第二章 基本體的投影

1、第三章 基本體的投影第一節(jié) 平面立體第二節(jié) 曲面立體第三節(jié) 兩回轉(zhuǎn)體表面相交基本要求基基 本本 要要 求求1、掌握立體的投影特性和作圖方法。2、掌握在立體表面上取點的方法。3、掌握立體被截切后截交線的求法。4、掌握立體表面相交線的性質(zhì)和求法。 平面立體是由若干個平面立體是由若干個多邊形平面多邊形平面所圍所圍成的，空間不同數(shù)量和位置的平面將構(gòu)成的，空間不同數(shù)量和位置的平面將構(gòu)成不同的平面立體。成不同的平面立體。 1 1 平面立體的投影平面立體的投影 我們畫平面立體的投影可以歸結(jié)為我們畫平面立體的投影可以歸結(jié)為畫它畫它的所有多邊形表面的投影的所有多邊形表面的投影, ,也就是畫這些多也就是畫這些多邊

2、形邊和頂點的投影。邊形邊和頂點的投影。 另外，我們必須掌握平面立體表面上的另外，我們必須掌握平面立體表面上的點的取法，從而解決平面立體表面上的線，點的取法，從而解決平面立體表面上的線，截交線等作圖問題。截交線等作圖問題。YZo 一、平面立體的投影一、平面立體的投影 1、棱柱、棱柱 （1）投影）投影投影特性：投影特性： 一個投影為多邊形，另外一個投影為多邊形，另外兩個投影輪廓線為矩形。兩個投影輪廓線為矩形。 1、棱柱、棱柱 （2 2）表面取點）表面取點注意兩點：注意兩點：1 1）利用棱柱表面積聚性）利用棱柱表面積聚性 和點的投影特性。和點的投影特性。 2 2）可見性判斷。）可見性判斷。XYoB

3、a aaaaa ee e e ee) ( 1 1 1 1 1) () (1 2) (22可見性？可見性？ 一、平面立體的投影一、平面立體的投影c dc c) (cd dd c dcdb b) (b bbb1AECD 一、平面立體的投影一、平面立體的投影三棱柱三棱柱六棱柱六棱柱 一、平面立體的投影一、平面立體的投影VHABCSabc b c ss 2 2、棱錐、棱錐 a b css sabcabcMm（2 2）表面取點）表面取點mm1111mm（1）投影）投影sa 1 1、平面立體的截交線是截平面和立體表面的共、平面立體的截交線是截平面和立體表面的共有線，截交線上的點也是兩表面的共有點。有線，截

4、交線上的點也是兩表面的共有點。 2 2、截交線是一條閉合的平面多邊形。、截交線是一條閉合的平面多邊形。 3 3、多邊形的各頂點是截平面與立體各棱線或邊、多邊形的各頂點是截平面與立體各棱線或邊線的交點；多邊形的各邊是截平面和平面立體各線的交點；多邊形的各邊是截平面和平面立體各表面的交線，或是截平面之間的交線。表面的交線，或是截平面之間的交線。 截交線的性質(zhì)截交線的性質(zhì): : 1.平面與棱錐相交 2.平面與棱柱相交 3. 求平面立體截交線的步驟 二、平面與平面立體相交二、平面與平面立體相交 二、平面立體截交線二、平面立體截交線ssabc a b c sabcqp12(3)1231234(5)454

5、5作圖步驟： 作水平截面Q與as的交點1,又與正截面P交于2（3 ），并對應(yīng)在as上求出1，且過1作底邊ab及ac的平行線1 2和1 3，其側(cè)面投影積聚成直線213作圖步驟：然后作正截面P與正垂面BCS交出正垂線4（5），并對應(yīng)在bcs上求出4 5，在bcs上求出45。在作截面P與ABS及ACS交出的截交線2 4、3 5及24、35。作圖步驟：作圖步驟： 加粗可見輪廓線例題：例題：求三棱錐正面求三棱錐正面 投影被投影被Q、P 兩兩 面截切以后交線面截切以后交線 的三面投影。的三面投影。 1.1.平面與棱錐相交平面與棱錐相交S3abc a bde c d e) (ba e) (cd1) 3()4

6、(25 1 5 225 1) 4( 347 6) 7(676驗證結(jié)果驗證結(jié)果的正確性的正確性 二、平面立體截交線二、平面立體截交線例題：例題：求作正五棱柱被截求作正五棱柱被截 切后交線的三面投影圖。切后交線的三面投影圖。2. 2. 平面與棱柱相交平面與棱柱相交1 1、首先要確定空間基本立體的形狀。、首先要確定空間基本立體的形狀。2 2、判斷截平面的數(shù)量及各截面位置。、判斷截平面的數(shù)量及各截面位置。3 3、作截面與立體各棱線交點的投影。、作截面與立體各棱線交點的投影。4 4、連接立體同一表面上交點的投影。、連接立體同一表面上交點的投影。 5 5、分析并作出各截平面之間的交線。、分析并作出各截平面

7、之間的交線。 6 6、判斷交線可見性，補(bǔ)全棱線投影。、判斷交線可見性，補(bǔ)全棱線投影。 二、平面立體截交線二、平面立體截交線 3 3、求平面立體截交線的步驟：、求平面立體截交線的步驟：ABS好鏡acb sabcs a) ( cb s 11 22 3) 4(34 1243注意：注意： 截平面之截平面之 間的交線間的交線 二、平面立體截交線二、平面立體截交線例例3 3 求出立體被截切求出立體被截切 后的三面投影。后的三面投影。abcds) ( ca b d sac) ( bd s1 14 44 3) 5( 1 13553 2 62662驗證結(jié)果驗證結(jié)果的正確性的正確性 二、平面立體截交線二、平面立體

8、截交線例例4 4 求出立體被截切求出立體被截切 后的三面投影。后的三面投影。 曲面立體則是由曲面和曲面或曲面和平曲面立體則是由曲面和曲面或曲面和平面所圍成的。面所圍成的。 畫曲面立體的投影就是要畫它的輪廓線、畫曲面立體的投影就是要畫它的輪廓線、尖點的投影以及轉(zhuǎn)向輪廓線的投影。尖點的投影以及轉(zhuǎn)向輪廓線的投影。 工程中常見的曲面回轉(zhuǎn)體，主要有圓柱工程中常見的曲面回轉(zhuǎn)體，主要有圓柱體、圓錐體、球體等。體、圓錐體、球體等。2 2 曲面立體曲面立體1 1、形成、形成 圓柱是由圓柱面、頂面和底面所圍成的曲面立體。圓柱是由圓柱面、頂面和底面所圍成的曲面立體。 圓柱面可看作是直線圍繞其平行的軸線旋轉(zhuǎn)而成。圓柱

9、面可看作是直線圍繞其平行的軸線旋轉(zhuǎn)而成。 一、圓柱體的投影一、圓柱體的投影2 2、圓柱的投影、圓柱的投影3 3、圓柱表面取點、圓柱表面取點 1) 1 ( 1 2)2(2 投影投影可見否？可見否？ 投影投影可見否？可見否？) ( 3)3(3 投影投影可見否？可見否？) 4( 投影投影可見否？可見否？4 4) ( 一、圓柱體的投影一、圓柱體的投影1 1、形成、形成 圓錐是由圓錐面和錐底面所圍成的。圓錐是由圓錐面和錐底面所圍成的。 圓錐面可看作是直線繞著與其相交的軸線旋轉(zhuǎn)而成。圓錐面可看作是直線繞著與其相交的軸線旋轉(zhuǎn)而成。 二、圓錐體的投影二、圓錐體的投影2 2、圓錐的投影、圓錐的投影3 3、圓錐表

10、面取點、圓錐表面取點 1 11 kk22 投影投影可見否？可見否？ 投影投影可見否？可見否？) ( 1 1）輔助素線法）輔助素線法 2 2）輔助平面法）輔助平面法 33 投影投影可見否？可見否？3) ( 2 二、圓錐體的投影二、圓錐體的投影1 1、形成、形成 球是由球面圍成的，球面也可看作是圓繞其直徑為軸線旋轉(zhuǎn)而成。球是由球面圍成的，球面也可看作是圓繞其直徑為軸線旋轉(zhuǎn)而成。 三、球體的投影三、球體的投影2 2、球的投影、球的投影3 3、球的表面取點、球的表面取點 11 投影投影可見否？可見否？2 2) () (2 投影投影可見否？可見否？3如何求？如何求？ 1 三、球體的投影三、球體的投影二、

11、二、 平面與曲面立體相交平面與曲面立體相交 曲面立體截交線的性質(zhì)曲面立體截交線的性質(zhì) 1. 曲面立體的截交線常是由曲線或直線所圍成的平面圖形曲面立體的截交線常是由曲線或直線所圍成的平面圖形 。 2. 曲面立體的截交線為曲面立體表面和截平面的共有線。曲面立體的截交線為曲面立體表面和截平面的共有線。 3. 曲面立體截交線上的點為立體表面和截平面的共有點。曲面立體截交線上的點為立體表面和截平面的共有點。 4. 截交線的形狀與立體的形狀及截平面的相對位置相關(guān)。截交線的形狀與立體的形狀及截平面的相對位置相關(guān)。矩形矩形橢圓橢圓圓圓截交線的形狀有幾種？截交線的形狀有幾種？ 一、平面與圓柱相交一、平面與圓柱相

12、交3(7)12(8)4(6)1 46 8 2 37 157328是什么立體？屬于截是什么立體？屬于截切的那種情況？切的那種情況？分析：截交線的正面投影分析：截交線的正面投影 截交線的水平投影截交線的水平投影 截交線的側(cè)面投影截交線的側(cè)面投影1、找截交線的特殊點：最高點、找截交線的特殊點：最高點、最低點、最前點、最后點、最最低點、最前點、最后點、最左點、最右點、即轉(zhuǎn)向輪廓線左點、最右點、即轉(zhuǎn)向輪廓線上的點。上的點。2、找一般點（至少一對）、找一般點（至少一對）3、將點的投影光滑連線、將點的投影光滑連線4、加粗可見的輪廓線、加粗可見的輪廓線5546 例例1 1作出立體被正垂面作出立體被正垂面P P

13、截切以后的側(cè)面投影截切以后的側(cè)面投影 例例2 2完成圓柱體左邊被切凹槽，右邊被切凸臺后的水平投影完成圓柱體左邊被切凹槽，右邊被切凸臺后的水平投影ab a( b )abAB3 (4)(3)(4)12 例例3 3由空心缺口圓柱的正面投影和水平投影，作出被切后的側(cè)面投影。由空心缺口圓柱的正面投影和水平投影，作出被切后的側(cè)面投影。1 (2)圓圓橢圓橢圓三角形三角形雙曲線雙曲線拋物線拋物線截交線的形狀有幾種？截交線的形狀有幾種？ 二、平面與圓錐相交二、平面與圓錐相交65是什么立體？屬于截切的那種是什么立體？屬于截切的那種情況？情況？分析：截交線的正面投影分析：截交線的正面投影 截交線的水平投影截交線的水

14、平投影 截交線的側(cè)面投影截交線的側(cè)面投影1、找截交線的特殊點：最高點、最低點、找截交線的特殊點：最高點、最低點、最前點、最后點、最左點、最右點、轉(zhuǎn)向最前點、最后點、最左點、最右點、轉(zhuǎn)向輪廓線上的點，橢圓長短軸上的點。輪廓線上的點，橢圓長短軸上的點。2、找一般點（至少一對）、找一般點（至少一對）3、將點的投影光滑連線、將點的投影光滑連線4、加粗可見的輪廓線、加粗可見的輪廓線3 (4)3 4345 (6)5 67 (8)877 8 二、平面與圓錐相交二、平面與圓錐相交PQ1(2)12127775(6)56653(4)3434 例例4-14-1求作圓錐被求作圓錐被Q Q與與P P平面截切的截交線投影

15、平面截切的截交線投影qp11123232(3)4(5)4545 例例4-24-2 求作圓錐被截切以后，截交線的投影求作圓錐被截切以后，截交線的投影圓圓 三、平面與球相交三、平面與球相交211(2)21 例例5 5 作出半圓球被切口以后交線的投影作出半圓球被切口以后交線的投影 例例6 6 完成圓球被正垂面完成圓球被正垂面P P截切以后的水平投影截切以后的水平投影123(4)5(6)7(8)124378prq65P 有兩個以上的基本體便可構(gòu)成組合體，平面與組合體截切一般會產(chǎn)生幾段不同的交線，相鄰兩段交線的分界點必在組合體的分界線上。因此，作組合截切時應(yīng)先確定各立體的形狀，及確定相鄰立體間的分界線，

16、然后分別作出各自的截交線。四、立體組合截切四、立體組合截切 例例7 求作圓錐被求作圓錐被Q與與P平面截切以后，所截交線的投影平面截切以后，所截交線的投影PQ(10)33(5)1513152(4)2424(6)10(6)106888(7)997973212(3)4(5)23145541 例例8 完成組合立體被截切后的投影完成組合立體被截切后的投影3 3 兩回轉(zhuǎn)體表面相交兩回轉(zhuǎn)體表面相交 兩回轉(zhuǎn)立體表面相交產(chǎn)生的交線稱為相貫線，它是兩立體表面的共有線，一般是封閉的空間曲面，特殊情況下是平面曲線或直線。 求兩立體表面相貫線的投影，實質(zhì)上就是求出相貫線上一系列共有點的投影。 一、輔助平面求點法一、輔助

17、平面求點法 輔助平面求點法，就是利用三面共點的原理求相貫線上的共有點，如圖所示。 （1 1）輔助平面必須是特殊位置的平面；）輔助平面必須是特殊位置的平面； （2 2）輔助平面與兩回轉(zhuǎn)體同時相交，所）輔助平面與兩回轉(zhuǎn)體同時相交，所產(chǎn)生的兩截交線必須是簡單的直線和圓。產(chǎn)生的兩截交線必須是簡單的直線和圓。輔助平面的輔助平面的選擇原則：選擇原則：5621解題步驟解題步驟1 1 空間分析空間分析 （1 1）兩圓柱的相對位置怎樣？）兩圓柱的相對位置怎樣？（2 2）小圓柱是否完全貫在大圓）小圓柱是否完全貫在大圓柱內(nèi)？柱內(nèi)？5 5 光滑且順次地連接光滑且順次地連接各點，作出相貫線，各點，作出相貫線，并且判別可

18、見性；并且判別可見性；6 6 加粗可見輪廓線。加粗可見輪廓線。2 2 判斷一下相貫線的哪個投判斷一下相貫線的哪個投影是已知的，根據(jù)已知的投影影是已知的，根據(jù)已知的投影求未知的投影；求未知的投影；3 3 求出相貫線上的特殊點：最求出相貫線上的特殊點：最高、最低、最前、最后、最左高、最低、最前、最后、最左、最右、轉(zhuǎn)向輪廓線上的點。、最右、轉(zhuǎn)向輪廓線上的點。1(2)12343(4)34yy5(6“)564 4 求出至少一對一般點求出至少一對一般點； 1 1、圓柱和圓柱相交、圓柱和圓柱相交PHPW實對實相貫解題步驟解題步驟1 1 空間分析空間分析 （1 1）孔和柱的相對位置怎樣？）孔和柱的相對位置怎樣

19、？（2 2）孔是否全貫在大圓柱內(nèi)？）孔是否全貫在大圓柱內(nèi)？5 5 光滑且順次地連接光滑且順次地連接各點，作出相貫線，各點，作出相貫線，并且判別可見性；并且判別可見性；6 6 加粗可見輪廓線。加粗可見輪廓線。2 2 判斷一下相貫線的哪個投判斷一下相貫線的哪個投影是已知的，根據(jù)已知的投影影是已知的，根據(jù)已知的投影求未知的投影；求未知的投影；3 3 求出相貫線上的特殊點：最求出相貫線上的特殊點：最高、最低、最前、最后、最左高、最低、最前、最后、最左、最右、轉(zhuǎn)向輪廓線上的點。、最右、轉(zhuǎn)向輪廓線上的點。4 4 求出至少一對一般點求出至少一對一般點；空對實相貫PH 1 1、圓柱和圓柱相交、圓柱和圓柱相交5

20、6211(2)3(4)34y5(6)561234PWy5621解題步驟解題步驟1 1 空間分析空間分析 （1 1）孔和孔的相對位置怎樣？）孔和孔的相對位置怎樣？（2 2）孔是否完全貫在大圓柱孔）孔是否完全貫在大圓柱孔內(nèi)？內(nèi)？5 5 光滑且順次地連接光滑且順次地連接各點，作出相貫線，各點，作出相貫線，并且判別可見性；并且判別可見性；6 6 加粗可見輪廓線。加粗可見輪廓線。2 2 判斷一下相貫線的哪個投判斷一下相貫線的哪個投影是已知的，根據(jù)已知的投影影是已知的，根據(jù)已知的投影求未知的投影；求未知的投影；3 3 求出相貫線上的特殊點：最求出相貫線上的特殊點：最高、最低、最前、最后、最左高、最低、最前

21、、最后、最左、最右、轉(zhuǎn)向輪廓線上的點。、最右、轉(zhuǎn)向輪廓線上的點。1(2)3(4)3456564 4 求出至少一對一般點求出至少一對一般點；空對空相貫1234 1 1、圓柱和圓柱相交、圓柱和圓柱相交yPHyPW 1 1、圓柱和圓柱相交、圓柱和圓柱相交 1 1、圓柱和圓柱相交、圓柱和圓柱相交（1 1）圓柱和圓柱偏交）圓柱和圓柱偏交解題步驟解題步驟1 1 空間分析空間分析 （1 1）兩圓柱的相對位置怎樣？）兩圓柱的相對位置怎樣？（2 2）小圓柱是否完全貫在大圓）小圓柱是否完全貫在大圓柱內(nèi)？柱內(nèi)？5 5 光滑且順次地連接各點光滑且順次地連接各點，作出相貫線，并且判別，作出相貫線，并且判別可見性可見性(

22、 (公共的可見部分公共的可見部分才是可見的才是可見的) )；6 6 加粗可見輪廓線。加粗可見輪廓線。2 2 判斷一下相貫線的哪個投判斷一下相貫線的哪個投影是已知的，根據(jù)已知的投影影是已知的，根據(jù)已知的投影求未知的投影；求未知的投影；3 3 求出相貫線上的特殊點：最求出相貫線上的特殊點：最高、最低、最前、最后、最左高、最低、最前、最后、最左、最右、轉(zhuǎn)向輪廓線上的點。、最右、轉(zhuǎn)向輪廓線上的點。4 4 求出至少一對一般點求出至少一對一般點；TWyyTH 1 1、圓柱和圓柱相交、圓柱和圓柱相交（1 1）圓柱和圓柱偏交）圓柱和圓柱偏交（2 2）兩圓柱等直徑正交）兩圓柱等直徑正交（2 2）兩圓柱等直徑正交）兩圓柱等直徑正交 1 1、圓柱和圓柱相交、圓柱和圓柱相交 （2 2）兩圓柱等直徑正交）兩圓柱等直徑正交 1 1、圓柱和圓柱相交、圓柱和圓柱相交yyPW1PV1yy125 5 光滑且順次地連接光滑且順次地連接各點，作出相貫線，各點，作出相貫線，并且判別可見性；并且判別可見性；6 6 整理輪廓線。整理輪廓線。解題步驟解題步驟1 1 空間分析空間分析 （1 1）柱錐的相