線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

1、Ch.2 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型模型2.6 線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述q 隨著數(shù)字計算機(jī)在系統(tǒng)控制中的廣泛應(yīng)用,離散時間系統(tǒng)(簡稱為離散系統(tǒng))日益顯示出其重要性。 和連續(xù)系統(tǒng)不同,離散系統(tǒng)中各部分的信號不再都是時間變量t的連續(xù)函數(shù)。在系統(tǒng)的一處或多處,其信號呈現(xiàn)斷續(xù)式的脈沖串或數(shù)碼的形式。事實(shí)上,大量的連續(xù)系統(tǒng)通常被通過采樣化為時間離散化系統(tǒng),再來進(jìn)行分析和控制。 離散系統(tǒng)成為控制理論與控制工程中重要的一類系統(tǒng)模型。線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(1/6)2.6.1 線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述q 在經(jīng)典

2、控制理論中,離散系統(tǒng)通常用差分方程或脈沖傳遞函數(shù)來描述 SISO線性定常離散系統(tǒng)差分方程的一般形式為 y(kn) a1y(kn1) any(k) = b0u(kn) bnu(k) 式中: k表示第k次采樣的kT時刻(T為采樣周期); y(k), u(k)分別為kT時刻的輸出量和輸入量; ai和bi為表征系統(tǒng)特性的常系數(shù).線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(2/6)q 考慮初始條件為零時的變換關(guān)系nnnnnnazazbzbzbzuzyzG.)()()(11110 對上述差分方程模型兩端取z變換并加以整理可得脈沖傳遞函數(shù)(z域傳遞函數(shù))q 上述描述的離散系統(tǒng)輸入輸出差分方程及傳遞

3、函數(shù), 分別與連續(xù)系統(tǒng)的輸入輸出微分方程和傳遞函數(shù)在形式上相同)()(),()(zYzikyzYkyiZZ線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(3/6)q 為進(jìn)行離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析, 需引入離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型 在狀態(tài)空間法中, 采用以下的離散狀態(tài)方程和離散輸出方程所組成的線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型對離散系統(tǒng)進(jìn)行描述, 即其中x(kT), u(kT)和和y(kT)分別分別為n維的狀態(tài)向量, r維的輸入向量和m維的輸出向量; G(T), H(T), C(T)和和D(T)分別分別為nn維的系統(tǒng)矩陣, nr維的輸入矩陣, mn維的輸出矩陣和mr維的直聯(lián)矩陣(1) )( ) (

4、)( ) ()()( ) ()( ) ()kTG TkTH TkTkTC TkTD TkTxxuyxu線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(4/6)q 離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的意義: 狀態(tài)方程狀態(tài)方程為一階差分方程組,它表示了在(k+1)T采樣時刻的狀態(tài)x(k+1)T)與在kT采樣時刻的狀態(tài)x(kT)和輸入u(kT)之間的關(guān)系 描述的是系統(tǒng)動態(tài)特性,其決定系統(tǒng)狀態(tài)變量的動態(tài)變化 輸出方程輸出方程為代數(shù)方程組,它表示了在kT采樣時刻,系統(tǒng)輸出y(kT)與狀態(tài)x(kT)和輸入u(kT)之間的關(guān)系 描述的是輸出與系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變量的關(guān)系 線性離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型中的各矩陣的意義與連續(xù)系

5、統(tǒng)一致線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(5/6)q 為書寫簡便,可將離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型中的T省去,于是有(1)( )( )( )( )( )kGkHkkCkDkxxuyxuq與連續(xù)系統(tǒng)相類似,線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示 單位 延遲 u(k) x(k+1) H G C D x(k) y(k) + + + + 線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的結(jié)構(gòu)圖系統(tǒng)類型線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述(6/6)q 從線性連續(xù)系統(tǒng)和線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型和相應(yīng)的結(jié)構(gòu)圖,以及傳遞函數(shù)模型可以看出,線性連續(xù)系統(tǒng)和線性離散系統(tǒng)在模型結(jié)構(gòu)上極為相似,這種相似

6、性可以總結(jié)如下表所示:線性連續(xù)系統(tǒng)線性離散系統(tǒng)狀態(tài)方程微分方程前向差分方程結(jié)構(gòu)圖中算子積分單位延遲(反向差分)動態(tài)模型中算子拉氏變換s算子z變換z算子由離散系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型由離散系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型(1/3)2.6.2 由離散系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間由離散系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型模型 q 由于線性離散系統(tǒng)與線性連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型,傳遞函數(shù)以及高階微分方程和差分方程之間具有結(jié)構(gòu)形式上的一致性,故建立線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型時可借助于在線性定常連續(xù)系統(tǒng)中運(yùn)用的方法. 在具體運(yùn)用時,可將 微分差分 拉氏變換算子Z變換算子 相對應(yīng),直接利用在2

7、.3節(jié)由連續(xù)系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型的方法, 來建立線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型q 例 將以下系統(tǒng)輸入輸出方程變換為狀態(tài)空間模型: y(k2) 5y(k1) 6y(k) u(k2) 2u(k1)+u(k)q 解解 1. 根據(jù)2.3.1節(jié)中方法求解. 對本例 a1 5 a2 6 b0 1 b1 2 b2 1故由2.3.1中的公式可計算出: 0 b0 1 1 b1 a10 3 2 b2 a11 a20 10從而可寫出如下線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型: )()(01)()(103)(5610) 1(kkkkkkuxyuxx由離散系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型由離散系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)

8、空間模型(2/3)q 解法解法2. 根據(jù)2.3.2節(jié)中方法求解. 對本例,有將G(z)展開成部分分式之和, 則有從而可得如下線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型:655316512)(222zzzzzzzzG)(314)(21)()(34211)(zUzzUzzUzYzzzG)()(41)()(11)(3002) 1(kkkkkkuxyuxx由離散系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型由離散系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系建立狀態(tài)空間模型(3/3)由離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型求傳遞函數(shù)陣由離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型求傳遞函數(shù)陣 (1/4)2.6.3 由離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型求傳遞函數(shù)陣由離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型求傳遞函數(shù)陣q 與線

9、性定常連續(xù)系統(tǒng)相類似,對MIMO線性定常離散系統(tǒng),也可引入描述輸入輸出動態(tài)關(guān)系的z域中的傳遞函數(shù)陣如下:其中G(z)中每個元素為標(biāo)量傳遞函數(shù).)(.)()(.)(.)()()(.)()()(212222111211zGzGzGzGzGzGzGzGzGzGmrmmrr由離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型求傳遞函數(shù)陣由離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型求傳遞函數(shù)陣 (2/4)q 下面討論如下線性定常離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型所對應(yīng)的傳遞函數(shù)陣:q 令狀態(tài)變量向量x(k)的初始值為0,則對狀態(tài)方程兩邊求z變換可得 zX(z) GX(z) HU(z) 其中X(z)和U(z)分別為x(k)和u(k)的z變換. 由上式有 X(z)

10、(zIG)1HU(z)因此有 Y(z) C(zIG)1H+DU(z)其中Y(z)為y(k)的z變換. )()()()()() 1(kDkCkkHkGkuxyuxx由離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型求傳遞函數(shù)陣由離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型求傳遞函數(shù)陣 (3/4)()(10)()(1 . 01 . 0)(109. 010) 1(kkkkkkuxyuxxq 故,傳遞函數(shù)陣為 G(z) C(zIG)1H+Dq 可以看出, 離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型對應(yīng)的傳遞函數(shù)陣與連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的傳遞函數(shù)陣形式與結(jié)構(gòu)完全一致q 例 求如下系統(tǒng)狀態(tài)空間模型對應(yīng)的z域傳遞函數(shù)G(z)。q 解 由狀態(tài)空間模型對應(yīng)的傳遞函數(shù)陣表達(dá)式,有由離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型求傳遞函數(shù)陣由離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型求傳遞函數(shù)陣 (4/4)09. 0099. 01 . 109. 0009. 01 . 0111 . 01 . 009. 01109. 0 1011 . 01 . 0109. 01 10)()(222211zzzzz