第2講共頂點模型解析版

1、中考數(shù)學幾何模型2:共頂點模型撥開云霧開門見山名師點睛共頂點模型,亦稱手拉手模型,是指兩個頂角相等的等腰或者等邊三角形的頂點重合,兩個三角形的兩條腰分別構成的兩個三角形全等或者相似.尋找共頂點旋轉模型的步驟如下:(1)尋找公共的頂點(2)列出兩組相等的邊或者對應成比例的邊(3)將兩組相等的邊分別分散到兩個三角形中去,證實全等或相似即可.兩等邊三角形兩等腰直角三角形兩任意等腰三角形*常見結論：連接BD、AE交于點F,連接CF,那么有以下結論：(1) ABCDAACE(2) AEBDAFBDFE(4) FC平分BFE典題探究啟迪思維探究重點例題1.以點A為頂點作等腰RtAABC,等腰RtAADE,

2、其中ZBAC=ZDAE=90°,如圖1所示放置,使得一直角邊重合,連接BD、CE.(1)試判斷BD、CE的數(shù)量關系,并說明理由；(2)延長BD交CE于點F試求/BFC的度數(shù)；(3)把兩個等腰直角三角形按如圖2放置,(1)、(2)中的結論是否仍成立請說明理由.【解答】解：(1)CE=BD,理由如下：等腰RtAABC,等腰RtAADE,.AE=AD,AC=AB,在AEAC與ADAB中,rAE=AD.EAgaDAB(SAS),CE=BD;(2)/AEACADAB, ./ECA=/DBA, ./ECA+/CBF=/DBA+ZCBF=45°, ./ECA+/CBF+/DCB=45+4

3、5°=90°, ./BFC=180°-90=90°(3)成立, 等腰RtAABC,等腰RtAADE, .AE=AD,AC=AB,在AEAC與ADAB中,JOAB.EAgaDAB(SAS),CE=BD;EACADAB, ./ECA=/DBA, ./ECA+/CBF=/DBA+ZCBF=45°,./ECA+/CBF+/DCB=45+45°=90°,./BFC=180°90=90°.變式練習>>>1.：如圖,AABC和4DCE都是等腰直角三角形,/ACB=/DCE=90°.(1)求證

4、：BD=AE.(2)假設/ABD=/DAE,AB=8,AD=6,求四邊形ABED的面積.ZACB=/DCE=90°,【解答】解：(1).ABC和ADCE者B是等腰直角三角形,AC=BC,CD=CE. ./ACB=/DCE=90°, /ACB+/ACD=/DCE+/ACD,即/BCD=/ACE.CBC=AC在ABCD和9CE中,BCD=/ACE,lcD=CE .BCDAACE(SAS),BD=AE;(2)由(1)得：BCD0ACE, ./CBD=/CAE, ./CBP+/BPC=90°,/BPC=/APD, ./EAC+ZAPD=90°, ./AHB=90

5、°, ./BAH+ZABD=90°, ./DAE=/ABD, .ZBAH+ZDAE=90°,即/BAD=90°, .AB=8,AD=6,BD=AE=10, 二S四邊形ABED=10X102=50.祥DB內,求證：CD與EF互相平分.例題2.如圖,等邊那BC,等邊那DE,等邊ADBF分別有公共頂點A,D,且那DE,ADBF都在a-3加圖建指£,小,田叢人同八八£,理門戶廣BD=E由片口8三?八卜加得hE小門*蘆.所以四邊里UECF為平行四邊形,即與E產(chǎn)互相平分.變式練習>>>2.已如圖,等邊三角形ABC,在AB上取點D

6、,在AC上取點E,使得AD=AE,作等邊三角形PCD,QAE和RAB,求證：P、Q、R是等邊三角形的三個頂點.【解答】解：連接BP,ABC和APCD都為等邊三角形,AC=BC,DC=PC,ZACB=ZDCP=60°,/ACB-/DCB=/DCP-/DCB,即/ACD=/BCP,ACDABCP(SAS),AD=BP,又/RAB+/BAC+ZQAE=180°,R,A,Q三點共線,又/CBP=/CAD=60°,/RBA+ZABC+ZCBP=180°,.R,B,P三點共線,又AQ=AE=AD=BP,RQ=RA+AQ=RB+BP=RP,又/R=60°,.

7、PQR是等邊三角形,那么P、Q、R是等邊三角形的三個頂點.例題3.在等邊那BC與等邊4DCE中,B,C,E三點共線,連接BD,AE交于點F連接CF.如圖1,求證：BF=AF+FC,EF=DF+FC;2如圖2,假設那BC,4DCE為等腰直角三角形,/ACB=/DCE=90°,那么1的結論是否成立假設不成立,寫出正確結論并證實不瞋；rhf=卜*、與m=i*+謔FUj1cnunm空ao于點為等辿/IbT*玳心所以HSWF.峽由JF-AF-rCFiHUflWtF=fJFt2)郵面3門巾('ftCKL片出門廣點WJACFK為等直弟WAACF,«丹木一科/"上-Hh&

8、#39;+KFtF<裊MnJi!-1,蘆4-J亍Fl：例題4.【問題探究】1如圖銳角評BC,分別以AB、AC為腰,在AABC的外部作等腰RtAABD和RtAACE,連接CD、BE,試猜測CD、BE的大小關系CD=BE;不必證實【深入探究】2如圖評BC、祥DE都是等腰直角三角形,點D在邊BC上不與B、C重合,EC,那么線段BC,DC,EC之間滿足的等量關系式為BC=CE+CD;不必證實線段AD2,BD2,CD2之間滿足的等量關系,并證實你的結論；連接求AD【解答】解：1.ABD和祥CE是等腰直角三角形,AB=AD,AE=AC,且/DAB=/EAC=90°,/DAB+ZBAC=ZE

9、AC+ZBAC,即/BAE=在ADAC和ABAE中,rAD=AB-ZDAC=ZBAE,tAC=AE.DACABAE(SAS),CD=BE,故答案為：CD=BE.(2)ABC、那DE都是等腰直角三角形,.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=90°,/BAD+/DAC=/CAE+/DAC,即/BAD=/CAE,在ABAD和ZCAE中,"AB三AC/BAD=/C疵,tAD=AE1 .BADACAE(SAS),2 .CE=BD,/ACE=/B=45°,又,.BC=BD+CD,ZACE=45°,BC=CE+CD,ZDCE=90°,3 .CD2+C

10、E2=DE2,4 BD=CE,DE=6AD,CD2+BD2=2AD2.故答案為：BC=CE+CD.(3)作.eLW,使一把二4C,連接CE.DE?'/CW=小,即乙=ZC.4E,產(chǎn)虱ZBAD=ZCAE.(AD-AE:SDCZr.=45°,Z£Z)J-45°,/皿二90,/-J>£=ce-3_cD2=6V2>,工DAEFO'.U)-A£-D£=6.2【拓展應用】3如圖,在四邊形ABCD中,/ABC=/ACB=/ADC=45°.假設BD=9,CD=3,的長.例題5.如圖1,在GABC中,BC=4,以線

11、段AB為邊作"BD,使得AD=BD,連接DC,再以DC為邊作CDE,使得DC=DE,/CDE=/ADB=a.請直接寫出線段AF的長(用含“的式子表示).AD=BD,DC=DE,如圖L過E作EH,必于M,;由©知：A=EFBC.Z.AEM=A后FM、2：rAF=2FAf=£FXsin=8sini,22領悟提升強化落實(1)如圖2,當/ABC=45°且“=90°時,用等式表示線段AD,DE之間的數(shù)量關系;(2)將線段CB沿著射線CE的方向平移,得到線段EF,連接BF,AF.假設“=90.,依題意補全圖3,求線段AF的長；【解答】解：(1)AD+DE

12、=4,理由是：如圖1, ./ADB=/EDC=/a=90°, .AD+DE=BC=4;(2)補全圖形,如圖2,設DE與BC相交于點H,連接交BC于點G, ./ADB=ZCDE=90°, ./ADE=/BDC,在GADE與ABDC中,rAD=BD,ZADE=ZBDC,加DCADEABDC, .AE=BC,/AED=/BCD.DE與BC相交于點H, ./GHE=ZDHC, ./EGH=/EDC=90°,線段CB沿著射線CE的方向平移,得到線段EF, EF=CB=4,EF/CB, AE=EF, CB/EF, /AEF=/EGH=90°,AE=EF,ZAEF=9

13、0°, /AFE=45°, AF=!y=4/2;cos45達標檢測1.如圖,在等邊AABC與等邊ADCE中,B,C,E三點共線,BD交AC于點G,AE交DC于點H,連接GH.求證：GH/BE.2.如圖,在正方形t層示了易證A-MH出BC'GfAS",可西CG-CH.所以為等邊三第落.那么UH/BE.ABCD內取一點E,連接AE,BE,在那BE外分別以AE,BE為邊作正方形AEMN和：；F】忱網(wǎng)速接NdCF.由CBF9內B£9AE=FG而W/NIX'=/FfM,M而MRCEXBA,所以NL=且F.所式g邊形VCFA是平行四邊子.EBFG,連

14、接NC,AF,求證：NC/AF.AB2+DE2=AD2+BE24.如圖,在那BC中,AB=AC=10,連接AD,求AD的長.3.如圖,在等腰RtAABC與等腰RtADCE中,/ABC=ZDCE=90°,連接AD,BE,求證:E提小】如圖,桂摩AE"口殳于點F.用HElHO由勾收定理可用八小*Dr-AF+f口產(chǎn)-£廣八.+HP-<+DF+<HF+E產(chǎn)"所以4取十口£=Air4er./BAC=45°,以BC為腰在那BC外部作等腰RtABCD,/BCD=90°,工1.丹.堤'1ii點年CE_Lac搜捋£

15、;AC,電接用E.AEm二.1口心上也H所以HE一凡D.8糖/E乂H帕'JG以qti=HE=EA5.【發(fā)現(xiàn)問題】如圖1,"BC,以點A為直角頂點、AB為腰向"BC外作等腰直角那BE.請你以A為直角頂點、AC為腰,向9BC外作等腰直角AACD不寫作法,保存作圖痕跡.連接BD、CE.那BD與CE的數(shù)量關系是BD=CE.【拓展探究】如圖2,那BC,以AB、AC為邊向外作正方形AEFB和正方形ACGD,連接BD、CE,試判斷BD與CE之間的數(shù)量關系,并說明理由.【解決問題】如圖3,有一個四邊形場地ABCD,/ADC=60°,BC=15,AB=8,AD=CD,求BD

16、的最大值.13困1【解答】【發(fā)現(xiàn)問題】解：延長CA至ijM,作/MAC的平分線AN,在AN上截取AD=AC,連接CD,即可得到等腰直角連接BD、CE,如圖1所示：ABE與"CD都是等腰直角三角形,.AB=AE,AD=AC,ZBAE=ZCAD=90°,./BAD=/EAC,ACD;31在ABAD和AEAC中,AD=AC .BADAEAC(SAS),BD=CE,故答案為：BD=CE;【拓展探究】解：BD=CE;理由如下： 四邊形AEFB與四邊形ACGD都是正方形, .AB=AE,AD=AC,ZBAE=ZCAD=90°,./BAD=/EAC,卻在ABAD和AEAC中,Z

17、BAO=ZEACAD=AC .BADAEAC(SAS),BD=CE;【解決問題】解：以AB為邊向外作等邊三角形ABE,連接CE,如圖3所示:那么/BAE=60°,BE=AB=AE=8, AD=CD,ZADC=60°, .ACD是等邊三角形, ./CAD=60°,AC=AD, ./CAD+ZBAC=/BAE+ZBAC,即/BAD=/EAC,rAB=A£在ABAD和ABAC中,/BAD二NEAC,lAD=AC .BADAEAC(SAS),BD=CE;當C、B、E三點共線時,CE最大=BC+BE=15+8=23, BD的最大值為23.6.線段AB,直線l于點B

18、,點D在直線l上,分別以AB、AD為邊作等邊三角形ABC和等邊三角形ADE,直線CE交直線l于點F.(1)當點F在線段BD上時,如圖,求證：DF=CE-CF;(2)當點F在線段BD的延長線上時,如圖；當點F在線段DB的延長線上時,如圖,請分別寫出線段DF、CE、CF之間的數(shù)量關系,在圖、圖中選一個進行證實；(3)在(1)、(2)的條件下,假設BD=2BF,EF=6,那么CF=2或6.【解答】(1)證實：如圖中,設AD交EF于O.ABC,AADE都是等邊三角形, .AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60°,./BAD=/CAE,ABDAACE(SAS), .CE=BD,.AEO=/FDO, ./AOE=/FOD, ./OFD=ZOAE=60°,AB±BC, ./ABD=90°,./ABC=60°, ./CBF=30°, ./OFD=ZCBF+ZBCF,./FBC=/FCB=30°,CF=BF,DF=CE-CF 2)如圖圖中,結論：DF=CF-