轉子平衡、臨界轉速及強度

1、轉子平衡、臨界轉速與強度化工機械強度與振動第一節(jié) 轉子平衡在旋轉機械中，由于轉子質量偏心引起的強迫振動是很常見的。關于偏心質量引起的強迫振動，在振動理論中得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應為：2222sin12merxtMrr22tan1rr式中M為系統(tǒng)的等效質量，m為轉子偏心質量，e為偏心矩。從中可以看出振幅x與偏心質量和偏心矩成正比，要減小振動就要使轉子質量分布盡可能均勻。(4-1)(4-2)化工機械強度與振動一、轉子剛性動平衡葉輪機械轉子的質量偏心來源于材質的不均勻，加工、裝配誤差等，實際上很難消除。但如偏心量過大，則會使葉輪機械在運轉中劇烈振動。所以轉子在運行前都是作平衡試驗，力求偏心量盡量小，使得葉

2、輪機械能平穩(wěn)運行。對于一個完全平衡的轉子，理論上要求轉子旋轉時的離心慣性力的合力與合力偶都等于零。轉子對軸承只有自重引起的靜力作用。反之轉子即處于不平衡狀態(tài)。轉子偏心質量可引起轉子的靜不平衡或動不平衡。1.靜平衡問題當偏心質量全部處于一個平面內，如薄圓盤，在旋轉時將產生離心慣性力F力在圓盤平面內，并通過轉軸，所以只有一個合力，無合力偶，如圖4-1a這種不平衡可用靜力實驗法來找，將轉子放到一對水平軌道上，輕輕滾動，轉子總是在偏心質量垂直向下的位置停下來。這時只要在輪子相反的方向加配重或在相同的方向鉆孔，去掉一些重量就可以達到目的。最后要使轉子在重力作用下能隨遇平衡。此時就稱轉子已達靜平衡了。圖4

3、-1化工機械強度與振動2.動平衡問題如圖4-2轉子，兩個薄圓盤各有一同樣大小的偏心質量m，其偏心距e也相等。顯然此轉子是靜平衡的（F=0）。但當轉子旋轉時，就會有一合力偶 ，此合力偶最終作用到支承上，引起機組振動。這就是所謂動不平衡。轉子動不平衡需用動平衡機做試驗才能檢驗。薄圓盤裝斜了也可產生動不平衡。在轉速較高的情況下,只要有很小的偏斜（約1），就會引起超過靜反力百倍以上的反力。2Mmel現(xiàn)有如圖4-3所示長轉子，長度為l，半徑為R。在距左端l/3的平面內垂直方向有偏心量 ，在中間平面內水平方向有偏心量1 1me2 21 123m em e化工機械強度與振動偏心質量產生的離心慣性力總可以合成

4、一通過旋轉軸并與之垂直的合力和一個合力偶，要平衡它們一般可選轉子的兩個端面和加配重或鉆削掉一些重量。重量的大小和方位很容易確定。設轉子以轉速旋轉，令211 1Fm e2222 21 123Fm eme將 用同在垂直平面且又分別位于兩端面的平行力 代替，則應有1FFF21 123Fme21 113Fme同理，對 有2F21 113FFme將FFFF幾何相加，可得222221 11 11 1215333Fmememe222221 11 11 1112333Fmememe化工機械強度與振動現(xiàn)可在端面半徑R處，去掉質量為 ，則m1 1253FmemRR方位為111tantan26 352FF端面半徑R

5、處鉆孔，去掉質量為 ，則m1 1223FmemRR11tantan 145FF也可在相反的方向加配重，這樣轉子就可達到剛性動平衡。如 不垂直，則可將它們分解到垂直與水平方向，而后如上所算。12,F F化工機械強度與振動二、轉子柔性動平衡（高速動平衡）由離心慣性力引起的動撓度是和轉速有關的。因此，在低速時平衡（又稱剛性平衡）的轉子，到高速時又可能會失穩(wěn)而劇烈振動。校正這種動不平衡必須把離心慣性力引起的動撓度影響考慮進去，故稱為柔性動平衡或高速動平衡。圖4-4為一經過低速動平衡的轉子，不平衡重量為 ，配重為 ，轉子半徑為R。設轉速提高后轉子旋曲如圖4-4（b）所示，這時離心慣性力為22211220

6、0221201 12 20 0FmRrmRrmRrmmmRm rm rm r0m12,m m化工機械強度與振動由于已經過靜平衡，所以1200mmm代入上式有21 12 20 0Fm rm rm r 由上式知，當轉速提高后由于動撓度的影響，經過低速動平衡的轉子又出現(xiàn)了新的不平衡慣性力，使轉子產生振動。如轉速進一步提高，使轉子二階以至更高振型出現(xiàn)，那么由于振型的變化，將又有新的不平衡。對柔性轉子的平衡，常用的是振型平衡法。首先對轉子進行低速平衡，以消除一些明顯的不平衡量，然后使轉速接近第一階臨界轉速，在轉子中部配量以消除一階振型時的不平衡量（設為對稱轉子）；再使轉速接近第二階臨界轉速，在二階振型的

7、反節(jié)點處加配重以消除二階振型m不平衡量，這樣一直進行到稍超過轉子的工作轉速。然后再對轉子進行一次剛性動平衡。(4-3)化工機械強度與振動第二節(jié) 轉子的臨界轉速一、單圓盤轉子的臨界轉速現(xiàn)考察一單圓盤無重量軸系統(tǒng)，如圖4-5所示，圓盤放置在中點。設轉子以勻角速度繞AOB軸線旋轉，由于離心力的作用，使轉軸產生動撓度，呈弓狀。由圖可見，軸中心的撓度為OO。此弓狀平面又以一定角速度繞軸承連心線AOB旋轉，這兩種轉動的角速度并不一定相同。此種現(xiàn)象稱為轉軸的弓狀旋曲，或稱渦動，進動。這里僅討論轉速相等的情況，即所謂同步正進動。同步正進動是工程中最為常見的。取o點為坐標原點，O點的坐標為（x，y），則圓盤質心

8、C的坐標為（x+ecost,y+esin t），可得質心C的運動方程為在轉子的加工及平衡過程中，使轉子的重心與其幾何軸線完全重合是很難做到的，總有殘余不平衡度。設圓盤的質量為m，對稱安裝在軸上，盤的質心c的偏心距為e，即OC=e，O為圓盤的幾何中心。軸承中心線穿過盤平面O點。圖4-5 由質量不平衡產生的對稱弓狀旋曲化工機械強度與振動22dcosdmxetkxCxt 22dsindmyetkyCyt 或22cossinmxcxkxmetmycykxmet式中k為轉軸的橫向彎曲剛度，c為阻尼其解為22222222cos12sin12erxtrrerytrr22tan1rr式中,2nnkcrmmk(

9、4-4)(4-5)(4-6)化工機械強度與振動O(x,y)點的運動軌跡是一個圓，其半徑即轉軸的動撓度22222212erOORxyrr 從以上兩式可見動撓度R隨頻率比r的變化而變化。當r值較小時（r1即 時， ，如r1, 。n2(4-7)(4-8)化工機械強度與振動具有粘性阻尼的弓狀旋曲轉軸的振幅和相位的關系見下圖為了明顯，忽略系統(tǒng)的阻尼，221erRr當r1時，R為負值，表示動撓度與偏心距反向。當r，Re，這時軸繞圓盤質心旋轉，質心C與O點重合，稱為自動定心。其幅值和相頻圖見圖4-7 。圖4-6 具有粘性阻尼同步正進動時轉軸的振幅和相位關系化工機械強度與振動由于在轉子的同步正進動中，轉子繞A

10、OB軸線旋轉的角速度與弓狀平面繞軸承連心線AOB旋轉的角速度相等，所以圓盤相對弓狀平面并無旋轉。因此轉軸受拉伸的纖維始終受拉而受壓縮的總是受壓，并無交變應力產生。此點和軸的橫向彎曲振動是不同的，所以說弓狀旋曲的轉軸并無振動。但轉子的離心慣性力卻對軸承產生一個交變力，并導致支承系統(tǒng)發(fā)生強迫振動。這是在臨界轉速時感到劇烈振動的原因。正因為這樣，工程上常把臨界轉速是支承發(fā)生劇烈振動的現(xiàn)象和共振不加區(qū)分。實際上這是兩種不同的物理現(xiàn)象。圖4-7 無阻尼時單盤轉子弓狀旋曲的幅頻圖(a)與相頻圖(b)化工機械強度與振動式中y=f(x)為梁的撓度函數二、等直徑軸的臨界轉速1.振動的微分方程及解求等直徑軸的臨界

11、轉速，也就是求相應等截面梁的橫振固有頻率。一般滑動軸承都可視為鉸鏈支坐。這樣滑動支承的軸便可作為簡支梁討論，如圖示：從材料力學中知梁某截面上參數間的靜力關系為轉角dydx彎矩22d yMEJdx剪力分布力33dMd yQEJdxdx44dQd yqEJdxdx(4-9)(a)(b)(c)(d)圖4-8 簡梁的撓度和轉角化工機械強度與振動在系統(tǒng)自由振動中，慣性力是作用在系統(tǒng)上的唯一載荷，慣性力的線集度m為單位長度梁質量。從4-9(d)式中有42420yyEJmxt(4-10)根據系統(tǒng)具有與時間無關的確定的振型之特性，可設上式的解為 ,y x tY x T tT(t)為簡諧函數 sinT tt故

12、,siny x tY xt(4-11)代入4-10式，得4240d YEJmYdx式中或4440d Yk Ydx24mkEJ(4-12)(4-13)化工機械強度與振動式4-12是四階常微分方程，它的解可取為 ，代入可得特征方程 sxY xe440sk它的四個根為1,23,4,isk sk 該式的解為 kxkxikxikxY xA eB eC eD echsh,cossinkxikxekxkx ekxikx又故通解形式為,sincosshchsiny x tAkxBkxCkxDkxt上式有A、B、C、D四個積分常數和 兩個待定系數，但簡梁有四個端點條件，再加上兩個振動初始條件，恰好可決定這六個常

13、數。、(4-14)化工機械強度與振動2.固有頻率和主振型對于等截面簡支梁端點條件為 1)0,002),03)0,0004),00 xYxl Y lxYMxl YlM由1）可得0BD由3）可得0BD得0BD由2）可得sinsh0AklCkl由4）可得sinsh0AklCkl由上兩方程可得sh000CklshklCsin00sin0AklAkl (4-15)此即簡支梁橫振動的頻率方程，它的根為1,2,3,nk lnn化工機械強度與振動又24m nkEJ2221,2,3,nnEJnlm相應的主振型為 sinsin1,2,3,nnnnnYxAk xAxnl(4-16)(4-17)對于兩端鉸支等直徑軸而

14、言，據式4-16，各階臨界轉速有如下關系222123:1 :2 :3由以上可見，當把軸看做是連續(xù)體時，其臨界轉速有無限多個。其基頻為 。當轉軸的工作轉速 時，稱此軸為剛軸。當轉軸的工作轉速 ，則稱為柔軸。一般柔軸的工作轉速多在 與 之間，且要求11112121.30.7圖4-9 等直徑軸及其1，2，3階振型化工機械強度與振動主軸的扭矩為三、軸的強度計算對葉輪式機械主軸的要求主要是剛度，即要求準確地計算出株洲的臨界轉速，確定合理的工作轉速，同時進行盡可能精確的動平衡。一般只要剛度合乎要求，輕度總是足夠的。主軸常規(guī)的強度計算，仍按材料力學中的介紹，考慮彎矩及軸向力的聯(lián)合作用，并由選用的強度理論得出

15、相應的相當應力值。9549nNMN mn因扭矩 所引起的剪應力為nnnMMPaWnM式中 為軸的抗扭截面橫量3316ndWmnW對外徑為d，內徑為 的空心軸1d 443116nWddmd在因轉子自重所引起的彎矩M和軸向力P共同作用下，主軸橫截面上所產生的正應力為MPWA(4-18)(4-19)(4-20)化工機械強度與振動軸除了對剛度和強度有較高的要求外，還有下列要求式中W為抗彎截面橫量。對實心與空心軸分別為332ndW44132nWddd如按第三強度理論，相當應力為224xdXn強度條件為 224Xn對于合金鋼，=100130MPa。對于碳鋼100MPa。軸要求較高的安全系數。1）良好的工藝

16、性2）結構的穩(wěn)定性，保證在運轉期內有不變的機械性能3）有足夠的抗腐蝕能力(4-21)化工機械強度與振動第三節(jié) 傳遞矩陣法求系統(tǒng)固有頻率一、基本概念傳遞矩陣法可用計算系統(tǒng)各種振動形式的固有頻率，諸如葉輪機械翼型葉片振動問題，軸系的扭轉和橫振即臨界轉速問題。傳遞矩陣法是一種試湊方法。首先根據系統(tǒng)的性質，確定截面上的一組特性參數，稱為狀態(tài)向量，然后根據時段截面的邊界條件，給定該截面狀態(tài)向量的一組參數值，選一個試驗頻率，通過傳遞矩陣計算下一截面的狀態(tài)向量，直至末端截面。下面可以看到傳遞矩陣包含了系統(tǒng)的自由振動微分方程，如所得到末端截面向量能滿足該截面的邊界條件時，則表示所選定的頻率就系統(tǒng)的固有頻率。傳

17、遞矩陣法可用來求系統(tǒng)任意階固有頻率，且計算過程完全一樣。對于扭轉軸,n截面上的狀態(tài)向量為 nzM分別為n截面的扭轉角和扭矩。M ,化工機械強度與振動對于橫振動的梁，n截面上的狀態(tài)向量為 nnyzMQ分別為n截面上的撓度，轉角，彎矩和剪力。, ,yM Q各變量的符號規(guī)則規(guī)定如下：對于圖4-10(a)中的扭振系統(tǒng)，規(guī)定截面n的外法線與坐標正向一致時為正面，如扭轉角與扭矩的矢量方向（按右手規(guī)則）與正面外法線方向一致時為正。對于圖b中的彎曲系統(tǒng)，撓度y，剪力Q向上為正，轉角與彎矩M逆鐘向為正。圖4-10 狀態(tài)向量、廣義力與廣義位移化工機械強度與振動二、傳遞矩陣法求軸系臨界轉速求軸系的臨界轉速即是求軸系

18、橫振固有頻率。用傳遞矩陣法求軸系臨界轉速，一般稱為普勞爾(Prohl)法。圖4-11表示軸的一個典型段，它包含無質量跨距與集中質量。段的彎曲特性用跨距的場傳遞矩陣來描述，段的慣性效應用集中質量的點傳遞矩陣描述。第i跨距 和集中質量 受力分析見上圖。 段梁的彈性變形也示意出來。從分離體圖可得剪力和彎矩的平衡方程式如下：11RLiiRLLiiiiQQMMQ LiLimiL(4-22)圖4-11 軸的傳遞矩陣的推導(a)跨的分離體簡圖 (b)質量分離體簡圖化工機械強度與振動該梁段端面的位移y與可表示如下：231121232LRRLLiiiiiiiiiiLLRLiiiiiiiiLLyyLMQEJEJM

19、 LLQEJEJ(4-23)聯(lián)合22與23式得：2311112111111260200000LRRRRiiiiiiiiiiLRRRiiiiiiiiLRRiiiiLRiiLLyyLMQEJEJLLMQEJEJMMQ LQQ化工機械強度與振動用場傳遞矩陣表示為23211260120010001LRiiiLLLyyEJEJLLMMEJEJLQQ對集中質量 有imRLiiyyRLiiMMRLii2RLLiiiiQQm y可導出點傳遞矩陣如下：2100001000010001RLiiiyyMMQmQ (4-24)(4-25)化工機械強度與振動將24代入25式可得聯(lián)系狀態(tài)向量 與 的傳遞矩陣： 1RiZ

20、RiZ232212322232221100026010001001020010010001126012001126RRiiiiLLLyyEJEJLLMMEJEJLQmQLLLEJEJyLLEJEJMLQmLLmmLmEJEJ1Ri(4-26)化工機械強度與振動或簡寫為 1RRiiiZHZ232223222126012001126iiLLLEJEJLLHEJEJLmLLmmLmEJEJ即為所求傳遞矩陣iH(4-27)使用遞推公式4-26，便可將梁的末端與始端狀態(tài)向量 聯(lián)系起來 0,RRnZZ 1210RRnnnZH HH HZ(4-28)化工機械強度與振動對于梁（軸）的問題，一般邊界條件是yMQ

21、簡支00Q自由y00固定00MQ可見在梁的始端與末端都有兩個非零的邊界條件，哪個參數非零則取決于支座類型。在計算固有頻率即臨界轉速的計算過程中，逐次代入進行試湊。當某個能同時滿足梁兩端的邊界條件，即為所求的臨界轉速。傳遞矩陣法在求系統(tǒng)的高階固有頻率時精確度會下降。解決的辦法是增加分段數和使用雙精度（在編程時）運算。并把固有頻率截斷在某一階（即振型截斷法）。不去求系統(tǒng)振動過程中次要的，也不很可靠的高階固有頻率。實踐證明，在計算時分段數高于所求臨界階數的56倍即可。即分段數nK(56)?；C械強度與振動例題：如圖所示懸臂梁集中質量系統(tǒng)的固有頻率。設1220mmKg323 10EJN m 梁的彎曲

22、剛度解：所用遞推公式為110 RRZH Z221210 RRRZHZH H Z始端截面即固定端的狀態(tài)向量為000 00RZMQ00,MQ為固定端的未知彎矩與剪力。在傳遞矩陣中始端狀態(tài)向量中的非零參數均為未知數?；C械強度與振動由下式2322231222126012001126RRiiiLLLEJEJyyLLEJEJMMLQQmLLmmLmEJEJ有666622626210010.2510.4 100.87 1000183.3 1010.42 100010.25205208.3 101 17.36 10RiyMMQQ化工機械強度與振動66662262622110.5041.7 106.9 10

23、01166.7 1041.7 100010.5205833.3 101 138.9 10RRiyyMMQQ2212100 RRRRZHZH HZH Z由得111213142122232431323334414243442000RRHHHHyHHHHHHHHMMHHHHQQ梁自由端處彎矩，剪力必為零，即23303400RMH MH Q24304400RQH MH Q化工機械強度與振動欲使線性齊次方程組有非零解，則的系數行列式必為零，即333443440HHHH這就是系統(tǒng)的頻率方程式。對于已知數據，相應的方程式為：6262329462941 104.2 100.758.68 1002.08 102

24、8.9 1014.86 102.41 10或432673.3 1075.4 100固有頻率為1232.4/ ,268.8/rad srad s或125.16,42.8fHz fHz化工機械強度與振動用傳遞矩陣法求軸系臨界轉速問題，在理論上已解決。下面討論工程中常遇到的典型情況。1.單跨兩端鉸支，支坐為剛性支承集中質量o和n分別放置在左右兩剛性鉸鏈支承上，軸為單跨。與固定端梁一樣，我們把支坐反力（動反力）視為未知數。在下面的敘述中，為了簡便，將狀態(tài)變量左上角標R省掉。于是始端狀態(tài)向量 的初參數為00000,0,0,0yMQ按遞推公式有 1iiizHz遞推公式是狀態(tài)變量的線性方程，而一般梁的邊界條

25、件總有兩個為零的初參數。鉸支的非零初參數為 ，因此第i截面的狀態(tài)變量可表示為初參數 的線性組合。選定一試算轉速后，可先令 ，而 得到第一項計算值 ，如下式。 IiZ 0100iZH 0Z00,Q00,Q010000yMQ圖4-12化工機械強度與振動臨界轉速的搜索同樣可采用二分法。再令 ，而 ，得到第二次計算值 0001iZH則有 000iiiZH ZZZQ遞推到末端截面，有 00nnnZZZQ據末端的邊界條件應有0,0nnyM 000000nnnnnnyyyQMMMQ上式有非零解的條件為 0nnnnyyMM此式即兩端剛性鉸支單跨梁的頻率方程由上式可得殘矩 nnnnyRMMy01Q 0000yM

26、Q(4-29)(4-30)(4-31)(4-33)(4-32)化工機械強度與振動2.兩端自由，中間支承為剛性支坐應從 起算，對于自由端有00000,0,0,0LLLLyMQ 0LZ選定試算頻率后，利用點傳遞矩陣得 020100001000010001LRyZMnQ然后按遞推公式計算。以上均用兩次法進行。非零初參數為 和 ，在算到左支承i時，因撓度、轉角和彎矩保持連續(xù)，有 000Liiiiyyyyy可得 00iiyyy 00Lyy00L 000Liiiiiiiiyyy圖4-13(4-34)化工機械強度與振動 000LiiiiiiiiyMMMyMMMy剪力Q1在i截面處發(fā)生突跳，突跳值為支反力 ，

27、由于 未知，故新參數為LiiiQQRiRiR由以上兩式可見，經過剛性支坐i后，將增加一個新參數 而減少一初參數 iQ0y因此I,s支坐間某截面狀態(tài)變量就可表示為參數 的線性組合。用兩次法來得到K截面的狀態(tài)變量：第一次取 ，按遞推公式可得 第二次取 ，同樣可得 IkZ kZ01,0iQ00,1iQ則有 0ikkkZZZQ同理，s支坐后各截面狀態(tài)向量應表達為 的線性組合 0snnnZZZQ0,sQ(4-35)0,iQ化工機械強度與振動或寫成 0000nnsnnsnnsnnnsyyQyQMMMQQQQQ根據末端截面的邊界條件應有 0000nnnsnnnsMMMQQQQQ上式有非零解的條件為 0nnn

28、nMMQQ此即兩端自由剛性鉸支梁的頻率方程，殘矩為 nnnnQRMMQ(4-36)(4-37)(4-38)化工機械強度與振動三、葉輪回轉力矩的計算在轉子臨界轉速的計算中，較粗略的做法是把葉輪作為集中質量，因此只考慮葉輪的離心慣性力。當要求計算更精確時，就必須將葉輪作為圓盤處理，因此不僅要計算葉輪的離心慣性力，還要計算其慣性力矩，即回轉力矩。當葉輪處于軸的中點時，轉子的彎曲并不使葉輪發(fā)生偏轉，見圖4-14a。當轉子旋曲時，葉輪上各點慣性力都在同一平面內，并不產生慣性力矩，只需考慮其離心慣性力的作用，但當葉輪靠近一端支坐，或在外伸段上時，轉軸的變形使葉輪產生傾側，見圖4-14b，在這種情況下，當轉

29、子旋曲時，葉輪在空間搖擺。由于葉輪作空間運動時動量矩矢量方向的改變，它必然受到轉軸作用于它的一個力矩，因此轉軸就受到一個反作用力矩，這就是圓盤的慣性力矩，通常稱為回轉力矩或陀螺力矩。圖4-14 轉子弓狀旋曲化工機械強度與振動12cossinrr因此圓盤沿這兩個方向的動量矩分量為12prdGIGI式中 分別為圓盤相應對稱軸的極轉動慣量和對直徑的軸轉動慣量。再求出的垂直分量V和水平分量H(相對于oxy坐標)。由圖c有2prdprdprdprVIIIIHIII H分量中將二階微量略去。圖a所示為一單盤懸臂轉子。設轉軸的撓曲平面xoy以角速度繞水平軸ox轉動。圓盤除了隨xoy平面一起轉動外，一般而言，

30、它還相對于撓曲平面還可以相對角速度r繞對稱軸ox轉動。圖b表示圓盤的絕對角速度 和各分量之間的關系。為了計算圓盤對質心o的動量矩 ，把 分解為沿對稱軸ox方向和盤直徑方向兩個分量，當為小角時有aoGa圖4-15 單盤懸臂轉子的回轉效應,pdIIoG化工機械強度與振動故prdMVII 1r當軸旋轉時，水平分量H不改變大小和方向，而垂直分量V卻因隨同xoy平面以角速度旋轉而改變方向。根據動量矩定理：質點系對于某一固定點的動量矩矢量末端的速度，等于作用于質點系的外力對同一點的主矩。垂直分量V的末端速度即為V ，得圓盤受到轉軸的作用力矩因轉軸所受的反作用力矩 就是回轉力矩。見圖4-16GM通常有可能發(fā)

31、生以下兩種運動情況：1.同步正進動 當圓盤的絕對角速度垂直分量 和撓曲平面的轉動角速度相等且方向相同時，稱為同步正進動。1由該式得 。圓盤和撓曲平面以相同的角速度一起旋轉?；剞D力矩2GpdMII 0r對于薄圓盤，2pdII2GdMI (4-39)圖4-16 圓盤作用于轉軸的回轉力矩(4-40)化工機械強度與振動圖4-16即為此種情況?？梢娫诠こ讨凶顬槌Ｒ姷耐秸M動中，圓盤的回轉力矩通常是減少軸的彎曲程度，因而相當于增加軸的剛度，即提高了轉子的臨界轉速。2.同步反進動當 和 相等但轉動方向相反時，稱為同步反進動。即11r 即有2r 回轉力矩為2GpdMII 同步反進動相當于降低了軸的剛度，即降

32、低了轉子的臨界轉速。但這種情況工程中很少發(fā)生。(4-41)化工機械強度與振動四、彈性支坐轉子臨界轉速的計算由于軸承中油膜具有彈性，軸承坐和基礎也有一定彈性。因此絕對剛性的支坐不存在。把支坐作為彈性支坐對待，即考慮支坐彈性以后，使整個轉軸系統(tǒng)剛度下降，因此使轉子臨界轉速降低。1.支坐剛度的計算支坐彈性可認為由兩部分構成：軸承油膜彈性與軸承坐的彈性。油膜質量很小，可認為只有剛度，不計質量。軸承坐則既有剛度又有參振質量，見簡圖4-17a其中 為支坐處集中質量， 分別為油膜剛度與軸承坐靜剛度，m為軸承坐的參振質量現(xiàn)介紹系統(tǒng)的動剛度的概念。如上一無阻尼質量彈簧系統(tǒng)，受到強迫力Fsint作用后產生受迫振動

33、，其振幅為2sFxKmjm0,sk k圖4-17 彈性支坐力模型化工機械強度與振動定義激振力幅F與振幅X之比為該系統(tǒng)的動剛度2dsFkKmX可見當 時，有 ，即外力為靜力時，系統(tǒng)的動剛度便等于靜剛度。而當 時， ，意味著受迫振動振幅X無限增大。可見動力系統(tǒng)的剛度應用動剛度來表示，它與激振力的頻率有關。0dskk/skm0dk 如用軸承坐動剛度 來代替其靜剛度和參振質量m，系統(tǒng)簡圖4-17a可用b表示，再求出與串連彈簧 等效的彈簧剛度 。 即支坐的剛度，見c。0111pdkkkdk,cdk kpkpk2020spskkmkkkm對葉輪機械轉子，油膜剛度值一般可取 。通常軸承坐靜剛度 較油膜剛度

34、大得多，因此支坐剛度主要取決于軸承油膜剛度。但無論軸承油膜剛度還是基礎動剛度的數值，都很難取準。6610 2 10/N cmsk0k(4-42)(4-43)化工機械強度與振動2.計算特點圖4-19a為具有外伸端的簡支梁，為彈性支坐。設i支坐的撓度為 ，剛度為 ，則支反力 為iyikiRiiiRk y (b)為i支坐受力圖， 為i支坐點上的集中質量，于是 為i點上之慣性力，分別為i點左右截面上的剪力，應有2RLiiiiiiQQmyk y 可用始端截面參數 表示。故在彈性支坐情況下，通過支坐后不再出現(xiàn)新參數，因此不必變換參數。這點是有異于剛性支坐的。這樣在轉子末端截面狀態(tài)向量任意初參數 表示。根據

35、末端邊界條件，可得具有外伸端的彈性簡支梁的頻率方程 000000nnnnnnMMyMQQyQ圖4-19 (a)彈性支坐轉子力學模型(b)支坐點分析im2iimy,LRiiQQiy00,y00,y(4-44)(4-45)化工機械強度與振動 0nnnnMMQQ nnnnQRMMQ殘矩為碰到彈性支點時，剪力遞推應按4-45式五、影響轉子臨界轉速因素的分析1.支坐彈性的影響由于支坐的彈性，使轉子軸承系統(tǒng)的剛度下降，因此通常是降低轉子的臨界轉速。現(xiàn)分析圖4-20(a)所示單盤轉子。并設A、B彈性支坐剛度相同。圓盤的豎直位移由兩部分組成，一是軸的彎曲變形，一是支坐變形。設軸的彎曲剛度為 ，支坐剛度為 ，則

36、可將上述轉子軸承系統(tǒng)簡化為單質量彈簧系統(tǒng)。如圖25b。其中m為圓盤質量和軸的折合質量之和。K為系統(tǒng)的相當剛度。按振動理論有：1112rpkkk(4-46)(4-47)圖4-20 單盤轉子彈性支坐分析rkpk化工機械強度與振動22prprk kkkk彈性支承系統(tǒng)的固有頻率可寫為11/2rkrpkkmmkk而 就是轉子在剛性支坐條件下的固有頻率，即剛之條件下的臨界轉速，以 表示，上式可寫為/rkm11/2ksrpkk從上式可看出，當 ，即剛支情況下， 。在一般情況下 ，在上面的談論中也得出同樣的結論。進一步分析?？煽闯鲋ё鴱椥杂绊懙拇笮?，是取決于軸的剛度與支坐剛度值比值。當軸的剛度比支坐剛度大時，

37、支坐彈性對臨界轉速的影響就明顯；相反則不明顯。特別是當 后是這樣。可見支坐彈性的影響。并不單純取決于支坐的剛度，還與轉子本身剛度有關。同一軸承系統(tǒng)，對不同轉子來說，對其臨界轉速的影響是不一樣的。當支坐分別為剛性和彈性時，ALS-16000按壓縮機低壓缸和高壓缸轉子的一階臨界轉速如下：即(4-48)spk ksks/2rpkk化工機械強度與振動某二氧化碳升壓循環(huán)機轉子的一、二、三階臨界轉速計算結果列于表2.可以看到，支坐彈性對高階臨界轉速的影響要比低階大。這是因為高階振型節(jié)點數多，相當于軸的剛度增加，所以支坐彈性的影響增大。表1 支坐彈性對氨壓縮機高、低壓缸轉子臨界轉速的影響表2 支坐彈性對某二

38、氧化碳升壓循環(huán)機轉子各階臨界轉速的影響化工機械強度與振動此時在 情況下，支坐總剛度 。由4-48式可看出，這時隨著支坐剛度的降低，轉子的臨界轉速非但不下降，反而要提高。這就是所謂負剛度的情況。這時支坐的振動方向與轉子的振動方向相反，相位差180，見圖4-21.其中m代表轉子質量，m為支坐的參振質量，其振動情況見圖4-22。將這種支承稱為撓性支坐。現(xiàn)分析一種支坐“負剛度”情況，由公式2020spskkmkkkm可看出支坐動剛度 與轉軸轉速有關，令sbkmpk為支坐（包括軸承坐及基礎）的固有頻率可見當 時，則對支坐負剛度的撓性支坐，其臨界轉速一般接近于剛性支坐時的值，因此在計算臨界轉速時，可不考慮支坐彈性的影響。b20skm200skkm0pk 圖4-21 支座振動與轉子振動反相圖4-22 支座負剛度情況轉子一階振型化工機械強度與振動2.葉輪回轉力矩的影響同步正進動時，葉輪回轉力矩為2GpdMII 對一般較薄的葉輪，有 ，因此回轉力矩的影響總是提高轉子的臨界轉速。對于高階臨界轉速及葉輪安裝在懸臂端，回轉力矩的影響都比較大，應予考慮。如某DH型雙軸四級離心式壓縮機的級轉軸，結構如圖4-23示，轉軸兩端懸臂都安裝有葉輪，回轉力矩的影響應計入。表3列出計入和不計入回轉力矩情況下，一階與二階臨界轉