第九章 非線性模型的線性化

1、第九章非線性模型的線性化標準線性模型：因變量與自變量以及參數(shù)均呈線性關(guān)系。非標準線性模型：因變量與自變量不呈線性關(guān)系，但與參數(shù)呈線性關(guān)系非線性模型：因變量與參數(shù)都不呈線性關(guān)系。§5.1非標準線性模型的線性化因變量與自變量不呈線性關(guān)系，但與參數(shù)呈線性關(guān)系。一多項式函數(shù)模型：形如y二卩0+卩iX+卩2X2+吹+U的模型可通過代換s=I，2,，k線性化（標準化）后，得y=z+Bz+Bz+u01122kk二雙曲函數(shù)模型：11形如y二卩+卩+u的模型可通過代換z二線性化，得01xxy=B+Pz+u01三半對數(shù)函數(shù)模型和雙對數(shù)函數(shù)模型：形如Iny=p+px+u或y=p+pInx+u的模型稱為半對

2、數(shù)模型;0101形如lny=p+pInx+u的模型稱為雙對數(shù)模型。可分別采用變換01y*=lny或x*=lnx進行標準化,y*二P+Px+u；y二P+Px*+u；y*二P+Px*+u010101§5.2非線性模型的標準化一非線性模型的變換（間接代換）：對某些非線性模型施以適當?shù)淖儞Q，可化為標準線性模型。研究柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)模型：1柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)模型：Q=ALxKPeu其中Q代表產(chǎn)出，L表示勞動力投入，K表示資本的投入。L和K是生產(chǎn)要素;u是隨機干擾項，A，Q和0是參數(shù)。對于道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)，一般要求滿足“規(guī)模報酬不變”。所謂規(guī)模報酬是指：在一定技術(shù)水平條件下，由生產(chǎn)規(guī)模

3、的變動（要素投入量的變動）引起的產(chǎn)出量變動?！耙?guī)模報酬不變”是所有要素投入量按同比例變動，產(chǎn)出量也按相同比例變動。一般，設(shè)生產(chǎn)函數(shù)Q=f（LK），九0f（九厶九K）=九/（厶K）不變規(guī)模報酬（又稱為一階齊次性）f（九L,九K）九f（L,K）遞增規(guī)模報酬f（九L,九K）<九f（L,K）遞減規(guī)模報酬對于柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)模型，有九Q二A（XL）（kK）0eu=Xa+palxk卩eu所以，當a+0=1不變規(guī)模報酬（卩=1a）a+01遞增規(guī)模報酬a+0<1遞減規(guī)模報酬2標準化：模型Q=AL1K0eu首先，兩邊取對數(shù)InQ=InA+aInL+0InK+u然后作如下變換y-lnQ，x二In

4、L，x二lnK，a二lnA（要求u滿足假定，且x，121x無多重共線性）2貝ij,y=a+ax+0x+u，并且可用OLS估計其參數(shù)，這樣原模型的樣本12回歸方程為Q=ALK0，其中，&和介是參數(shù)a和0的無偏估計量；Q=ey，A=ey，不是無偏估計量。書227頁例9.2.1二不可線性化模型的處理在實際工作中所建立的非線性模型，有些無法通過變量變換（初等數(shù)學(xué)的方法）線性化，如y+ax卩+ax卩2+u01122這樣的模型稱為不可線性化模型。其參數(shù)的估計，可借助泰勒公式進行逐次的線性近似估計?；舅悸肥牵合冉o出參數(shù)的一組初始估計值，然后將原模型在這組估計值附近進行泰勒展開達到線性化，對線性化后

5、的方程進行OLS估計，得到參數(shù)新的估計值。在參數(shù)第二組估計值附近將原模型再次展開使之線性化，并對其進行OLS估計，得到參數(shù)的第三組估計值。重復(fù)上述步驟，直到參數(shù)估計值收斂。具體做法：設(shè)不可線性化模型y二f(x,x,x；卩，卩,卩)+u12k12p1.在參數(shù)P的一組初始估計值0(i二1,2,p)附近，將模型進行臺勞展開ii0這里把參數(shù)0視為變量)iy=f(x1xk,010,020,0p0)+I0i=0i00j=0j0另苗1ap0i=0i(卩-0)(0-0)+uip0i=1i0jj0取前兩項并變形為y-f(x譏卩20,"卩p0)+刀詁0：=0：0ip0i=1Pyaf1=厶0+ua00i=0io°ii0i=11)2.做變量代換：y*=y-f(x1J,丄fIa00i=0i000010,20,)+p0i=13.4.x*ji=1i1)式變?yōu)?j=1,2,=另0x*+Ujjj=1用OLS估計卩j，得到一組估計值0j,(j=口在Pj1(j=口,P)的附近，對原模型y=f(