工程力學第五章

1、第第5章章 軸向拉伸與壓縮軸向拉伸與壓縮5.1 材料力學基礎5.1.1 材料力學的任務材料力學的任務w機械及工程結構中的基本組成部分，統(tǒng)稱為機械及工程結構中的基本組成部分，統(tǒng)稱為構件。構件。w為了保證構件正常工作，每一構件都要有足為了保證構件正常工作，每一構件都要有足夠的承受載荷作用的能力，簡稱為承載能力。夠的承受載荷作用的能力，簡稱為承載能力。w構件的承載能力，通常由下列三個方面來衡構件的承載能力，通常由下列三個方面來衡量：量：w(1)強度。構件抵抗破壞的能力叫作強度。強度。構件抵抗破壞的能力叫作強度。w(2)剛度。構件抵抗變形的能力叫作剛度。剛度。構件抵抗變形的能力叫作剛度。w(3)穩(wěn)定性

2、。構件保持原有平衡狀態(tài)的能力叫穩(wěn)定性。構件保持原有平衡狀態(tài)的能力叫 w 作穩(wěn)定性。作穩(wěn)定性。w為了滿足構件在強度、剛度、穩(wěn)定性三個方為了滿足構件在強度、剛度、穩(wěn)定性三個方面的要求，達到安全可靠的目的，必須為構面的要求，達到安全可靠的目的，必須為構件選擇適當的材料、合理的截面形狀和尺寸，件選擇適當的材料、合理的截面形狀和尺寸，同時還必須盡可能地降低材料的消耗量，以同時還必須盡可能地降低材料的消耗量，以符合經濟的原則。顯然，過分地強調安全，符合經濟的原則。顯然，過分地強調安全，將會導致材料用量的無謂增加，或者不適當將會導致材料用量的無謂增加，或者不適當地使用優(yōu)質材料，造成不經濟；反之，如果地使用優(yōu)

3、質材料，造成不經濟；反之，如果片面地追求經濟，就會降低構件的安全可靠片面地追求經濟，就會降低構件的安全可靠性。性。w材料力學的任務是：材料力學的任務是：w研究構件的強度、剛度和穩(wěn)定性，為構件選研究構件的強度、剛度和穩(wěn)定性，為構件選擇適當的材料、確定合理的截面形狀和尺寸擇適當的材料、確定合理的截面形狀和尺寸提供必要的計算方法和實驗技術，以達到既提供必要的計算方法和實驗技術，以達到既安全又經濟的目的。安全又經濟的目的。5.1.2 變形固體及其基本假設5.1.2.1 變形固體變形固體5.1.2.2 變形固體的基本假設變形固體的基本假設 (1)連續(xù)均勻假設。連續(xù)均勻假設。 (2)各向同性假設。各向同性

4、假設。w材料力學只限于研究物體小變形和彈性變形。材料力學只限于研究物體小變形和彈性變形。所謂小變形，是指構件在外力作用下所產生所謂小變形，是指構件在外力作用下所產生的變形與構件本身的尺寸相比一般都是非常的變形與構件本身的尺寸相比一般都是非常微小，因此，在研究構件的強度和剛度等問微小，因此，在研究構件的強度和剛度等問題時，均按構件原來的尺寸和形狀進行計算，題時，均按構件原來的尺寸和形狀進行計算，這便是小變形的理論。小變形理論在材料力這便是小變形的理論。小變形理論在材料力學的計算和分析中有著重要意義。彈性變形學的計算和分析中有著重要意義。彈性變形是指引起構件變形的外載荷撤除以后能夠完是指引起構件變

5、形的外載荷撤除以后能夠完全消失的形變。工程中構件的變形，一般都全消失的形變。工程中構件的變形，一般都屬于彈性范圍以內的小變形。屬于彈性范圍以內的小變形。 w總之，材料力學是將構件的材料看作均勻、總之，材料力學是將構件的材料看作均勻、連續(xù)、各向同性的變形固體，而且主要是按連續(xù)、各向同性的變形固體，而且主要是按小變形理論在材料彈性范圍以內進行研究。小變形理論在材料彈性范圍以內進行研究。5.1.3 桿件變形的基本形式w所謂桿件，是指長度尺寸遠大于其他兩個方所謂桿件，是指長度尺寸遠大于其他兩個方向尺寸的構件。向尺寸的構件。w桿件的幾何特征可用軸線桿件的幾何特征可用軸線(桿件橫截面形心的桿件橫截面形心的

6、連線連線)和垂直于軸線的橫截面來表示。軸線為和垂直于軸線的橫截面來表示。軸線為直線的桿件稱直桿；橫截面的大小和形狀完直線的桿件稱直桿；橫截面的大小和形狀完全相同的桿件稱為等截面桿。材料力學研究全相同的桿件稱為等截面桿。材料力學研究的對象主要是等截面直桿，簡稱等直桿。的對象主要是等截面直桿，簡稱等直桿。w桿件在外力作用下發(fā)生的基本變形有下列四種：桿件在外力作用下發(fā)生的基本變形有下列四種：w(1)拉伸與壓縮。這種變形的特點是桿件在軸線拉伸與壓縮。這種變形的特點是桿件在軸線方向發(fā)生伸長或縮短。方向發(fā)生伸長或縮短。w(2)剪切。這種變形的特點是桿件的橫截面間發(fā)剪切。這種變形的特點是桿件的橫截面間發(fā)生相

7、對錯動。生相對錯動。w(3)扭轉。這種變形的特點是桿件的橫截面繞其扭轉。這種變形的特點是桿件的橫截面繞其軸線發(fā)生相對轉動。軸線發(fā)生相對轉動。w(4)彎曲。這種變形的特點是原為直線的軸線變彎曲。這種變形的特點是原為直線的軸線變成曲線。成曲線。5.2 軸向拉伸和壓縮5.2.1 拉伸和壓縮的概念拉伸和壓縮的概念w拉伸和壓縮是指直桿在兩端受到沿軸線作用拉伸和壓縮是指直桿在兩端受到沿軸線作用的拉力或壓力而產生的變形。的拉力或壓力而產生的變形。w桿件的受力特點是：作用在桿端各外力的合桿件的受力特點是：作用在桿端各外力的合力作用線與桿件軸線重合力作用線與桿件軸線重合w變形特點是：桿件沿軸線方向伸長或縮短變形

8、特點是：桿件沿軸線方向伸長或縮短5.2.2 拉壓桿的內力5.2.2.1 內力的概念內力的概念w材料力學中所說的內力，則是指構件受到外材料力學中所說的內力，則是指構件受到外力作用時所引起的構件內部各質點之間相互力作用時所引起的構件內部各質點之間相互作用力的改變量，稱為作用力的改變量，稱為“附加內力附加內力”。材料。材料力學所研究的這種附加內力，以后均簡稱為力學所研究的這種附加內力，以后均簡稱為內力。內力。5.2.2.2 截面法截面法w截面法是材料力學用以顯示和計算桿件內力截面法是材料力學用以顯示和計算桿件內力的基本方法。的基本方法。w假想地用一個截面把桿件截為兩部分，取其假想地用一個截面把桿件截

9、為兩部分，取其中一部分作為研究對象，建立平衡方程，以中一部分作為研究對象，建立平衡方程，以確定截面上內力的方法，稱為截面法。確定截面上內力的方法，稱為截面法。截面法求解桿件內力的步驟可以歸納如下：w(1)沿所研究截面假想地將桿件截為兩部分，沿所研究截面假想地將桿件截為兩部分，任選其中一部分為研究對象，畫上作用于該任選其中一部分為研究對象，畫上作用于該部分的外力。部分的外力。w(2)畫上截面上的內力，取代另一部分對所研畫上截面上的內力，取代另一部分對所研究部分的作用。究部分的作用。w(3)對研究部分建立靜力平衡方程，解方程，對研究部分建立靜力平衡方程，解方程，確定內力的大小與方向。確定內力的大小

10、與方向。w由于軸向拉伸或壓縮時桿件橫截面由于軸向拉伸或壓縮時桿件橫截面上內力上內力FN與外力與外力F共線，且與桿件軸共線，且與桿件軸線重合，所以這里的內力線重合，所以這里的內力FN稱為軸稱為軸力。軸力的正負號表示桿件不同的力。軸力的正負號表示桿件不同的變形：桿件拉伸時，軸力背離截面，變形：桿件拉伸時，軸力背離截面，取正號；桿件壓縮時，軸力指向截取正號；桿件壓縮時，軸力指向截面，取負號。面，取負號。 直接利用外力計算軸力的規(guī)則直接利用外力計算軸力的規(guī)則：w即桿件承受拉伸即桿件承受拉伸(或壓縮或壓縮)時，桿件內任一截時，桿件內任一截面上的軸力等于截面一側所有外力的代數和，面上的軸力等于截面一側所有

11、外力的代數和，外力背離截面時取正，外力指向截面時取負。外力背離截面時取正，外力指向截面時取負。5.2.3 軸力圖w為了形象地表示軸力沿直桿軸線的變化規(guī)為了形象地表示軸力沿直桿軸線的變化規(guī)律，可用平行于軸線的坐標表示截面位置律，可用平行于軸線的坐標表示截面位置用垂直于軸線的坐標表示橫截面上軸力的用垂直于軸線的坐標表示橫截面上軸力的數值，畫出軸力與截面位置的關系圖線，數值，畫出軸力與截面位置的關系圖線，稱為軸力圖。稱為軸力圖。5.3 軸向拉壓時截面上的應力5.3.1 應力的概念應力的概念w上述用截面法求得的軸力，是截面上分布內上述用截面法求得的軸力，是截面上分布內力的合力，它不能用來判斷構件的強度

12、狀況。力的合力，它不能用來判斷構件的強度狀況。例如，直徑不同的鋼桿受到力的作用例如，直徑不同的鋼桿受到力的作用(如圖如圖5-13所示所示)，當力，當力F增大到一定數值時，由經驗增大到一定數值時，由經驗可知，斷裂必發(fā)生在直徑小的可知，斷裂必發(fā)生在直徑小的AB段。這是由段。這是由于于AB段桿的橫截面面積較小，內力在截面上段桿的橫截面面積較小，內力在截面上分布的密集程度分布的密集程度(簡稱集度簡稱集度)較大造成的。由較大造成的。由此可見，內力的集度是判斷構件強度的一個此可見，內力的集度是判斷構件強度的一個重要物理量。通常將截面上內力的集度稱為重要物理量。通常將截面上內力的集度稱為應力。應力。w應力的

13、單位是帕斯卡應力的單位是帕斯卡(Pascal)(國際單位國際單位)，簡稱帕簡稱帕(Pa)。1Pa=1N/m2。由于帕斯卡這。由于帕斯卡這一單位太小一單位太小,工程中常用兆帕工程中常用兆帕(a)或吉帕或吉帕( Ga)作為應力單位。作為應力單位。1MPa=106Pa=106N/m2；1G a=109 a。5.3.2 拉伸和壓縮時 橫截面上的正應力w方向垂直于橫截面的應力稱為正應力，以方向垂直于橫截面的應力稱為正應力，以 表示，其計算公式為表示，其計算公式為w式中式中 橫截面上的正應力；橫截面上的正應力；wFN橫截面上的軸力；橫截面上的軸力；wA 橫截面面積。橫截面面積。w正應力的符號規(guī)定與軸力相同

14、。拉伸時的正正應力的符號規(guī)定與軸力相同。拉伸時的正應力為正，壓縮時的正應力為負。應力為正，壓縮時的正應力為負。5.3.3 斜截面上的應力分析w由截面法求得斜截面上的軸力，由截面法求得斜截面上的軸力，w依照橫截面上正應力分布的推理方法，可得依照橫截面上正應力分布的推理方法，可得斜截面上應力斜截面上應力 也是均勻分布的，其值為也是均勻分布的，其值為w式中式中 斜截面面積。斜截面面積。w若橫截面面積為若橫截面面積為A，則，則w將后式代入前式，可得將后式代入前式，可得w式中式中 橫截面上的正應力。橫截面上的正應力。w兩個互相垂直截面上的剪應力必同時存在，兩個互相垂直截面上的剪應力必同時存在，且大小相等

15、，符號相反。這一關系稱為剪應且大小相等，符號相反。這一關系稱為剪應力互等雙生定理，簡稱剪應力互等定理。力互等雙生定理，簡稱剪應力互等定理。5.4 拉伸與壓縮時的變形w實驗表明，當外力未超過一定限度時，絕大實驗表明，當外力未超過一定限度時，絕大多數材料在外力撤除后，變形消失，桿件恢多數材料在外力撤除后，變形消失，桿件恢復原狀。材料的這種性質，稱為彈性。外力復原狀。材料的這種性質，稱為彈性。外力撤除后能夠消失的變形，稱為彈性變形；外撤除后能夠消失的變形，稱為彈性變形；外力撤除后不能消失的變形。稱為塑性變形。力撤除后不能消失的變形。稱為塑性變形。w工程構件一般都不允許發(fā)生塑性變形。因此，工程構件一般

16、都不允許發(fā)生塑性變形。因此，材料力學只研究桿件的彈性變形。材料力學只研究桿件的彈性變形。5.4.1 縱向變形與虎克定律w桿件受拉伸與壓縮作用時，長度方向發(fā)生的桿件受拉伸與壓縮作用時，長度方向發(fā)生的尺寸改變稱為縱向變形。尺寸改變稱為縱向變形。w式中式中 絕對變形。拉伸時絕對變形。拉伸時 為正值，為正值， w壓縮時壓縮時 為負值。為負值。 的單位常用毫米的單位常用毫米(mm)。w絕對變形只能反映桿件總的變形量，而不能絕對變形只能反映桿件總的變形量，而不能說明桿件的變形程度。為了說明桿件的變形說明桿件的變形程度。為了說明桿件的變形程度，常用單位長度上的縱向變形即程度，常用單位長度上的縱向變形即 w來

17、度量，這個比值稱為相對變形或線應變，來度量，這個比值稱為相對變形或線應變，以以表示，即表示，即w線應變是無量綱的量，其正負號的意義與絕線應變是無量綱的量，其正負號的意義與絕對變形相同。對變形相同。5.4.2 虎克定律w實驗研究指出：在彈性范圍以內，桿件的絕實驗研究指出：在彈性范圍以內，桿件的絕對變形與所施加的外力及桿件長度成正比，對變形與所施加的外力及桿件長度成正比，而與桿件的橫截面面積成反比，即而與桿件的橫截面面積成反比，即w引入與桿件材料有關的比例系數引入與桿件材料有關的比例系數E，上式可，上式可寫為寫為w由于由于FN=F，上式又可寫為，上式又可寫為w這一比例關系，稱為虎克定律。這一比例關

18、系，稱為虎克定律。w比例系數比例系數E稱為材料的拉壓彈性模數量，它稱為材料的拉壓彈性模數量，它表示材料抵抗拉表示材料抵抗拉(壓壓)變形的能力，彈性模量變形的能力，彈性模量愈大，變形愈小，反之亦然，愈大，變形愈小，反之亦然，E的數值與材的數值與材料有關。料有關。w將將 和和 代入前式得代入前式得w這是虎克定律的又一形式，該式表明，在彈這是虎克定律的又一形式，該式表明，在彈性范圍內，桿件橫截面性范圍內，桿件橫截面 上的正應力與縱向線上的正應力與縱向線應變成正比。應變成正比。5.4.3 橫向變形與泊松比w若桿件變形前的橫向尺寸為若桿件變形前的橫向尺寸為a，拉伸后縮小為，拉伸后縮小為a1，則桿件的橫向

19、變形為，則桿件的橫向變形為w其橫向線應變?yōu)槠錂M向線應變?yōu)閣實驗結果指出，在彈性范圍以內，橫向應變實驗結果指出，在彈性范圍以內，橫向應變與縱向應變之比的絕對值為一常數，若以與縱向應變之比的絕對值為一常數，若以表表示此常數，則示此常數，則w稱為橫向變形系數，或稱泊松比。它是一個稱為橫向變形系數，或稱泊松比。它是一個無量綱的量，其值隨材料而異，由試驗確定。無量綱的量，其值隨材料而異，由試驗確定。因為因為1與與的符號總是相反，故有的符號總是相反，故有w彈性模量和泊松比都是表示材料彈性的重要彈性模量和泊松比都是表示材料彈性的重要物理量。物理量。5.5 材料在軸向拉壓下的力學性能5.5.1 低碳鋼拉伸時材

20、料的力學性能低碳鋼拉伸時材料的力學性能5.5.1.1 比例極限比例極限5.5.1.2 彈性極限彈性極限5.5.1.3 屈服極限屈服極限5.5.1.4 強度極限強度極限5.5.1.5斷后伸長率和斷面收縮率斷后伸長率和斷面收縮率5.5.2 鑄鐵的拉伸試驗w實驗表明，鑄鐵是典型的脆性材料實驗表明，鑄鐵是典型的脆性材料w衡量此類脆性材料強度的唯一指標是強度極衡量此類脆性材料強度的唯一指標是強度極限。限。5.5.3 材料壓縮時的力學性能材料壓縮時的力學性能5.5.3.1 低碳鋼的壓縮試驗低碳鋼的壓縮試驗5.5.3.2 鑄鐵的壓縮試驗鑄鐵的壓縮試驗5.6 拉、壓桿的強度計算拉、壓桿的強度計算5.6.1 許

21、用應力與安全系數許用應力與安全系數w材料喪失正常工作能力時的應力稱為極限應力。材料喪失正常工作能力時的應力稱為極限應力。w對于塑性材料，當應力達到屈服極限時，將產對于塑性材料，當應力達到屈服極限時，將產生顯著的塑性變形，從而喪失正常的工作能力，生顯著的塑性變形，從而喪失正常的工作能力，工程上常以屈服極限作為塑性材料的極限應力。工程上常以屈服極限作為塑性材料的極限應力。w對于脆性材料，在無顯著變形的情況下，應力對于脆性材料，在無顯著變形的情況下，應力達到強度極限時即突然斷裂，因此，工程上常達到強度極限時即突然斷裂，因此，工程上常以強度極限作為脆性材料的極限應力。以強度極限作為脆性材料的極限應力。

22、w為了保證構件安全工作，構件中實際產生的為了保證構件安全工作，構件中實際產生的應力必須低于材料的極限應力，材料允許承應力必須低于材料的極限應力，材料允許承受的最大應力，則稱為許用應力，用符號受的最大應力，則稱為許用應力，用符號表示。極限應力與許用應力的比值稱為安全表示。極限應力與許用應力的比值稱為安全系數，用系數，用n表示。故許用應力可表示為表示。故許用應力可表示為w對于塑性材料，對于塑性材料， ， ，故，故w式中式中ns屈服安全系數。屈服安全系數。w對于脆性材料，對于脆性材料， , ,因此因此w式中式中nb斷裂安全系數。斷裂安全系數。5.6.2 拉、壓桿的強度計算w桿件中最大應力所在的橫截面

23、稱為危險截面。桿件中最大應力所在的橫截面稱為危險截面。為了保證構件具有足夠的強度，必須使危險為了保證構件具有足夠的強度，必須使危險截面的應力不超過材料的許用應力，即截面的應力不超過材料的許用應力，即w式中式中FN危險截面的內力；危險截面的內力；A截面積。截面積。w此式稱為拉伸或壓縮時強度條件公式。此式稱為拉伸或壓縮時強度條件公式。運用強度條件可以解決以下三類問題運用強度條件可以解決以下三類問題：5.6.2.1 強度校核強度校核5.6.2.2 選擇截面選擇截面5.6.2.3 確定許可載荷確定許可載荷5.7 拉、壓桿超靜定問題5.7.1 超靜定問題的概念超靜定問題的概念w在某些情況下，研究對象未知數的數目，多在某些情況下，研究對象未知數的數目，多于靜力學平衡方程的數目，這時，就不能單于靜力學平衡方程的數目，這時，就不能單憑靜力學平衡方程求解未知力了。這種問題憑靜力學平衡方程求解未知力了。這種問題稱超靜定（靜不定）問題。稱超靜定（靜不定）問題。5.7.2 超靜定問題的解法w求解超靜定問題，除了要列出靜力學平衡方求解超靜定問題，除了要列出靜力學平衡方程外，還必須建立補充方程，補充方程的數程外，還