隨機過程習題解答,

1、習題11.令x(t)為二階矩存在的隨機過程，試證它是寬平穩(wěn)的當且僅當EX(s)與EX(s)X(s+1)都不依賴s.證明：充分性：若X(t)為寬平穩(wěn)的，則由定義知EX(t)=y,EX(s)X(s+t)=r(t)均與s無關必要性：若EX(s)與EX(s)X(s+1)都與s無關，說明EX(t)=常數，EX(s)X(s+1)為t的函數2.記U，1定義U為在(0,1)中均勻分布的獨立隨機變量，對0t,x<1n|1,X<t，I(t'x)=hX>t,h1(t'Uk)，0<t<1，這是U，,U的經驗分布函數。nk1nk=1試求過程X(t)的均值和協(xié)方差函數。EI(

2、t,U)=P(U<t)=t，kk并記x(t)解：(I(t,U)=EI(t,U)(EI(t,U)2kkkk豐j，covV(t,U)，k=tt2=t(1t)I(s,U)=EI(t,U)I(s,U)EI(t,U)EI(s,U)jkjkj=stst=0k=j，covI(t,U)，k1nEX(t)=n顧叫)k=1I(s,U)=EI(t,U)I(s,U)stjkj=min(t,s)st1n-工t=tnk=1cov(X(t),X(s)=-2工COvG(叫),/(s，Ukk=1covC(t,U),I(s,U)n2kjk工jhlmin(s,t)st1=n2k=126/18=(min(s,t)st)n3.令

3、Z,Z為獨立的正態(tài)分布隨機變量，均值為0,方差為c2,k為實數，定12義過程XC)=ZCoskt+ZSink.試求XC)的均值函數和協(xié)方差函數，它是寬平穩(wěn)Solution:Z,ZN(0,c2).12D(Z)=D(Z)=c212的嗎？EZ2=EZ2=0.12,CovZ,Z)=0,EXC)=0,Cov(X(t)X(s)二EKzCoskt+ZSink)(ZCosk1212s+ZSinks)12=EEz2CoshtCos九s+Z2SinktSinks+ZZCosktSinks+ZZSinXtCosXs121221=c2(CosktCosks+SinktSinks)+0=C2CosKt-sk(XC)為寬

4、平穩(wěn)過程.4.Poisson過程XQt>0滿足(i)X(0)=0；(ii)對t>s，XC)-X(s)服從均值為k(t-s)的Poisson分布；(iii)過程是有獨立增量的.試求其均值函數和協(xié)方差函數.它是寬平穩(wěn)的嗎？SolutionEX(t)=E(X(t)-X(0)=kt，D&(t)=ktCov(XQXC)二EX(t)XC)-kt-ks二E(X(t)-X(s)X(s)+EX2(s)k2ts二0+D(X(s)+(EX(s)一k2ts=ks+(ks)2一k2ts=ks(1+ks一kt)顯然XC)不是寬平穩(wěn)的.5.XC)為第4題中的Poisson過程，記y(t)=X(t+1)-

5、X(t)，試求過程y(t)的均值函數和協(xié)方差函數，并研究其平穩(wěn)性.SolutionEyC)=k1=k,D(yC)=kCov(y(t),y(s)=Ey(t)y(s)-Ey(t)y(s)=E(x(t+l)-x(t)(x(s+l)-x(s)-九2(1) 若s+1<t,即sWtT,則Cov(y(t),y(s)=0-九2=-九2(2) 若tvs+lWt+1,即tstT,則Cov(y(t),y(s)=Ex(t+1)-x(s+1)+x(s+1)-x(t)x(s+1)-x(t)+x(t)-x(s)-九2=E(x(t+1)-x(s+1)(x(s+1)-x(t)+E(x(t+1)-x(s+1)(x(t)-x

6、(s)+E(x(s+1)-x(t)+E(x(s+1)-x(t)(x(t)-x(s)-九2=九(s+1-t)=九-九(t-s)-九2(3) 若tvsvt+1Cov(y(t),y(s)=Ex(t+1)-x(s)+x(s)-x(t)x(s+1)-x(t+1)+x(t+1)-x(s)-九2=(x(t+1)-x(s)(x(s+1)-x(t+1)+E(x(t+1)-x(s)(x(t+1)-x(s)+E(x(s)-x(t)(x(s+1)-x(t+1)+E(x(s)-x(t)(x(t+1)-x(s)-九2=0+九(t+1-s)+0-九2=九+九(t-s)-九2(4) 若s>t+1Cov(y(t),y(s

7、)=0-九2=-九2由此知，故方差只與t-s有關，與t,s無關故此過程為寬平穩(wěn)的。6,令z和z是獨立同分布的隨機變量，P(z=-1)=P(z=1)=1/21212記x(t)=ZCOS九t+z2sin九t,teR,試證：x(t)是寬平穩(wěn)的，它是嚴平穩(wěn)嗎？證明：Ez=0,Ez2=(-1)2Xl/2+12Xl/2=l/2+l/2=l=D(z)111Cov(z,z)=012Ex=0tcov(x,x)=E(x,x)=E(z2cos九tcos九s+z2sin九tsin九s+zzcos九tsin九s+zzsintsts121212九tcos九s)=cos九tcos九s+sin九tsin九s+0+0=cos(

8、t-s)故x(t)為寬平穩(wěn)的。而x(t)cos九t+sin九tcos九t-sin九t-cos九t+sin九t-cos九t-sin九t-cos九(t+h)+sin九(t+h)x(t+h)cos(九(t+h)+sin九(t+h)cos(九(t+h)-sin九(t+h)x(t+h)-cos九(t+h)-sin九(t+h)P14顯然，x(t)與x(t+h)的分布不相等，故不是嚴平穩(wěn)的。7、試證：若Z,Z,為獨立同分布的隨機變量，定義X=Z+Z+.+Z，則x,n>001n01nn是獨立增量過程。Proof:XX=Z+.+Z與Z,Z,.,Z相互獨立，n+mnn+1n+m01n故X-X與X相互獨立。n

9、+mnn8、若X,X.為獨立隨機變量，還要添加什么條件才能確保它是嚴平穩(wěn)的隨機過程？12Solution:添加X,X.，同分布的條件。129令X和Y是從單位圓內的均勻分布中隨機選取一點所得的橫坐標和縱坐標,試計算條件概3率：P(X2+Y2nX>Y)4Solution:P(X>Y)=口f(x,y)dxdy=x>yp(X2+Y24iX>Y)P(X2+Y2>4,X>Y)P(X>Y)=2也的2rd°dr=82410. 粒子依參數為入的Poisson分布進入計數器，兩粒子到達的時間間隔T1,T2,是獨立的參數為入的指數分布隨機變量。記$是0,1時段中的

10、粒子總數，時間區(qū)間1丘0,1,其長度記為|I|.試證明P(T1WI,S=1)=P(T1WI,T1+T21),并由此計算P(T1WI|S=1)=|I|.Proof。T1WI,S=1表明在I內來到了一個粒子，在0,1-1內再也沒有來到粒子，也就是說第二個粒子的到來在0,1之后，即T1+T21.(T1+T2為第二個粒子來到的時間)。從而PT1ei,S=1=PT1ei,T1+T2>1P(Tiei|S=1)=P(Tiei,S=1)/P(S=1)=P(T1eI,T1+T2>1)/P(S=1)SP(入)=入|l|e-MH*(入(1-|I|)o*e-x(1-|i|)/入e-x=|I|11. X,Y

11、為兩獨立隨機變量且分布相同，證明E(x|x+y=z)=E(y|x+y=z).并試求基于x+y=z的x的最佳預報，并求出預報誤差E(x-©(x+y)2Proof：因x與y獨立，且分布相同，則x|x+y=z=dy|x+y=z故E(x|x+y=z)=E(y|x+y=z)而E(x+y|x+y=z)=z，故E(x|x+y=z)=z/2用任意的©(z)來對x做預報，預報誤差為：E(x-©(z)2=E(x-E(x|x+y=z)+E(x|x+y=z)-©(z)2=E(x-E(x|x+y=z)2+E(E(x|x+y=z)-©(z)2+2E(x-E(x|x+y=z

12、)*(E(x|x+y=z)-©(z)=E(x-E(x|x+y=z)2+E(E(x|x+y=z)-©(z)2三E(x-E(x|x+y二z)2取等號，當且僅當©(z)=E(x|x+y=z)預報誤差E(x©(x+y)2=E(xz/2)12、氣體分子的速度V有三個垂直分量卩,V,V，它們的聯(lián)合分布密度依xyzMaxwell-Boltzman定律為exp6,v,v)=-_123(2tikT)3其中k是Boltzman常數，T為絕對溫度，給定分子的總動能為e.試求分子沿x方向的動量的絕對值的期望值。解：由于V,xV，V的聯(lián)合密度函數為y,v,v55y6,v,v123

13、)=(2hkT”1exp'v2+v2+v2)12I2KT丿v2exp<(2kT”v232kT因此，V，xV，的總動能為互相獨立，且V,V,xyV都服從正態(tài)分布N(0,kT).故氣體分子Z+V2+V2)yz(1)2e由此可得而氣體沿x方向的動量的絕對值的期望值為mE+86kt)28exp2Kfdvi+viexp2L加2kTi2m£t2j+8vexp01ZL|dv2kT1+"expoV212kT丿>dC)i、12、丄2由此及（i）可得mE（V）13. 若"'”一獨立同分布，他們服從參數作勺指數分布，試證:是參數汕"）為的分布，其密

14、度函數為：山心叩；-兒小廠；"Proof.5“"+mxleor-血1一入AAey口小(卩j(0&r=i記丫則z11r+oq(n-1)!J0CAh=（）（入沁）I由矩母函數與分布函數相互唯一決定知為，分布。VV入1VIV14. 設為相互獨立的均值為和亠的Poisson隨機變量。試求的分布。并計算給定X：_X-"時"的條件分布。GOPQq+=k)=EP(XT=nbXj=k-m)Solution.=工p(xi=m,Xzk-m)m=0k)mpA1-A=厶礦Ll-)_mA2-A.-(k1+x2)£Y入吠mk'Am!(k-m!)12m二Uk

15、7七)丄yik!mk-mkJZjm!(k-m!)12m=Uk7klk'內:小嚴k!(xfX1+X2-n)f+X"P的+X廠n)7df*11-fA1一入1A1-、7lC(n-0!C(WF”).cn!=50+疋5+知)15.若Xi,X2獨立且有相同的以以為參數的指數分布，N服從幾何分布即P（N=n）=卩1-3nj，n=12,0V卩1.試求隨機和Xi的分布。解:九ntn-1P(Y=yIN=n)=ye丄dt,o(n-1)!P(Y<y)=蘭P(Y<y，N二n)n=1=2P(Y<yIN=n)P(N=n)n=12Jy九ntn-1e_xdt卩(1-卩)=10(n-1)!n=

16、1f(y)=2g巴九1-卩竺e內1(nr)!n=1g九1-Byn-1=pAe_九y21n1pAeAyeA1-py=ApeAPy.(y>0)yE(Ap)16.若X1，X2,獨立同分布,P(Xi=±1)=12，N與Xi，i±l獨立且服從參數為pY2N的幾何分布，o<p<1試求隨機和XXi的均值，方差和三、四階矩。解：E(X.)=(1)x+1x=0,(1)3X2+(1)3X-E(X3)=iEN=丄p，EetXie-tE(X2)=i1 =o,21+et2D(X)=(1)2X1+(1)2x1=1i22E(X4)=(1)4x1+(1)4X丄=1i2211(e-t+et

17、)=ch(t)22t2NXg(t)EetyEE(ei1iy|Nn)E(EetXi)NE(ch(t)N2g(ch(t)np1-pn1=PCh(t)1(1-p)ch(t)Eyng(n)(0)沁)-(1(1常(t”5g'(0)0()卩ch(t)-卩(1-卩)+卩(1-卩)sh2(t)厶、卩-卩(1-卩)1g(t)(1-(1-卩)ch(t)?g(0)門帀Psh(t)-et-e-t注2,ch'(t)=sh(t),sh'(t)ch(t)sh(0)0,ch(0)1，隨機變量N服從參數為九的poisson分布，給定N=n,隨機變量M服從以n和p為參數的二項分布，試求M的無條件概率分布。

18、P(MmINn)CmPm(1p)n-m,m0.1.2.n解：依題意，nP(Nn)-e-九,n0,1,.n!P(Mm)-藝P(Mm,Nn)藝P(Mm,Nn)nm產P(MmINn)P(Nn)九n工CmPm(1P)n-me九nn!nmn!(1p)nm()九nm(九p)me九m!(nm丿!n!弋l!(1-卩I宀lnm0吐e»exd-p)型e亠p,m-0,1,2.m!m!習題2p(N(s)=kIN(t)=n)1、N(t)為Poiss°n過程，、對st，試求條件概率oCn(s)=kINC)=n)Solution:p(N(s)=k,NC)=n)p(N(t)=n)p(N(s)二k-p(N(

19、t)-N(s)二n-k)p(N(t)=n)(九s)kX(ts)n-k()_k!(nk丿！(Xt)nextn!n!(sk(isn-kk!(n一k)!(t丿(t丿2、N(t),t20為一強度是入的Poisson過程，對s>0試計算：EN(t)N(s)Solution:EN(t)N(t+s)=EN(t)N(t+s)-N(t)+N(t)=EN(t)N(t+s)-N(t)+EN2(t)(獨立增量)二EN(t)EN(t+s)-N(t)+入t+(入t)2二入t(Ns)+入t+(入t)2=入t+入2t(t+s)注：EN(t)二入tDN(t)二入tEN2(t)二入t+(入t)23、電報依平均速度為每小時3

20、個的Poisson過程到達電報局，試問：(i) 從早上八點到中午沒收到電報的概率？(ii) 下午第一份電報到達時間的分布是什么？注：以八點為初始時刻Solution:用N(t)表示在時間t內到達的電報數，則N(t)P(入t)(i) P(N(2)N(8)=0)=(入4)o/O!)e-“=e-i2(ii) 設T為下午第一份電報到達時間，貝9：P(12WTWt)=P(N(t)N(12)=l)=3(t12)&3(t-i2),t2124.2的possion過程,試求1)P(1)<2)(2)(3)P(1)=1,N(2)=3)P(1)>21N(1)>1P(1)<2=蘭e-2+

21、e-2+e-2=5e-2Solution：(1)0!1!2!(2)PN(1)=1,N(2)=3=PN(1)=1,N(2)-N(1)=2(2)=PN(1)=1PN(2)-N(1)=222=2-e-2-e-2=4e-42!P(1)>21N(1)>1=P(1)>2,N(1)>1/PN(1)>1PN(1)>2/PN(1)>11-e-2-2e-22e-2=11-e-21-e-2P(t)=PN(t)=m5. 證明概率m在命題2.1的假定(1)(4)下滿足微分方程P'(t)=-九P(t)+九P(t),m=1,2,(*)mmm-1并證明在初始條件下，九mtmP

22、(0)=0m=1,2,m，e-Mm!的解為證明：(*)的導出已在命題2.1中給出，P(t)=eM0P(t)PceMt考慮齊次方程：mmmP(t)=c(t)e-Mt采用變易系數法，m代入(*)有c'(t)e-MtMc(t)e-Mt=Mc(t)e-Mt+MP(t)m1c(t)=九itemtP(t)dt0m1P(t)=ce-Mt+miteMtP(t)dt-e-Mt從而m0m1P(0)=cemt+0=O.(m=1,2,.)，c=0而mP(t)=)dt-e-Mt從而m0m1P(t)=知teMt-eMtdt-e-九t=Mt-e-"10P(t)=XfteMtMt-e九tdt-e九t=&qu

23、ot;'"e九t,.202T6. 一部600頁的著作，總共有240個印刷錯誤，試利用Poisson過程近似求出連續(xù)3頁無錯誤的概率。240Solution：首先求出強度M=0.4600p(nC+3)-nC)=0)=e0.4x3=e1,2(1.1)7. N(t)是強度為M的Poisson過程，給定N(t)=n,試求第r個事件(r<n)發(fā)生的時刻W的r條件概率密度f(W|n)。Wr/N(t)rSolution：rrf(WIn)AW=PN(W)=r-1,N(W+AW)-N(W)=1,N(t)-N(W+AW)=n-r|N(t)=n(九W)r-1(九AW)1(九(t-W-AW)n

24、-2r纟入Wr纟入Wrre入(tW-AW)(r-1)!r1!r(n-r)!rr+o(AW)rW)"n!n!WAW/-W-AW、=(r1)!(nr)!Tt+o(aw)f(WIn)=1Cr-1()r-1(1-/)n-r從而r=tn-1tt8. 令N(t),t>0,i=l,2,n為n個相互獨立的有相同參數九的Poisson過程,i記T為全部n個過程中至少發(fā)生了一件事的時刻，試求T的頒布。Solution:由題意知，T=ft|蘭Ni(t)-1i=1P(Tx)=P(丫N(x)=0)=e-朋x(利用了獨立性)ii=1(說明在時刻經x前,沒有一個事件發(fā)生)廠/、n九e-皿x,x>0fT

25、(x)=0,else9. 考察參數為入的Poisson過程N(t)，若每一事件獨立地以概率p被觀察到，并將觀察到的過程記為N(t)，試問：N(t)是什么過程？NC)-N(t)呢?111N(t)與NC)N(t)是否獨立？11P(N(t)=k)=工P(N(t)=k,N(t)=n)11n=0g=工P(N(t)=k)1(N(t)=n)P(N(t)=n)(九t)ne-九tn!n=kg=工Ckpk(1-p)n-knn=kpkT!1(n-k)!(1P)n-k(加)n-k(kt)ket(kpt)kkf(獨立性)(k(1-p)t)1l!(kpt)kektek(ip)tk害e-kt,k=023Ni(t)為強度參數

26、為kpt的Poisson過程。易知N(t)Ni(t)為強度參數為k(1p)t的Poisson過程。(k(1p)t)m記N(t)=N(t)-N(t)，則P(N2(t)=m)=7e-k(1-p”212m!(kt)m+kP(N(t)=k,N(t)=m)=P(N(t)=m+k)=_e-kt12(m+k)!豐P(N(t)=k)P(N(t)=m)12故N(t)與N(t)不相互獨立。1210. 到達某加油站的公路上的卡車數服從強度參數為k1的Poisson過程化，而到達的小汽車數服從參數為k的Poisson過程N(t)，且N(t)與N(t)獨立，試問：N(t)+N(t)221212是什么過程？并計算在總車流

27、數N(t)中卡車首先到達的概率。二蘭P(NC)二k,NC)二n-k)。P(N(t)=n)12Solution.k=o仝P(N(t)二k(t)二n-k)12k=0(kt)k(kt)n-k=Y1e-中-/2)e-k21k!n-k!k=0e_(人+九2)t-(Xt+九t丄=n!i2U+X2'en!1n=0,1,2,.N°)為參數Xi+X2的Poisson過程取T=inf4INC)=1,NC)=o12PNG)=0,N(r+At)-NG)=1,N(r+At)-NG)=0,N(t)-NG+At=n-1)(U+X2"e-(x1+x20!12XAt1e-X,Ate-X2At1!12

28、C-t-At)C+X)(-t-A-1e-(x1+x2)/(X+XD12n!=n!X(n-1)X+X12X=n1-X+X12-t-AtAt+o(At)tnAtn-11At+o(At)tX=n1-X+X1211-丁,0<t<t八t丿11P4(t)=n211. 沖擊模型(shockmodel):記“(t)為某系統(tǒng)到某時刻t受到的沖擊次數，它是參數為入的Poisson過程，設第k次沖擊對系統(tǒng)的損害大小h服從參數為卩的指數分布，丫，k=1,2,獨立同分布。記X(t)為系統(tǒng)所受到的總損害，當損害超過一定的極限。時，系統(tǒng)不能運行，壽命終止，記T為系統(tǒng)壽命，試求系統(tǒng)的平均壽命ET,并對所得結果作出直觀解釋。文Solution:l<T)dT1-P(T)dr0=rJDP(T)drP(T>5)dsPT>5=PYk<