第二章開放式光腔和高斯光束2.1

1、激光原理與激光器件（2）Laser Principles and DevicesSchool of Physics, Shenzhen universityLong 第二章 開放式光腔和高斯光束The basic principle of lasers 1.1、光腔理論的一般性問題 1.2、共軸球面腔的穩(wěn)定性條件 1.3、開腔模式的物理概念和衍射理論分析方法 1.4、平行平面腔模的迭代解法 1.5、一般穩(wěn)定球面腔的模式特征 1.6、高斯光束的基本性質及特征參數 1.7、高斯光束q參數的變換規(guī)律 1.8、高斯光束的聚焦和準直 1.9、高斯光束的自再現(xiàn)變換與穩(wěn)定球面腔光腔理論的一般性問題光腔理論的

2、一般性問題一、光腔（一、光腔（optical cavity）的構成和分類的構成和分類最簡單的光學諧振腔是在激活介質兩端恰當地放置兩個鍍有高反射率的反射鏡構成。平行平面腔（法布里平行平面腔（法布里-泊羅干涉儀，泊羅干涉儀，F(xiàn)-P腔）最早提出腔）最早提出激勵能源激勵能源 全反射鏡全反射鏡部分反射鏡部分反射鏡激光激光常用的基本概念：常用的基本概念： 光軸光軸：光學諧振腔中間與鏡面光學諧振腔中間與鏡面垂直垂直的軸線的軸線 孔徑孔徑：光學諧振腔中起著限制光束大小、形狀的元光學諧振腔中起著限制光束大小、形狀的元件，大多數情況下，孔徑是激活物質的兩個端面，件，大多數情況下，孔徑是激活物質的兩個端面，但一些激

3、光器中會另外放置元件以限制光束為理想但一些激光器中會另外放置元件以限制光束為理想的形狀。的形狀。光學諧振腔光學諧振腔（resonator）的種類的種類l按諧振腔的開按諧振腔的開放程度放程度非穩(wěn)定腔非穩(wěn)定腔氣體波導腔氣體波導腔 開腔開腔閉腔閉腔穩(wěn)定腔穩(wěn)定腔臨界腔臨界腔 l按反射鏡形狀按反射鏡形狀：球面腔與非球面腔，端面反射腔與：球面腔與非球面腔，端面反射腔與分分 布反饋腔布反饋腔l按反射鏡的多少按反射鏡的多少：兩鏡腔與多鏡腔，簡單腔與復合：兩鏡腔與多鏡腔，簡單腔與復合腔腔 開腔由兩塊具有公共軸線的球面由兩塊具有公共軸線的球面鏡構成的諧振腔。鏡構成的諧振腔。從理論上從理論上分析這些腔時，通常認為側

4、分析這些腔時，通常認為側面面沒有光學邊界沒有光學邊界，因此將這，因此將這類諧振腔稱為開放式光學諧類諧振腔稱為開放式光學諧振腔，簡稱開腔振腔，簡稱開腔閉腔固體激光器的工作物質通常具有固體激光器的工作物質通常具有比較高的折射率，因此在側壁上比較高的折射率，因此在側壁上將發(fā)生大量的全反射。將發(fā)生大量的全反射。如果腔的如果腔的反射鏡緊貼激光棒的兩端，則在反射鏡緊貼激光棒的兩端，則在理論上分析這類腔時，應作為介理論上分析這類腔時，應作為介質腔來處理質腔來處理。半導體激光器是一。半導體激光器是一種真正的介質波導腔。這類光學種真正的介質波導腔。這類光學諧振腔稱為閉腔諧振腔稱為閉腔 。氣體波導腔 （半封閉腔）

5、 另一類光腔為氣體波導激光諧振腔，其典型結另一類光腔為氣體波導激光諧振腔，其典型結構是一段構是一段空心介質波導管兩端適當位置放置反空心介質波導管兩端適當位置放置反射鏡射鏡。這樣，在空心介質波導管內，場服從波。這樣，在空心介質波導管內，場服從波導中的傳播規(guī)律，而在波導管與腔鏡之間的空導中的傳播規(guī)律，而在波導管與腔鏡之間的空間中，場按與開腔中類似的規(guī)律傳播。間中，場按與開腔中類似的規(guī)律傳播。由兩個以上的由兩個以上的反射鏡構成反射鏡構成一般球面腔一般球面腔RL2RLmode volume V 簡單的激光諧振腔簡單的激光諧振腔HRSP1P2OCAOMpump beamlaser rod實際的復雜激光諧

6、振腔實際的復雜激光諧振腔二、模的概念腔與模(Laser Modes)的一般聯(lián)系在在具有一定邊界條件的腔內具有一定邊界條件的腔內，電磁場只能存在于，電磁場只能存在于一系列分立的本征態(tài)之中，場的每種本征態(tài)將具一系列分立的本征態(tài)之中，場的每種本征態(tài)將具有一定的有一定的振蕩頻率和空間分布振蕩頻率和空間分布。 光學諧振腔的模式光學諧振腔的模式(或稱波型或稱波型): 諧振腔內可諧振腔內可能存在的電磁場本征態(tài)。能存在的電磁場本征態(tài)。 從光子的觀點看，激光模式就是腔內可能區(qū)分從光子的觀點看，激光模式就是腔內可能區(qū)分的光子狀態(tài)。的光子狀態(tài)。光學諧振腔的模式分為：縱模和橫模光學諧振腔的模式分為：縱模和橫模模式與腔

7、的結構之間具有依賴關系：模式與腔的結構之間具有依賴關系：給定了腔的具體給定了腔的具體結構，則其中振蕩模的特征就隨之確定。結構，則其中振蕩模的特征就隨之確定。 駐波條件駐波條件平行平面腔中平面平行平面腔中平面波的往返傳播波的往返傳播在腔內要形成穩(wěn)定的振在腔內要形成穩(wěn)定的振蕩，要求光波要因干涉蕩，要求光波要因干涉而得到加強。而得到加強。相長干涉條件：相長干涉條件：2220qL考查具有平行平面鏡的考查具有平行平面鏡的FabryFabry-Perot -Perot 諧振腔諧振腔光腔的駐波光腔的駐波條件條件: :2qqL諧振頻率諧振頻率: :Lcqq2光腔中的駐波光腔中的駐波qq0 激光的縱模(軸向模)

8、：由整數q所表征的腔內縱向穩(wěn)定場分布 。整數q稱為縱模的序數，駐波系統(tǒng)在腔的軸線上零場強度的數目 Lcqq2q q階縱模頻率可以表達為：階縱模頻率可以表達為：基縱模的頻率可以表達為：基縱模的頻率可以表達為：Lc21縱?？v模( (Longitudinal modes，縱向的穩(wěn)定場分布) )q=4q=3q=2q=1諧振腔內諧振腔內q q階縱模的頻率為基縱模頻率的整數倍階縱模的頻率為基縱模頻率的整數倍(q(q倍）倍）u激光縱模分布示意圖激光縱模分布示意圖 u腔的縱模在頻率尺度上是等距離排列的腔的縱模在頻率尺度上是等距離排列的 激光器諧振腔內可能存在的縱模示意圖激光器諧振腔內可能存在的縱模示意圖縱模的

9、頻率間隔：縱模的頻率間隔：Lcqqq21qdq+1q-1Lqccqq202qLnL模式的空間分布模式的空間分布（Spatial profile of modes）諧振諧振 （Resonances）qqqqmdm+1m-1qqq激光模式激光模式（Laser Modes）激光的頻率通常被稱為“縱模”由光學諧振腔的諧振條件決定的諧振頻率有無數個，但只有落在原子（或分子、離子）的熒光譜線寬度內，并滿足閾值條件的那些頻率才能形成激光。（Which modes lasing depends on the gain profile.）u形成激光振蕩的條件：形成激光振蕩的條件：1. 滿足諧振條件滿足諧振條件

10、Lcqq2G2. 滿足閾值條件滿足閾值條件3. 落在工作物質原子熒光線寬范圍內的頻率成分落在工作物質原子熒光線寬范圍內的頻率成分 工作原子自發(fā)輻射的工作原子自發(fā)輻射的熒熒光線寬光線寬越大，可能出現(xiàn)越大，可能出現(xiàn)的縱模數越多。的縱模數越多。 激光器激光器腔長腔長越大，相鄰越大，相鄰縱模的頻率間隔越小，縱模的頻率間隔越小，同樣的熒光譜線線寬內同樣的熒光譜線線寬內可以容納的縱模數越多?？梢匀菁{的縱模數越多。u激光器中出現(xiàn)的縱模數激光器中出現(xiàn)的縱模數腔內電磁場在垂直于其傳播方向的橫向X-Y面內也存在穩(wěn)定的場分布，通常稱為橫模。也叫TEM 模（Transverse Electro-magnetic mo

11、des）mnqTEM橫模橫模( (Transverse modes，橫向X-Y面內的穩(wěn)定場分布)m,nm,n 為橫模的序數為橫模的序數 ，基?；? (橫向單模橫向單模) )：m=n=0, 其它的橫模稱為高階其它的橫模稱為高階橫模橫?；；８唠A橫模高階橫模軸對稱分布軸對稱分布旋轉對稱分布旋轉對稱分布節(jié)數：振幅為零的位置節(jié)數：振幅為零的位置對于方形鏡，對于方形鏡，m m表示表示X X方向的節(jié)線數，方向的節(jié)線數， n n表示表示Y Y方方向的節(jié)線數；向的節(jié)線數； 對于圓形鏡，對于圓形鏡， p p 表示徑向節(jié)線數，即暗環(huán)數，表示徑向節(jié)線數，即暗環(huán)數，l l表示角向節(jié)線數，即暗直徑數表示角向節(jié)線數，

12、即暗直徑數n方形反射鏡的橫模圖像方形反射鏡的橫模圖像（第二章）(c) TEM02(d) TEM03(a) TEM00(b) TEM10n球形反射鏡的橫模圖像球形反射鏡的橫模圖像u橫模電場分布及強度示意圖橫模電場分布及強度示意圖三、光腔的損耗三、光腔的損耗包括包括選擇損耗選擇損耗3 腔鏡反射不完全引起的損耗 2 衍射損耗1 1 幾何偏折損耗4 穩(wěn)定腔材料中的非激活吸收、散射、腔內插入物非選擇損非選擇損耗耗 損耗的大小是評價諧振腔的一個重要指標，在激損耗的大小是評價諧振腔的一個重要指標，在激光振蕩中，光腔的損耗決定了振蕩的閾值和激光光振蕩中，光腔的損耗決定了振蕩的閾值和激光的輸出能量，也是腔模理論

13、的重要研究課題的輸出能量，也是腔模理論的重要研究課題（1）幾何損耗：幾何損耗： 光線在腔內往返傳播時，可能從腔的側面偏折出光線在腔內往返傳播時，可能從腔的側面偏折出 去而引起損耗。去而引起損耗。 決定其大小的因素：腔的類型和幾何尺寸；決定其大小的因素：腔的類型和幾何尺寸； 橫模的高低階次橫模的高低階次 （2）衍射損耗衍射損耗： 腔鏡邊緣、插入光學元件的邊緣、孔徑及光闌腔鏡邊緣、插入光學元件的邊緣、孔徑及光闌 的衍射效應產生的損耗。的衍射效應產生的損耗。 決定其大小的因素：腔的菲涅耳數有關、腔的幾何參決定其大小的因素：腔的菲涅耳數有關、腔的幾何參 數有關、橫模的階數有關。數有關、橫模的階數有關。

14、(模的模的 階次越高，衍射損耗越大，基模階次越高，衍射損耗越大，基模 的衍射損耗最小。的衍射損耗最小。) （3）腔鏡不完全反射引起的損耗腔鏡不完全反射引起的損耗 包括反射鏡的吸收、散射以及鏡的透射損耗。包括反射鏡的吸收、散射以及鏡的透射損耗。 鏡的透射損耗與輸出鏡的透射率鏡的透射損耗與輸出鏡的透射率T有關。有關。 （4）材料中非激活吸收、散射，腔內插入物引起材料中非激活吸收、散射，腔內插入物引起的損耗的損耗。 激光通過腔內光學元件和反射鏡發(fā)生非激活吸激光通過腔內光學元件和反射鏡發(fā)生非激活吸收、散射引起的損耗收、散射引起的損耗引入平均單程損耗因子定義定義1： d201 eII10ln21IId由

15、由定義定義2： 0102III d321dddddii腔內總損耗因子：腔內總損耗因子： 1、光子在腔內的平均壽命、光子在腔內的平均壽命 Rt時刻腔內光強為：時刻腔內光強為： RteItI0cLRd時間常數：時間常數： 當當t= R時，時， eItI0經過經過 R時間，腔內光腔衰減為初始值的時間，腔內光腔衰減為初始值的1/e R越小，腔內損耗越大，光腔衰減越快越小，腔內損耗越大，光腔衰減越快定義：腔內光強衰減為初始值的定義：腔內光強衰減為初始值的1/e所需要的時間所需要的時間2 2、無源諧振腔的、無源諧振腔的QQ值值定義：定義：PPQ2cLQRd2腔內損耗越小，腔內損耗越小，Q值越高值越高單位時

16、間損耗的能量腔內儲藏的能量2Q3、損耗舉例、損耗舉例（1）、由鏡反射不完全所引起的損耗）、由鏡反射不完全所引起的損耗（2）、腔鏡傾斜時的幾何損耗）、腔鏡傾斜時的幾何損耗（3）、衍射損耗）、衍射損耗 （ 菲涅爾數菲涅爾數N）共軸球面腔的穩(wěn)定性條件共軸球面腔的穩(wěn)定性條件“共軸球面共軸球面”將兩個反射鏡的球心連線作為光軸L1O2O1R2R1M2M三個重要參數：兩個球面反射鏡 的曲率半徑R1、R2；腔長L平行平面腔平行平面腔共焦腔共焦腔共心腔共心腔平凹腔平凹腔21RRLRR21LRR2121RLR，* * 常見的諧振腔形式常見的諧振腔形式Laser ResonatorsMirror curvature

17、s play a big role in lasers.一、腔內光線往返傳播的矩陣表示一、腔內光線往返傳播的矩陣表示一條光線可以用兩個坐標(r,)表示：光軸 （Optical axis）光線（optical ray）r r光線離軸位置光線與軸線的夾角 用一個列矩陣 描述任一光線的坐標（光線矢量）rr1, 1L = 0r2 2 L光線在軸上方，光線在軸上方，r為為正，光線初射方向正，光線初射方向在腔軸線上方在腔軸線上方 為正，為正，反之為負。反之為負。112112101xLrrr1, 1L = 0r2 2 L由幾何關系：由幾何關系：上述方程可以表示為下列矩陣形式：上述方程可以表示為下列矩陣形式：

18、光線的傳輸可以用變換矩陣描述設光線從設光線從L=0面上面上發(fā)出，初始坐標發(fā)出，初始坐標為為 ，到達，到達L面面時坐標為時坐標為11r22r111122101rTrLrL101LTLr1, 1L = 0r2 2 LTL表示光線在自由空間中行進表示光線在自由空間中行進距離距離L L 時所引起的坐標變換，時所引起的坐標變換，稱為稱為變換矩陣。變換矩陣。在球面上發(fā)射反射時，根據球面鏡對傍軸光線的反射規(guī)律有：iiiirRrr20100iiRiirTrRr12010011011201fRTL變換矩陣為：ri ir0 0r5 5R 0 i 將上式寫成矩陣形式：將上式寫成矩陣形式：也稱為球面鏡的也稱為球面鏡的

19、反射矩陣反射矩陣經過薄透鏡的光線經過薄透鏡的光線 （Rays at a lens）rout = rinout = (1/f) rin + inrin, inz = zinrout outz = zoutf如果透鏡很薄，則只有光線的傾角發(fā)生變化，如果透鏡很薄，則只有光線的傾角發(fā)生變化，將上式寫成矩陣形式：將上式寫成矩陣形式：Rewriting this expression in matrix notation:ininoutoutrfr1101r1 1r1 1r2 2r3 3r4 4r5 5LM1M2光線在曲率半徑為R3的鏡M2上反射時，有222223321201rTrRrRr1 1r1 1r

20、2 2r3 3r4 4r5 5LM1M2光線從M2行進到M1鏡面時，有333344101rTrLrLr1 1r1 1r2 2r3 3r4 4r5 5LM1M2光線又在M1鏡面上發(fā)生反射時，有444415511201rTrRrR光線在腔內完成一次往返傳播時，其總的坐標變換為：111111215510112011011201rTrDCBArLRLRr其中T為傍軸光線在光腔內往返一次的總變換矩陣，稱為往返矩陣r1 1r1 1r2 2r3 3r4 4r5 5LM1M2往返矩陣T ：LRLRTTTTLRLRDCBA返矩陣T 中，矩陣元A、B、C、D分別為：2111

21、21222121221221221RLRLRLDRLRRCRLLBRLA往返矩陣往返矩陣T與光線的初始坐標參數與光線的初始坐標參數r1和和 無關，因而它可以無關，因而它可以描述任意近軸光線在腔內往返傳播的行為描述任意近軸光線在腔內往返傳播的行為1光線在腔內經n次往返時其參數的變換關系是：111111rDCBArTrTTTTrnnnnnTnnn 個1111nnnnnnDCBrArn次往返變換矩陣Tn的矩陣元An、Bn、Cn、Dn分別為（利用sylvester定理）：1sinsinsinsin1sinsinsin1nnDnCnBnnADCBATnnnnn其中：DA21arccos對任何光學元件，可

22、以定義2x2 “光線矩陣.該元件對光線的作用由光線矩陣乘以光線矢量決定光線矩陣可光線矩陣可以描述簡單以描述簡單的和復雜的的和復雜的光學系統(tǒng)光學系統(tǒng)這種矩陣通常稱為“ABCD 矩陣.光學系統(tǒng)光學系統(tǒng) 2x2 光線矩陣光線矩陣rin, inrout, outoutoutrABCDininrininoutoutrDCBAr經過多個光學元件ininroutoutr注意矩陣下標的順序與實際傳輸的順序相反注意矩陣下標的順序與實際傳輸的順序相反T1T3T2ininoutoutrTTTr321u一些光學元件的傳播矩陣一些光學元件的傳播矩陣距離為距離為L的的 自由空間自由空間 n1界面折射（折界面折射（折射率分別為射率分別為n1，n2）折射率折射率n、長、長L均勻介質均勻介質薄透鏡薄透鏡 （焦距（焦距f）球面折射球面折射球面反射鏡球面反射鏡（曲率半徑（曲率半徑R）101L21001nn101nL1101f2121201nnRnnn1201R 光線在腔內經過多次往返后，其位置仍“緊靠”光軸，不會橫向逸出腔外，則該光腔是穩(wěn)定的。二、二、共軸球面