六節(jié)多元函數(shù)的極值學習教案

1、會計學1六節(jié)六節(jié)(li ji)多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值第一頁，共24頁。一、多元函數(shù)(hnsh)的極值定義10.7 設函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果(rgu)在該鄰域內(nèi)任何點(x,y)的函數(shù)值恒有f(x,y)f(x0,y0) (或f(x,y)f(x0,y0)，則稱點(x0,y0)為函數(shù)的極大值點(或極小值點).f(x0,y0)為極大值(或極小值)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值.極大值點和極小值點統(tǒng)稱為極值點.第1頁/共23頁第二頁，共24頁。例1 函數(shù)(hnsh) ，在原點(0,0)處取得極小值1.因為，對于任何點(x,y)(0,0)，都有2221),(yxyx

2、ff(x,y)f(0,0)=1,這個極小值也是最小值.該函數(shù)的圖形(txng)是橢圓拋物面.在曲面上點(0,0,1)的z坐標小于曲面上其他點的z坐標.第2頁/共23頁第三頁，共24頁。例2 函數(shù) ，在原點(0,0)處取得(qd)極大值1.因為對于任何(x,y)(0,0)，都有f(x,y)f(0,0)=1這個函數(shù)的圖形是橢圓拋物面.在曲面上點(0,0,1)的z坐標(zubio)大于曲面上其他點的z坐標(zubio).2221),(yxyxf第3頁/共23頁第四頁，共24頁。定理(dngl)10.6 (極值存在的必要條件) 設函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)取得極值，且在該點的偏導數(shù)存在，則

3、必有. 0),( , 0),(0000yxfyxfyx證 由于z=f(x,y)在點(x0,y0)取得極值，所以當y保持常量y0時，對一元函數(shù)z=f(x,y0)在點x0點也必有極值，根據(jù)一元函數(shù)極值存在的必要條件，得. 0),(00yxfx同理可證. 0),(00yxfy使 同時成立的點(x0,y0),稱為函數(shù)f(x,y)的駐點.0),(, 0),(0000yxfyxfyx第4頁/共23頁第五頁，共24頁。容易(rngy)看出駐點(0,0)不是函數(shù)的極值點. 注意：駐點不一定是函數(shù)的極值點.例如(lr)，函數(shù)z=x2y2，在點(0,0)處的兩個偏導數(shù)同時為零，即. 0)0 , 0( , 0)0

4、, 0(yxzz 還要注意：極值點也可能不是駐點，因為偏導數(shù)不存在的點也可能是極值點，如錐面 的頂點(0,0,1)，偏導數(shù)不存在，但頂點是極值點.221yxz第5頁/共23頁第六頁，共24頁。定理10.7(極值的充分條件(chn fn tio jin) 設函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的一階與二階偏導數(shù)，且(x0,y0)是函數(shù)的一個駐點，即 ,記 ，則0),(, 0),(0000yxfyxfyx),(),(),(000000yxfCyxfByxfAyyxyxx(1) 當B2AC0，且A0時,(x0,y0)為極大值點，f(x0,y0)為極大值；當B2AC0時，(x0,y

5、0)為極小值點，f(x0,y0)為極小值.(2) 當B2AC0時，f(x0,y0)不是(b shi)極值.(3) 當B2AC=0時，f(x0,y0)可能為極值，也可能不是(b shi)極值，此法失效.第6頁/共23頁第七頁，共24頁。0),(, 0),(yxfyxfyx 綜合定理(dngl)10.6，定理(dngl)10.7，對于具有二階連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)z=f(x,y)求其極值的步驟如下：2.求出二階偏導數(shù) ，并對每一駐點，求出二階偏導數(shù)的值A，B，C.),(),(),(yxfyxfyxfyyxyxx1.求方程組的一切實數(shù)(shsh)解，得到所有駐點.3.對每一駐點(x0,y0)，定出B2AC

6、的符號，按照定理(dngl)10.7的結論判定f(x0,y0)是否為極值，是極大值還是極小值.第7頁/共23頁第八頁，共24頁。例3 求函數(shù) 的極值(j zh).的一切實數(shù)(shsh)解，得駐點(1,0).在(1,0)點處，有A=2，B= 1，C=2.B2AC= 30，由極值(j zh)的充分條件，得f(1,0)= 1為極小值.yxyxyxz222解 求方程組012, 022yxzyxzyx求函數(shù)的二階偏導數(shù). 2 , 1 , 2yyxyxxzzz第8頁/共23頁第九頁，共24頁。例4 求函數(shù) 的極值(j zh).)2(e),(22yxyxfyx的一切(yqi)實數(shù)解，得駐點(0,0)，(4,

7、2).解 求方程組0e4)2(e),(, 0e2)2(e),(2222yxyxyyxyxxyyxyxfxyxyxf求函數(shù)f的二階偏導數(shù)，),242(e),(22xyxyxfyxxx),422(e),(22yxxyyxfyxxy).482(e),(22yyxyxfyxyy第9頁/共23頁第十頁，共24頁。由極值(j zh)的充分條件知，知(0,0)不是極值(j zh)點，f(0,0)=0不是函數(shù)的極值(j zh).在(4,2)點處，有而A0第10頁/共23頁第十一頁，共24頁。如何求函數(shù)(hnsh)z=f(x,y)在區(qū)域D上的最大值、最小值呢？如果f(x,y)在D上可微，可先求出函數(shù)(hnsh)

8、在該區(qū)域內(nèi)的一切駐點處的函數(shù)(hnsh)值及函數(shù)(hnsh)在區(qū)域邊界上的最大值與最小值.在這些函數(shù)(hnsh)值中的最大的就是函數(shù)(hnsh)在D上的最大值，最小的就是函數(shù)(hnsh)在D上的最小值.二、多元(du yun)函數(shù)的最大值與最小值第11頁/共23頁第十二頁，共24頁。例5 要用鐵板做一個體積(tj)為常數(shù)a的有蓋的長方體水箱，問水箱各邊的尺寸多大時，用材料最省. 解 設水箱的長、寬、高分別為x，y，z，于是(ysh)體積a=xyz，表面積A為 A=2(xy+xz+yz).將 代入A的表達式中，得xyaz .2),(yaxaxyyxA第12頁/共23頁第十三頁，共24頁。由第一個

9、方程，得 ，將其代入第二個方程，得2xay 04 xax 0 x 3ax ，于是3 ay ).,(),(33aayxA的唯一駐點得函數(shù)求函數(shù)A(x,y)的駐點(zh din).02, 0222yaxyAxayxA第13頁/共23頁第十四頁，共24頁。根據(jù)實際問題可以斷定，A(x,y)在D內(nèi)一定有最小值，而在D內(nèi)只有唯一駐點 ，則該駐點就是A(x,y)的最小值點，即當 時，面積A取得(qd)最小值.此時高 ，即水箱為正立方體，每邊長為 時，所用材料最省.),(33aa33 , ayax3a3axyaz第14頁/共23頁第十五頁，共24頁。三、條件極值從上述例5我們看到，求水箱用料最省這一實際問題

10、轉(zhuǎn)化為數(shù)學(shxu)問題就是求二元函數(shù)(1) 2),(yaxaxyyxA在x0，y0時的最小值問題.但是，從函數(shù)A(x,y)的建立過程也可以看成是求三元函數(shù) A=2(xy+xz+yz)在約束條件 xyz=a下的最小值，這就是條件極值問題，其一般(ybn)提法是：第15頁/共23頁第十六頁，共24頁。求函數(shù)z=f(x,y)，在約束條件 下的極值，稱這種類型的極值問題為條件極值問題.相對(xingdu)于條件極值，我們把函數(shù)(1)的極值問題稱為無條件極值問題.0),(yx第16頁/共23頁第十七頁，共24頁。拉格朗日乘數(shù)法 求函數(shù)z=f(x,y)在條件(tiojin) 下的極值，按以下方法進行：

11、0),(yx構造輔助函數(shù) ，其中 稱為拉格朗日乘數(shù).),(),(),(yxyxfyxF求 的偏導數(shù)，并建立方程組),(yxF. 0),(),(, 0),(),(),(, 0),(),(),(yxyxFyxyxfyxFyxyxfyxFyyyxxx解該方程組，得x，y及，則(x,y)是可能極值點的坐標.這種求條件極值的方法稱為(chn wi)拉格朗日乘數(shù)法.第17頁/共23頁第十八頁，共24頁。例6 設周長(zhu chn)為2p的矩形，繞它的一邊旋轉(zhuǎn)構成圓柱體，求矩形的邊長各為多少時，圓柱體的體積最大.解 設矩形(jxng)的邊長分別為x和y，且繞邊長為y的邊旋轉(zhuǎn)，得到旋轉(zhuǎn)圓柱體的體積為, 0

12、, 0 ,2yxyxV其中矩形(jxng)邊長x，y滿足的約束條件是2x+2y=2p，即x+y=p.現(xiàn)在求函數(shù) 在條件x+yp=0下的最大值.yxyxfV2),(第18頁/共23頁第十九頁，共24頁。構造輔助(fzh)函數(shù)：),(),(2pyxyxyxF求F(x,y)的偏導數(shù)，并建立方程組. 0),(, 0),(, 02),(2pyxyxFxyxFxyyxFyx由方程組中的第一(dy)、二兩個方程消去，得2y=x，代入第三個方程，得.32 ,3pxpy第19頁/共23頁第二十頁，共24頁。根據(jù)實際(shj)問題，最大值一定存在，且只求得唯一的可能極值點，所以函數(shù)的最大點必在 處取到.即，當矩形

13、邊長 時，繞y邊旋轉(zhuǎn)所得的圓柱體的體積最大， .pp31,32pypx31,323max274pV第20頁/共23頁第二十一頁，共24頁。例7 某公司的兩個工廠生產(chǎn)同樣的產(chǎn)品(chnpn),但所需成本不同,第一個工廠生產(chǎn)x個產(chǎn)品(chnpn)和第二個工廠生產(chǎn)y個產(chǎn)品(chnpn)時的總成本為z=x2+2y2+5xy+700,若公司生產(chǎn)任務是500個產(chǎn)品(chnpn),問每個工廠生產(chǎn)多少產(chǎn)品(chnpn)才能使總成本最小?解 由題意(t y)知成本函數(shù)為 z=x2+2y2+5xy+700 約束條件為 x+y=500構造輔助(fzh)函數(shù) F(x,y,)=x2+2y2+5xy+700+(x+y500)可得( , , )250,( , , )450,( , , )5000.xyzF x yxyF x yyxF x yxy第21頁/共23頁第二十二頁，共24頁。得 x=125, y=375根據(jù)題意,最小值一定(ydng)存在,且只求得唯一可能的極值.所以函數(shù)的最小值必在x=125,y=375處取得,即當?shù)谝粋€工廠生產(chǎn)125個產(chǎn)品,第二個工廠生產(chǎn)375個產(chǎn)