復(fù)變函數(shù)教學(xué)大綱

1、復(fù)變函數(shù)課程教學(xué)大綱課程編號：適用專業(yè)：彝文專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（彝漢）學(xué)時數(shù)：40學(xué)分數(shù)：3.0執(zhí)筆者：胡鵬 編寫日期：2014年8月一、 課程性質(zhì)和目的（一）教學(xué)性質(zhì)復(fù)變函數(shù)課程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)函授生的一門必修課。它在數(shù)學(xué)學(xué)科眾多分支（如微分方程、計算數(shù)學(xué)、解析數(shù)論、微分幾何、拓撲學(xué)、泛函分析）及其它領(lǐng)域（如流體力學(xué)、彈性力學(xué)、電學(xué)、工程技術(shù)）有著廣泛應(yīng)用。另外，它的某些內(nèi)容與中學(xué)數(shù)學(xué)教育還有著密切聯(lián)系。通過本課程的學(xué)習(xí),使學(xué)生系統(tǒng)掌握復(fù)變函數(shù)的基本理論與方法,從而增強分析問題與解決問題的能力。開設(shè)本課程，主要是使學(xué)生在學(xué)習(xí)與掌握復(fù)變函數(shù)的基本理論與方法的基礎(chǔ)上，一方面對于學(xué)生建立良好的

2、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)及學(xué)習(xí)其它課程有所幫助，另一方面，使學(xué)生具備一定的解決實際問題的能力，再就是使學(xué)生對中學(xué)數(shù)學(xué)的某些知識有比較透徹的理解與認識，從而增強做好中學(xué)數(shù)學(xué)教育工作的能力。學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)課程需要數(shù)學(xué)分析課程的有關(guān)知識，同時它也為泛函分析與數(shù)學(xué)物理方程等后繼課的學(xué)習(xí)做好了必要的準備。（二）教學(xué)目的了解并掌握復(fù)變函數(shù)的基本理論和基本方法，對解析函數(shù)、柯西積分定理、柯西積分公式、解析函數(shù)的泰勒展開與羅朗展開、留數(shù)理論、保形變換、解析開拓、調(diào)和函數(shù)等有較深入的了解，重點了解怎么利用復(fù)變函數(shù)知識解決一些數(shù)分中無法解決的積分問題。二、教學(xué)內(nèi)容與學(xué)時分配第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)（一）教學(xué)內(nèi)容復(fù)數(shù)的表示，復(fù)數(shù)的性質(zhì)

3、與運算，平面圖形的復(fù)數(shù)表示，區(qū)域與約當(dāng)曲線，復(fù)變函數(shù)的概念，復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性，復(fù)球面，無窮遠點與擴充復(fù)平面。（二）教學(xué)目的1.1熟練掌握復(fù)數(shù)的模與幅角、復(fù)數(shù)的三種表示、復(fù)數(shù)的基本性質(zhì)，掌握復(fù)數(shù)的乘冪與方根的求法，會用復(fù)數(shù)表示平面圖形，會用復(fù)數(shù)解決一些簡單的幾何問題。1.2理解平面點集的幾個基本概念，理解區(qū)域與約當(dāng)曲線的概念，了解約當(dāng)定理，會區(qū)分單連通區(qū)域與多連通區(qū)域。2 / 91.3充分理解復(fù)變函數(shù)、多值函數(shù)、反函數(shù)等概念，理解復(fù)變函數(shù)的幾何表示，會求簡單平面圖形的變換象（或原象），理解復(fù)變函數(shù)的極限，掌握極限的等價刻劃定理，理解復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性及其等價刻劃定理，熟悉有界閉集上連續(xù)函數(shù)的

4、性質(zhì)。1.4了解復(fù)球面，理解無窮遠點與擴充復(fù)平面。第二章 解析函數(shù)（一）教學(xué)內(nèi)容復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分，解析函數(shù)及其簡單性質(zhì)，柯西-黎曼條件，指數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，雙曲函數(shù)，根式函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，一般冪函數(shù)與一般指數(shù)函數(shù)，具有多個支點的多值函數(shù)，反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)。（二）教學(xué)要求2.1理解復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的概念，掌握解析函數(shù)的定義及其簡單性質(zhì)，熟練掌握解析函數(shù)的等價刻劃定理特別是柯西-黎曼條件。2.2熟練掌握指數(shù)函數(shù)的定義與主要性質(zhì)，掌握三角函數(shù)的定義與基本性質(zhì)，了解雙曲函數(shù)定義與基本性質(zhì)。2.3掌握冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的變換性質(zhì)與單葉性區(qū)域，理解并逐步掌握通過限制幅角或割破平面的方法求根式函數(shù)和對數(shù)

5、函數(shù)的單值解析分支，了解一般冪函數(shù)與一般指數(shù)函數(shù)，理解并掌握求具有多個支點的多值函數(shù)的支點從而使其能分出單值解析分支的方法，會由已知單值解析分支的初值計算終值，了解反三角函數(shù)與反雙曲函數(shù)。（三）教學(xué)重難點重 點：解析函數(shù)的概念，解析函數(shù)的充要條件。難 點：支點的概念，具有多個支點的多值函數(shù)。第三章 復(fù)變函數(shù)的積分（一）教學(xué)內(nèi)容復(fù)變函數(shù)的積分的定義、性質(zhì)與計算，柯西積分定理及其推廣，不定積分，柯西積分公式或高階導(dǎo)數(shù)公式，解析函數(shù)的無窮可微性，柯西不等式，劉維爾定理，摩勒拉定理，解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系。（二）教學(xué)要求3.1理解復(fù)變函數(shù)的積分的定義，掌握復(fù)積分的性質(zhì)與計算方法。3.2掌握柯西積分定

6、理及其等價形式和兩種推廣形式以及它們的應(yīng)用，掌握不定積分特別是由變上限積分確定的單值解析函數(shù)，會用牛頓-萊布尼茲公式計算復(fù)定積分。3.3熟練掌握柯西積分公式與高階導(dǎo)數(shù)公式，掌握解析函數(shù)的平均值定理、無窮可微性以及它的第二個等價刻劃定理，掌握柯西不等式、劉維爾定理、摩勒拉定理。3.4掌握調(diào)和函數(shù)與共軛調(diào)和函數(shù)的概念，理解解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系，掌握由解析函數(shù)的實部（或虛部）求虛部（或?qū)嵅浚┑膬煞N方法。（三）教學(xué)重難點重 點：柯西積分定理，柯西積分公式。難 點：柯西積分定理，柯西積分公式，解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系。第四章 級數(shù)（一）教學(xué)內(nèi)容復(fù)數(shù)項級數(shù)及其基本性質(zhì)，一致收斂的復(fù)變函數(shù)項級數(shù)及其性質(zhì)

7、，解析函數(shù)項級數(shù)的維爾斯特拉斯定理，阿貝爾定理和冪級數(shù)的斂散性，冪級數(shù)收斂半徑的求法，冪級數(shù)和函數(shù)的解析性，泰勒定理，冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂圓周上的情況，一些初等函數(shù)的泰勒展開式，解析函數(shù)零點的孤立性，解析函數(shù)的唯一性定理，最大模原理，雙邊冪級數(shù)，羅朗定理，解析函數(shù)在孤立奇點鄰域內(nèi)的羅朗展式，孤立奇點的三種類型及其判別法，席瓦爾茲引理，關(guān)于本性奇點的維爾斯特拉斯定理和皮卡（大）定理，解析函數(shù)在無窮遠點的性質(zhì)，整函數(shù)與亞純函數(shù)。（二）教學(xué)要求4.1理解復(fù)數(shù)項級數(shù)斂散性的定義，掌握其收斂性的兩個刻劃定理，掌握復(fù)級數(shù)的絕對收斂性及絕對收斂復(fù)級數(shù)的性質(zhì)，掌握關(guān)于復(fù)變函數(shù)項級數(shù)的柯西一致收斂準則與優(yōu)級數(shù)準

8、則，熟悉復(fù)連續(xù)函數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)，了解復(fù)變函數(shù)項級數(shù)的內(nèi)閉一致收斂性，熟練掌握關(guān)于解析函數(shù)項級數(shù)的維爾斯特拉斯定理。4.2掌握阿貝爾定理，充分理解冪級數(shù)的斂散性，熟練掌握冪級數(shù)收斂半徑的求法，掌握冪級數(shù)和函數(shù)的解析性。4.3掌握泰勒定理，理解冪級數(shù)的和函數(shù)在收斂圓周上的情況，掌握一些初等函數(shù)的泰勒展開式，會用間接法把解析函數(shù)展開為冪級數(shù)。4.4掌握解析函數(shù)零點的概念及具有零點的解析函數(shù)的表達式，掌握解析函數(shù)零點的孤立性與解析函數(shù)的唯一性定理，熟練掌握最大模原理及其推論。4.5了解雙邊冪級數(shù)的斂散性及其和函數(shù)的解析性，掌握羅朗定理，理解羅朗級數(shù)與泰勒級數(shù)的關(guān)系，會用間接法把解析函數(shù)在孤立奇點鄰域內(nèi)

9、展成羅朗級數(shù)。4.6掌握孤立奇點的三種類型及其判別法，掌握席瓦爾茲引理，了解關(guān)于本性奇點的維爾斯特拉斯定理和皮卡（大）定理。4.7理解解析函數(shù)在無窮遠點鄰域內(nèi)的性態(tài)，掌握無窮遠點作為孤立奇點的分類及相應(yīng)的判別法。4.8掌握整函數(shù)的概念及其分類，了解亞純函數(shù)的概念及其與有理函數(shù)的關(guān)系。（三）教學(xué)重難點重 點：解析函數(shù)的第三充要條件，第四充要條件，解析函數(shù)的唯一性定理，解析函數(shù)零點的孤立性，羅朗定理，孤立奇點的類型及其判別法。難 點：解析函數(shù)的唯一性定理，解析函數(shù)零點的孤立性，羅朗定理，孤立奇點的類型及其判別法。第五章 留數(shù)（一）教學(xué)內(nèi)容留數(shù)的定義，留數(shù)定理，留數(shù)的求法，函數(shù)在無窮遠點的留數(shù)，用留

10、數(shù)計算實積分，對數(shù)留數(shù)，幅角原理，儒歇定理。（二）教學(xué)要求5.1掌握留數(shù)的定義與留數(shù)定理，熟練掌握留數(shù)的求法，掌握無窮遠點的留數(shù)的定義及其求法。5.2掌握用留數(shù)計算三角函數(shù)有理式在一個周期上的積分、有理函數(shù)的無窮限廣義積分、有理函數(shù)與純虛變量指數(shù)函數(shù)（或三角函數(shù)）乘積的無窮限廣義積分的方法，了解積分路徑上有奇點的積分的求法。5.3掌握關(guān)于解析函數(shù)零點與極點個數(shù)的定理，掌握幅角原理及其應(yīng)用，掌握儒歇定理及其應(yīng)用。（三）教學(xué)重難點重 點：留數(shù)定理，留數(shù)的求法，儒歇定理。難 點：用留數(shù)計算實積分，幅角原理，儒歇定理。三、課程教學(xué)的基本要求1、本課程以課堂講授為主，精講多練。在課堂教學(xué)中可適當(dāng)補充難易

11、適中的題目作為例題，開闊學(xué)生的視野，拓寬知識面。在作業(yè)和練習(xí)方面，任課教師可以有針對性地增加一定量的附加題，題的難度略高于教材上的習(xí)題，并適當(dāng)增加應(yīng)用題的數(shù)量，以鍛煉學(xué)生解決實際問題的能力。 2、根據(jù)教育發(fā)展的趨勢和教學(xué)改革的要求，在本課程的教學(xué)過程中，應(yīng)逐步引入現(xiàn)代化教學(xué)手段。 3、除教材外，應(yīng)給學(xué)生指定相關(guān)的參考書，以拓寬學(xué)生的知識面。四、本課程與其它課程的聯(lián)系與分工本課程應(yīng)用廣泛在數(shù)學(xué)各分支比如（如微分方程、計算數(shù)學(xué)、解析數(shù)論、微分幾何、拓撲學(xué)、泛函分析）及其它領(lǐng)域（如流體力學(xué)、彈性力學(xué)、電學(xué)、工程技術(shù)）都有著廣泛應(yīng)用，學(xué)好本課程是學(xué)好其他課程的先決條件。五、建議教材與教學(xué)參考書1、余家榮主編：復(fù)變函數(shù)，高等教育出版社，2