淺談線性代數(shù)與空間解析幾何

1、線性代數(shù)論文題目淺談線性代數(shù)與空間解析幾何班級1401018學生郭雅楠學0一五年七月九日摘要在我們的學習過程中，可以發(fā)現(xiàn)線性代數(shù)和空間解析幾何中有很多相似之處。確切的說是線性代數(shù)中的一些理論是從空間解析幾何中發(fā)展和改進而來的。比如說通過空間解析幾何中多元一次方程組的解法線性代數(shù)提出了行列式，使行列式有了幾何意義，同時是行列式直觀化。也是通過行列式，多元方程組的解答更便捷、快速。又比如在線性代數(shù)中先后提出來線性空間、歐氏空間。線性空間也將向量做了推廣，使向量抽象化。歐氏空間也在線性空間的基礎上提出內積，使幾何空間中的向量的一些度量性質推廣化，等等，這樣的例子很多很多。總

2、體來說線性代數(shù)與空間解析幾何是相互聯(lián)系、相互促進的。可以更確切一點的說是空間解析幾何是線性代數(shù)的基石，而線性代數(shù)是空間解析幾何的推廣和并使之抽象化。關鍵詞：線性代數(shù)解析幾何歐氏空間聯(lián)系促進AbstractInourstudyprocess,wecanfindlinearalgebraandspaceanalyticgeometryhavemuchincommon.Exactlylinearalgebratheoryfromsomeofthespaceanalyticgeometryindevelopmentandimprovement.Forexample,byspaceanalyticgeo

3、metryinamultiplelinearalgebraequationssolutionmethodproposeddeterminants,makethedeterminantwithgeometricmeaning,atthesametime,isthedeterminantdirect.Alsothroughthedeterminants,multipleequationssolutionmoreconvenient,fast.Forinstanceinlinearalgebraandlinearspace,hasbroughtouttheEuclideanspace.Theline

4、arspacewillalsovectordopromotion,makevectorabstraction.Euclideanspaceinlinearspaceisputforwardbasedonthedotproduct,makethegeometryofspacevectorofthesomemeasurepropertiesofpromotion,andsoon.Keywords:LinearAlgebra;AnalyticGeometry;EuclideanSpace;Contact;Promotion在十七世紀，笛卡爾及費馬在幾何空間中引入了坐標系，從而在幾何與代數(shù)間建立了一座

5、橋梁，用代數(shù)方法解決空間的幾何問題，產(chǎn)生了解析幾何.解析幾何的產(chǎn)生，可以說是數(shù)學發(fā)展史上的一次飛躍.恩格斯曾經(jīng)這樣評價1:數(shù)學中的轉折點是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學，有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學，有了變數(shù)，微分和積分也就成了必要的了.從代數(shù)與幾何的發(fā)展歷史來看，線性代數(shù)與解析幾何從來就是相互聯(lián)系、相互促進的。解析幾何中以代數(shù)為工具，解析幾何中的很多概念、方法都是應用線性代數(shù)的知識來定義來刻畫、描述和表達的。例如，解析幾何中的向量的共線、共面的充分必要條件就是用線性運算的線性相關來刻畫的，最終轉化為用行列式工具來表述，再如，解析幾何中的向量的外積（向量積）、混合積也是行列式工具來表示的

6、典型事例。線性代數(shù)中的許多知識點的引入、敘述和刻畫亦用到解析幾何的概念或定義。例如線性空間的概念表述就是以解析幾何的二維、三維幾何空間為實例模型。從概念的內涵的外延來看，兩門課之間存在著特殊與一般的關系，解析幾何的一、二、三維空間是線性代數(shù)n維空間的特例，而線性空間的大量理論又是來源于一、二、三維幾何空間的推廣（抽象）。平面方程及平面間的位置關系與線性方程組的理論，二次曲線，二次曲面的化簡與代數(shù)中的二次型理論，幾何與代數(shù)中歐氏空間的理論等等。因此它們的關系可以歸納為“代數(shù)為幾何提供研究方法，幾何為代數(shù)提供直觀背景”。通過對線性代數(shù)和解析幾何的學習和研究中，我們可以看到解析幾何和線性代數(shù)中有著緊

7、密的聯(lián)系，運用解析幾何來分析線性代數(shù)更直觀。同時，線性代數(shù)也是解析幾何的一個發(fā)展、拓寬，比如說歐氏空間。運用線性代數(shù)的解題方法來解答解析幾何中的一些問題更加簡便、快捷，比如說運用行列式的計算來解答多元方程組問題。二.正文1線性代數(shù)中一些概念的幾何直觀解釋:1.1關于行列式的幾何背景2ijk:=a1a2a3b1b2b3以用行列式寫為設。=（a1，a2,a3）,3=（b,b2,b3）,丫=（，C2a）；兩個向量的向量積可a3量。b3C3表示為圖1平行，它在幾何上表示的是與a,3向量都垂直且成右手系的向a1a2b1b2C1C2三個向量的混合積可以用行列式（3,BJ）=（gmB）=何解釋是它的絕對值等

8、于棱所作的平行六面體的體六面體。此行列式的幾以它們3個向量為相鄰積（如圖1）。特別地，當（a,3,丫）=0時，由于平行六面體的體積為零。所以C1C2C3由此可得：過平面上兩點（2,丫1）,（x2,y2）的直線方程為XiyiX2推廣空間中有不在同一直線上的三點（xi,yi,zi）（i=1,2,3）的平面方程為xyzx1y1乙x2y2z2x3yz31.2關于正交變換的幾何意義在二次型化為標準型時，可以采用可逆變換或正交變換，但由于可逆變換對應于仿射坐標系的變換，正交變換則對應于直角坐標系的變換222所以區(qū)別比較大。例如：上+匕+=1:149通過可逆線性變換“化成3z1,222xyz=1,即橢球面變

9、成了球面。通過線性變換ZzJ向量長度和角度不變，因此幾何圖形不變。所以在討論二次方程決定的圖形時，必須用正交變換;如果只考慮它所屬類型時，可以用可逆變換（當然包括正交變換）。還應注意正交變換中：當正交陣的行列式表示為當正交陣的行列式為-11時，是旋轉變換；時，為鏡面反射變換。1.3關于正交化的幾何解釋線性無關的向量組可以由Schmidt正交化得到與其等價的正交組，它的幾何解釋為，如果有3個線性無關的向量a142a3則可以通過Schmidt正交化得到相應的3個正交向量I,2,31,%=%-y2，燈=%-丁3淇中丫2為a2在31上的投影向量；丫3為“3在31、32所確定的平面上的垂直投影向量。2,

10、2.y，化成x+y=1,即橢球面變成了圓枉面。而正交變換保持2向量組線性相關(無關)與幾何中向量共面、共線之間的關系3若a,3,丫是三維空間的向量，則：a線性相關；a,3線性相關；a,3,丫線性相關分別對應于幾何直觀的a為零向量；a,3共線；a,3,丫共面。因此，一維空間的基是空間中任意一個非零向量；二維空間的基是空間中兩個不共線向量；三維空間的基是空間中3個不共面的向量組成的。例.1在三維空間中有向量，OA=(ai,a2,a3),OB=(b1，b2,b3),OC=(gc,q),那么,a,b,c共線的充分必要條件是什么？Zx=aib-ait解:過A,B兩點的直線方程為y=a2+(b2a2t顯然

11、，當且僅當c點滿足此方程時,A,B,Cz=a3b3-a3t共線，即存在t,使得OC=(1-t)OA+tOB,于是,A,B,C共線.當且僅當OA,OB,OC中某一向量可以由其余向量線性表示，而且表出系數(shù)之和為1。3線性方程組與直線、平面的位置關系空間直線、平面的位置關系為線性方程組的結構理論提供了直觀的幾何解釋，同樣線性代數(shù)中的線性方程組的結構理論對深刻領會直線、平面的位置關系起到重要作用。4例.2已知平面上有三條不同的直線，它們的直線方程分別為l1:ax+2by+3c=0l2:bx+2cy+3a=0l3:cx+2ay+3b=0,試證這3條直線交可點的充分必要條件為a+b+c=0。5證明：必要性

12、，設3條直線l1,l2,l3相交于一點ax2by-3c則線性方程組bx+2cy=-3a有唯一解，a2b、a2b故系數(shù)矩陣A=b2c與增廣矩陣A=b2c2aJc2acx2ay-3b-3c、-3a的秩均為2,于是|A|=0，由于-3b7a2b|A尸b2cc2a-3c-3a=6(abc)a2b2c2-abac-bc=3(abc)(a-b)2(b-c)2(c-a)2-3b但是(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2豐0,a+b+c=0充分性：由a+b+c=0,則從必要性的證明可知：|A|=0,故:秩(A)3。a2b2,12,32r-由于=2(acb2)=-2(a+-b)2+-b20b2c24故：秩fA

13、J=?,于是，秩SJ=秩=因此線性方程組有唯一解，即,3條直線l1,l2,l3相交于一點。4線性代數(shù)中解析幾何的幾種應用或原理4.1 行列式幾何意義的應用aiiXi+a2X2+anXn=b1a21x1+a22x2+a2nxn=b2將“元一次線性方程組22112222|an1X1-an2X2-annXn=bn可以表示成工|口1+4期+-Qv=艮K中Q-fim3露.l=L2Tr)、P=(bi,bit.idA-fs,M*.*d人當detAHO時,從幾何上看,=lt2.n)iE是列向量口在仿射坐標系SIi=12卜的仿射坐標.下面先通過一個二維圖形說明如何來確定這些仿射坐標.從圖2可以看出，以3與a2為

14、鄰邊組成的平行四邊形有向面積與以X1a1與a2為鄰邊組成的平行四邊形有向面積相等.這是因為兩個平行四邊形均是以a2為底,h為高.因此，易于看出它們中每一個的有向面積與以a1,a2為鄰邊的平行四邊形有向面積之比均為X1.同理，可以看出X2與哪些平行四邊形的有向面積之比相關.因為這些平行四邊形的有向面積可以由行列式給出，所以由以上分析立刻可以_I-d_Im.曰1“看出”如下結果lJ=la：仃、ToTol推廣到一般n維空間的情況，即有當a0;當0a4-0.所以0.圖2仿射坐標4.2 二次型與二次曲面和二次曲線的聯(lián)系在解析幾何中，我們看到，當坐標原點與中心重合時，一個有心二次曲線的一般方程是22ax+

15、2bxy+cy=f（1）為了便于研究這個二次曲線的幾何性質，我們可以選擇適當?shù)慕嵌热兆鬓D軸（反時針方.向轉軸）x=xcos二-ysin二;y=xsin二+ycos（2）把方程（1）化為標準方程。在二次曲面的研究中也有類似情況。從代數(shù)角度看，所謂化標準方程就是用變量的線性代換（2）化簡一個二次其次多項式，使它只含有平方項。二次型就是在這個基礎上提出來的。就譬如說二次曲面吧。研究二次曲面：二的+價介+%口123Mh+fti.li+thX，+鼠匕+二0的形狀，可以利用矩陣運算把方程寫為/1卬/=上工+二。其中11ai2JCf*-X21-VBI1j./壯J,（122這里，i,j=1,2,3。再利用實對

16、稱矩陣可以正交相似對角化知，有正交變換x=Qy,使得：即有Vv；+入V/相應地fjfQj1r=,X1I:J4J-r3FJp1IjL.rJLJrJ這樣則由于正交變換對應坐標原點不動的坐標軸的變換，因此，方程中的常數(shù)項不變。于是就可據(jù)此用解析幾何討論圖形的形狀。二次型化為標準形可以利用解析幾何中二次曲線，二次曲面來直觀表示；同時，一些二次曲面，二次曲線的化為標準方程的化簡可以運用線性代數(shù)中的二次型化為標準形的方法來簡化，例如配方法、初等變換以及正交變換。例.3:化簡二次曲面2xy+2xz-6yz=0比如初等變換f(x,y,z)=2xy+2xz-6yz01A=101-3011一一20010-30-2

17、0則由1A1=1-30f006e1001-11010110001一1001可利用二次型中的初等變換，配方法或正交變換來化簡。Ix=x-yz故原二次曲面經(jīng)過坐標變換y=x+y化簡為2x-2y+6z2=0.正交變換也可以。z=z4.3歐氏空間的幾何理論在線性空間中，向量之間的基本運算只有加法和數(shù)乘，統(tǒng)稱為線性運算。如果我們以幾何空間中的向量作為線性空間理論的一個具體模型，那么就會發(fā)現(xiàn)向量的度量性質，如長度、夾角等。6在解析幾何中我們看到，向量的長度、夾角等度量性質都可以通過向量的內積來表示，而且向量的內積有明顯的代數(shù)性質。在這種情況下，歐幾里得空間（即歐氏空間）應運而生。結論：線性代數(shù)與解析幾何密不可分。在求解空間解析幾何的問題中，線性代數(shù)發(fā)揮了至關重要的作用。二者是相互聯(lián)系、相互促進的。二.