《結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)》-第九章-隨機(jī)振動(dòng)數(shù)學(xué)描述

1、第九章隨機(jī)振動(dòng)數(shù)學(xué)描述第九章隨機(jī)振動(dòng)數(shù)學(xué)描述9-1 引言引言前面介紹的都是確定性振動(dòng)問題。對(duì)于確定性系統(tǒng)，前面介紹的都是確定性振動(dòng)問題。對(duì)于確定性系統(tǒng)，若激勵(lì)是隨機(jī)的，則響應(yīng)也是隨機(jī)的，這種問題是隨若激勵(lì)是隨機(jī)的，則響應(yīng)也是隨機(jī)的，這種問題是隨機(jī)振動(dòng)問題。機(jī)振動(dòng)問題。隨機(jī)激勵(lì)，如：路面對(duì)車輛，風(fēng)對(duì)塔架，河流對(duì)船舶隨機(jī)激勵(lì)，如：路面對(duì)車輛，風(fēng)對(duì)塔架，河流對(duì)船舶隨機(jī)振動(dòng)的特點(diǎn)是：隨機(jī)振動(dòng)的特點(diǎn)是：規(guī)律事先不知道規(guī)律事先不知道試驗(yàn)條件相同，但各次測(cè)量波形不重復(fù)試驗(yàn)條件相同，但各次測(cè)量波形不重復(fù)不能用周期函數(shù)或其組合來描述不能用周期函數(shù)或其組合來描述應(yīng)該指出：應(yīng)該指出：一個(gè)確定性振動(dòng)，不論波形怎樣復(fù)雜

2、，也不是隨一個(gè)確定性振動(dòng)，不論波形怎樣復(fù)雜，也不是隨機(jī)振動(dòng)機(jī)振動(dòng)隨機(jī)振動(dòng)隨機(jī)振動(dòng)復(fù)雜振動(dòng)，如初相位隨機(jī)變化的簡(jiǎn)復(fù)雜振動(dòng)，如初相位隨機(jī)變化的簡(jiǎn)諧振動(dòng)諧振動(dòng)x=X0sin(t+x=X0sin(t+)()(在在02之間隨機(jī)取之間隨機(jī)取值值) )，波形十分簡(jiǎn)單，但仍屬于隨機(jī)振動(dòng)，波形十分簡(jiǎn)單，但仍屬于隨機(jī)振動(dòng)* * *常見的幾種隨機(jī)激勵(lì)：常見的幾種隨機(jī)激勵(lì)：1)1)固體接觸面凹凸不平，如：路面，滾珠軸承，齒輪固體接觸面凹凸不平，如：路面，滾珠軸承，齒輪金屬切削加工，金屬切削加工，2)2)流體對(duì)固體表面的作用，如：船，堤壩，海洋平臺(tái)，流體對(duì)固體表面的作用，如：船，堤壩，海洋平臺(tái)，高層建筑高層建筑，* *

3、 *常見的幾種隨機(jī)激勵(lì)：常見的幾種隨機(jī)激勵(lì)：3)3)火箭燃燒放熱不均勻，如：火箭發(fā)動(dòng)機(jī)，化工儲(chǔ)液火箭燃燒放熱不均勻，如：火箭發(fā)動(dòng)機(jī)，化工儲(chǔ)液罐，罐，4)4)地震或地面突變，如：地震地震或地面突變，如：地震，火炮發(fā)射，采掘機(jī)抖，火炮發(fā)射，采掘機(jī)抖動(dòng)，動(dòng)，*隨機(jī)振動(dòng)的利與害隨機(jī)振動(dòng)的利與害利用利用1)診斷與檢驗(yàn)：心電圖、腦電波分析，軸承、齒診斷與檢驗(yàn)：心電圖、腦電波分析，軸承、齒輪和發(fā)動(dòng)機(jī)的故障診斷輪和發(fā)動(dòng)機(jī)的故障診斷2)找振源、確定傳遞通道找振源、確定傳遞通道3) 危害危害對(duì)于確定性振動(dòng)，只要使系統(tǒng)固有頻率遠(yuǎn)離激勵(lì)對(duì)于確定性振動(dòng)，只要使系統(tǒng)固有頻率遠(yuǎn)離激勵(lì)頻率，就可避免共振發(fā)生頻率，就可避免共振

4、發(fā)生但是，對(duì)于隨機(jī)振動(dòng)，由于激勵(lì)頻率是一連續(xù)分但是，對(duì)于隨機(jī)振動(dòng)，由于激勵(lì)頻率是一連續(xù)分布的形式，要避免共振是困難的，只能作某些要布的形式，要避免共振是困難的，只能作某些要求，如：避免在加速度求，如：避免在加速度0.1g以上條件下工作，或以上條件下工作，或在振幅大于某個(gè)值的條件下工作等等在振幅大于某個(gè)值的條件下工作等等*研究方法研究方法輸入輸入輸出輸出系統(tǒng)系統(tǒng)激勵(lì)激勵(lì)響應(yīng)響應(yīng)系統(tǒng)：機(jī)械產(chǎn)品，結(jié)構(gòu)物，裝置，零部件等，系統(tǒng)：機(jī)械產(chǎn)品，結(jié)構(gòu)物，裝置，零部件等，M,C,KM,C,K表示表示激勵(lì)：系統(tǒng)受到的隨時(shí)間變化的擾動(dòng)激勵(lì)：系統(tǒng)受到的隨時(shí)間變化的擾動(dòng)(位移、速度、力等位移、速度、力等)*研究課題有：

5、研究課題有：環(huán)境調(diào)查環(huán)境調(diào)查響應(yīng)預(yù)估響應(yīng)預(yù)估系統(tǒng)識(shí)別系統(tǒng)識(shí)別響應(yīng)：系統(tǒng)激勵(lì)作用產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)：系統(tǒng)激勵(lì)作用產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)(位移、速度、加速度、位移、速度、加速度、應(yīng)力等應(yīng)力等)采用采用概率統(tǒng)計(jì)概率統(tǒng)計(jì)的方法研究，應(yīng)用的方法研究，應(yīng)用傅立葉分析傅立葉分析，把，把時(shí)域信號(hào)時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換到轉(zhuǎn)換到頻域頻域中去考慮中去考慮9-2 集合平均定常過程集合平均定常過程無限個(gè)、無限長(zhǎng)樣本無限個(gè)、無限長(zhǎng)樣本xk(t)，隨機(jī)變量，隨機(jī)變量 xk(t1)(1tx)(2tx)(txi)(txn1t2t無限個(gè)、無限長(zhǎng)樣本無限個(gè)、無限長(zhǎng)樣本xk(t)，隨機(jī)變量，隨機(jī)變量 xk(t1)，則集，則集合平均合平均(t1時(shí)刻時(shí)刻)nkk

6、nxtxnt111)(1lim)(自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)nkkknxtxtxnttR11111)()(1lim),()(),(),(1111平穩(wěn)過程過程有關(guān)，則過程稱為定常等不與時(shí)刻統(tǒng)計(jì)特性tttRtxx)(),()(111xxxxRttRt9-3 時(shí)間平均各態(tài)歷經(jīng)過程時(shí)間平均各態(tài)歷經(jīng)過程通常不可能取無限個(gè)樣本，而是大量的樣本函數(shù)作為通常不可能取無限個(gè)樣本，而是大量的樣本函數(shù)作為隨機(jī)過程的一個(gè)近似。隨機(jī)過程的一個(gè)近似。能否用一個(gè)樣本來描述該隨機(jī)過程？能否用一個(gè)樣本來描述該隨機(jī)過程？若時(shí)間平均：若時(shí)間平均：2/2/2/2/)()(1lim)()(1limTTkkTxkTTkTxkdttxtxTRd

7、ttxT等統(tǒng)計(jì)特性對(duì)各樣本是相同的等統(tǒng)計(jì)特性對(duì)各樣本是相同的(與與k無關(guān)無關(guān))，則該過程稱為，則該過程稱為各態(tài)歷經(jīng)過程，此時(shí)可用一個(gè)樣本的時(shí)間平均來討論。各態(tài)歷經(jīng)過程，此時(shí)可用一個(gè)樣本的時(shí)間平均來討論。注意：注意：各態(tài)歷經(jīng)過程一定是平穩(wěn)的，但平穩(wěn)過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)過程一定是平穩(wěn)的，但平穩(wěn)過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)的。而要證明一個(gè)過程是各態(tài)歷經(jīng)的卻很難，通各態(tài)歷經(jīng)的。而要證明一個(gè)過程是各態(tài)歷經(jīng)的卻很難，通常假設(shè)過程是各態(tài)歷經(jīng)的，除非有證據(jù)證明不是。常假設(shè)過程是各態(tài)歷經(jīng)的，除非有證據(jù)證明不是。主要討論各態(tài)歷經(jīng)過程和平穩(wěn)過程。主要討論各態(tài)歷經(jīng)過程和平穩(wěn)過程。9-4 概率分布概率密度函數(shù)聯(lián)合概率分布概率分

8、布概率密度函數(shù)聯(lián)合概率分布研究隨機(jī)變量，不僅要知道它可能取得一些什么值，研究隨機(jī)變量，不僅要知道它可能取得一些什么值，更重要的是要知道它取得這些值的概率，這就是隨機(jī)更重要的是要知道它取得這些值的概率，這就是隨機(jī)變量的概率分布問題。變量的概率分布問題。關(guān)于概率分布函數(shù)、概率密度函數(shù)、聯(lián)合概率分布及關(guān)于概率分布函數(shù)、概率密度函數(shù)、聯(lián)合概率分布及正態(tài)分布過程等內(nèi)容請(qǐng)看相關(guān)書籍。正態(tài)分布過程等內(nèi)容請(qǐng)看相關(guān)書籍。注意：注意：對(duì)各態(tài)歷經(jīng)過程，我們可從單個(gè)樣本函數(shù)去求概率對(duì)各態(tài)歷經(jīng)過程，我們可從單個(gè)樣本函數(shù)去求概率分布函數(shù)及概率密度函數(shù)等。分布函數(shù)及概率密度函數(shù)等。9-5 隨機(jī)變量的概率特征及其代數(shù)運(yùn)算隨機(jī)

9、變量的概率特征及其代數(shù)運(yùn)算概率密度函數(shù)可以描述隨機(jī)變量的特征，但在實(shí)際問概率密度函數(shù)可以描述隨機(jī)變量的特征，但在實(shí)際問題中，有時(shí)候并不需要知道隨機(jī)變量的全部統(tǒng)計(jì)信息，題中，有時(shí)候并不需要知道隨機(jī)變量的全部統(tǒng)計(jì)信息，或者不容易得到概率密度函數(shù)。此時(shí)，尋求隨機(jī)變量或者不容易得到概率密度函數(shù)。此時(shí)，尋求隨機(jī)變量的某些既重要又有代表性和確定性的信息來代替隨機(jī)的某些既重要又有代表性和確定性的信息來代替隨機(jī)變量的全部統(tǒng)計(jì)信息是重要的。變量的全部統(tǒng)計(jì)信息是重要的。數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望( (又稱集合平均、均值、一次矩又稱集合平均、均值、一次矩) )均方值均方值(二次矩二次矩)概率密度函數(shù)),(),()(txpdx

10、txpxtxExkdxtxpxtxEx),()(222方差方差( (二次中心矩二次中心矩) )相關(guān)矩相關(guān)矩(協(xié)方差協(xié)方差)222222)(),()()()(xxxxxxtxEdxtxpxxEtxDD222xxxxxD隨機(jī)變量隨機(jī)變量X(t1) 與與Y(t2)的協(xié)方差定義為：的協(xié)方差定義為：yxyxyxxytytxEdydxtytxpyxtytxEC )()(),()()()(212121而稱為互協(xié)方差系數(shù)或互相關(guān)系數(shù)而稱為互協(xié)方差系數(shù)或互相關(guān)系數(shù)yxxyxyC若若X(t) 與與Y(t)互相獨(dú)立，則互相獨(dú)立，則xyxy0 0但反過來若但反過來若xy0，則，則X(t)與與Y(t)不一定互相獨(dú)立！不

11、一定互相獨(dú)立！特別地，若用特別地，若用X(t)代替代替Y(t)，則協(xié)方差：，則協(xié)方差：21221212122112211221112)()(),;,()()()( xxxxxxtxtxEdxdxtxtxpxxtxtxEC221221221221xEttxxx，協(xié)方差系數(shù)為時(shí)，當(dāng)對(duì)各態(tài)歷經(jīng)過程，上述統(tǒng)計(jì)特性均可從一個(gè)樣本信息得到。對(duì)各態(tài)歷經(jīng)過程，上述統(tǒng)計(jì)特性均可從一個(gè)樣本信息得到。(1)自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)9-6 自相關(guān)函數(shù)及其特性自相關(guān)函數(shù)及其特性對(duì)平穩(wěn)過程，有對(duì)平穩(wěn)過程，有212121),()()()(dxdxxxpxxtxtxERx 對(duì)各態(tài)歷經(jīng)過程，有對(duì)各態(tài)歷經(jīng)過程，有TTxdttxtxT

12、R0)()(1lim)(一般情況下一般情況下Rx() 與與的關(guān)系曲線如下圖的關(guān)系曲線如下圖常見信號(hào)類型的自相關(guān)常見信號(hào)類型的自相關(guān)函數(shù)如右圖函數(shù)如右圖(2)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)(a)平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程x(t)的的Rx()是實(shí)偶函數(shù)，即是實(shí)偶函數(shù)，即)()(xxRR(b)0)()()()0(22xxtxEtxtxER(c)0()(xxRR(d)自相關(guān)函數(shù)是有界的，且滿足自相關(guān)函數(shù)是有界的，且滿足(e)當(dāng)當(dāng)|相當(dāng)大時(shí)，有相當(dāng)大時(shí)，有2222)(xxxxxR2)()(limxxxTRR(2)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)(f)若隨機(jī)信號(hào)若隨機(jī)信號(hào)x(t)由噪音信號(hào)由噪音信號(hào)n(t)和與之

13、不相關(guān)的信號(hào)和與之不相關(guān)的信號(hào)(t) 組成，則有組成，則有)()()(nxRRR自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)Rx()表達(dá)了數(shù)據(jù)信號(hào)波形在時(shí)間坐標(biāo)移動(dòng)表達(dá)了數(shù)據(jù)信號(hào)波形在時(shí)間坐標(biāo)移動(dòng)前后之間的相似程度，由于各種信號(hào)的前后之間的相似程度，由于各種信號(hào)的Rx()的最大值的最大值都不一樣，且具有量綱，故定義相關(guān)系數(shù)：都不一樣，且具有量綱，故定義相關(guān)系數(shù)：1)(1(*)0()()(xxxxRR且有：x()無量綱，且最大值為無量綱，且最大值為1，當(dāng)，當(dāng)x()1時(shí)，波形完時(shí)，波形完全全相似相似(完全相同或完全相反完全相同或完全相反)， x()0時(shí)，波形完全時(shí)，波形完全不相似。不相似。注注：關(guān)于：關(guān)于(*)式，谷口修

14、等人的式，谷口修等人的振動(dòng)工程大全振動(dòng)工程大全是在是在x0的條件下定義的，而的條件下定義的，而D.E.紐蘭紐蘭隨機(jī)振動(dòng)概論隨機(jī)振動(dòng)概論則把相關(guān)函數(shù)定義為：則把相關(guān)函數(shù)定義為：1)(1(*)0()()(xxxxRR且有：222)()()()(xxxxxxxRtxtxE由回歸方程而來。由回歸方程而來。yxyxxytytxE)()()(而而(*)式可改寫式可改寫為：為：22)()(xxxxR當(dāng)當(dāng)x0時(shí)，兩者一致。時(shí)，兩者一致。例例已知：隨機(jī)相位正弦波已知：隨機(jī)相位正弦波(視為各態(tài)歷經(jīng)過程視為各態(tài)歷經(jīng)過程)x(t)=Asin(ot+)如圖如圖(a)所示，其中所示，其中o為常數(shù)，為常數(shù)， 為隨為隨機(jī)變量

15、，求自相關(guān)函數(shù)機(jī)變量，求自相關(guān)函數(shù)Rx()。解：解：x(t)為各態(tài)歷經(jīng)過程，故可由一個(gè)為各態(tài)歷經(jīng)過程，故可由一個(gè)樣本函數(shù)求樣本函數(shù)求OTOOOOTTTxAdtttATTdttxtxTdttxtxTRcos2)sin()sin(1)2()()(1)()(1lim)(2021101011Rx() 曲線如圖曲線如圖(b)所示所示討論討論數(shù)據(jù)信號(hào)是周期函數(shù)時(shí)，自相關(guān)函數(shù)也是周期函數(shù)，數(shù)據(jù)信號(hào)是周期函數(shù)時(shí)，自相關(guān)函數(shù)也是周期函數(shù)，且兩者周期相同。且兩者周期相同。由自相關(guān)函數(shù)的幅值由自相關(guān)函數(shù)的幅值A(chǔ)2/2可求得周可求得周期信號(hào)的幅值，即保留了幅值信息。期信號(hào)的幅值，即保留了幅值信息。若信號(hào)是由隨機(jī)相位正

16、弦波和均值若信號(hào)是由隨機(jī)相位正弦波和均值為零的且不相關(guān)的噪音信號(hào)為零的且不相關(guān)的噪音信號(hào)n(t)組成，組成，則由自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)則由自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)(f)可知：可知：OxnnnnOnxxnARRRARRRcos2)(0)()(cos2)()()(222故而實(shí)際上，當(dāng)實(shí)際上，當(dāng)大到一定程度時(shí)，大到一定程度時(shí)，Rn()0，這時(shí)便可從，這時(shí)便可從Rxn()中觀察出數(shù)據(jù)信號(hào)有無周期分量。即通過自相中觀察出數(shù)據(jù)信號(hào)有無周期分量。即通過自相關(guān)分析，能檢測(cè)出隱藏在隨機(jī)振動(dòng)中的周期分量，同關(guān)分析，能檢測(cè)出隱藏在隨機(jī)振動(dòng)中的周期分量，同時(shí)能求出該周期分量的振幅時(shí)能求出該周期分量的振幅A和圓頻率和圓頻率o。(3)自相

17、關(guān)函數(shù)與自協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系自相關(guān)函數(shù)與自協(xié)方差函數(shù)之間的關(guān)系協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù))()(yxxytytxEC)()()()(),(221121ttxttxEttCxxx對(duì)平穩(wěn)過程，有對(duì)平穩(wěn)過程，有xxxtt)()(21221)(),(xxxRttC例例某汽車前橋、車身測(cè)量的加速度波形如圖左，某汽車前橋、車身測(cè)量的加速度波形如圖左，自相關(guān)函數(shù)如圖右。車子振動(dòng)很大，試分析。自相關(guān)函數(shù)如圖右。車子振動(dòng)很大，試分析。前橋的自相關(guān)函數(shù)兩個(gè)峰前橋的自相關(guān)函數(shù)兩個(gè)峰值的時(shí)間間隔為值的時(shí)間間隔為0.1s，頻，頻率為率為車身自相關(guān)函數(shù)兩車身自相關(guān)函數(shù)兩個(gè)峰值的時(shí)間間隔個(gè)峰值的時(shí)間間隔

18、為為0.11s，頻率為，頻率為Hz101 . 01橋fHz911. 01橋ff1與與f2都與發(fā)動(dòng)機(jī)頻率相差很大，故判斷不是由發(fā)動(dòng)機(jī)引起都與發(fā)動(dòng)機(jī)頻率相差很大，故判斷不是由發(fā)動(dòng)機(jī)引起經(jīng)過計(jì)算，前橋二自由度耦合自經(jīng)過計(jì)算，前橋二自由度耦合自振頻率接近于振頻率接近于f1與與f2改進(jìn)的前橋成為二個(gè)單自由度改進(jìn)的前橋成為二個(gè)單自由度系統(tǒng)，左右輪相互影響小系統(tǒng)，左右輪相互影響小(1)互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)兩個(gè)隨機(jī)過程兩個(gè)隨機(jī)過程X(t)和和Y(t)在時(shí)刻在時(shí)刻t1=t，t2=t+ 的互相關(guān)的互相關(guān)函數(shù)定義為函數(shù)定義為9-7 互相關(guān)函數(shù)及其特性互相關(guān)函數(shù)及其特性)()(),()()(),(txtyEtRtyt

19、xEtRyxxy對(duì)平穩(wěn)過程，有：對(duì)平穩(wěn)過程，有：121212212121),()(),()(dydxyxpyxRdydxyxpyxRyxxy 對(duì)各態(tài)歷經(jīng)過程，有：對(duì)各態(tài)歷經(jīng)過程，有：TTyxTTxydttxtyTRdttytxTR00)()(1lim)()()(1lim)(右圖為典型右圖為典型Rxy() 與與的關(guān)系曲線的關(guān)系曲線(2)互相關(guān)函數(shù)的主要性質(zhì)互相關(guān)函數(shù)的主要性質(zhì)(a)一般情況下，一般情況下，Rxy() 與與Ryx()是不相同的，且都不是是不相同的，且都不是的實(shí)偶函數(shù)，但有的實(shí)偶函數(shù)，但有(b)互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)Rxy()是有界的，且有是有界的，且有(c)對(duì)大多數(shù)隨機(jī)過程，當(dāng)對(duì)大多

20、數(shù)隨機(jī)過程，當(dāng)|相當(dāng)大時(shí)，可認(rèn)為相當(dāng)大時(shí)，可認(rèn)為x與與y互不相關(guān)，有互不相關(guān)，有)()()()(xyyxyxxyRRRRyxyxxyyxyxR)(xyyxyxxyRR)()(d)互相關(guān)函數(shù)的最大值一般不在互相關(guān)函數(shù)的最大值一般不在0處處(2)互相關(guān)函數(shù)的主要性質(zhì)互相關(guān)函數(shù)的主要性質(zhì)(e)互相關(guān)函數(shù)互相關(guān)函數(shù)Rxy() 與與Rx (0) 和和Ry(0)有如下不等式有如下不等式2)0()0()()0()0()(2yxxyyxxyRRRRRR或(3)應(yīng)用應(yīng)用(a)確定輸油管裂紋的位置確定輸油管裂紋的位置設(shè)聲音在管道中傳播速度為設(shè)聲音在管道中傳播速度為V(裂紋裂紋K漏油時(shí)發(fā)出的聲漏油時(shí)發(fā)出的聲音音)，

21、則有，則有mvttvllvtlvtl)(12122211由互相關(guān)函數(shù)由互相關(guān)函數(shù)Rx1x2()找出找出m即可，而傳感器之間距離即可，而傳感器之間距離是已知的是已知的(V如何確定？如何確定？)(3)應(yīng)用應(yīng)用(b)汽車操縱靈敏度汽車操縱靈敏度在方向盤和輪子上安裝傳感器，記錄在方向盤和輪子上安裝傳感器，記錄(t)和和 (t) ，求互，求互相關(guān)相關(guān)R() ，則，則m越小越靈敏越小越靈敏(3)應(yīng)用應(yīng)用(c)找振源，確定傳遞通道找振源，確定傳遞通道機(jī)器機(jī)器1對(duì)地面測(cè)點(diǎn)對(duì)地面測(cè)點(diǎn)y振動(dòng)影響的程度為振動(dòng)影響的程度為%637 . 02 . 12 . 1機(jī)器機(jī)器2對(duì)地面測(cè)點(diǎn)對(duì)地面測(cè)點(diǎn)y振動(dòng)影響的程度為振動(dòng)影響的程

22、度為%377 . 02 . 17 . 0(3)應(yīng)用應(yīng)用(d)測(cè)定材料的隔聲性能測(cè)定材料的隔聲性能室內(nèi)室內(nèi)A處放置有噪聲聲源，處放置有噪聲聲源，a和和b分別為噪聲接收器信號(hào)分別為噪聲接收器信號(hào)x(t)和和y(t)，先在不安裝隔聲板的情況下，作，先在不安裝隔聲板的情況下，作x(t)和和y(t)的的互相關(guān)分析，然后安裝隔聲板，作同樣分析，如圖右?；ハ嚓P(guān)分析，然后安裝隔聲板，作同樣分析，如圖右。后者的互相關(guān)數(shù)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于前者，此值越小表明后者的互相關(guān)數(shù)值遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于前者，此值越小表明材料的隔聲效果越好。材料的隔聲效果越好。時(shí)域分析不容易看出：時(shí)域分析不容易看出：頻率成分頻率成分何種頻率成分占優(yōu)何種頻率成分占

23、優(yōu)各種頻率的振動(dòng)能各種頻率的振動(dòng)能量是多少量是多少9-8 頻譜分析與譜密度頻譜分析與譜密度(1)自功率譜密度自功率譜密度(自譜密度自譜密度)隨機(jī)過程樣本函數(shù)隨機(jī)過程樣本函數(shù)x(t)是無限持續(xù)，故不滿足絕對(duì)可是無限持續(xù)，故不滿足絕對(duì)可積條件：積條件：dttx )(所以所以x(t)不能進(jìn)行傅里葉變換以得到頻率信息，此時(shí)不能進(jìn)行傅里葉變換以得到頻率信息，此時(shí)可考慮用可考慮用Rx() 作傅里葉變換作傅里葉變換設(shè)設(shè)x0(可移軸得到可移軸得到)，且設(shè)，且設(shè)x(t)中沒有周期分量中沒有周期分量(若若x(t)中中有周期分量，則有周期分量，則Rx() 也為周期函數(shù)，不滿足絕對(duì)可積也為周期函數(shù)，不滿足絕對(duì)可積條件

24、，不能進(jìn)行傅里葉變換，盡管其傅氏變換存在，為條件，不能進(jìn)行傅里葉變換，盡管其傅氏變換存在，為脈沖脈沖函數(shù)函數(shù))滿足于是：dRRxx)(0)(Rx() 的傅里葉變換及其逆變換為：的傅里葉變換及其逆變換為：這一對(duì)傅氏變換稱為維納這一對(duì)傅氏變換稱為維納辛欽公式，記為：辛欽公式，記為：)()(xxSRdeSRxdeRSixxixx)(21)()()(的自功率譜密度函數(shù)(2)自譜自譜Sx() 的主要性質(zhì)的主要性質(zhì)(b) Sx() 是是的實(shí)的非負(fù)偶函數(shù)的實(shí)的非負(fù)偶函數(shù)(a)0()(212xERdSxx從性質(zhì)從性質(zhì)(a)可知可知Sx()的單位是：均方值單位的單位是：均方值單位/頻率單位，頻率單位，故又稱故又

25、稱 Sx()為均方譜密度。為均方譜密度。為什么為什么Sx() 稱為功率譜密度？主要是根據(jù)功率稱為功率譜密度？主要是根據(jù)功率或能量的概念而來，如都代表能量或能量的概念而來，如都代表能量2221,21kxmv的總能量代表同樣：)()(2txdttx而而x(t)的平均功率為：的平均功率為：)0()(21)(1lim202xxTTRdSxEdttxT故故Sx()描述了描述了x(t)的平均功率在頻域中的分布情況，的平均功率在頻域中的分布情況，是頻率尺度上每單位間隔的功率或能量。是頻率尺度上每單位間隔的功率或能量。例例(紐蘭紐蘭P44)：已知某平穩(wěn)隨機(jī)：已知某平穩(wěn)隨機(jī)過程過程x(t)的均方譜密度如圖的均方

26、譜密度如圖(a)，求自相關(guān)函數(shù)和均方值。求自相關(guān)函數(shù)和均方值。解解: (1)求求Rx() 2sin2cos2)sin(sincos1cos)(1)(21)(121201202100SSdSdSdeSRxixx波形如圖波形如圖(b)解解: (2)求求均方值均方值 若若(2- 1)較小，說明譜密度僅在很窄的頻帶內(nèi)分布，這較小，說明譜密度僅在很窄的頻帶內(nèi)分布，這種隨機(jī)過程稱為窄帶隨機(jī)過程，相應(yīng)的有寬帶隨機(jī)過程。種隨機(jī)過程稱為窄帶隨機(jī)過程，相應(yīng)的有寬帶隨機(jī)過程。)()(22sinlim2sin2cos2lim)0(120121212001212002SSSRxEx例例(紐蘭紐蘭P4547)：白噪聲的自

27、相關(guān)函數(shù)：白噪聲的自相關(guān)函數(shù)在前面的例子中，如果在前面的例子中，如果(1,2)是一個(gè)寬廣的頻帶，則稱為寬是一個(gè)寬廣的頻帶，則稱為寬帶隨機(jī)過程，其時(shí)間歷程是由各種頻率的信號(hào)疊加而得，若帶隨機(jī)過程，其時(shí)間歷程是由各種頻率的信號(hào)疊加而得，若10, 2，則這個(gè)譜稱為白噪聲譜，即，則這個(gè)譜稱為白噪聲譜，即constSSx0)(這是根據(jù)白色光的譜密度近似為一個(gè)常數(shù)而類比的。這是根據(jù)白色光的譜密度近似為一個(gè)常數(shù)而類比的。)(2)(21)(00SdeSdeSRiixx實(shí)際上，有實(shí)際上，有deSRdeRSixxixx)(21)()()()()()()(第四章瞬態(tài)振動(dòng)tfdttttfdedeii121)(1)(逆

28、變換所以即白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為即白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為函數(shù)。函數(shù)。上述結(jié)果也可由前面的結(jié)果中令上述結(jié)果也可由前面的結(jié)果中令10, 2得到：得到：當(dāng)當(dāng)2時(shí)，除時(shí)，除0處的高峰外，其余為零，而此峰為處的高峰外，其余為零，而此峰為無窮大，寬度為零，面積為無窮大，寬度為零，面積為S0，如圖所示。，如圖所示。220220120sinsin)sin(sin)(SSSRx由于白噪聲的均方值為無窮大，即由于白噪聲的均方值為無窮大，即dSxEx)(212因此白噪聲僅僅是因此白噪聲僅僅是理論上的概念。但理論上的概念。但是若一個(gè)寬度噪聲是若一個(gè)寬度噪聲譜的帶寬已大大超譜的帶寬已大大超過所有感興趣的頻過所有感興趣的頻率

29、時(shí)，那么這種譜率時(shí)，那么這種譜就可視為白譜。就可視為白譜。)(xR)(xR例例已知某隨機(jī)過程的自功率譜密度函數(shù)為：已知某隨機(jī)過程的自功率譜密度函數(shù)為：解：解：22)1 (1)(xS求：自相關(guān)函數(shù)及均方值。求：自相關(guān)函數(shù)及均方值。dedeSRiixx22)1 (21)(21)(時(shí)，有：0此式用了留數(shù)定理在定積分上的應(yīng)用此式用了留數(shù)定理在定積分上的應(yīng)用eieddiiefideiiii2)1 ()(lim2,)(Res2)1 (222在上半平面的奇點(diǎn)為)()0(,)(Res2)(zRzazezRidxexRkkiaziax2222)()(1)1 (1iiddzz,0時(shí)，令eizizeizdzdidz

30、zedeizizizi2)1 ()()()(lim2)1 ()1 (2222222eeeRx41041041)(41)0(2xxR(3)互功率譜密度互功率譜密度(互譜密度互譜密度)與自譜密度函數(shù)一樣，兩個(gè)隨機(jī)過程的互譜密度定義與自譜密度函數(shù)一樣，兩個(gè)隨機(jī)過程的互譜密度定義為這兩個(gè)隨機(jī)過程的互相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換，即為這兩個(gè)隨機(jī)過程的互相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換，即上述傅里葉變換存在的條件是互相關(guān)函數(shù)絕對(duì)可積，即上述傅里葉變換存在的條件是互相關(guān)函數(shù)絕對(duì)可積，即deSRdeSRdeRSdeRSiyxyxixyxyiyxyxixyxy)(21)()(21)()()()()(dRxy)(00)(0)(或，故

31、必須使，而表明yxyxxyxyRR(4)過程導(dǎo)數(shù)的譜密度過程導(dǎo)數(shù)的譜密度有時(shí)候在測(cè)量位移，了解位移的譜密度時(shí)，用位移計(jì)有時(shí)候在測(cè)量位移，了解位移的譜密度時(shí)，用位移計(jì)不很方便，往往采用加速度計(jì)。這就涉及到加速度隨不很方便，往往采用加速度計(jì)。這就涉及到加速度隨機(jī)過程的譜密度與位移的譜密度之間的關(guān)系問題。機(jī)過程的譜密度與位移的譜密度之間的關(guān)系問題。設(shè)隨機(jī)過程設(shè)隨機(jī)過程x(t)是平穩(wěn)的，有是平穩(wěn)的，有NiiiNxtxtxNtxtxER1)()(1lim)()()()()()()()()(1lim)(1txtxEtxtxEtxtxNddRNiiiNx)()()()(22xxRtxtxEdRd另外另外deSRixx)(21)(deSRixx)(21)(deSiddRixx)(21)()()(21)(222xixxRdeSidRd即有：即有：deSRixx)(21)(2另方面：另方面：deSRixx)(21)(所以：所以：)()()()()(422xxxxxSSSSS 這是一個(gè)很重要的關(guān)系，由此式可以從已知的這是一個(gè)很重要的關(guān)系，由此式可以從已知的Sx()求求出速度的均方值等統(tǒng)計(jì)特征。出速度的均方值等統(tǒng)計(jì)特征。 dSdS