幾類特殊函數(shù)積分

1、預(yù)科部：melinda 幾類特殊函數(shù)的積分幾類特殊函數(shù)的積分 一、一、 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分 二、三角函數(shù)有理數(shù)的積分二、三角函數(shù)有理數(shù)的積分 三、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分三、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分 四、小結(jié)四、小結(jié)預(yù)科部：melinda. 一一 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分mmmmnnnnbxbxbxbaxaxaxaxQxP 11101110)()(兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù).有理函數(shù)的定義：其中其中都是非負(fù)整數(shù)；都是非負(fù)整數(shù)；及及都是實(shí)數(shù)，并且都是實(shí)數(shù)，并且0, 0 banm、naaa,10mbbb,10預(yù)科部：melinda假定分子與分母之間沒有公因式,)1(mn 這有理函數(shù)是真分式；,)2

2、(mn 這有理函數(shù)是假分式；有理函數(shù)有以下性質(zhì)： 1）利用多項(xiàng)式除法, 假分式可以化成一 個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.例如，我們可將例如，我們可將化為多項(xiàng)式與真分式之和化為多項(xiàng)式與真分式之和1123 xxx112 xx預(yù)科部：melinda其中其中 都是待定的常數(shù)都是待定的常數(shù). .042 qpk為正整數(shù)，為正整數(shù)，qpaBA,kaxA)( 2）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)真分式總可以分解成幾個(gè)最簡(jiǎn)式之和最簡(jiǎn)分式是下面兩種形式的分式最簡(jiǎn)分式是下面兩種形式的分式kqpxxBAx)(2 預(yù)科部：melinda. . 特殊地：, 1 k分解后為;axA ,)()(121axAaxAaxAkkk 3）有理函數(shù)化為部分分

3、式之和的一般規(guī)律：其中其中都是待定的常數(shù)都是待定的常數(shù)（1）分母中若有因式 ，則分解后為kax)( kAAA,2, 1預(yù)科部：melinda（2）分母中若有因式 ，其中kqpxx)(2 則分解后為042 qpqpxxNxMqpxxNxMqpxxNxMkkkk 21222211)()(其中iiNM ,都是待定的常數(shù)), 2 , 1(ki . 特殊地：, 1 k分解后為;2qpxxNMx 預(yù)科部：melinda例1 )5)(2(32103322 xxxxxx52 xBxA)5)(2()2()5( xxxBxA方法一（比較系數(shù)法方法一（比較系數(shù)法) )2()5(32 xBxAx)25()(32BAB

4、Ax 預(yù)科部：melinda 3252BABA 11BA； 方法二（賦值法）方法二（賦值法） )2()5(32 xBxAx令得得2 x1 A； 令令5 x得得1 B兩種方法都能得到兩種方法都能得到5121)5)(2(32103322 xxxxxxxx預(yù)科部：melinda , 1, 02, 02CACBBA,51,52,54 CBA.1515221542xxx )1)(21(12xx )1)(21(12xx ),21)()1(12xCBxxA ,)2()2(12ACxCBxBA ,1212xCBxxA 例2預(yù)科部：melinda例3 求積分求積分 .)1)(21(12 dxxx解dxxxdxx

5、 2151522154 dxxx)1)(21(12dxxdxxxx 2211511251)21ln(52.arctan51)1ln(51)21ln(522Cxxx 預(yù)科部：melinda 有理真分式的積分歸結(jié)為求下面四種類型的部分有理真分式的積分歸結(jié)為求下面四種類型的部分分式的積分：分式的積分：(1) dxaxA ；(2) ； dxaxAn )()1( n(3) )04(2 qpdxqpxxCBx 22)(,(4) dxqpxxCBxn )(204(2 qp)1 n,預(yù)科部：melinda下面逐一給出他們的求法下面逐一給出他們的求法. .;(1) CaxAdxaxA ln;(2) CaxnAa

6、xadAdxaxAnnn )(11)()-x)(（當(dāng)當(dāng)1 n時(shí)時(shí), ,(3) 042 qp當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí),dxqpxxBpCBpBxdxqpxxCBx 222221預(yù)科部：melindadxqpxxBpCdxqpxxpxB 2212222 qpxxqpxxdB22)(2dxpqpxBpC 222)24()2(122CpqpxpqBpCqpxxB 22242arctan42)ln(2預(yù)科部：melinda(4) 042 qp1 n當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí),且且dxqpxxBpCBpBxdxqpxxCBxnn )(2221)(22 nnqpxxdxBpCdxqpxxpxB)(22)(2222duauBpCqpxxnBn

7、n )(122)(1)1(22212這里這里, , 2pxu 242pqa ,預(yù)科部：melinda記記 duauInn )(122則則: nauauuda)()(2122222duauuauaInn )(1222222 1222)(1nauduaduauuan )(12222121 nIa121 nIa)(11211222nauudna 預(yù)科部：melinda121 nIanauuna 1222)()1(21)(122 naudu121 nIa()1(2111222 nnIauuna）)32()1(2111222 nnInauuna） nI)32()1(2111222 nnInauuna）)

8、1( n即即預(yù)科部：melindaCauaduauI arctan11221而而結(jié)論結(jié)論 有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù)有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù). .雖然從理論上講，有理函數(shù)總可以分解為部分分式然雖然從理論上講，有理函數(shù)總可以分解為部分分式然后再積分，但是實(shí)際上，不能機(jī)械地套用這個(gè)原理，而后再積分，但是實(shí)際上，不能機(jī)械地套用這個(gè)原理，而要根據(jù)情況，把積分盡量簡(jiǎn)化要根據(jù)情況，把積分盡量簡(jiǎn)化. .例4 dxxx 1003)1(求求解 dxxx 1003)1(dxxx 1003)1(1)1(預(yù)科部：melindadxdxx 97)1(198)1(3 x99)1(3 x)1(1100 x96)1(9

9、61 x97)1(973 x98)1(983 xCx 99)1(991例5 求求 )2(10 xxdx預(yù)科部：melinda )2(10 xxdx解dxxxx)21(21109 xln21 2)2(2011010 xxdxln21 Cx )2ln(20110Cxx )2(ln2011010預(yù)科部：melinda例6 求求 222)22(xxdxx 222)22(xxdxx解dxxxxxx 222)22()22()22( 22)22(xxdx 22)22()22(xxdxx 1)1()1(2xxd 222)22()22(xxxxdCxxx 221)1arctan(2預(yù)科部：melinda三角有理

10、式的定義： 由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱之一般記為)cos,(sinxxR2cos2sin2sinxxx 2sec2tan22xx ,2tan12tan22xx ,2sin2coscos22xxx 二、三角函數(shù)有理式的積分預(yù)科部：melinda dxxxR)cos,(sin.1211,122222duuuuuuR 2sec2tan1cos22xxx ,2tan12tan122xx 令令2tanxu uxarctan2 （萬(wàn)能置換公式）（萬(wàn)能置換公式）,12sin2uux ,11cos22uux duudx212 預(yù)科部：melinda解,12sin2uux 2211cosuu

11、x ,122duudx 由萬(wàn)能置換公式由萬(wàn)能置換公式例7 求積分求積分 dxxxx)cos1(sinsin1 dxxxx)cos1(sinsin1Cuuu )ln22(212Cxxx 2tanln212tan42tan2duuuu 12212預(yù)科部：melinda例8 求積分求積分.sin14 dxx解（一）,2tanxu ,12sin2uux ,122duudx dxx4sin1duuuuu 46428331Cuuuu 333318133.2tan2412tan832tan832tan24133Cxxxx 預(yù)科部：melinda令令解（二）修改萬(wàn)能置換公式修改萬(wàn)能置換公式, ,xutan ,

12、1sin2uux ,112duudx dxx4sin1duuuu 2421111duuu 421Cuu 1313.cotcot313Cxx 預(yù)科部：melinda解（三） 可以不用萬(wàn)能置換公式可以不用萬(wàn)能置換公式. . dxx4sin1dxxx)cot1(csc22 xdxxxdx222csccotcsc )(cot xd .cot31cot3Cxx 結(jié)論 比較以上三種解法比較以上三種解法, , 便知萬(wàn)能置換不一定是便知萬(wàn)能置換不一定是最佳方法最佳方法, , 故三角有理式的計(jì)算中先考慮其故三角有理式的計(jì)算中先考慮其它手段它手段, , 不得已才用萬(wàn)能置換不得已才用萬(wàn)能置換. .預(yù)科部：melin

13、da例9 求求 dxxxxx cos2sincossin解)cos2(sin)cos2(sincossinxxbxxaxx xbaxbaxxcos)2(sin)2(cossin 設(shè)設(shè)即即 1212baba 5351ba預(yù)科部：melindadxxxxx cos2sincossindxxxxx )cos2sinsin2cos(5351x51 53 xxxxdcos2sin)cos2(sinx51 Cxx cos2sinln53 預(yù)科部：melinda例10 求求 dxxx 22cos5sin1xutan uxarctan ，解 令令 ,則則 duudx211 ,1sin222uux ,11cos

14、22ux 于是于是 52ududxxx 22cos5sin1Cu )5arctan(51Cx )5tanarctan(51預(yù)科部：melinda首先討論類型),(nbaxxR ),(necxbaxxR 解決方法作代換去掉根號(hào).例11 求積分求積分 dxxxx11txx 1解 令令,12txx 三、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分預(yù)科部：melinda,112 tx ,1222 ttdtdx dxxxx11 dttttt 222121 1222tdttdtt 11122Cttt 11ln2.11ln122Cxxxxx 預(yù)科部：melinda例12 求積分求積分dxx 321123 xt解 令令,32dxdtt

15、 dxx 3211dtttdttt 11131322Cttt )1ln2(32Cxxx )12ln(323)2(233332預(yù)科部：melinda例13 求求.11dxex 令令dxex 11dtt 122dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex 解xet 1, 12 tex,122dtttdx ,1ln2 tx預(yù)科部：melinda接著討論形如接著討論形如 的積分的積分. .dxcbxaxxR),(2 例14 求求 232)102(xxdxxxtan31 txx22sec9102 232)102(xxdx解 2329)1(xdx則則 ,令令 ,tdtdx2sec3 預(yù)科部：m

16、elinda Cttdtdtttsin91cos91sec27sec332 232)102(xxdxCxxx 102912 對(duì)于某些含有二次根式的不定積分，還可以用對(duì)于某些含有二次根式的不定積分，還可以用“倒代倒代換換”的方法來(lái)做的方法來(lái)做. .預(yù)科部：melinda例15 求求 221xxdxtx1 解 設(shè)設(shè) ,，dttdx21 221xxdxdtttdtttt 1)1(112222當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,有有0 x預(yù)科部：melinda 221xxdxdttt 12)1(112122 tdtCxxCt 2211當(dāng)當(dāng) 時(shí)也有同樣結(jié)果時(shí)也有同樣結(jié)果.0 x預(yù)科部：melinda當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式 時(shí)，可采用令時(shí)，可采用令 （其中（其中 為各根指數(shù)的為各根指數(shù)的最小公最小公倍數(shù)倍數(shù)） lkxx,ntx n例16 求求.)1(13dxxx 解令令6tx ,65dttdx dxxx )1(13 dtttt)1(6235 dttt2216預(yù)科部：melinda dttt221116 dtt21116Ctt arctan 6.arctan 666Cxx 預(yù)科部：melinda 例17