第3節(jié)泰勒公式ppt課件

1、二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式 第三節(jié)一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的應用三、泰勒公式的應用 應用用多項式近似表示函數(shù)理論分析近似計算泰勒 ( Taylor )公式 特點:)(01xp)(0 xf)(0 xf 一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立)(xfxy)(xfy o)()(000 xxxfxf)(1xp以直代曲以直代曲0 x)(1xp)(01xp在微分應用中已知近似公式 :需要解決的問題如何提高精度 ?如何估計誤差 ?xx 的一次多項式1. 求求 n 次近似多項式次近似多項式要求要求:, )(xpn)(0!212xpan , )(0 xf

2、,)(0)(!1xpannnn)(0)(xfn故)(xpn)(0 xf)(00 xxxf!21!1nnnxxxf)(00)(!1n200)(xxxf !21令)(xpn那么)(xpn )(xpnnan!)()(xpnn)(00 xpan, )(0 xf, )()(00 xfxpn)(01xpan, )(0 xf 1a)(202xxa10)(nnxxan2!2 a20)() 1(nnxxann, )()(00 xfxpn)()(,0)(0)(xfxpnnn0annxxaxxaxxa)()()(020201)0(之間與在nx )( )(10nnxxxR )(2) 1( )(0)(xnRnnnn2.

3、 余項估計余項估計)()()(xpxfxRnn令(稱為余項) ,)(0 xRn)(0 xRn0)(0)(xRnn10)()(nnxxxRnnxnR)(1()(011 )(1( )(011nnxnR1022)() 1()( nnxnnR! ) 1()()1(nRnn則有)(0 xRn0)(0 xRn0)(0)(xRnn0 x)01(之間與在xx)102(之間與在x)()()(xpxfxRnn10)()(nnxxxR! ) 1()()1(nRnn)0(之間與在xx,0)()1(xpnn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)()()1()1(xfxRnnn時的某鄰域內(nèi)當在Mxfxn)

4、() 1(0)0(之間與在xx10! ) 1()(nnxxnMxR)()()(00 xxxxoxRnn公式 稱為 的 n 階泰勒公式 .)(xf公式 稱為n 階泰勒公式的拉格朗日余項 .泰勒中值定理泰勒中值定理 :內(nèi)具有的某開區(qū)間在包含若),()(0baxxf1n直到階的導數(shù) ,),(bax時, 有)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR則當)0(之間與在xx公式 稱為n 階泰勒公式的佩亞諾(Peano) 余項 .在不需要余項的精確表達式時 , 泰勒公式可寫為)(xf)(

5、0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0nnxxoxR注意到* 可以證明可以證明: 階的導數(shù)有直到在點nxxf0)( 式成立特例特例:(1) 當 n = 0 時, 泰勒公式變?yōu)?(xf)(0 xf)(0 xxf(2) 當 n = 1 時, 泰勒公式變?yōu)榻o出拉格朗日中值定理)(xf)(0 xf)(00 xxxf20)(!2)(xxf 可見)(xf)(0 xf)(00 xxxf201)(!2)()(xxfxR 誤差)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxx

6、nxf)(!)(00)(fd)0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與在xx)0(之間與在xx稱為麥克勞林（ Maclaurin ）公式 ., ) 10(,00 xx則有)(xf)0(fxf)0( 1) 1(! ) 1()(nnxnxf2!2)0(xf nnxnf!)0()(在泰勒公式中若取)(xf)(0 xf)(00 xxxf10)1()(! ) 1()(nnxxnf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()0(之間與在xx)(xf)0(fxf)0( ,)()1(Mxfn則有誤差估計式1! ) 1()(nnxnMxR2!2)0(xf nnxnf!)0()(若在公式成

7、立的區(qū)間上由此得近似公式二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式二、幾個初等函數(shù)的麥克勞林公式xexf)() 1 (,)()(xkexf),2, 1(1)0()(kfkxe1x!33x!nxn)(xRn!22x其中)(xRn! ) 1( n) 10(1nxxe)sin( xxxfsin)()2()()(xfkxsinx!33x!55x! ) 12(12mxm)(2xRm其中)(2xRm)sin(212mx2k2sin)0()(kfkmk2,012 mk,) 1(1m),2, 1(m1) 1(m) 10(12mx! ) 12(m)cos() 1(xm! )2(2mxmxxfcos)()3(類似可得xcos

8、1!22x!44x)(12xRm其中)(12xRm! )22(m)cos() 1(1xm) 10(m) 1(22mx) 1()1 ()()4(xxxf)()(xfk)1 (x1x2xnx)(xRn其中)(xRn11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnn) 10(kxk)1)(1() 1() 1() 1()0()(kfk),2, 1(k!2 ) 1(! n) 1() 1(n) 1()1ln()()5(xxxf知)1ln(xx22x33xnxn)(xRn其中)(xRn11)1 (1) 1(nnnxxn) 10(1) 1(n類似可得)()(xfkkkxk)1 (! ) 1() 1(1),2,

9、1(k三、泰勒公式的應用三、泰勒公式的應用1. 在近似計算中的應用在近似計算中的應用 誤差1! ) 1()(nnxnMxRM 為)() 1(xfn在包含 0 , x 的某區(qū)間上的上界.需解問題的類型:1) 知 x 和誤差限 , 要求確定項數(shù) n ;2) 已知項數(shù) n 和 x , 計算近似值并估計誤差;3) 已知項數(shù) n 和誤差限 , 確定公式中 x 的適用范圍.)(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()(知例例1. 計算無理數(shù)計算無理數(shù) e 的近似值的近似值 , 使誤差不超過使誤差不超過.106解解:xe! ) 1( nxe1nx令 x = 1 , 得e) 10(! )

10、 1(!1!2111nen) 10(由于, 30ee欲使) 1 (nR!) 1(3n610由計算可知當 n = 9 時上式成立 ,因而e!91!2111718281. 2xe1x!33x!nxn!22x的麥克勞林公式為例例2. 用近似公式用近似公式!21cos2xx計算 cos x 的近似值,使其精確到 0.005 , 試確定 x 的適用范圍.解解: 近似公式的誤差)cos(!4)(43xxxR244x令005. 0244x解得588. 0 x即當588. 0 x時, 由給定的近似公式計算的結(jié)果能準確到 0.005 .2. 利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限例例3. 求求.43443lim2

11、0 xxxx解解:由于x431243 x21)1 (243x 2)(14321x!21) 1(2121243)( x)(2xo用洛必塔法則不方便 !2x用泰勒公式將分子展到項,11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(x3421)1 (243x220 limxx 原式)(2216921xox 329x43)(2216941xox 2x43)(2216941xox 11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1() 10(3. 利用泰勒公式證明不等式利用泰勒公式

12、證明不等式例例4. 證明證明).0(82112xxxx證證:21)1 (1xx21x2) 121(21!21x325)1)(221)(121(21!31xx) 10(3225)1 (161821xxxx)0(82112xxxx內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 泰勒公式泰勒公式其中余項)(0nxxo當00 x時為麥克勞林公式 .)(xf)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn10)1()(! ) 1()()(nnnxxnfxR)0(之間與在xx2. 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式 ( P140 P142 ),xe, )1ln(x,si

13、n x,cosx)1 (x3. 泰勒公式的應用泰勒公式的應用(1) 近似計算(3) 其他應用求極限 , 證明不等式 等.(2) 利用多項式逼近函數(shù) , xsin例如4224642024612! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxo33!xyx!5!353xxxy!7!5!3753xxxxyxysinxy xsin泰勒多項式逼近泰勒多項式逼近12! ) 12() 1(9!917!715!513!311sinnnxxxxxxxn)(2nxoxsin42246420246xysin!9!7!5!39753xxxxxy!11!9!7!5!3119753xxxxxxy泰勒多項式逼近泰勒多項式逼近思考與練習思考與練習 計算.3cos2lim402xxexx)(!2114422xoxxex)(!4!21cos542xoxxx)()!412!21(3cos2442xoxxex127)(lim4441270 xxoxx解解:原式作業(yè)作業(yè) P1434 ; 5 ; 7 ; 8;10