gè) 矩陣，對(duì)矩陣，對(duì)A 施行一次施行一次初等行變換，相當(dāng)于在初等行變換，相當(dāng)于在A的左邊乘以相應(yīng)的的左邊乘以相應(yīng)的m階階初等矩陣；對(duì)初等矩陣；對(duì)A施行一次初等列變換，相當(dāng)于在施行一次初等列變換，相當(dāng)于在ECCACRRRts 2121121121)()( tsCCCERRRA1112111121 CCCRRRtsn階方陣階方陣A可逆的充要條件是存在有限可逆的充要條件是存在有限.,2121llPPPAPPP 使得使得個(gè)初等矩陣

15、個(gè)初等矩陣六、矩陣的秩六、矩陣的秩求矩陣秩的方法求矩陣秩的方法(1)利用定義：尋找矩陣中非零子式的利用定義：尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù)最高階數(shù)(2)初等變換法：把矩陣用初等行變換初等變換法：把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩對(duì)于對(duì)于n階方陣階方陣A，如果，如果A的秩等于的秩等于n，則稱則稱A為滿秩矩陣，否則稱為降秩矩陣為滿秩矩陣，否則稱為降秩矩陣. ;)(nAR ;0 AA為可逆矩陣為可逆矩陣.對(duì)于對(duì)于n階方陣階方陣A，下列命題等價(jià)：，下列命題等價(jià)：(1) A為滿秩矩陣；為滿秩矩陣；(2)(3

16、)(4)第三章 線性方程組( )nAR=( )nAR有無窮多解有無窮多解. .b bAx = =非齊次線性方程組非齊次線性方程組bAx ;有有唯唯一一解解bAx BRAR (1)無解無解(2)并且通解中有并且通解中有n-r個(gè)自由未知量個(gè)自由未知量. 其中其中 bABM ( )( )BRAR=有解有解:非齊次線性方程組非齊次線性方程組bAx 的具體解法：的具體解法： (1)對(duì)增廣矩陣施行初等行變換化為行階梯形矩陣，對(duì)增廣矩陣施行初等行變換化為行階梯形矩陣，比較比較 以及以及n之間的大小關(guān)系，從而判斷之間的大小關(guān)系，從而判斷方程組解的情況：無解，唯一解，無窮解。方程組解的情況：無解，唯一解，無窮解

17、。 BRAR、 (2)在判斷有解的情況下，繼續(xù)對(duì)行階梯形矩陣施在判斷有解的情況下，繼續(xù)對(duì)行階梯形矩陣施行初等行變換，將其化為行最簡(jiǎn)形，并寫出最簡(jiǎn)形行初等行變換，將其化為行最簡(jiǎn)形，并寫出最簡(jiǎn)形對(duì)應(yīng)的線性方程組進(jìn)行求解。如果方程組有無窮多對(duì)應(yīng)的線性方程組進(jìn)行求解。如果方程組有無窮多個(gè)解，需寫出通解形式。個(gè)解，需寫出通解形式。bxAnn 0 A當(dāng)當(dāng)m = n 時(shí)，時(shí)，n元非齊次線性方程組元非齊次線性方程組有惟一解的充分必要條件是系數(shù)矩陣有惟一解的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的行列式的行列式( )nAR=( )nAR齊次線性方程組齊次線性方程組 一定有解：一定有解：0 Ax(1)(2)并且通解中有并且通解

18、中有n-r個(gè)自由未知量個(gè)自由未知量. 0 Ax0 Ax只有零解只有零解有非零解有非零解齊次線性方程組齊次線性方程組0 Ax的具體解法：的具體解法： (1)對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換化為行階梯形矩陣，對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換化為行階梯形矩陣，比較比較 與與n之間的大小關(guān)系，從而判斷方程組解之間的大小關(guān)系，從而判斷方程組解的情況：唯一解（零解），無窮解（非零解）。的情況：唯一解（零解），無窮解（非零解）。 AR (2) 繼續(xù)對(duì)行階梯形矩陣施行初等行變換，將其化為繼續(xù)對(duì)行階梯形矩陣施行初等行變換，將其化為行最簡(jiǎn)形，并寫出最簡(jiǎn)形對(duì)應(yīng)的線性方程組進(jìn)行求解。行最簡(jiǎn)形，并寫出最簡(jiǎn)形對(duì)應(yīng)的線性方程組進(jìn)行求解。如

19、果方程組有無窮多個(gè)解，需寫出通解形式。如果方程組有無窮多個(gè)解，需寫出通解形式。;0 A當(dāng)當(dāng)m = n 時(shí)，時(shí)，(1)齊次線性方程組齊次線性方程組(3.2)只有零只有零解解(2)齊次線性方程組齊次線性方程組(3.2)有非零解有非零解.0 A當(dāng)當(dāng)m n 時(shí)，時(shí)， 即方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)時(shí)，即方程個(gè)數(shù)小于未知量個(gè)數(shù)時(shí)，齊次線性方程組齊次線性方程組(3.2)必有非零解必有非零解. )(nmAR 第四章第四章 向量組的線性向量組的線性 相關(guān)性相關(guān)性設(shè)設(shè)n維向量維向量,s21,skkk21sskkk2211如果存在一組數(shù)如果存在一組數(shù)使得使得s,21則稱向量則稱向量是向量組是向量組的線性組合或稱向的線性

20、組合或稱向s,21可由向量組可由向量組線性表示線性表示. 量量第二節(jié)第二節(jié) 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性一、線性表示一、線性表示s,21向量向量可由向量組可由向量組線性表示線性表示 .BRAR的充分必要條件是矩陣的充分必要條件是矩陣sA,21的秩等的秩等Bs,21于矩陣于矩陣的秩，即的秩，即 說明：說明：判斷某個(gè)向量是否可由某向量組線性表判斷某個(gè)向量是否可由某向量組線性表示，可歸結(jié)為非齊次線性方程組是否有解，從而示，可歸結(jié)為非齊次線性方程組是否有解，從而取決于該方程組系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩是否相取決于該方程組系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩是否相等，所以該問題最終可利用初等行變換化增廣矩等，所以

21、該問題最終可利用初等行變換化增廣矩陣為階梯形矩陣來解決陣為階梯形矩陣來解決. 02211sskkk,s21對(duì)于對(duì)于n維向量組維向量組如果存在一組如果存在一組使使得得,skkk21不全為零的數(shù)不全為零的數(shù)021skkks,21s,21則稱向量組則稱向量組線性相關(guān)線性相關(guān). 如果上式只有當(dāng)如果上式只有當(dāng)時(shí)才成立時(shí)才成立,則稱向量組則稱向量組線性無關(guān)線性無關(guān). 二、線性相關(guān)與線性無關(guān)二、線性相關(guān)與線性無關(guān).)(sAR 條條件件是是線線性性相相關(guān)關(guān)的的充充分分必必要要向向量量組組s ,21的秩小于的秩小于矩陣矩陣條件是它所構(gòu)成的條件是它所構(gòu)成的),(21s A ;)(sAR, s 即即向量個(gè)數(shù)向量個(gè)數(shù)

22、必要必要向量組線性無關(guān)的充分向量組線性無關(guān)的充分 于是判斷某向量組的線性相關(guān)性，可歸結(jié)為齊次線于是判斷某向量組的線性相關(guān)性，可歸結(jié)為齊次線性方程組是否有非零解，從而取決于方程組系數(shù)矩性方程組是否有非零解，從而取決于方程組系數(shù)矩陣的秩，所以該問題最終可利用初等行變換化系數(shù)陣的秩，所以該問題最終可利用初等行變換化系數(shù)矩陣為階梯形矩陣來解決矩陣為階梯形矩陣來解決. nA,21的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣;0A的行列式等于零，即的行列式等于零，即向量組線性無關(guān)的充分必向量組線性無關(guān)的充分必,ns n,21若若 則則n 個(gè)個(gè)n 維向量維向量線性相關(guān)線性相關(guān). 0A要條件是

23、要條件是,ns 即向量組中向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)時(shí)，即向量組中向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)時(shí)，若若向量組必線性相關(guān)向量組必線性相關(guān). ,21sA 事實(shí)上，記事實(shí)上，記 ，因因?yàn)闉閟nAR .,21線性相關(guān)線性相關(guān)故故s Bs,:21 221sAs,: (1) 向量組向量組線性相關(guān)線性相關(guān)(A)中至少有一個(gè)向量能由其余中至少有一個(gè)向量能由其余線性相關(guān)，則向量線性相關(guān)，則向量的充分必要條件是：的充分必要條件是： sA,:21線性無關(guān)，而向量組線性無關(guān)，而向量組(2)設(shè)向量組設(shè)向量組向量線性表示向量線性表示.一定可由向一定可由向量組量組(A)線性表示，且表示式是惟一的線性表示，且表示式是惟一的. 三、相關(guān)定理

24、三、相關(guān)定理設(shè)有向量組設(shè)有向量組 ,s:21Arjjj,21而而是是(A)的部分向量組的部分向量組 ,如果如果(1) rjjj,21線性無關(guān)；線性無關(guān)；(2) 對(duì)于向量組對(duì)于向量組 (A) 中的任何一個(gè)向量中的任何一個(gè)向量 ,k都有都有 kjjjr,21線性相關(guān)，則稱線性相關(guān)，則稱 rjjj,21為向量為向量組組(A)的的一個(gè)一個(gè)極大線性無關(guān)組極大線性無關(guān)組，簡(jiǎn)稱極大無關(guān)組，簡(jiǎn)稱極大無關(guān)組. 注意：注意：在條件在條件(1)下，下，(2)和下述條件等價(jià)：和下述條件等價(jià)： )(2對(duì)于向量組對(duì)于向量組 (A) 中的任何一個(gè)向量中的任何一個(gè)向量 ,k都可由都可由rjjj,21線性表出線性表出.第三節(jié)第

25、三節(jié) 極大線性無關(guān)組極大線性無關(guān)組向量組向量組 s,:21A的極大性無關(guān)組的極大性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)，稱為所含向量的個(gè)數(shù)，稱為向量組的秩向量組的秩，記為，記為 s,21Rn階方陣階方陣A可逆的充分必要條件是可逆的充分必要條件是 A的行的行(列列)向量組線性無關(guān)向量組線性無關(guān).向量組秩的求法：向量組秩的求法：通過求向量組構(gòu)成的矩陣的秩來通過求向量組構(gòu)成的矩陣的秩來求該向量組的秩及其極大線性無關(guān)組求該向量組的秩及其極大線性無關(guān)組. 第四節(jié)第四節(jié) 線性方程組解的結(jié)構(gòu)線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu) 000221122221211212111nmnmmnnnnx

26、axaxaxaxaxaxaxaxa(4.1)如果如果n元齊次線性方程組（元齊次線性方程組（4.1）的系數(shù)）的系數(shù)矩陣矩陣A的秩的秩 , nrAR則方程組（則方程組（4.1）的基礎(chǔ)）的基礎(chǔ). rn(證明略證明略)解系一定存在，且基礎(chǔ)解系含的解向量的個(gè)數(shù)為解系一定存在，且基礎(chǔ)解系含的解向量的個(gè)數(shù)為 齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法 000010011111rn ,rrrn ,bbbbA（1）對(duì)系數(shù)矩陣）對(duì)系數(shù)矩陣 進(jìn)行初等變換，將其化為進(jìn)行初等變換，將其化為 最簡(jiǎn)形最簡(jiǎn)形A nrn ,rrrrnrn ,rxbxbxxbxbxAx11111110由于由于令令.,xxxnrr

27、10001000121MMMM（2）得出）得出 ，同時(shí)也可知方程組的一，同時(shí)也可知方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系含有個(gè)基礎(chǔ)解系含有 個(gè)線性無關(guān)的解向量個(gè)線性無關(guān)的解向量 rAR rn ,bbr 0011111MM ,bbr 0102122MM .bb,rn ,rrn ,rn 1001MM 故故, 12121111 rnrrnrrrbbbbbbxxMMMM得得為齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系. .齊次線性方程組的通解為齊次線性方程組的通解為1122sn rk k k 二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxax

28、axa22112222212111212111（4.5） 性質(zhì)性質(zhì)4.4導(dǎo)出組導(dǎo)出組 (4.1)的解的解. 為為(4.5)的解，則的解，則 21xx，設(shè)設(shè)21 是其是其 性質(zhì)性質(zhì)4.5的解，則的解，則 設(shè)設(shè) 為為(4.5)的解，的解，x x 是其導(dǎo)出組是其導(dǎo)出組 (4.1) 也是也是(4.5)的解的解. 設(shè)設(shè) *是非齊次方程組是非齊次方程組(4.5)的一個(gè)取定的解的一個(gè)取定的解(稱為特解稱為特解)， 是其導(dǎo)出組（是其導(dǎo)出組（4.1）的通解，則方程組）的通解，則方程組 (4.5)的通解為的通解為x*說明：說明：此定理表明此定理表明非齊次方程組的通解非齊次方程組的通解 = 齊次方程組的通解齊次方程

29、組的通解 +非齊次方程組的特解非齊次方程組的特解 第五章第五章特征值、特征向量特征值、特征向量及矩陣的對(duì)角化及矩陣的對(duì)角化 一、一、 向量的內(nèi)積向量的內(nèi)積設(shè)有設(shè)有n 維向量維向量 ,nnyyyyxxxxMM2121 1122,Tnnx yx yx yx yxy 令令 ., yxyx的的與與為為向向量量稱稱內(nèi)積內(nèi)積,22221nxxxxxx令令 . xnx或或的的維維向向量量為為稱稱長(zhǎng)度長(zhǎng)度范數(shù)范數(shù).,0, yxyx與與稱向量稱向量時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 正交正交 .,1 AAAEAAn TT正交矩陣正交矩陣為為稱稱則則即即階矩陣滿足階矩陣滿足如果如果 向量都是單位向量且兩兩正交向量都是單位向量且兩兩正交矩陣

30、矩陣A為正交矩陣的充要條件是為正交矩陣的充要條件是 A 的列的列(行行)求矩陣特征值與特征向量的步驟：求矩陣特征值與特征向量的步驟： ;det. 1EAA 的特征多項(xiàng)式的特征多項(xiàng)式計(jì)算計(jì)算 ;,0det. 221的全部特征值的全部特征值就是就是的全部根的全部根求特征方程求特征方程AEA n .xEA iii的特征向量的特征向量就是對(duì)應(yīng)于就是對(duì)應(yīng)于的非零解的非零解求齊次方程組求齊次方程組對(duì)于特征值對(duì)于特征值 ,0,. 3二、特征值與特征向量二、特征值與特征向量 ).(,212121證明略證明略線性無關(guān)線性無關(guān)則則為為所對(duì)應(yīng)的特征向量依次所對(duì)應(yīng)的特征向量依次與之與之的互異特征值為的互異特征值為設(shè)設(shè)mmmnnxxxxxxA 注意：注意：屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的矩陣特征值與特征向量的性質(zhì)：矩陣特征值與特征向量的性質(zhì)：;)1(