動(dòng)力系統(tǒng)的概念

1、.動(dòng)力系統(tǒng)的概念 這一章是對(duì)于事實(shí)的調(diào)查，而且來(lái)源于應(yīng)用于全書(shū)的動(dòng)力系統(tǒng)理論。我們的主要目的是為后面的章節(jié)確定固定使用的常用符號(hào)和專業(yè)術(shù)語(yǔ)，并且回想一些常常在課本的前言中不被討論的理論的一些方面。為了更容易的閱讀，我們保持討論時(shí)采用非專業(yè)術(shù)語(yǔ)，并盡可能地防止技術(shù)上的符號(hào)和觀點(diǎn)。然而許多遺漏的細(xì)節(jié)可以從研究生使用的動(dòng)力系統(tǒng)的課本的前言中找到，一些更加先進(jìn)的課題僅僅在研究性的文章中涉及到。在某些情況下，我們將提供一些在更深的章節(jié)中關(guān)于這個(gè)主題的參考。另外，我們鼓勵(lì)讀者使用附錄A和B作為基于不同的幾何和函數(shù)分析的參考。1.1 流量，映射，動(dòng)力系統(tǒng)對(duì)于任意的集合P，一個(gè)變換群中的任意的一個(gè)參數(shù)t屬于實(shí)

2、數(shù)，如果對(duì)于所有的屬于集合P，并且對(duì)于任意的, 屬于實(shí)數(shù)都成立,那么被稱為一個(gè)流。這兩個(gè)屬性說(shuō)明和它的逆是不可以轉(zhuǎn)化的。這一組合叫做基于空間P的一個(gè)連續(xù)的動(dòng)力系統(tǒng)。換句話說(shuō)，一個(gè)連續(xù)的動(dòng)力系統(tǒng)包括一個(gè)可能狀態(tài)集合和唯一決定將來(lái)狀態(tài)的當(dāng)前的狀態(tài)函數(shù)x的變化規(guī)那么。通過(guò)x這一點(diǎn)的變化軌跡是集合。一個(gè)固定點(diǎn)的流是一個(gè)點(diǎn)且對(duì)于任意的都成立。這個(gè)流的一個(gè)周期的軌跡就是通過(guò)這一點(diǎn)x對(duì)于那些存在的正數(shù)T,并且滿足的這樣的軌跡。如果用以上所說(shuō)的映射族定義只需，且對(duì)于所有的t，s滿足和，那么叫做半流形。注：半流形通常是不可逆的，動(dòng)力系統(tǒng)的一個(gè)典型的特征是在無(wú)窮大的空間中是確定的。當(dāng)有單獨(dú)向映射且存在時(shí)，離散動(dòng)力

3、系統(tǒng)是確定的。這樣的系統(tǒng)還有一些性質(zhì)即通過(guò)的迭代次數(shù)可以得出唯一的當(dāng)前狀態(tài)決定所有的將來(lái)狀態(tài)。這時(shí)的取值范圍是確定的在集合中，其中。上面離散動(dòng)力系統(tǒng)的定點(diǎn)是點(diǎn)且的點(diǎn)。k點(diǎn)的周期是對(duì)于點(diǎn)有且對(duì)于所有的有。對(duì)于，的極限集合是確定的，。如果是可逆的，那么的極限集合可以定義的關(guān)于極限級(jí)。 注：連續(xù)型動(dòng)力系統(tǒng)的一一映射定義與離散型動(dòng)力系統(tǒng)在一樣的拓?fù)淇臻g中。一一映射不能得到根底流量的全部性質(zhì)，但是能夠繼承很多相似的特征。 另一個(gè)龐加萊映射提供了流的頻閃圖片，它的構(gòu)造如下：假設(shè)是上的一個(gè)開(kāi)集合，是在中一個(gè)超曲面即光滑的維流行。假設(shè)的任意軌道，橫向的相交于一點(diǎn)是不同于的。然后第一個(gè)返回時(shí)間是確定的對(duì)于即。映

4、射 叫做第一返回映射或龐加萊映射設(shè)聯(lián)系在一起的流量。超曲面通常被稱作相應(yīng)的龐加萊截面。一一映射和第一返回映射和根底流和龐加萊截面一樣光滑。 1.2 常微分方程和動(dòng)力系統(tǒng)這本書(shū)大局部表達(dá)的常微分方程形式(1.1)這里，是一個(gè)充分光滑的向量場(chǎng)確定的。集合叫做方程的象空間，同時(shí)叫做擴(kuò)大相空間。 常微分方程叫做獨(dú)立存在的如果沒(méi)有明確的時(shí)間相依性，如下。流量和自治的方程結(jié)合起來(lái)單參數(shù)變換群，表示為解決的初始狀態(tài)，如下，。根據(jù)常微分方程的根本理論，函數(shù)的像1.1的右邊一樣光滑，同時(shí)關(guān)于也是光滑的。如果依賴于形狀的參數(shù)，那么也是類的隨著關(guān)于那些參數(shù)的變量。非自治的常微分方程不能產(chǎn)生流，因?yàn)榻饷鞔_取決于初始時(shí)

5、間且。其結(jié)果是，我們可以得到在一般情況下。然而，產(chǎn)生的映射具有兩個(gè)參數(shù)的集合存在，解的唯一性能保證和流類似的性能因?yàn)樽ⅲ涸跀U(kuò)大的相空間上擴(kuò)大的常微分方程，認(rèn)為流。 和常微分方程1.1等價(jià)的公式是積分方程 1.2作為未知函數(shù)。一些方程成認(rèn)自治的線性項(xiàng)在它們的右邊，當(dāng)常微分方程能夠?qū)懗?，和相?yīng)的積分方程 (1.3)這個(gè)公式可以通過(guò)改進(jìn)非齊次的，線性常微分方程的通解獲得。積分方程是在估計(jì)進(jìn)展的解之間的距離或關(guān)于初始條件或參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)非常有用的。例如，一個(gè)有連續(xù)獨(dú)立解的常微分方程的初始條件能夠涉及到在積分方程1.2中，寫(xiě)作當(dāng)特定領(lǐng)域，是一個(gè)利普希茨常數(shù)然后，通過(guò)格朗瓦爾不等式，我們得到，這樣證明要求的

6、連續(xù)性。最后不等式的一個(gè)重要結(jié)果是如果和，那么 。換句話說(shuō)，“在有限時(shí)間，接近的初始條件停留在接近例如，在時(shí)間尺度上當(dāng)這種論據(jù)是有用的很多時(shí)候在離散化動(dòng)力學(xué)動(dòng)力系統(tǒng)理論中。例如，它意味著時(shí)間T映射的連續(xù)性對(duì)于任意在和處連續(xù)的流量。 目前，我們已經(jīng)解決的只有實(shí)數(shù)上的常微分方程問(wèn)題。微分方程的理論確定在一個(gè)流形中在局部坐標(biāo)上是類似的。定義一個(gè)獨(dú)立的常微分方程在一個(gè)流形上，需要一個(gè)利普希茨向量場(chǎng)在上，例如，一個(gè)利普希茨映射然后和這個(gè)向量場(chǎng)相應(yīng)常微分方程是系統(tǒng)。1.3 liouville定理一個(gè)自治的常微分方程流的一個(gè)重要的特征是其在體積元素上的作用，例如，不管它是否壓縮，擴(kuò)大，或保存大量的集合的初始

7、條件。如果表示集合的體積的開(kāi)集的初始條件，那么下面陳述liouville定理:.這個(gè)公式表示隨意發(fā)散的向量場(chǎng)產(chǎn)生大量保持體積的流在上。同樣，有阻尼系統(tǒng)，壓縮拓?fù)淇臻g的體積。同時(shí)，強(qiáng)迫系統(tǒng)，擴(kuò)展相空間的體積。這些觀察結(jié)果對(duì)流具有重要的質(zhì)的影響。例如，一個(gè)保持體積不變流的不動(dòng)點(diǎn)不能夠漸進(jìn)穩(wěn)定。至于在流形上的常微分方程，liouville定理能夠表達(dá)如下。讓作為一個(gè)在上體積，和讓作為一個(gè)向量場(chǎng)在上。通過(guò)公式，我們能夠確定關(guān)于的散度。.這里的表示在處的拉回。如果表示體積的，那么我們可以得到。在一個(gè)流形上積分形式的其中的含義，見(jiàn)附錄A.18。1.4 構(gòu)造穩(wěn)定性和分歧點(diǎn)假定兩個(gè)向量場(chǎng)和是確定在一個(gè)有邊界的

8、流形上的。這樣的向量場(chǎng)叫做在上的拓?fù)涞刃?，如果那存在同胚映射，把軌道上的變換到軌道上的保存它們的方向。拓?fù)涞刃蛄繄?chǎng)的例子在圖1.2顯示出來(lái)。在緊流形上，一個(gè)類的向量場(chǎng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，如果它是拓?fù)涞葍r(jià)的對(duì)于在上的任意其他向量場(chǎng)是在的范圍內(nèi)充分接近于。不嚴(yán)格的說(shuō)，一個(gè)向量場(chǎng)是拓?fù)涞葍r(jià)的，如果小的變形不能夠改變它的在本質(zhì)構(gòu)造上。在二維空間中，貝秀多定理鑒定了漸進(jìn)穩(wěn)定性的向量場(chǎng)的特征。也就是，讓成為一個(gè)封閉的在平面上的磁盤。那么一個(gè)類的向量場(chǎng)確定在上是漸進(jìn)穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)每個(gè)平衡點(diǎn)和周期軌道都是雙曲時(shí)，從章節(jié)1.13意義上說(shuō)，沒(méi)有連接鞍點(diǎn)的軌線。此外，漸進(jìn)穩(wěn)定向量場(chǎng)的集合是開(kāi)集，的向量場(chǎng)是密集的在上。

9、此理論適用于開(kāi)平面在二維空間的流形中，但是不適用于普通的二流形如二環(huán)面。當(dāng)一個(gè)向量場(chǎng)在一個(gè)類的向量場(chǎng)中時(shí)可能是漸進(jìn)不穩(wěn)定，它相對(duì)于這個(gè)類的一個(gè)子集可能變成漸進(jìn)穩(wěn)定。例如，思考一個(gè)純粹虛構(gòu)的二維空間的哈密爾頓函數(shù)的向量場(chǎng)趨向于一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，它的特征值不為零。這樣一個(gè)向量場(chǎng)的所有軌道接近這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的附近，在哈密爾頓函數(shù)成認(rèn)限度的局部最大值或最小值。明顯地，任意小的擾動(dòng)都能改變這個(gè)不動(dòng)點(diǎn)到槽中；因此，向量場(chǎng)在原點(diǎn)周圍的任意封閉圓平面是漸進(jìn)不穩(wěn)定的。然而，對(duì)于哈密爾頓函數(shù)本身來(lái)說(shuō)小的攝動(dòng)可能仍然放棄附近的局部極限值，所以接近不動(dòng)點(diǎn)的軌道可能會(huì)有點(diǎn)輕微的變形，但仍有堅(jiān)持性。因此，最初的向量場(chǎng)在一個(gè)類的哈密

10、爾頓函數(shù)向量場(chǎng)中是漸進(jìn)穩(wěn)定的。在類向量場(chǎng)的空間中的一個(gè)向量場(chǎng)是確定的在上，如果它不是漸進(jìn)穩(wěn)定的，被稱為一個(gè)分叉點(diǎn)。作為一個(gè)分歧點(diǎn)，我們指的是通過(guò)一個(gè)分叉點(diǎn)作為交換參數(shù)在向量場(chǎng)中的一個(gè)用參數(shù)表示的族。一個(gè)不變的集合附近發(fā)生質(zhì)的改變通常稱作局局部歧點(diǎn)，然而質(zhì)的改變涉及的擴(kuò)展構(gòu)造在相空間中叫做全局分歧。更多的了解分歧點(diǎn)的含義，請(qǐng)看Chow and Hale 72,或著Gukenheimer，Holmes145 ,Kuznetsov221。1.5 哈密爾頓系統(tǒng)古典的，精典哈密爾頓系統(tǒng)是眾所周知的存在在物理學(xué)中。它們被不同形式的微分方程來(lái)描述其中叫做典型變量，類作用叫做系統(tǒng)的哈密爾頓量。整數(shù)是指自由度的

11、數(shù)量。哈密爾頓系統(tǒng)最常出現(xiàn)在用自由度描述的機(jī)械系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)中。在此背景下，是一個(gè)向量的廣義坐標(biāo)，是一個(gè)向量相應(yīng)的廣義動(dòng)量。如果，機(jī)械系統(tǒng)是保守系統(tǒng)，例如，僅受和時(shí)間無(wú)關(guān)勢(shì)能力，那么哈密爾頓函數(shù)僅僅是機(jī)械能量，動(dòng)能和勢(shì)能的和。如果沒(méi)有顯式依賴，那么1.4的解是守恒的，因?yàn)閷?duì)于單自由度系統(tǒng)，這是我們想象的軌道作為水平面曲線的子集。除了體積保存，一個(gè)典型哈密爾頓系統(tǒng)的流有兩個(gè)保持性能。首先，它保存了典型辛的特征從的形式，例如，對(duì)于，表示的拉回見(jiàn)附錄A.11.因此，是一個(gè)在流形上的辛映射，于是也保存體積。見(jiàn)附錄A.1+。因?yàn)檫@種體積可能區(qū)別僅僅在在上標(biāo)準(zhǔn)體積，我們斷定就標(biāo)準(zhǔn)體積的拓?fù)淇臻g而言，典型哈密爾

12、頓函數(shù)的流是體積保存不變的。換句話說(shuō)，對(duì)于任意,大量集合的初始條件的體積是等于于大量的圖像集合的體積。超出以上提及的保持性能，寫(xiě)出動(dòng)力系統(tǒng)的哈密爾頓形式，其優(yōu)點(diǎn)在整個(gè)向量場(chǎng)能夠被一個(gè)實(shí)函數(shù)復(fù)制。此外，哈密爾頓函數(shù)本身告訴你很多哈密爾頓量流。例如，的不動(dòng)點(diǎn)僅僅是臨界點(diǎn)，例如，的點(diǎn)。不懂點(diǎn)的穩(wěn)定性明顯的取決于影響性能的。如果具有局部最小值或最大值在點(diǎn)，那么是一個(gè)穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)，因?yàn)檫@樣運(yùn)用來(lái)決定作為一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。 在上，經(jīng)典的哈密爾頓系統(tǒng)的概念能夠推廣的一個(gè)辛流形。觀察的結(jié)果是對(duì)于任意，一個(gè)典型的哈密爾頓向量場(chǎng)滿足,其中我們用過(guò)的公式A.9和附錄A里的一些符號(hào)。因此，我們可以得到，或相當(dāng)于 。

13、附錄A.16這最后一個(gè)表達(dá)式提出在任意維空間辛流形上推廣的哈密爾頓系統(tǒng)。讓我們考慮類的函數(shù).哈密爾頓函數(shù)的向量場(chǎng)和聯(lián)系起來(lái)能夠確定向量場(chǎng) 。 我們給出了幾何的定義在圖1.3. 相當(dāng)于，是具有哈密爾頓變量的哈密爾頓函數(shù)如果1.5對(duì)于所有的。最后，微分方程 1.6叫做哈密爾頓系統(tǒng)通過(guò)哈密爾頓變量生成的在 水平面上的集合，叫做能量面。由隱式函數(shù)定理，如果保持對(duì)于所有,是一個(gè)流形。在那種情況下是一個(gè)的余維數(shù)1一個(gè)子流形，叫做常規(guī)能源外表。如果包含能源外表，任意子集叫做等能道。有時(shí)的兩個(gè)子集包含一樣的能源外表也是提到的等能道 廣義的哈密爾頓系統(tǒng)，擁有經(jīng)典哈密爾頓系統(tǒng)的所有保持性能。例如，過(guò)1.6的解，哈

14、密爾頓變量被固定，因?yàn)槲覀兘?jīng)常在1.5用到的。這意味著1.6的軌道局限于的能量面。對(duì)于辛保存的證明來(lái)自通過(guò)1.6的流量，看亞伯拉罕和馬斯登或者阿諾德。體積的保存遵循附錄A.16。哈密爾頓系統(tǒng)的性能延續(xù)到它們的龐加萊映射。特別是，對(duì)于一個(gè)維自由度的哈密爾頓系統(tǒng)，如果是一個(gè)維的龐加萊截面在一個(gè)固定的能量面內(nèi)，那么限制辛的形式是非退化的，相應(yīng)的龐加萊映射如果定義是辛映射。例如，。 讓我們考慮一個(gè)映射。變化率沿著一個(gè)哈密爾頓向量場(chǎng)的軌跡能夠計(jì)算因?yàn)槭遣此衫ㄌ?hào)由辛形式誘導(dǎo)而來(lái)見(jiàn)附錄A.16的哈密爾頓系統(tǒng)的首次積分是一個(gè)常數(shù)解的函數(shù)，以上公式說(shuō)明是不變的當(dāng)且僅當(dāng)，例如，當(dāng)且僅當(dāng)是退化的隨著。一些向量場(chǎng)能夠

15、寫(xiě)成哈密爾頓形式在開(kāi)集中，但是沒(méi)有在整個(gè)的相空間上。例如，思考相空間和坐標(biāo)和辛的形式。微分方程，容許哈密爾頓函數(shù)在的開(kāi)子集上，但是這種函數(shù)不能擴(kuò)展到一個(gè)全局性確實(shí)定的平穩(wěn)的函數(shù)在上，因?yàn)樗谥胁皇侵芷谛缘?。一般?lái)說(shuō)，如果對(duì)于任意有一個(gè)的鄰域，是一個(gè)受限于的哈密爾頓變量，在辛流形上的一個(gè)向量場(chǎng)叫做局部哈密爾頓量，。注：是一個(gè)局部哈密爾頓變量當(dāng)且僅當(dāng)單形是閉的對(duì)于所有來(lái)說(shuō)。1.6 Poincare-Cartan 積分不變式目前為止我一直認(rèn)為只有獨(dú)立哈密爾頓函數(shù)向量場(chǎng)，但是在經(jīng)典力學(xué)中也有人遇到過(guò)這樣的微分方程形式，。 1.7 這樣一個(gè)系統(tǒng)源自一個(gè)依賴時(shí)間的哈密爾頓變量通過(guò)典型的辛形式，正如它的自治

16、系統(tǒng)。然而，一些獨(dú)立哈密爾頓系統(tǒng)的保守型能無(wú)法對(duì)1.7滿足。例如，哈密爾頓函數(shù)通常不轉(zhuǎn)換解的方向。一個(gè)重要的保守性能是適用于獨(dú)立和不獨(dú)立的情況是積分在擴(kuò)展的相空間的漸進(jìn)線上。這個(gè)積分叫做Poincare-Cartan 積分不變式，制定準(zhǔn)確地保守效果是下面的情況。讓作為初始條件處的漸近線。表示曲線的像在流的作用下擴(kuò)展相空間記為。那么，。簡(jiǎn)言之，Poincare-Cartan 積分不變式在擴(kuò)展的相空間是沿著隨著常數(shù)平面與“隧道 穿插的解保守的見(jiàn)圖1.4。對(duì)于一個(gè)Poincare-Cartan 積分不變式的幾何證明，見(jiàn)，例如，Arnold211.7 生成函數(shù) 哈密爾頓函數(shù)方程1.7證明是等價(jià)于極限化

17、積分，例如，它們來(lái)源于條件因此，如果我們改變變量保持標(biāo)準(zhǔn)的辛構(gòu)造，那么我們必須有， 1.8是一些標(biāo)量乘數(shù)，是被轉(zhuǎn)化的哈密爾頓變量，是一個(gè)封閉的單形。為了簡(jiǎn)單，我們讓 和尋求那就可以保證1.8條件，因?yàn)殚]型是確定在簡(jiǎn)單的歐氏空間連接的地區(qū)，我們可以改寫(xiě)1.8如對(duì)于一些實(shí)值函數(shù)。無(wú)解，我們進(jìn)一步改寫(xiě)這個(gè)方程如其中。這個(gè)最終公式結(jié)果說(shuō)明，任何函數(shù)，一種依賴時(shí)間變化的變量變換滿足將會(huì)導(dǎo)致一個(gè)典型的，時(shí)間相依的哈密爾頓系統(tǒng)通過(guò)哈密爾頓變量1.9由此而論，函數(shù)叫做生成函數(shù)，對(duì)于變量的變換利用生成函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是不用必須完成轉(zhuǎn)化為整個(gè)哈密爾頓系統(tǒng)的向量場(chǎng)；一種簡(jiǎn)單的計(jì)算哈密爾頓函數(shù)的方法來(lái)自1.9，源自新的向量

18、場(chǎng)就通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的辛來(lái)自。注：對(duì)于時(shí)間相依轉(zhuǎn)型的哈密爾頓變量?jī)H僅是以新坐標(biāo)表達(dá)初始哈密爾頓量。對(duì)于更多的資料關(guān)于生成函數(shù)，見(jiàn)Abraham and Marsden或者Arnold。 1.8 無(wú)限維的哈密爾頓系統(tǒng) 在這本書(shū)的第5章我們將會(huì)遇到哈密爾頓系統(tǒng)在函數(shù)空間上是確定的。因?yàn)榇缶植康姆治鰧?huì)限制在無(wú)限維流形，這里我們只說(shuō)最簡(jiǎn)單的無(wú)限維哈密頓系統(tǒng)。作為一般參考書(shū)目，我們推薦Chernoff and Marsden或者Abraham et al.。 把一個(gè)不結(jié)實(shí)的辛流形模式化在空間上，讓作為一個(gè)類的函數(shù)見(jiàn)附錄B的定義。一個(gè)哈密爾頓函數(shù)向量場(chǎng)是和聯(lián)系起來(lái)的向量場(chǎng)是滿足 1.10對(duì)于所有的因?yàn)榧俣槿醯?/p>

19、非退化，在映射上不是必須的，因此可能不存在對(duì)于一個(gè)固定的函數(shù)。此外，盡管是光滑的，通常是確定的僅僅在的子集上。然而，因?yàn)槭菃紊洌允俏ㄒ坏漠?dāng)它是確定的。如果被假定為強(qiáng)的非退化的，那么哈密爾頓系統(tǒng)的一般形式在是此外，一般不是處處確定的在上。假設(shè)流是存在的，在無(wú)限維的情況下，能量的性能和通過(guò)哈密爾頓系統(tǒng)的流的體積保守也擁有?；蛟S無(wú)限維的哈密爾頓系統(tǒng)最著名的例子是線性波動(dòng)方程和函數(shù)為了簡(jiǎn)單，我們限制，假定在上是周期性的且周期。隨著表達(dá)式，方程能夠改寫(xiě)成如. 1.11考慮現(xiàn)在的流形和能量函數(shù)和雙形來(lái)源于一個(gè)辛流形。我們現(xiàn)在計(jì)算哈密爾頓向量場(chǎng)和聯(lián)系起來(lái)存在的上。運(yùn)用公式1.10和從附錄B.4中-梯度的

20、定義，我們可以寫(xiě)出因?yàn)楹褪侨我獾模覀儙缀跆幪幙梢缘玫胶?。注：是唯一一個(gè)在上的向量場(chǎng)，如果我們限制致密的子集。因此，系統(tǒng)1.11是哈密爾頓系統(tǒng)和能夠?qū)懗扇缦聨缀跆幪幵谏?。事?shí)上哈密爾頓系統(tǒng)存在半群理論的流見(jiàn)Yosida。我們最后注解是定義在上意義上的全局分布。 1.9辛約化在經(jīng)典的力學(xué)里，一個(gè)古老的技術(shù)就是通過(guò)研究哈密爾頓系統(tǒng)的周期對(duì)稱性來(lái)減小它的維數(shù)。一個(gè)廣義的哈密爾頓系統(tǒng)和普通的連續(xù)的對(duì)稱性思想的延伸由辛約化理論給出。下面我們會(huì)詳細(xì)描述，為了更詳細(xì)的知道細(xì)節(jié)和結(jié)果，我們請(qǐng)讀者參閱參考文獻(xiàn)4Abraham and Marsden和21Arnold是一個(gè)辛流形并且是一個(gè)李群附錄A.7。一個(gè)群里

21、的映射：，如果對(duì)任意的，是一個(gè)辛映射，也就是，那么稱為偶對(duì)的。任何的子群將會(huì)引起在上的流并且符合的向量場(chǎng)是局部漢密爾頓量。這由下面的公式給出，因?yàn)?，因?yàn)槭桥紝?duì)的并且變化微小。我們對(duì)這種情況感興趣，在這種情況下，是全局哈密爾頓量并且子群上的函數(shù)可以被認(rèn)為是哈密爾頓系統(tǒng)作用在上的流。相應(yīng)的哈密爾頓函數(shù)將會(huì)被認(rèn)為是群函數(shù)里的動(dòng)量映射，這是由于在經(jīng)典的力學(xué)里，循環(huán)對(duì)稱的存在性，與角動(dòng)量相似的角色激發(fā)產(chǎn)生的。為了讓這些想法更加準(zhǔn)確，設(shè)是一個(gè)與辛流型相關(guān)的辛函數(shù)，讓是一個(gè)從到李代數(shù)映射的對(duì)偶空間。我們稱是一個(gè)動(dòng)量映射，如果函數(shù)滿足：，或者更細(xì)微地說(shuō)，。這里是極小數(shù)，和函數(shù)并且指的是對(duì)偶空間和中的元素的序列

22、對(duì)相關(guān)。為了防止介紹更多的注釋，我們把我們的注意力限制在交換群中，也是阿貝爾群，在這個(gè)群中，群的乘法是可以交換的。我們?cè)谶@本書(shū)遇到的對(duì)稱性都是由阿貝爾對(duì)稱群產(chǎn)生的。為了在非阿貝爾群中的函數(shù)下的辛減約化，讀者請(qǐng)參閱我們上面所標(biāo)注的資源。在阿貝爾李群中，例如或者是，我們可以根據(jù)下面的實(shí)行辛約化。假設(shè)我們已經(jīng)確定了是李群中的函數(shù)的動(dòng)量映射。回想：動(dòng)量映射可以被想成是群函數(shù)的哈密爾頓函數(shù)。辛約化的思想包括建立一個(gè)新的級(jí)別，然后關(guān)于群的函數(shù)采取商空間的水平。對(duì)任意固定的，被作用的空間被稱做是約化相空間。圖1.5顯示，約化的相空間是一個(gè)流形，如果是一個(gè)常量并且作用在上的函數(shù)是適當(dāng)?shù)暮妥杂傻摹?讓作為商的投

23、射，映射任意點(diǎn)到類上對(duì)應(yīng)的群的軌道見(jiàn)圖1.5.派生的能夠用來(lái)確定向量的等價(jià)類在任何切空間也就是說(shuō)，一個(gè)擁有，在中通過(guò)的映射僅是向量的等價(jià)類。它能夠顯示雙形是定義為是非退化的在上，假設(shè)是一個(gè)正那么值對(duì)于和的作用是適當(dāng)?shù)暮腿我獾脑谏?。在那種情況下，是一個(gè)辛流形，能夠作為全部的哈密爾頓流的“模型。這意味著如果表示哈密爾頓流生成的簡(jiǎn)化的哈密爾頓函數(shù) ，在辛流形上，那么在上約化的流與在上的全部哈密爾頓流量交換，例如，。研究在上約化的流使得理解在拓相空間上的動(dòng)力學(xué)更容易。1.10 可積性系統(tǒng)正如我們所看到的那樣，一個(gè)適宜對(duì)稱群的存在及其相應(yīng)的守恒量有效地減少了哈密爾頓系統(tǒng)的一個(gè)自由度。如果在一個(gè)問(wèn)題中能找

24、到足夠多的自由積分，那么連續(xù)減少最終將會(huì)形成單自由度漢密爾頓系統(tǒng)，而它又是可以根據(jù)面積來(lái)積分的，例如，用絕對(duì)值法求單積分的值。通過(guò)對(duì)稱群及在減少過(guò)程中用到的相應(yīng)積分而最終形成的一維自由度問(wèn)題的解決方法可以重新構(gòu)造全相空間構(gòu)造。在絕大多數(shù)情況下，大局部的可積相空間中，n維自由度問(wèn)題可歸結(jié)為不變n維圓環(huán)面。 Liouville-Arnold-Jost定理給出了上述論述的一個(gè)準(zhǔn)確表達(dá)式，也就是下面我們將要描述的。證明見(jiàn)Arnold21,更多關(guān)于可積系統(tǒng)的知識(shí)見(jiàn)Arnold et al.22。設(shè)是一個(gè)有限維辛流型，(1.13)是定義在上的哈密爾頓系統(tǒng)，含有平光滑漢密爾頓量。假設(shè)對(duì)于1.13存在n個(gè)積分

25、它們彼此對(duì)合，例如，對(duì)所有的和成立?？紤]聯(lián)合式并假設(shè)n個(gè)函數(shù)不依賴于，那么顯然是哈密爾頓系統(tǒng)1.13的一個(gè)不變流型。此外，如果是簡(jiǎn)潔的和關(guān)聯(lián)的，那么Liouville-Arnold-Jost定理保證了微分同胚于n維圓環(huán)面。在這種情況下，存在一個(gè)接近的作用角度變量其中是個(gè)開(kāi)集，這樣對(duì)偶形就可以寫(xiě)成 并且方程1.13變?yōu)樽⒁?，在這些新坐標(biāo)中，哈密爾頓只依賴于。此外，流是完全可積的，因?yàn)榻鉀Q方案可寫(xiě)為如果頻率向量的元素理性地獨(dú)立于給定的n維圓環(huán)面那么結(jié)果是準(zhǔn)周期的，并且每一個(gè)都形成了圓環(huán)面的稠密子集。但是，如果頻率是理性依賴的，那么所有的j解是周期性的，例如閉軌道形成了圓環(huán)面。這樣的一個(gè)圓環(huán)面被稱為

26、諧振的。在一般的可積系統(tǒng)中，諧振圓環(huán)面在相空間中形成了一個(gè)零測(cè)度的稠密集，與此同時(shí)，不是諧振的圓環(huán)面通常會(huì)形成滿測(cè)度的稠密集。在大多數(shù)情況下可積性的得出比不可積更難建立。對(duì)于n維自由度哈密爾頓系統(tǒng)，有一些準(zhǔn)那么能自動(dòng)指出n個(gè)獨(dú)立積分的不存在性。想要查閱這些準(zhǔn)那么，我們建議讀者查看Kozlov211,那同時(shí)給出了漢密爾頓動(dòng)態(tài)系統(tǒng)幾個(gè)方面的詳細(xì)介紹。1.11 KAM定理和Whiskered圓環(huán)面可積漢密爾頓系統(tǒng)在它們的相空間中有很多要求。因?yàn)楹芏嘟?jīng)典力學(xué)問(wèn)題與一些可積系統(tǒng)類似，因此很自然地想到研究圓環(huán)面在小幅度擾動(dòng)下的積分極限情況。在天體力學(xué)中，試圖在近可積系統(tǒng)中建立持久不變圓環(huán)面始于Lindstedt和Deprit。但是，Ponicare注意到，他們對(duì)于持久不變圓環(huán)面的擾動(dòng)系列大體上是發(fā)散的。發(fā)散的原因是小分母的出現(xiàn)，這又歸因于諧振圓環(huán)面。KAM定理是在對(duì)形如的近可積漢密爾頓系統(tǒng)中的n維持久不變圓環(huán)面的研究結(jié)果中得出的。在定理的早期開(kāi)展過(guò)程中，漢密爾頓被假定為解析的，然后需要的條件被減弱到2n+1階導(dǎo)數(shù)連續(xù)見(jiàn)Poschel312或Arnold et al.22。KAM定理的主要結(jié)果是在相空間的有限開(kāi)集上非退化條件能否被滿足，那么中大量未被擾動(dòng)的n維圓環(huán)面需要足