第3章 圖像處理中正交變換

1、傅里葉及傅里葉變換簡(jiǎn)介：傅里葉及傅里葉變換簡(jiǎn)介：傅里葉：傅里葉： 法國(guó)數(shù)學(xué)家，生于法國(guó)數(shù)學(xué)家，生于1768年，其最大的貢獻(xiàn)在于年，其最大的貢獻(xiàn)在于他指出他指出任何周期函數(shù)都可以表示為不同頻率的正弦任何周期函數(shù)都可以表示為不同頻率的正弦和（或余弦和）的形式，每個(gè)正弦和（或余弦和）和（或余弦和）的形式，每個(gè)正弦和（或余弦和）乘以不同的系數(shù)。乘以不同的系數(shù)?，F(xiàn)在稱這個(gè)和為傅里葉級(jí)數(shù)?，F(xiàn)在稱這個(gè)和為傅里葉級(jí)數(shù)。傅里葉變換：傅里葉變換： 非周期的函數(shù)（曲線有限情況下）也可以用正弦非周期的函數(shù)（曲線有限情況下）也可以用正弦和（或余弦）乘以加權(quán)函數(shù)的積分來(lái)表示。和（或余弦）乘以加權(quán)函數(shù)的積分來(lái)表示。這種情這

2、種情況下的公式就是傅里葉變換。況下的公式就是傅里葉變換。其重要特性之一就是其重要特性之一就是用傅里葉級(jí)數(shù)或變換表示的函數(shù)特征可以完全通過(guò)用傅里葉級(jí)數(shù)或變換表示的函數(shù)特征可以完全通過(guò)傅里葉反變換來(lái)重建，不丟失任何信息。傅里葉反變換來(lái)重建，不丟失任何信息。傅里葉變換與頻率域：傅里葉變換與頻率域： 傅里葉變換是將函數(shù)傅里葉變換是將函數(shù)基于頻率分成不同的成基于頻率分成不同的成分，使我們可以通過(guò)頻分，使我們可以通過(guò)頻率成分來(lái)分析一個(gè)函數(shù)。率成分來(lái)分析一個(gè)函數(shù)。（傅里葉變換被比作（傅里葉變換被比作“數(shù)學(xué)的棱鏡數(shù)學(xué)的棱鏡”）3.1引言引言l二維正交變換；二維正交變換；l正交變換必須是可逆的；正交變換必須是可

3、逆的；l正交變換和反變換的算法不能太復(fù)雜。正交變換和反變換的算法不能太復(fù)雜。l正交變換的圖像特點(diǎn)：正交變換的圖像特點(diǎn)： 在變換域中，圖像能量集中分布在低頻率成分在變換域中，圖像能量集中分布在低頻率成分上，邊緣和線信息反映在高頻率成分上。上，邊緣和線信息反映在高頻率成分上。dueuFtfjdtetfuFtfutjutj 222)()()1( ,)()()( 反反變變換換：的的一一維維傅傅里里葉葉變變換換定定義義正正變變換換：函函數(shù)數(shù)注意：正反傅里葉變換的唯一區(qū)別是冪的符號(hào)不同。注意：正反傅里葉變換的唯一區(qū)別是冪的符號(hào)不同。幾個(gè)術(shù)語(yǔ)：幾個(gè)術(shù)語(yǔ)：傅里葉幅度譜傅里葉幅度譜、相位譜相位譜、能量譜能量譜稱

4、稱為為傅傅里里葉葉能能量量譜譜。譜譜；被被稱稱為為（傅傅里里葉葉）相相位位的的（傅傅里里葉葉）幅幅度度譜譜；被被稱稱為為那那么么，其其中中，或或是是一一個(gè)個(gè)復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)，即即的的傅傅里里葉葉變變換換函函數(shù)數(shù))()()()()()()()(, )()()(,)()()()()()()(222)()(22)(uIuRuFuEutfuFarctguuIuRuFeuFuFujIuRuFuFtfuRuIuj 二維傅里葉變換的傅里葉幅度譜、相位譜和能量譜二維傅里葉變換的傅里葉幅度譜、相位譜和能量譜二維傅里葉變換對(duì)：二維傅里葉變換對(duì)： dudvevuFyxfdxdyeyxfvuFvyuxjvyuxj)(2)(2

5、),(),(),(),( 二維傅里葉變換的傅里葉幅度譜、相位譜和能量譜二維傅里葉變換的傅里葉幅度譜、相位譜和能量譜分別為：分別為：),(),(),(),(),(),(),(),(),(2222vuIvuRvuEvuRvuIarctgvuvuIvuRvuF 222222222)(1)(,)()()()()(22)2(2suusjstsstjtstjtteSFduedueeSFdtdujStudteeSFSjSdtedteeSFetf 由由于于高高斯斯積積分分則則進(jìn)進(jìn)行行變變量量替替換換：設(shè)設(shè)其其傅傅里里葉葉變變換換為為：高高斯斯函函數(shù)數(shù)為為：例：高斯函數(shù)的傅里葉變換例：高斯函數(shù)的傅里葉變換。構(gòu)成

6、一個(gè)傅立葉變換對(duì)構(gòu)成一個(gè)傅立葉變換對(duì)與與可見：可見：22)()(stesFetf 高斯函數(shù)的傅里葉變換高斯函數(shù)的傅里葉變換仍然是高斯變換。仍然是高斯變換。2.2.離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFTDFT）一維離散傅里葉變換對(duì)定義：一維離散傅里葉變換對(duì)定義： 1, 2 , 1 , 0)(1)()1(),2(),1(),0(1, 2 , 1 , 0)()(210210 NmemXNnxNxxxxNx(m)NnenxmXNmnjNmNmnjNn式式中中：序序列列。即即個(gè)個(gè)等等間間隔隔抽抽樣樣值值。任任意意為為取取自自相相應(yīng)應(yīng)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的，式式中中： 離散傅里葉變換（離散傅里葉變換（DFT

7、）離散傅里葉反變換（離散傅里葉反變換（IDFT）3.二維離散傅里葉變換二維離散傅里葉變換二維傅里葉變換為：二維傅里葉變換為： 1010)(21010)(2),(1),(),(),(),(MuNvNvyMuxjMxNyNvyMuxjevuFMNyxfIDFTeyxfvuFDFTNMnmf ）逆逆變變換換為為：（）其其傅傅里里葉葉變變換換為為：（的的數(shù)數(shù)組組，則則是是一一個(gè)個(gè)設(shè)設(shè)在圖像處理中在圖像處理中,一般選擇方陣一般選擇方陣,即取即取M=Na.原始圖像原始圖像 b.離散傅立葉頻譜離散傅立葉頻譜二維圖像及其離散傅立葉頻譜的顯示二維圖像及其離散傅立葉頻譜的顯示.2傅里葉變換的性質(zhì)傅

8、里葉變換的性質(zhì)1.共軛對(duì)稱性和周期性共軛對(duì)稱性和周期性)(2)()(2)()()()(2)()()(:2)()()(,2)()()()()()()(0000tftftftftftftftftftftftftftftftftftftftfeeee 則則為為實(shí)實(shí)函函數(shù)數(shù)，且且設(shè)設(shè)fo(t)為實(shí)奇函數(shù)。為實(shí)奇函數(shù)。fe(t)為實(shí)偶函數(shù)。為實(shí)偶函數(shù)。dtsttfsFdtsttfdtsttfjdtsttfdtetfdtetfsFtftfeeeestjestje)2cos()()(00)2sin()()2sin()()2cos()()()()(),()(22 。，則則虛虛部部為為上上的的積積分分為為在在對(duì)

9、對(duì)稱稱區(qū)區(qū)間間由由于于奇奇函函數(shù)數(shù)則則其其傅傅里里葉葉變變換換為為：若若（）實(shí)偶函數(shù)（）實(shí)偶函數(shù)可見，實(shí)偶函數(shù)的傅里葉變換仍然是實(shí)偶函數(shù)?？梢姡瑢?shí)偶函數(shù)的傅里葉變換仍然是實(shí)偶函數(shù)。dtsttfjsFdtsttfjdtsttfdtetfsFtftfstj )2sin()()(00)2sin()()2cos()()()(),()(00020 。，則則實(shí)實(shí)部部為為上上的的積積分分為為由由于于奇奇函函數(shù)數(shù)在在對(duì)對(duì)稱稱區(qū)區(qū)間間則則其其傅傅里里葉葉變變換換為為：若若（iiii）實(shí)奇函數(shù)）實(shí)奇函數(shù)可見，實(shí)奇函數(shù)的傅里葉變換是虛奇的?？梢?，實(shí)奇函數(shù)的傅里葉變換是虛奇的。 由由(i)，(ii)可知，可知，傅里葉

10、變換不改變函數(shù)的奇偶傅里葉變換不改變函數(shù)的奇偶性，但對(duì)虛實(shí)性有影響性，但對(duì)虛實(shí)性有影響，也就是說(shuō)，也就是說(shuō)，偶函數(shù)的傅里偶函數(shù)的傅里葉變換不引入系數(shù)，虛實(shí)性保持不變?nèi)~變換不引入系數(shù)，虛實(shí)性保持不變；而；而奇函數(shù)的奇函數(shù)的傅里葉變換將引入系數(shù)傅里葉變換將引入系數(shù)-j，從而改變虛實(shí)性，從而改變虛實(shí)性，即，即“奇變偶不變奇變偶不變” 。結(jié)論：結(jié)論：)()()2sin()()2cos()()()()()()()()(020220sjFsFdtsttfjdtsttfdtetfdtetfdtetfsFtftftfoeestjstjestje ，則則若若（iii）實(shí)函數(shù)）實(shí)函數(shù)具有偶的實(shí)部和奇的虛部具有偶的

11、實(shí)部和奇的虛部（稱為（稱為Hermite函數(shù)）函數(shù)）)()()()()()(sFsjFsFsjFsFsFoeoe （Hermite）函數(shù)具有共軛對(duì)稱性：）函數(shù)具有共軛對(duì)稱性：Fe(s)為偶函數(shù)；為偶函數(shù)；Fo(s)為奇函數(shù)。為奇函數(shù)。u 傅里葉變換和反變換均具有周期性傅里葉變換和反變換均具有周期性為為周周期期。以以傅傅里里葉葉變變換換和和反反變變換換均均NN)vN,F(uN)vF(u,v)N,F(uv)F(u, 2.加法定理加法定理 設(shè)兩個(gè)傅里葉變換對(duì)：設(shè)兩個(gè)傅里葉變換對(duì)：，見見圖圖則則)()()()()()()()(tGtFtgtfsGtgsFtf )()()(,)()()(2222)(22

12、sFedueufeatfdtduatudteeatfdteatfatfsajsujsajsajatsjstj 則則變變量量替替換換：設(shè)設(shè)3.位移定理位移定理 描述坐標(biāo)平移（原點(diǎn)移動(dòng)）對(duì)變換的影響。描述坐標(biāo)平移（原點(diǎn)移動(dòng)）對(duì)變換的影響。結(jié)論：結(jié)論：函數(shù)位移不會(huì)改變其傅立葉變換的模（幅值），函數(shù)位移不會(huì)改變其傅立葉變換的模（幅值）， 但是會(huì)改變實(shí)部與虛部之間的能量分布，其但是會(huì)改變實(shí)部與虛部之間的能量分布，其結(jié)結(jié)果果 是產(chǎn)生一個(gè)與角頻率和位移量均成正比的相移。是產(chǎn)生一個(gè)與角頻率和位移量均成正比的相移。4.相似性定理（尺度變換）相似性定理（尺度變換） 描述函數(shù)自變量的尺度變化對(duì)其傅里葉變換的影響。描

13、述函數(shù)自變量的尺度變化對(duì)其傅里葉變換的影響。).,(1)()(1)(1)(,)(1)()(222bvauFabbyaxfasFadueufaatfadtduatudtaeatfadteatfatfasujasatjstj 二二維維函函數(shù)數(shù)相相似似定定理理：則則變變量量替替換換：設(shè)設(shè) 傅立葉變換的比例性實(shí)例傅立葉變換的比例性實(shí)例a)比例尺度展寬前的頻譜比例尺度展寬前的頻譜 b) 比例尺度展寬后的頻譜比例尺度展寬后的頻譜)()()()()()()()()()()(),(222sGsFdusGeufdudteutgufdteduutguftgtftgtfsujstjstj （由由位位移移定定理理）變

14、變換換為為：。則則它它們們卷卷積積的的傅傅里里葉葉設(shè)設(shè)兩兩個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)傅里葉變換的優(yōu)勢(shì)：傅里葉變換的優(yōu)勢(shì)：在一個(gè)域中的卷積計(jì)算可以在在一個(gè)域中的卷積計(jì)算可以在 另一個(gè)域中做乘法計(jì)算，效果相同。另一個(gè)域中做乘法計(jì)算，效果相同。dssFdttfdttfEtf 2)(2)(2)()(. 6則的能量定義為：設(shè)函數(shù)帕斯維爾定理：上式稱為帕斯維爾（上式稱為帕斯維爾（Parseval）等式，它表明：）等式，它表明：變換函數(shù)與原函數(shù)具有相同的能量。也稱能量保變換函數(shù)與原函數(shù)具有相同的能量。也稱能量保持定理。持定理。 NvyjvuFNuxjNyxfNvyjyxfNuxjNvuFNvuNvyuxjvuFNyxfN

15、vuNvyuxjyxfNvuFNvNuNyNxNuNvNxNy 2exp),(2exp1),(2exp),(2exp1),(1, 2 , 1 , 0, )(2exp),(1),(1, 2 , 1 , 0, )(2exp),(1),(1010101010101010則則將將上上兩兩式式分分離離：7.二維傅里葉變換的分離性二維傅里葉變換的分離性 設(shè)二維傅里葉變換對(duì)為：設(shè)二維傅里葉變換對(duì)為：1, 2 , 1 , 0,2exp),(1),(2exp),(1),(1, 2 , 1 , 02exp),(1),(1, 2 , 1 , 02exp),(1),(10101010 NyNvyjvuFNNyufNu

16、xjyufNNyxfNvNuxjvxFNNvuFNvNvyjyxfNNvxFNvNuNxNy 其其中中同同理理：，上上兩兩式式中中看看出出：由分離性可知：由分離性可知：一個(gè)二維傅里葉變換可以由連續(xù)兩次運(yùn)一個(gè)二維傅里葉變換可以由連續(xù)兩次運(yùn) 用一維傅里葉變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。用一維傅里葉變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。角角度度。它它的的頻頻譜譜也也旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)同同樣樣的的，則則角角度度如如果果一一幅幅圖圖像像旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一個(gè)個(gè): :即即即即代代入入傅傅里里葉葉變變換換對(duì)對(duì)，和和將將表表示示為為其其極極坐坐標(biāo)標(biāo)形形式式：將將其其中中表表示示為為其其極極坐坐標(biāo)標(biāo)形形式式：證證明明：將將000),(),(: ),(),(),(),()si

17、n,cos(),(),( FfFfFvuFyxfyxf8旋轉(zhuǎn)性質(zhì)旋轉(zhuǎn)性質(zhì).),(),(00 也也旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的傅傅里里葉葉變變換換旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)對(duì)對(duì)于于vuFyxf二維離散傅立葉變換的旋轉(zhuǎn)性二維離散傅立葉變換的旋轉(zhuǎn)性原圖像原圖像原圖像的傅立葉頻譜原圖像的傅立葉頻譜 旋轉(zhuǎn)后的圖像旋轉(zhuǎn)后的圖像旋轉(zhuǎn)后圖像的傅立葉頻譜旋轉(zhuǎn)后圖像的傅立葉頻譜)0 , 0(1),(),(1)0 , 0(0, 0)(2exp),(1),(),(1),()(1010101010102FNyxfyxfNFvuNvyuxjyxfNvuFyxfNyxfxyfNxNyNxNyNxNy 時(shí)時(shí)，得得當(dāng)當(dāng)而而亮亮度度的的平平均均值值為為：一一幅幅

18、二二維維圖圖像像 平均值平均值，則則為為正正整整數(shù)數(shù)，且且的的正正整整數(shù)數(shù)次次冪冪，即即為為設(shè)設(shè)，則則令令傅傅里里葉葉變變換換為為：MNMNNWxfNuFNjWNuNuxjxfNuFnuxNNxNNx2,22)(1)(2exp1, 1 ,0, 2exp)(1)(1010 逐次加速法的快速傅里葉變換算法：逐次加速法的快速傅里葉變換算法：)12(1)2(121)()12(1)2(121)(21)(10210221010)12(2)2(21202 MxuMuxMuxMMxuxMuxMMxMxxuMxuMMxuxMWWxfMWxfMuFWWWxfMWxfMWxfMuF，而而）（同同理理）（則則）（）（

19、定定義義4)()(21)(3)()(21)(21, 1 , 0,)12(1)(11, 1 , 0,)2(1)(221010uxModdevenuxModdevenMxuxModdMxuxMevenWuFuFMuFWuFuFuFMuWxfMuFMuWxfMuF 上式表明：上式表明： 一個(gè)一個(gè)N點(diǎn)的變換可通過(guò)將原始表達(dá)式分成兩半來(lái)計(jì)算，點(diǎn)的變換可通過(guò)將原始表達(dá)式分成兩半來(lái)計(jì)算，用式（用式（1）、（）、（2）計(jì)算）計(jì)算2個(gè)（個(gè)（N/2）點(diǎn)的變換得到）點(diǎn)的變換得到Feven(u)和和Fodd(v),在將它們代入（在將它們代入（3）、（）、（4），得到），得到F(u)。點(diǎn)點(diǎn)變變換換）的的兩兩個(gè)個(gè)結(jié)結(jié)果果

20、計(jì)計(jì)算算一一個(gè)個(gè)層層用用（）在在第第（點(diǎn)點(diǎn)變變換換個(gè)個(gè)個(gè)個(gè)結(jié)結(jié)果果計(jì)計(jì)算算層層用用以以上上）在在第第（點(diǎn)點(diǎn)變變換換個(gè)個(gè)層層）計(jì)計(jì)算算第第（）先先將將他他們們排排列列成成（的的快快速速傅傅里里葉葉變變換換點(diǎn)點(diǎn)例例：計(jì)計(jì)算算一一個(gè)個(gè)8334424232412)7(),3(),5(),1( ),6(),2(),4(),0(1)7(),6( ),5(),4(),3(),2(),1(),0(8ffffffffffffffff)7()6()5()4()3()2()1()0(ffffffff)6()2()4()0(ffff偶數(shù)區(qū)偶數(shù)區(qū)奇數(shù)區(qū)奇數(shù)區(qū) )5()1(21)0(022fWfFo )5()1(21)1

21、(122fWfFo )7()3(21)0(022fWfFo )7()3(21)1(122fWfFo )4()0(21)0(022fWfFe )4()0(21)1(122fWfFe )6()2(21)0(022fWfFe )6()2(21)1(122fWfFe )7()3()5()1(ffff ) 0() 0(21) 0(20424eoeeeFWFF ) 1 () 1 (21) 1 (20424eoeeeFWFF ) 0() 0(21) 2(20424eoeeeFWFF ) 1 () 1 (21)3(20424eoeeeFWFF ) 0() 0(21) 0(20424oooeoFWFF ) 1

22、() 1 (21) 1 (20424oooeoFWFF ) 0() 0(21) 2(20424oooeoFWFF ) 1 () 1 (21) 3(20424oooeoFWFF )0()0(21)0(4084oeFWFF )1()1(21)1(4084oeFWFF )2()2(21)2(4084oeFWFF )3()3(21)3(4084oeFWFF )0()0(21)4(4084eeFWFF ) 1() 1(21)5(4084eeFWFF )2()2(21)6(4084eeFWFF )3()3(21)7(4084eeFWFF )7()3()5()1()6()2()4()0(ffffffff輸入

23、數(shù)據(jù)輸入數(shù)據(jù)2點(diǎn)變換點(diǎn)變換4點(diǎn)變換點(diǎn)變換8點(diǎn)變換點(diǎn)變換F(0) F(1) F(2) F(3) F(4) F(5) F(6) F(7) 000 001 010 011 100 101 110 111“位對(duì)換原則位對(duì)換原則”：pF(0)中，中，0的二進(jìn)制數(shù)為的二進(jìn)制數(shù)為000，則它的左位與右位，則它的左位與右位 對(duì)調(diào)后為對(duì)調(diào)后為000，即，即f(0)。pF(1)中，中，1的二進(jìn)制數(shù)為的二進(jìn)制數(shù)為001，則它的左位與右位，則它的左位與右位 對(duì)調(diào)后為對(duì)調(diào)后為100，即，即f(4)。pF(2)中，中，2的二進(jìn)制數(shù)為的二進(jìn)制數(shù)為010，則它的左位與右位，則它的左位與右位 對(duì)調(diào)后為對(duì)調(diào)后為010，即，即f(

24、2)。pF(3)中，中，3的二進(jìn)制數(shù)為的二進(jìn)制數(shù)為011，則它的左位與右位，則它的左位與右位 對(duì)調(diào)后為對(duì)調(diào)后為110，即，即f(6)。3.5 離散圖像變換的一般表達(dá)式離散圖像變換的一般表達(dá)式圖像變換的核：圖像變換的核： 1010)(21010)(2),(1),(),(1),(NuNvNvyNuxjNxNyNvyNuxjevuFNyxfeyxfNvuF 逆逆變變換換為為：；傅傅里里葉葉變變換換為為：傅傅里里葉葉變變換換對(duì)對(duì)中中，2exp1),(2exp1),(NvyjNyxQNuxjNvxP ；其其傅傅里里葉葉變變換換核核為為：的的形形式式是是相相同同的的。和和對(duì)對(duì)于于對(duì)對(duì)稱稱可可分分離離的的核

25、核，。，均均取取式式中中，則則有有：對(duì)對(duì)于于二二維維傅傅里里葉葉變變換換，上上式式表表示示。圖圖像像的的其其他他變變換換都都可可用用圖圖像像的的反反變變換換為為：的的滿滿秩秩矩矩陣陣。為為、方方陣陣；為為、式式中中：通通用用表表示示式式為為：因因此此，圖圖像像變變換換的的矩矩陣陣QPNyxvuNvyjNvyQNuxjNuxPFQPfNNQPNNfFPfQF1210,/2exp1),(/2exp1),(,11 . 2離散余弦變換離散余弦變換(DCT) 應(yīng)用：應(yīng)用： 主要用于圖像壓縮編碼、數(shù)字水印。主要用于圖像壓縮編碼、數(shù)字水印。1.1.一維離散余弦變換及其反變換定義：一維離散余弦變換及其反變換定

26、義： 11 2 0 1)(1, 1 , 0,2)12(cos)()(1, 1 , 0,2)12(cos)()()(1010NuNuNuNuNuxuxgNuNuxxguuGNuNx 其中其中 11 20 1 )(1, 1 , 0,2)12(cos)(2)12(cos)(),(),(1, 1 , 0,2)12(cos)(2)12(cos)(),(),(10101010NuNuNvNyxNvyvNuxuvuGyxgNvuNvyvNuxuyxgvuGuNuNvNxNy 其其中中2.二維離散余弦及其反變換定義：二維離散余弦及其反變換定義：a) 原始圖像原始圖像 b) 離散余弦變換后的頻譜離散余弦變換后的

27、頻譜二維圖像及其離散余弦變換頻譜的顯示二維圖像及其離散余弦變換頻譜的顯示p快速離散余弦變換：快速離散余弦變換： 1）先將）先將f(x,y)進(jìn)行快速傅里葉變換，再取其實(shí)部。進(jìn)行快速傅里葉變換，再取其實(shí)部。 2）代數(shù)分解法）代數(shù)分解法實(shí)例：實(shí)例：離散余弦變換在圖像壓縮中的應(yīng)用離散余弦變換在圖像壓縮中的應(yīng)用a) 未經(jīng)壓縮的原始圖像未經(jīng)壓縮的原始圖像 b) 采用采用JPEG方式壓縮存儲(chǔ)的圖像方式壓縮存儲(chǔ)的圖像。，則則有有，即即其其二二進(jìn)進(jìn)制制數(shù)數(shù)是是。若若位位值值。例例如如：的的二二進(jìn)進(jìn)制制表表示示的的第第是是式式中中，1)(1)(,0)(1106823)(2, 1, 1 ,0,)1()()()1()

28、(1)(21010)()(101010)()(11 zbzbzbzNnkzzbNNxuuWxfxfNuWnknNiubxbNiNxNiubxbiniini的的值值如如下下表表：時(shí)時(shí)的的即即當(dāng)當(dāng)例例：令令)(8,4,2,3,2,1,)1(),(10)()(1IbNnuxhkniubxbini 101010)()()()(101010)()()()(1111)1(),(1),()1(),(1),(NuNvnivbybubxbNxNynivbybubxbiniiniiniinivuWNyxfyxfNvuWGWGfNGGfGNW 表表示示式式為為：二二維維沃沃爾爾什什反反變變換換矩矩陣陣階階沃沃爾爾什

29、什變變換換核核矩矩陣陣；為為其其中中，表表示示式式為為：二二維維沃沃爾爾什什變變換換的的矩矩陣陣,12例：一個(gè)二維數(shù)字圖像矩陣為：例：一個(gè)二維數(shù)字圖像矩陣為： 求圖像的二維沃爾什變換。求圖像的二維沃爾什變換。 1331133113311331f解：解： 11111111111111114,12GNGfGNW時(shí)時(shí)的的二二維維沃沃爾爾什什變變換換為為其其中中 0000000000001002000000000000160032161 111111111111111113311331133113311111111111111111412W由例題可知：由例題可知：二維沃爾什變換具有某種能量集中的二維沃

30、爾什變換具有某種能量集中的特性，而且原始數(shù)字中數(shù)字越均勻分布，變換后的特性，而且原始數(shù)字中數(shù)字越均勻分布，變換后的數(shù)據(jù)越集中于矩陣的邊角上。數(shù)據(jù)越集中于矩陣的邊角上。因此，應(yīng)用二維沃爾因此，應(yīng)用二維沃爾什變換可以壓縮圖像信息。什變換可以壓縮圖像信息。2.哈達(dá)瑪（哈達(dá)瑪（DHT）變換）變換（1）一維哈達(dá)瑪變換：）一維哈達(dá)瑪變換：位位值值。的的二二進(jìn)進(jìn)制制表表示示的的第第代代表表式式中中，kzzbNxNuNuHxfxfNuHknNxubxbNxubxbniiiniii)(1, 2 , 1 , 0, 1, 2 , 1 , 0,2)1)()()1)(1)(10)()(10)()(1010 N1 101

31、0)()()()(1010)()()()(1010)1)(,(1),()1)(,(1),(NxNyvbybubxbNxNyvbybubxbniiiiiniiiiivuHNyxfyxfNvuH 二維哈達(dá)瑪正變換和反變換具有相同的形式。二維哈達(dá)瑪正變換和反變換具有相同的形式。哈達(dá)瑪變換具有簡(jiǎn)單的遞推關(guān)系：哈達(dá)瑪變換具有簡(jiǎn)單的遞推關(guān)系：p最低階的哈達(dá)瑪矩陣核為：最低階的哈達(dá)瑪矩陣核為： 11111H 1111nnnnnHHHHHpn階哈達(dá)瑪矩陣與階哈達(dá)瑪矩陣與n-1階哈達(dá)瑪矩陣的遞推關(guān)系為：階哈達(dá)瑪矩陣的遞推關(guān)系為：例如：例如：n=2時(shí)的哈達(dá)瑪矩陣核為：時(shí)的哈達(dá)瑪矩陣核為： 111111111111

32、111111112HHHHH（3）沃爾什）沃爾什哈達(dá)瑪變換哈達(dá)瑪變換 沃爾什和哈達(dá)瑪變換的使用以及術(shù)語(yǔ)在圖像處理沃爾什和哈達(dá)瑪變換的使用以及術(shù)語(yǔ)在圖像處理的文獻(xiàn)中是混在一起的，所以常常用術(shù)語(yǔ)沃爾什的文獻(xiàn)中是混在一起的，所以常常用術(shù)語(yǔ)沃爾什哈達(dá)瑪變換來(lái)代表它們的任一種變換。哈達(dá)瑪變換來(lái)代表它們的任一種變換。 111121,21,211111HHHHHHNNNHfHHFnnnnnnnnn其其最最小小階階其其遞遞推推式式為為：，變變換換矩矩陣陣的的大大小小為為 11111111111111112121,21,2121111222223HHHHHHHHHHH即即而而知知：由由最最小小階階哈哈達(dá)達(dá)瑪瑪矩

33、矩陣陣為為時(shí)時(shí)，例例： 11111321111121?3nnnnnHHHHHHHn不必做乘法，計(jì)算簡(jiǎn)便不必做乘法，計(jì)算簡(jiǎn)便，變換特點(diǎn)只要做加減法變換特點(diǎn)只要做加減法可見，可見，HadamardWalshH 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111112133例：求下列圖像矩陣的二維哈達(dá)瑪例：求下列圖像矩陣的二維哈達(dá)瑪(DHT)變換。變換。 1133113311331133f 111111111111111121212111122HHHHHnnHfHF ：計(jì)計(jì)算算圖圖像像的的哈哈達(dá)達(dá)瑪瑪變變換換 .4霍特林（霍特

34、林（ K-L）變換變換 K-L變換也稱為變換也稱為特征矢量變換特征矢量變換、主分量變換主分量變換或或霍特霍特林林(Hotelling)變換，它是基于圖像統(tǒng)計(jì)特性的變換。變換，它是基于圖像統(tǒng)計(jì)特性的變換。特點(diǎn)：特點(diǎn)：K-L變換能夠充分去除相關(guān)性，把有用的信息變換能夠充分去除相關(guān)性，把有用的信息 集中到數(shù)目盡可能少的主分量中。集中到數(shù)目盡可能少的主分量中。應(yīng)用：應(yīng)用：主要用于圖像壓縮、圖像旋轉(zhuǎn)、圖像增強(qiáng)、主要用于圖像壓縮、圖像旋轉(zhuǎn)、圖像增強(qiáng)、 遙感多光譜圖像的特征提取與信息融合等方面。遙感多光譜圖像的特征提取與信息融合等方面。uK-L變換定義變換定義設(shè)設(shè)x=x1 x2xNT是一個(gè)是一個(gè)N維隨機(jī)列矢

35、量，其各維隨機(jī)列矢量，其各 分量的二階矩陣存在，進(jìn)一步假設(shè)得到分量的二階矩陣存在，進(jìn)一步假設(shè)得到M個(gè)矢量采樣個(gè)矢量采樣 x1,x2,xM。（在實(shí)際應(yīng)用中，將圖像看成隨機(jī)失量）。（在實(shí)際應(yīng)用中，將圖像看成隨機(jī)失量）具有具有N個(gè)像素的圖像個(gè)像素的圖像f(n,m)在某個(gè)通信信道傳輸了在某個(gè)通信信道傳輸了 M 次，由于受到隨機(jī)干擾，接收到的是一個(gè)圖像次，由于受到隨機(jī)干擾，接收到的是一個(gè)圖像 樣本集合樣本集合f1(m,n)，f2(m,n)，fM(m,n)。對(duì)第。對(duì)第i次次 獲得的圖像獲得的圖像fi(m,n),可用一個(gè)可用一個(gè)N維隨機(jī)列矢量維隨機(jī)列矢量xi表示，表示， 從而圖像樣本集合可表示為從而圖像樣本

36、集合可表示為x1,x2,xM 。 NxTTxxxUCUmxmxEC 000000)(21其其 中：中：mx =EX 為為 列列 矢矢 量量x 的的 均均 值值 矢矢 量；量； UT 為為 矢矢 量量X 協(xié)協(xié) 方方 差差 矩矩 陣陣Cx 的的 正正 交矩陣，交矩陣， 使使Cx 對(duì)對(duì) 角角 化；化；隨機(jī)列矢量隨機(jī)列矢量x=x1 x2xNT 的的K-L 變變 換換 定定 義義 為：為： y=UT(x-mx)矢量矢量X的協(xié)方差矩陣：的協(xié)方差矩陣：K-L 變變 換換 的的 反反 變變 換換 為：為：xmUyx MiTxxTiixMiixmmxxMCxMm1111； 在實(shí)際應(yīng)用中，在實(shí)際應(yīng)用中，Cx與與m

37、x可通過(guò)樣本可通過(guò)樣本x1,x2,xM來(lái)估計(jì)，來(lái)估計(jì)， 即：即：uK-L變換的性質(zhì)：變換的性質(zhì)：K-L變換能夠充分去除相關(guān)性；變換能夠充分去除相關(guān)性；K-L反變換可以精確重建反變換可以精確重建x；K-L變換是在均方誤差最小意義下的變換是在均方誤差最小意義下的最優(yōu)變換最優(yōu)變換。傅里葉變換：傅里葉變換：DFT是最常用的離散圖像變換，特別是是最常用的離散圖像變換，特別是在圖像處理中可以進(jìn)行二維數(shù)字濾波處理和傅里葉譜在圖像處理中可以進(jìn)行二維數(shù)字濾波處理和傅里葉譜分析，因而分析，因而DFT在圖像增強(qiáng)、特征提取分析等方面有在圖像增強(qiáng)、特征提取分析等方面有著廣泛應(yīng)用。但著廣泛應(yīng)用。但DFT需要復(fù)數(shù)運(yùn)算，較難

38、實(shí)時(shí)應(yīng)用。需要復(fù)數(shù)運(yùn)算，較難實(shí)時(shí)應(yīng)用。離散余弦變換：離散余弦變換：DCT是目前應(yīng)用較廣是目前應(yīng)用較廣泛的圖像變換，特別在圖像通信中，泛的圖像變換，特別在圖像通信中，是圖像壓縮方法中較理想的變換。是圖像壓縮方法中較理想的變換。DWT變換計(jì)算最簡(jiǎn)單；變換計(jì)算最簡(jiǎn)單；K-L變換計(jì)算最復(fù)雜，但誤差最小。變換計(jì)算最復(fù)雜，但誤差最小。DCT變換誤差接近變換誤差接近K-L變換。變換。 3.5 拉東拉東(Radon)變換變換 建立在一個(gè)半圓柱的表面，建立在一個(gè)半圓柱的表面， 計(jì)算圖像在某一指定計(jì)算圖像在某一指定角度射線方向上投影的變換方法。二維函數(shù)角度射線方向上投影的變換方法。二維函數(shù)f(x,y)的投的投影是

39、其在指定方向上的線積分。是圖像重建的基礎(chǔ)。影是其在指定方向上的線積分。是圖像重建的基礎(chǔ)。拉東空間：拉東空間：半圓柱的表面，半圓柱的表面，半徑為半徑為1的無(wú)窮長(zhǎng)圓柱，的無(wú)窮長(zhǎng)圓柱， 測(cè)量沿圓柱從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮的長(zhǎng)度，測(cè)量沿圓柱從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮的長(zhǎng)度， 測(cè)量相測(cè)量相對(duì)與某個(gè)參考位置的旋轉(zhuǎn)角。對(duì)與某個(gè)參考位置的旋轉(zhuǎn)角。 p沿任意角度對(duì)函數(shù)進(jìn)行投影，即函數(shù)沿任意角度對(duì)函數(shù)進(jìn)行投影，即函數(shù)f(x,y)的的Radon變換為：變換為： yxyxydyxyxfxR cossinsincos )cossin,sincos(其其中中，）（性質(zhì)：性質(zhì)： 拉東變換具有線性、平移性、相似性、對(duì)稱性拉東變換具有線性、平移

40、性、相似性、對(duì)稱性及微分和卷積計(jì)算。及微分和卷積計(jì)算。.6.6 小波變換簡(jiǎn)介小波變換簡(jiǎn)介.6.6. 小波變換小波變換l概念概念 小波變換是一種在有限寬度的范圍內(nèi)進(jìn)行的正交小波變換是一種在有限寬度的范圍內(nèi)進(jìn)行的正交的或非正交的變換。小波變換的基函數(shù)是一種不僅在的或非正交的變換。小波變換的基函數(shù)是一種不僅在頻率上而且在位置上變化的有限的波形函數(shù)。頻率上而且在位置上變化的有限的波形函數(shù)。 l應(yīng)用應(yīng)用 小波變換在信號(hào)分析、語(yǔ)言合成小波變換在信號(hào)分析、語(yǔ)言合成、圖像識(shí)別圖像識(shí)別、計(jì)算計(jì)算機(jī)視覺機(jī)視覺、數(shù)據(jù)壓縮數(shù)據(jù)壓縮、 CT成象成象、地震勘探地震勘探、大氣與海洋大氣與海洋波的分析和天體力學(xué)等方面都已取得

41、具有科學(xué)意義的波的分析和天體力學(xué)等方面都已取得具有科學(xué)意義的應(yīng)用價(jià)值的重要成果。應(yīng)用價(jià)值的重要成果。l特點(diǎn)：特點(diǎn)： 小波（小波（Wavelet），即小的波形。所謂），即小的波形。所謂“小小”是指是指它具有衰減性；而它具有衰減性；而“波波”則是指它的波動(dòng)性，其振幅則是指它的波動(dòng)性，其振幅呈正負(fù)相間的振蕩形式。呈正負(fù)相間的振蕩形式。小波變換同時(shí)具有時(shí)域性和頻域性。小波變換同時(shí)具有時(shí)域性和頻域性。 傅里葉變換不能同時(shí)進(jìn)行時(shí)間傅里葉變換不能同時(shí)進(jìn)行時(shí)間頻率局部分析。頻率局部分析。小波變換使上述問(wèn)題迎刃而解。小波分析是通過(guò)一個(gè)小波變換使上述問(wèn)題迎刃而解。小波分析是通過(guò)一個(gè)小波基函數(shù)的伸縮和平移來(lái)產(chǎn)生一組

42、基函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)的。小波基函數(shù)的伸縮和平移來(lái)產(chǎn)生一組基函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn)的。小波變換適用：小波變換適用： 小波變換同傅立葉變換一樣，也存在一維、二小波變換同傅立葉變換一樣，也存在一維、二維維連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換和和離散小波變換離散小波變換。原則上能用傅里。原則上能用傅里葉變換分析的地方均可用小波分析，甚至能獲得更葉變換分析的地方均可用小波分析，甚至能獲得更好的結(jié)果。好的結(jié)果。.6.6. 連續(xù)小波變換連續(xù)小波變換1.一維連續(xù)小波變換一維連續(xù)小波變換定義定義，函函數(shù)數(shù)具具有有收收縮縮作作用用。當(dāng)當(dāng)具具有有伸伸展展作作用用則則函函數(shù)數(shù)當(dāng)當(dāng)軛軛函函數(shù)數(shù)是是復(fù)復(fù)變變函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)，采采用用共共如如果果稱稱為為小小

43、波波。為為平平移移參參數(shù)數(shù)為為尺尺度度因因子子，其其中中：的的連連續(xù)續(xù)小小波波變變換換為為：，信信號(hào)號(hào)給給定定基基本本小小波波函函數(shù)數(shù)1;)(, 1)()()(1)()()()()(1),()(, axaxxabxaxbaR,b0,adxxxfdxabxtfabafWxfbabababaR 的的影影響響：對(duì)對(duì)生生成成小小波波和和平平移移參參數(shù)數(shù)伸伸縮縮參參數(shù)數(shù))(tba 。反反之之亦亦然然。有有利利于于提提高高時(shí)時(shí)域域分分辨辨率率度度增增大大，窗窗寬寬度度變變窄窄，而而頻頻窗窗寬寬當(dāng)當(dāng)信信號(hào)號(hào)頻頻率率增增高高時(shí)時(shí)，視視寬寬。反反之之亦亦然然。因因此此，的的頻頻率率隨隨之之向向高高頻頻端端展展而

44、而的的支支撐撐區(qū)區(qū)隨隨之之變變窄窄，的的減減小小，隨隨著著參參數(shù)數(shù))(,)( batba,a處處，且且波波形形收收縮縮。則則從從原原點(diǎn)點(diǎn)向向左左平平移移至至?xí)r時(shí)，當(dāng)當(dāng)且且波波形形展展寬寬；向向右右移移至至從從原原點(diǎn)點(diǎn)的的波波形形時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)圖圖中中小小波波函函數(shù)數(shù)為為10)(10, 5 . 0)2(,15)()()(15, 2)1()(10,5 . 015,2,2 ttbattttbatetbat （1）（2）（1）函數(shù)應(yīng)有速降特性（衰減性），即在一個(gè)很小的）函數(shù)應(yīng)有速降特性（衰減性），即在一個(gè)很小的區(qū)間外，函數(shù)為零。區(qū)間外，函數(shù)為零。（2）函數(shù)應(yīng)有波動(dòng)性（振蕩性），即平均值為零）函數(shù)應(yīng)有波動(dòng)性

45、（振蕩性），即平均值為零 （3）函數(shù)具有帶通型，即）函數(shù)具有帶通型，即（4）函數(shù)具有能量有限性。）函數(shù)具有能量有限性?？梢姡盒〔ㄊ且粋€(gè)具有振蕩性和迅速衰減的波。可見：小波是一個(gè)具有振蕩性和迅速衰減的波。 Rdtx0)( Rdxx0)( 小波小波 應(yīng)滿足的條件（特征）：應(yīng)滿足的條件（特征）：)(x 2.一維小波變換的基本性質(zhì)一維小波變換的基本性質(zhì)（1）線性）線性 小波變換是線性變換，它把一維信號(hào)分解成不同尺小波變換是線性變換，它把一維信號(hào)分解成不同尺 度的分量。度的分量。則則若若的的小小波波變變換換為為設(shè)設(shè)),(),(),(),()()(,)(),(211211baWbaWbaWtftftftf

46、baWffff （2）平移和伸縮的共變性）平移和伸縮的共變性 連續(xù)小波變換在任何平移之下是共變的，若連續(xù)小波變換在任何平移之下是共變的，若 是一對(duì)小波變換關(guān)系，則是一對(duì)小波變換關(guān)系，則),()(baWtff，不不發(fā)發(fā)生生失失真真變變形形。兩兩軸軸上上以以同同一一比比例例伸伸縮縮變變換換將將在在波波某某一一倍倍數(shù)數(shù)伸伸縮縮時(shí)時(shí)，其其小小該該性性質(zhì)質(zhì)表表明明，當(dāng)當(dāng)信信號(hào)號(hào)以以，則則若若的的。對(duì)對(duì)于于任任何何伸伸縮縮也也是是共共變變也也是是小小波波變變換換關(guān)關(guān)系系。babaaaWatafbaWtfbbaWbtffff,),(1),(),()(),()(00000 （3）微分運(yùn)算）微分運(yùn)算 dtttt

47、fttfWbannnnnba)()()1()(, （4）冗余性：小波基函數(shù)不唯一。）冗余性：小波基函數(shù)不唯一。 信號(hào)信號(hào)f(x)的小波變換與小波重構(gòu)不存在一一對(duì)應(yīng)的的小波變換與小波重構(gòu)不存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，而傅里葉變換與逆變換存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；小關(guān)系，而傅里葉變換與逆變換存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；小波變換的基函數(shù)有多種可能的選擇。波變換的基函數(shù)有多種可能的選擇。（5）小波逆變換存在性（重構(gòu)性）小波逆變換存在性（重構(gòu)性） 小波變換是一種信息保持型的可逆變換，原來(lái)信小波變換是一種信息保持型的可逆變換，原來(lái)信號(hào)的信息完全保留在小波變換系數(shù)中。號(hào)的信息完全保留在小波變換系數(shù)中。（6）能量比例性）能量比例性 在

48、允許條件下，小波變換幅度的平方的積分與信在允許條件下，小波變換幅度的平方的積分與信號(hào)能量成正比。號(hào)能量成正比。（7）正則性）正則性 小波變換隨尺度小波變換隨尺度a的減少而迅速減少，以保證其的減少而迅速減少，以保證其在頻域上較好的局域性能。在頻域上較好的局域性能。3.幾種典型的一維小波幾種典型的一維小波 1 ,21121,01)(1ttthHaar 小小波波）連連續(xù)續(xù)（1-111/2連續(xù)連續(xù)Haar小波的波形：小波的波形：離散哈爾小波變換：離散哈爾小波變換： 用哈爾小波作為基函數(shù)的對(duì)稱、可分離的變換。用哈爾小波作為基函數(shù)的對(duì)稱、可分離的變換。哈爾小波具有尺度和位置雙重屬性。哈爾小波是最哈爾小波具有尺度和位置雙重屬性。哈爾小波是最經(jīng)典、最簡(jiǎn)單的正交小波。具有廣泛應(yīng)用。經(jīng)典、最簡(jiǎn)單的正交小波。具有廣泛應(yīng)用。 222122121 02 2 1)( 1)(2/2/0其其他他，且且離離散散哈哈爾爾函函數(shù)數(shù)定定義義：ppppppkqxq-qxq-NxhNxh 式中，式中，p為尺度，為尺度，q為平移參數(shù)，它們都為整數(shù)。為平移參數(shù)，它們都為整數(shù)。矩矩形形脈脈沖沖對(duì)對(duì)?；瘮?shù)數(shù)都都有有單單獨(dú)獨(dú)的的一一個(gè)個(gè)時(shí)時(shí)為為常常數(shù)數(shù)，其其余余每每個(gè)個(gè)一一組組基基函函數(shù)數(shù)。除除了了則則可可以以產(chǎn)產(chǎn)生生如如果果令令對(duì)對(duì)于于0,1,1 ,0 iNix