第一章 試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分析

1、Sunday, May 08, 20221第一章第一章 試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分析試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分析 試驗(yàn)結(jié)果都具有誤差，誤差自始至終存在于一切試驗(yàn)結(jié)果都具有誤差，誤差自始至終存在于一切科學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中?？茖W(xué)實(shí)驗(yàn)過程中。 誤差誤差(error)：試驗(yàn)中獲得的試驗(yàn)值與它的客觀真：試驗(yàn)中獲得的試驗(yàn)值與它的客觀真 實(shí)值在數(shù)值上的不一致。實(shí)值在數(shù)值上的不一致。 誤差分析誤差分析(error analysis)：對原始數(shù)據(jù)的可靠性進(jìn)：對原始數(shù)據(jù)的可靠性進(jìn) 行客觀的評定。行客觀的評定。 Sunday, May 08, 20222第一章第一章 試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分析試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差分析1.1 真值與平均值真值與平均值1.1

2、.1 真值真值 真值（真值（true value）是指在某一時(shí)刻和某一狀態(tài)下，某量）是指在某一時(shí)刻和某一狀態(tài)下，某量的客觀值或?qū)嶋H值。的客觀值或?qū)嶋H值。 真值真值無系統(tǒng)誤差的情況下，觀測次數(shù)無限多時(shí)所求無系統(tǒng)誤差的情況下，觀測次數(shù)無限多時(shí)所求得的平均值。但實(shí)際測量量總是有限的，故用有限測量所求得的平均值。但實(shí)際測量量總是有限的，故用有限測量所求得的平均值作為近似真值（或稱最可信賴值）。得的平均值作為近似真值（或稱最可信賴值）。 真值一般是未知的，但從相對的意義上來說，真值又是真值一般是未知的，但從相對的意義上來說，真值又是已知的，如：已知的，如： （1）平面三角形內(nèi)角和為）平面三角形內(nèi)角和為1

3、800； （2）國際上公認(rèn)的計(jì)量值，如）國際上公認(rèn)的計(jì)量值，如C的原子量為的原子量為12； （3）國際標(biāo)準(zhǔn)器）國際標(biāo)準(zhǔn)器(國家級鑒定合格的標(biāo)準(zhǔn)器國家級鑒定合格的標(biāo)準(zhǔn)器)作為真值。作為真值。Sunday, May 08, 202231.1.2 平均值平均值（1）算術(shù)平均值（）算術(shù)平均值（arithmetic mean） 算術(shù)平均值是最常用的一種平均值。算術(shù)平均值是最常用的一種平均值。 在同樣的試驗(yàn)條件下，如果多次試驗(yàn)值服從正在同樣的試驗(yàn)條件下，如果多次試驗(yàn)值服從正態(tài)分布，則算術(shù)平均值是這組等精度試驗(yàn)值中的最態(tài)分布，則算術(shù)平均值是這組等精度試驗(yàn)值中的最佳值或最可信賴值。佳值或最可信賴值。xxnii

4、xnx11Sunday, May 08, 20224（2）加權(quán)平均值（）加權(quán)平均值（weighted mean） 如果某組試驗(yàn)值是用不同的方法獲得，或由不同的如果某組試驗(yàn)值是用不同的方法獲得，或由不同的試驗(yàn)人員得到的，則這組數(shù)據(jù)中不同值的精度與可靠度試驗(yàn)人員得到的，則這組數(shù)據(jù)中不同值的精度與可靠度不一致，為了突出可靠性高的數(shù)值，則可采用加權(quán)平均不一致，為了突出可靠性高的數(shù)值，則可采用加權(quán)平均值。計(jì)算公式為值。計(jì)算公式為其中其中w（weight）為加權(quán)系數(shù)。）為加權(quán)系數(shù)。xxniiniiiwwxwx11Sunday, May 08, 20225 例例1-1：對于四組測量數(shù)據(jù)，假設(shè)各組測量結(jié)果的可

5、：對于四組測量數(shù)據(jù)，假設(shè)各組測量結(jié)果的可靠程度僅與測量次數(shù)成正比靠程度僅與測量次數(shù)成正比(每組平均值的權(quán)值為對應(yīng)的每組平均值的權(quán)值為對應(yīng)的試驗(yàn)次數(shù)試驗(yàn)次數(shù))，求各組的算術(shù)均值和測試結(jié)果的加權(quán)平均值。，求各組的算術(shù)均值和測試結(jié)果的加權(quán)平均值。解：解：組組 測量值測量值 算術(shù)均值算術(shù)均值1234100.357, 100.343, 100.351100.360, 100.348100.350,100.344,100.366,100.340,100.345100.339, 100.350, 100.340100.350100.354100.343100.343權(quán)值：權(quán)值：w13 ， w22 ， w35

6、 ，w43 ，故，故 346.10035233343.1005343.1002354.1003350.100 xwSunday, May 08, 20226 例例1-2：在測定溶液：在測定溶液pH值時(shí)，得到兩組試驗(yàn)數(shù)據(jù)值時(shí)，得到兩組試驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均值為的平均值為 若權(quán)與絕對誤差的平方成反比，試求加權(quán)平均值。若權(quán)與絕對誤差的平方成反比，試求加權(quán)平均值。; 1 . 05 . 81x02.053.82x解：解：w1=1/0.12= 100，w2=1/0.022=250053. 8 2500100250053 8.1008.5pHSunday, May 08, 20227（3）幾何平均值（）幾何平均值（

7、geometric mean） 若一組測定值，取對數(shù)后遵從正態(tài)分布，則稱其遵若一組測定值，取對數(shù)后遵從正態(tài)分布，則稱其遵循對數(shù)正態(tài)分布。循對數(shù)正態(tài)分布。 此時(shí)，則宜使用幾何平均值。此時(shí)，則宜使用幾何平均值。 求求 1, 10, 100的幾何均值的幾何均值=？xniiGxnx1lg1lgxnnGxxxx21Sunday, May 08, 20228（4）調(diào)和平均值（）調(diào)和平均值（harmonic mean） 調(diào)和平均數(shù)的定義為各個(gè)數(shù)值的倒數(shù)的平均數(shù)的調(diào)和平均數(shù)的定義為各個(gè)數(shù)值的倒數(shù)的平均數(shù)的倒數(shù)倒數(shù) 。 1，3的調(diào)和均值的調(diào)和均值=？xniiniixnHxnH111111xSunday, May

8、 08, 20229 試比較算術(shù)均值、幾何均值和調(diào)和均值間大小關(guān)系？試比較算術(shù)均值、幾何均值和調(diào)和均值間大小關(guān)系？ 對于兩個(gè)數(shù)對于兩個(gè)數(shù)a和和b，其算術(shù)均值、幾何均值和調(diào)和均值各，其算術(shù)均值、幾何均值和調(diào)和均值各為多少？為多少？ xxSunday, May 08, 202210 1.2.1 絕對誤差絕對誤差 （absolute error） 絕對誤差絕對誤差 試驗(yàn)值真值試驗(yàn)值真值 xxxt xt x |x| 某測量結(jié)果為58.70.2g，則，則其所在范圍為：所在范圍為： 58.5w58.9。 若某壓強(qiáng)表的精度為若某壓強(qiáng)表的精度為1.5級，最大量程為級，最大量程為0.4MPa，則該壓強(qiáng)表的絕對誤

9、差為：則該壓強(qiáng)表的絕對誤差為：0.4*1.5%=0.006MPa。 若某天平的最小刻度為若某天平的最小刻度為0.1mg，則該天平的最大絕，則該天平的最大絕對誤差為對誤差為0.1mg。（有簡單辦法使讀數(shù)精確到。（有簡單辦法使讀數(shù)精確到0.05嗎？）嗎？） 1.2 誤差的基本概念誤差的基本概念Sunday, May 08, 202211 1.2.2 相對誤差（相對誤差（relative error） 判斷試驗(yàn)值的準(zhǔn)確性，必須考慮試驗(yàn)值本身大小。判斷試驗(yàn)值的準(zhǔn)確性，必須考慮試驗(yàn)值本身大小。 相對誤差相對誤差ER： 如某稱量結(jié)果為如某稱量結(jié)果為2.50.2g，則相對誤差為：，則相對誤差為： 若某物質(zhì)量

10、若某物質(zhì)量w的試驗(yàn)均值為的試驗(yàn)均值為7.5g，相對誤差為，相對誤差為4%，則測量結(jié)果可表示為：則測量結(jié)果可表示為： 7.50.3g。1.2 誤差的基本概念誤差的基本概念%100 xxER%8%1005.22.0RESunday, May 08, 2022121.2.3 算術(shù)平均誤差算術(shù)平均誤差 設(shè)試驗(yàn)值設(shè)試驗(yàn)值xi與算術(shù)平均值之間的偏差（與算術(shù)平均值之間的偏差（discrepancy）為為di，則算術(shù)平均誤差（，則算術(shù)平均誤差（average discrepancy）定義）定義式為：式為：niiniidnxxn1111 算術(shù)平均誤差可以反映一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差大小，算術(shù)平均誤差可以反映一組試驗(yàn)數(shù)

11、據(jù)的誤差大小，但無法表達(dá)出各試驗(yàn)值間的彼此符合程度。但無法表達(dá)出各試驗(yàn)值間的彼此符合程度。Sunday, May 08, 2022131.2.4 標(biāo)準(zhǔn)誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差（standard error） 標(biāo)準(zhǔn)誤差常用來表示試驗(yàn)值的精密度，也稱作：標(biāo)準(zhǔn)誤差常用來表示試驗(yàn)值的精密度，也稱作： 均方根誤差（均方根誤差（mean-root-square error） 標(biāo)準(zhǔn)偏差（標(biāo)準(zhǔn)偏差（standard discrepancy），簡稱為標(biāo)），簡稱為標(biāo)準(zhǔn)差（準(zhǔn)差（standard deviation）。）。niixxn121 %100XXEr niixXXnS1211niixxns1211 樣本（樣本（samp

12、le）標(biāo)準(zhǔn)差：）標(biāo)準(zhǔn)差： 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n無窮大時(shí)，稱為總體（無窮大時(shí)，稱為總體（population ）標(biāo)準(zhǔn)差：標(biāo)準(zhǔn)差：Sunday, May 08, 2022141.3 試驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差的來源及分類試驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差的來源及分類 根據(jù)誤差的性質(zhì)和產(chǎn)生的原因，誤差可分為三根據(jù)誤差的性質(zhì)和產(chǎn)生的原因，誤差可分為三類：類：系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和過失誤差系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和過失誤差。 1.3.1 隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差 在相同測量條件下，以不可預(yù)知方式變化著的在相同測量條件下，以不可預(yù)知方式變化著的誤差稱為隨機(jī)誤差。多次測量同一物理量時(shí)，絕對誤差稱為隨機(jī)誤差。多次測量同一物理量時(shí)，絕對誤差時(shí)大時(shí)小、時(shí)正時(shí)負(fù)，

13、也叫偶然誤差。誤差時(shí)大時(shí)小、時(shí)正時(shí)負(fù)，也叫偶然誤差。Sunday, May 08, 202215 隨機(jī)誤差是試驗(yàn)過程中一系列偶然因素造成的，隨機(jī)誤差是試驗(yàn)過程中一系列偶然因素造成的，如無規(guī)則的溫度變化，氣壓的起伏，電磁場的干擾，如無規(guī)則的溫度變化，氣壓的起伏，電磁場的干擾，電源電壓的波動(dòng)等，引起測量值的變化。這些因素電源電壓的波動(dòng)等，引起測量值的變化。這些因素不可控制又無法預(yù)測和消除。不可控制又無法預(yù)測和消除。 當(dāng)測量次數(shù)很多時(shí)，隨機(jī)誤差就顯示出明顯的當(dāng)測量次數(shù)很多時(shí)，隨機(jī)誤差就顯示出明顯的規(guī)律性，大多服從正態(tài)分布。因此，增加測量次數(shù)規(guī)律性，大多服從正態(tài)分布。因此，增加測量次數(shù)可以減小隨機(jī)誤差

14、，但不能完全消除?？梢詼p小隨機(jī)誤差，但不能完全消除。Sunday, May 08, 202216 1.3.2系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差 是指在相同試驗(yàn)條件下，由某個(gè)或某些因素按是指在相同試驗(yàn)條件下，由某個(gè)或某些因素按照某一確定的規(guī)律起作用而形成的。系統(tǒng)誤差的特照某一確定的規(guī)律起作用而形成的。系統(tǒng)誤差的特征是具有一定的規(guī)律性。征是具有一定的規(guī)律性。 系統(tǒng)誤差的來源具有以下幾個(gè)方面：系統(tǒng)誤差的來源具有以下幾個(gè)方面： （1）儀器誤差）儀器誤差 它是由于儀器本身缺陷或沒有按規(guī)定條件使用它是由于儀器本身缺陷或沒有按規(guī)定條件使用儀器而造成的誤差。（調(diào)水平？）儀器而造成的誤差。（調(diào)水平？） （2）理論誤差）理論誤差

15、它是由于測量所依據(jù)的理論公式本身的近似性，它是由于測量所依據(jù)的理論公式本身的近似性，或?qū)嶒?yàn)條件不能達(dá)到理論公式所規(guī)定的要求，或測或?qū)嶒?yàn)條件不能達(dá)到理論公式所規(guī)定的要求，或測量方法不當(dāng)?shù)人鸬恼`差。（恒溫恒濕？）量方法不當(dāng)?shù)人鸬恼`差。（恒溫恒濕？）Sunday, May 08, 202217 （3）個(gè)人誤差）個(gè)人誤差 它是由于觀測者本人生理或心理特點(diǎn)造成的誤它是由于觀測者本人生理或心理特點(diǎn)造成的誤差。如有人用秒表測時(shí)間時(shí)，總是使之過快。差。如有人用秒表測時(shí)間時(shí)，總是使之過快。 （4）環(huán)境誤差）環(huán)境誤差 是外界環(huán)境性質(zhì)（如光照、溫度、濕度、電磁是外界環(huán)境性質(zhì)（如光照、溫度、濕度、電磁場等）的

16、影響而差生的誤差。如環(huán)境溫度升高或降場等）的影響而差生的誤差。如環(huán)境溫度升高或降低，使測量值按一定規(guī)律變化。低，使測量值按一定規(guī)律變化。 產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因通常是可以被發(fā)現(xiàn)的，原產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因通常是可以被發(fā)現(xiàn)的，原則上可以通過修正、改進(jìn)加以排除或減小。則上可以通過修正、改進(jìn)加以排除或減小。Sunday, May 08, 202218 1.3.3 過失誤差過失誤差 由于測量者過失，如操作失誤，讀錯(cuò)數(shù)值或由于測量者過失，如操作失誤，讀錯(cuò)數(shù)值或記錯(cuò)數(shù)據(jù)等引起的誤差，是一種人為的過失誤差，記錯(cuò)數(shù)據(jù)等引起的誤差，是一種人為的過失誤差，不屬于測量誤差，只要測量者采用嚴(yán)肅認(rèn)真的態(tài)不屬于測量誤差，只要測量

17、者采用嚴(yán)肅認(rèn)真的態(tài)度，過失誤差是可以避免的。度，過失誤差是可以避免的。 在數(shù)據(jù)處理中要把含有粗大誤差的異常數(shù)據(jù)加在數(shù)據(jù)處理中要把含有粗大誤差的異常數(shù)據(jù)加以剔除。以剔除。Sunday, May 08, 2022191.4 1.4 試驗(yàn)數(shù)據(jù)的精準(zhǔn)度試驗(yàn)數(shù)據(jù)的精準(zhǔn)度 表示誤差性質(zhì)術(shù)語：精密度、正確度和準(zhǔn)確度。表示誤差性質(zhì)術(shù)語：精密度、正確度和準(zhǔn)確度。 （1 1）精密度）精密度 反映隨機(jī)誤差大小。測量結(jié)果的重復(fù)性、測量數(shù)據(jù)的離散程度。一般用極差、標(biāo)準(zhǔn)差或方差描述其高低。 （2 2）正確度）正確度 反映了系統(tǒng)誤差大小。算術(shù)平均值偏離真值程度。算術(shù)平均值偏離真值程度。 （3 3）準(zhǔn)確度）準(zhǔn)確度 反映系統(tǒng)誤

18、差和隨機(jī)誤差的綜合。準(zhǔn)確度高，測量數(shù)準(zhǔn)確度高，測量數(shù)據(jù)較集中在真值附近。據(jù)較集中在真值附近。Sunday, May 08, 202220例例1- 1-: : 有兩組觀測數(shù)據(jù)：有兩組觀測數(shù)據(jù)： 第一組第一組 2.9、3.1、3.0、2.9、3.1 第二組第二組 3.0、2.8、3.0、3.0、3.2 求平均值求平均值 、算術(shù)平均誤差、算術(shù)平均誤差 、標(biāo)準(zhǔn)誤差、標(biāo)準(zhǔn)誤差 ，并，并分析其準(zhǔn)確度。分析其準(zhǔn)確度。 解：解：xSunday, May 08, 202221第一組 算術(shù)平均值3.0算術(shù)平均誤差標(biāo)準(zhǔn)誤差s08.051 .01 .00 .01 .01 .0第二組 算術(shù)平均值3.0算術(shù)平均誤差標(biāo)準(zhǔn)誤

19、差s08.052 .0002 .00 x1 .0151 .01 .00 .01 .01 .022222x141.0152 .02 .022Sunday, May 08, 202222 無系統(tǒng)誤差精密度精密度 ：ABC 正確度：正確度： ABC準(zhǔn)確度：準(zhǔn)確度： ABCSunday, May 08, 202223 有系統(tǒng)誤差精密度精密度 ：ABC正確度：正確度： ABC準(zhǔn)確度：準(zhǔn)確度： ABCSunday, May 08, 2022241x2x3x4x正確度與精密度的關(guān)系Sunday, May 08, 202225圖圖(A)圖圖(B)圖圖 (C)精密度高精密度高正確度低正確度低精密度低精密度低正確

20、度高正確度高精密度高精密度高正確度高正確度高Sunday, May 08, 2022261.5.1 隨機(jī)誤差的檢驗(yàn)隨機(jī)誤差的檢驗(yàn) 隨機(jī)誤差的大小可用試驗(yàn)數(shù)據(jù)的精密度來反映，而隨機(jī)誤差的大小可用試驗(yàn)數(shù)據(jù)的精密度來反映，而精密度的好壞可用方差來衡量，故試驗(yàn)數(shù)據(jù)隨機(jī)誤差精密度的好壞可用方差來衡量，故試驗(yàn)數(shù)據(jù)隨機(jī)誤差的檢驗(yàn)即為的檢驗(yàn)即為方差（方差（2）檢驗(yàn)）檢驗(yàn)。 （一）方差已知的單正態(tài)分布總體（一）方差已知的單正態(tài)分布總體依據(jù)問題選擇：依據(jù)問題選擇： 雙側(cè)檢驗(yàn)雙側(cè)檢驗(yàn) 該方差與原總體方差無顯著差異該方差與原總體方差無顯著差異 左側(cè)檢驗(yàn)左側(cè)檢驗(yàn) 該方差與原總體方差有顯著減小該方差與原總體方差有顯著減小

21、 右側(cè)檢驗(yàn)右側(cè)檢驗(yàn) 該方差與原總體方差有顯著增大該方差與原總體方差有顯著增大1.5 1.5 試驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)試驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)) 1(122n) 1(22n)1() 1(2/2/1222nn分布。的服從自由度為222)1(21nSnSunday, May 08, 202227close all; x=0:0.001:50; hold on; grid on;y=chi2pdf(x,20); plot(x,y); xlabel(x); ylabel(f(x);Sunday, May 08, 20222822122/22/1 Sunday, May 08, 202229 例例1-5：已知

22、儀器檢修前總體方差為：已知儀器檢修前總體方差為0.152，依，依據(jù)儀器檢修后所測的的據(jù)儀器檢修后所測的的7個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，判斷儀器檢修個(gè)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，判斷儀器檢修后穩(wěn)定性是否有了顯著變化，若有顯著變化，是否顯后穩(wěn)定性是否有了顯著變化，若有顯著變化，是否顯著提高。著提高。 說明：屬于雙側(cè)檢驗(yàn)，若問穩(wěn)定性是否有顯著提說明：屬于雙側(cè)檢驗(yàn)，若問穩(wěn)定性是否有顯著提高，則應(yīng)該用左側(cè)檢驗(yàn)。高，則應(yīng)該用左側(cè)檢驗(yàn)。 036. 015. 0000135. 0) 17(2)1(222Sn解：故穩(wěn)定性有顯著變化。),1(449.14 ) 6() 1(,237. 1) 6() 1(2/1025. 02/975. 02/1222

23、222nnn。，故穩(wěn)定性有顯著提高) 1(635. 1) 17() 1(195. 012222nnSunday, May 08, 202230 例例1-6：已知技改前總體方差：已知技改前總體方差=0.35，依據(jù)技改，依據(jù)技改后測得后測得25個(gè)數(shù)據(jù)的樣本方差個(gè)數(shù)據(jù)的樣本方差=0.15，判斷技改后試，判斷技改后試驗(yàn)數(shù)據(jù)的波動(dòng)性是否更小。驗(yàn)數(shù)據(jù)的波動(dòng)性是否更小。 說明：屬于左側(cè)檢驗(yàn)。說明：屬于左側(cè)檢驗(yàn)。3 .1035. 015. 0) 125(22)1(2Sn解：即穩(wěn)定性明顯提高。，故波動(dòng)性顯著減小，) 1(848.13) 125() 1(195. 012222nnSunday, May 08, 2

24、022311.5.1 隨機(jī)誤差的檢驗(yàn)隨機(jī)誤差的檢驗(yàn) （二）雙正態(tài)分布總體（二）雙正態(tài)分布總體 依據(jù)問題選擇：依據(jù)問題選擇： 雙側(cè)檢驗(yàn)雙側(cè)檢驗(yàn) 左側(cè)檢驗(yàn)左側(cè)檢驗(yàn) 右側(cè)檢驗(yàn)右側(cè)檢驗(yàn)1.5 1.5 試驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)試驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)) 1, 1(211nnF) 1, 1(21nnF)1, 1(),1, 1(21212/2/1nnFnnF分布。的服從自由度為FnnFSS) 1, 1(212221Sunday, May 08, 202232close all; x=0:0.001:5; hold on; grid on;y=fpdf(x,10,20); plot(x,y); xlabel(x)

25、; ylabel(f(x);Sunday, May 08, 202233FFFF 12/2/1Sunday, May 08, 202234 例例1-7：采用試驗(yàn)方法一和試驗(yàn)方法二分別測得：采用試驗(yàn)方法一和試驗(yàn)方法二分別測得10個(gè)和個(gè)和11個(gè)數(shù)據(jù)，判斷（個(gè)數(shù)據(jù)，判斷（1）兩種方法的精密度）兩種方法的精密度 是是否有顯著差異；（否有顯著差異；（2）方法一的精密度是否比方法二）方法一的精密度是否比方法二有顯著提高。有顯著提高。 說明說明：（：（1）屬于雙側(cè)檢驗(yàn)；（屬于雙側(cè)檢驗(yàn)；（2）屬于左側(cè)檢驗(yàn)；）屬于左側(cè)檢驗(yàn)；350. 01023. 11029. 44-5-2221SSF解：。故精密度沒有顯著差異

26、）（),10, 9()10, 9(779. 3)10, 9() 1, 1(,252. 0)10, 9() 1, 1(12/2/1025. 02/975. 02/12121FFFFnnFFnnF。故精密度沒有顯著提高）（,)10, 9(319. 0)10, 9() 1, 1(2195. 0121FFFnnFSunday, May 08, 2022351.5.2 系統(tǒng)誤差的檢驗(yàn)系統(tǒng)誤差的檢驗(yàn) 系統(tǒng)誤差的大小可用試驗(yàn)數(shù)據(jù)的正確度來反映，系統(tǒng)誤差的大小可用試驗(yàn)數(shù)據(jù)的正確度來反映，而正確度的好壞可用均值與真值的差異大小來衡而正確度的好壞可用均值與真值的差異大小來衡量，故試驗(yàn)數(shù)據(jù)系統(tǒng)誤差的檢驗(yàn)即為量，故試

27、驗(yàn)數(shù)據(jù)系統(tǒng)誤差的檢驗(yàn)即為均值（均值（）檢）檢驗(yàn)驗(yàn)。 1.5 1.5 試驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)試驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)Sunday, May 08, 202236（一）均值已知的單正態(tài)分布總體（一）均值已知的單正態(tài)分布總體 單總體的單總體的u檢驗(yàn)和檢驗(yàn)和t檢驗(yàn)方法匯總于下表。檢驗(yàn)方法匯總于下表。2/ZZZSunday, May 08, 202237close all; x=-6:0.001:6; hold on; grid on;y=normpdf(x); plot(x,y); xlabel(x); ylabel(f(x);Sunday, May 08, 202238ZZZZ 12/2/1Sunda

28、y, May 08, 202239close all; x=-6:0.001:6; hold on; grid on;y=tpdf(x,30); plot(x,y); xlabel(x); ylabel(f(x);Sunday, May 08, 202240tttt 12/2/1Sunday, May 08, 202241 例例1-8：測試已知含水率為：測試已知含水率為7.5的標(biāo)準(zhǔn)樣品，的標(biāo)準(zhǔn)樣品，測得測得5個(gè)結(jié)果，試判斷個(gè)結(jié)果，試判斷(1)測量結(jié)果是否存在系統(tǒng)誤差；測量結(jié)果是否存在系統(tǒng)誤差；(2)測試結(jié)果是否比標(biāo)準(zhǔn)值明顯偏大。測試結(jié)果是否比標(biāo)準(zhǔn)值明顯偏大。 說明說明：（：（1）屬于雙側(cè)檢驗(yàn)；

29、（屬于雙側(cè)檢驗(yàn)；（2）屬于右側(cè)檢驗(yàn)；）屬于右側(cè)檢驗(yàn)；3 . 35/47. 05 . 72 . 8/0nsxt解：故有顯著的系統(tǒng)誤差。),4(|776. 2 )4() 1( ) 1 (2/025. 02/tttnt顯偏大。故測試結(jié)果較標(biāo)準(zhǔn)值明),4(132. 2 )4() 1( )2(05. 0tttntSunday, May 08, 202242 （二）雙正態(tài)分布總體（二）雙正態(tài)分布總體 兩總體方差相等兩總體方差相等 若若n1=n2，則：，則：)2(112) 1() 1(21212122221121nntnnnnsnsnxxt1.5.2 1.5.2 系統(tǒng)誤差的檢驗(yàn)系統(tǒng)誤差的檢驗(yàn))2(21222

30、12121nntnsnsxxtSunday, May 08, 202243 （二）雙正態(tài)分布總體（二）雙正態(tài)分布總體 兩總體方差有顯著差異兩總體方差有顯著差異 若若n1=n2，則：，則：1.5.2 1.5.2 系統(tǒng)誤差的檢驗(yàn)系統(tǒng)誤差的檢驗(yàn)2) 1/()/() 1/()/()( )(22222121212222122212121nnsnnsssdfdftnsnsxxt212nndfSunday, May 08, 202244 例例1-9：用試驗(yàn)方法一和試驗(yàn)方法二分別測得：用試驗(yàn)方法一和試驗(yàn)方法二分別測得5個(gè)個(gè)和和7個(gè)數(shù)據(jù)，判斷（個(gè)數(shù)據(jù)，判斷（1）兩種方法的精密度是否有顯著）兩種方法的精密度是否有

31、顯著差異；（差異；（2）兩種方法間是否存在系統(tǒng)誤差。）兩種方法間是否存在系統(tǒng)誤差。 說明說明：（：（1）屬于雙側(cè)方差檢驗(yàn)，采用屬于雙側(cè)方差檢驗(yàn)，采用F檢驗(yàn)；檢驗(yàn)； （2）屬于雙側(cè)均值檢驗(yàn)，采用）屬于雙側(cè)均值檢驗(yàn)，采用t檢驗(yàn)。檢驗(yàn)。 8 .27266. 041. 7) 1 (2221SSF解：即精密度有顯著差異。故兩方差有顯著差異 ,),6 , 4(23. 6)6 , 4() 1, 1(,109. 0)6 , 4() 1, 1(2/025. 02/975. 02/12121FFFnnFFnnFSunday, May 08, 202245 檢驗(yàn)進(jìn)行異方差t)2(776.2)4()(42)1/()/

32、()1/()/()(22.1-7266.0541.72 .177 .15025.02/22222121212222122212121tdftnnsnnsssdfnsnsxxt誤差。即兩種方法不存在系統(tǒng)異，故兩平均值間無顯著差),4(|025. 0tt Sunday, May 08, 202246 （三）未知分布的雙總體（三）未知分布的雙總體 采用秩和檢驗(yàn)，專門用于檢驗(yàn)兩個(gè)分布中心位置采用秩和檢驗(yàn)，專門用于檢驗(yàn)兩個(gè)分布中心位置是否相同。是否相同。 例例1-11：用試驗(yàn)方法一和試驗(yàn)方法二分別測得：用試驗(yàn)方法一和試驗(yàn)方法二分別測得6個(gè)和個(gè)和9個(gè)數(shù)據(jù)，已知方法一無系統(tǒng)誤差，判斷方法二個(gè)數(shù)據(jù)，已知方法一

33、無系統(tǒng)誤差，判斷方法二是否存在系統(tǒng)誤差。是否存在系統(tǒng)誤差。 解解 ： （1）排序）排序 秩秩1234567891011.511.5131415甲甲8.68.89.19.19.910.0乙乙6.87.37.48.08.18.48.78.99.2Sunday, May 08, 202247（2）求秩和）求秩和R1 R1=7911.511.5141568（3）查秩和臨界值表）查秩和臨界值表 對于對于 0.05， n1=6，n2=9得得 T1=33，T263，R1T2 故兩組數(shù)據(jù)有顯著差異，即乙組測定值有系統(tǒng)誤差，故兩組數(shù)據(jù)有顯著差異，即乙組測定值有系統(tǒng)誤差，也即方法二存在有系統(tǒng)誤差。也即方法二存在有

34、系統(tǒng)誤差。Sunday, May 08, 2022481.5.3 過失誤差的檢驗(yàn)過失誤差的檢驗(yàn) 即異常值的檢驗(yàn)。對于可疑數(shù)據(jù)的取舍一定要慎重，即異常值的檢驗(yàn)。對于可疑數(shù)據(jù)的取舍一定要慎重，一般處理原則如下：一般處理原則如下： (1)在試驗(yàn)過程中，若發(fā)現(xiàn)異常數(shù)據(jù)，應(yīng)停止試驗(yàn)，在試驗(yàn)過程中，若發(fā)現(xiàn)異常數(shù)據(jù)，應(yīng)停止試驗(yàn)，分析原因，及時(shí)糾正錯(cuò)誤；分析原因，及時(shí)糾正錯(cuò)誤； (2)試驗(yàn)結(jié)束后，在分析試驗(yàn)結(jié)果時(shí)，如發(fā)現(xiàn)異常數(shù)試驗(yàn)結(jié)束后，在分析試驗(yàn)結(jié)果時(shí)，如發(fā)現(xiàn)異常數(shù)據(jù)，則應(yīng)先找出產(chǎn)生差異的原因，再對其進(jìn)行取舍；據(jù)，則應(yīng)先找出產(chǎn)生差異的原因，再對其進(jìn)行取舍； (3)在分析試驗(yàn)結(jié)果時(shí)，如不清楚產(chǎn)生異常值的確切在

35、分析試驗(yàn)結(jié)果時(shí)，如不清楚產(chǎn)生異常值的確切原因，則應(yīng)對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理再做取舍；原因，則應(yīng)對數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理再做取舍； (4)對于舍去的數(shù)據(jù)，在試驗(yàn)報(bào)告中應(yīng)注明舍去的原對于舍去的數(shù)據(jù)，在試驗(yàn)報(bào)告中應(yīng)注明舍去的原因或所選用的統(tǒng)計(jì)方法。因或所選用的統(tǒng)計(jì)方法。1.5 1.5 試驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)試驗(yàn)數(shù)據(jù)誤差的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)Sunday, May 08, 202249 檢驗(yàn)可疑數(shù)據(jù)的常用統(tǒng)計(jì)方法有拉依達(dá)檢驗(yàn)可疑數(shù)據(jù)的常用統(tǒng)計(jì)方法有拉依達(dá)(Pauta)準(zhǔn)則、格拉布斯準(zhǔn)則、格拉布斯(Grubbs)準(zhǔn)則、狄克準(zhǔn)則、狄克遜遜(Dixon)準(zhǔn)則。準(zhǔn)則。 當(dāng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)較多時(shí)，使用拉依達(dá)準(zhǔn)則最簡單；當(dāng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)較多時(shí)，使用拉

36、依達(dá)準(zhǔn)則最簡單； 格拉布斯準(zhǔn)則和狄克遜準(zhǔn)則都能適用于試驗(yàn)數(shù)格拉布斯準(zhǔn)則和狄克遜準(zhǔn)則都能適用于試驗(yàn)數(shù)據(jù)較少時(shí)的檢驗(yàn)。據(jù)較少時(shí)的檢驗(yàn)。 在一些國際標(biāo)準(zhǔn)中，常推薦格拉布斯準(zhǔn)則和狄在一些國際標(biāo)準(zhǔn)中，常推薦格拉布斯準(zhǔn)則和狄克遜準(zhǔn)則來檢驗(yàn)可疑數(shù)據(jù)克遜準(zhǔn)則來檢驗(yàn)可疑數(shù)據(jù)。Sunday, May 08, 2022501.5.3.1 拉依達(dá)拉依達(dá)(Pauta)準(zhǔn)則準(zhǔn)則 如果可疑數(shù)據(jù)如果可疑數(shù)據(jù)xp與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值的偏差與試驗(yàn)數(shù)據(jù)的算術(shù)平均值的偏差的絕對值的絕對值|dp|大于大于3倍（或倍（或2倍）的標(biāo)準(zhǔn)偏差，即：倍）的標(biāo)準(zhǔn)偏差，即：|dp|=|xp - |3s 或或2s, 則應(yīng)將則應(yīng)將xp從該組試驗(yàn)值中剔

37、除。從該組試驗(yàn)值中剔除。 至于選擇至于選擇3s還是還是2s與顯著性水平與顯著性水平有關(guān)，有關(guān)，3s相當(dāng)相當(dāng)于顯著水平于顯著水平=0.01 ，2s相當(dāng)于顯著水平相當(dāng)于顯著水平=0.05。 拉依達(dá)準(zhǔn)則方法簡單，無須查表，用起來方便。拉依達(dá)準(zhǔn)則方法簡單，無須查表，用起來方便。該檢驗(yàn)法適用于試驗(yàn)次數(shù)較多或要求不高時(shí)。當(dāng)該檢驗(yàn)法適用于試驗(yàn)次數(shù)較多或要求不高時(shí)。當(dāng)n10時(shí)，用時(shí)，用s作界限，即使有異常數(shù)據(jù)也無法剔除；作界限，即使有異常數(shù)據(jù)也無法剔除；若用若用s作界限，則次以內(nèi)的試驗(yàn)次數(shù)無法舍去異作界限，則次以內(nèi)的試驗(yàn)次數(shù)無法舍去異常數(shù)據(jù)。常數(shù)據(jù)。xx51 有一組分析測試數(shù)據(jù)：有一組分析測試數(shù)據(jù)：0.128

38、，0.129，0.131，0.133，0.135，0.138，0.141，0.142，0.145，0.148，0.167，問其中，問其中偏差較大的偏差較大的0.167這一數(shù)據(jù)是否應(yīng)被舍去這一數(shù)據(jù)是否應(yīng)被舍去? （ 0.01）解：（解：（1）計(jì)算）計(jì)算例：例：0.140,0.01116xs（2）計(jì)算偏差）計(jì)算偏差 ,xs0.1670.1400.027pxx（3）比較）比較 3s30.011160.03350.027 故按拉依達(dá)準(zhǔn)則，當(dāng)故按拉依達(dá)準(zhǔn)則，當(dāng) 0.01時(shí)，時(shí)，0.167這一可疑值不應(yīng)舍去這一可疑值不應(yīng)舍去 Sunday, May 08, 2022521.5.3.2 格拉布斯格拉布斯(G

39、rubbs)準(zhǔn)則準(zhǔn)則 用格拉布斯準(zhǔn)則檢驗(yàn)可疑數(shù)據(jù)用格拉布斯準(zhǔn)則檢驗(yàn)可疑數(shù)據(jù)xp時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng) dp=xp (,n) s 時(shí)，則應(yīng)將時(shí)，則應(yīng)將xp從從該組實(shí)驗(yàn)值中剔除。該組實(shí)驗(yàn)值中剔除。 這里的這里的(,n)稱為格拉布斯檢驗(yàn)臨界值，它與稱為格拉布斯檢驗(yàn)臨界值，它與實(shí)驗(yàn)次數(shù)實(shí)驗(yàn)次數(shù)n及給定的顯著性水平及給定的顯著性水平有關(guān)。有關(guān)。xSunday, May 08, 202253Sunday, May 08, 2022541.5.3.3 狄克遜（狄克遜（Dixon）準(zhǔn)則）準(zhǔn)則 將將n個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，得個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，得到：到：x1x2xn-1xn 如果有異常值存在，必然出

40、現(xiàn)在兩端，即如果有異常值存在，必然出現(xiàn)在兩端，即x1或或xn。檢驗(yàn)。檢驗(yàn)x1 或或xn時(shí)，使用附表所列的公式，可以時(shí)，使用附表所列的公式，可以計(jì)算出計(jì)算出f0，并查得臨界值，并查得臨界值f(, n)。若。若f0f(, n)，則，則應(yīng)該剔除應(yīng)該剔除x1或或xn。臨界值。臨界值f(, n)與顯著性水平與顯著性水平及及試驗(yàn)次數(shù)試驗(yàn)次數(shù)n有關(guān)。有關(guān)。 可見狄克遜準(zhǔn)則無需計(jì)算可見狄克遜準(zhǔn)則無需計(jì)算 和和s，計(jì)算量較小。，計(jì)算量較小。xSunday, May 08, 202255Sunday, May 08, 202256 在用上面的準(zhǔn)則檢驗(yàn)多個(gè)可疑數(shù)據(jù)時(shí)，應(yīng)注意以在用上面的準(zhǔn)則檢驗(yàn)多個(gè)可疑數(shù)據(jù)時(shí)，應(yīng)注意

41、以下幾點(diǎn)：下幾點(diǎn)： （）可疑數(shù)據(jù)應(yīng)逐一檢驗(yàn)，不能同時(shí)檢驗(yàn)多個(gè)（）可疑數(shù)據(jù)應(yīng)逐一檢驗(yàn)，不能同時(shí)檢驗(yàn)多個(gè)數(shù)據(jù)。首先檢驗(yàn)偏差最大的數(shù)，如果這個(gè)數(shù)不被剔除，數(shù)據(jù)。首先檢驗(yàn)偏差最大的數(shù)，如果這個(gè)數(shù)不被剔除，則所有的其他數(shù)都不應(yīng)被剔除，也就不需再檢驗(yàn)其他則所有的其他數(shù)都不應(yīng)被剔除，也就不需再檢驗(yàn)其他數(shù)了。數(shù)了。 （）剔除一個(gè)數(shù)后，如果還要檢驗(yàn)下一個(gè)數(shù)，（）剔除一個(gè)數(shù)后，如果還要檢驗(yàn)下一個(gè)數(shù)，則應(yīng)注意試驗(yàn)數(shù)據(jù)的總數(shù)發(fā)生了變化。則應(yīng)注意試驗(yàn)數(shù)據(jù)的總數(shù)發(fā)生了變化。 （）用不同的方法檢驗(yàn)同一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)，在相同（）用不同的方法檢驗(yàn)同一組試驗(yàn)數(shù)據(jù)，在相同的顯著性水平上，可能會(huì)有不同的結(jié)論。的顯著性水平上，可能會(huì)有不同

42、的結(jié)論。xxSunday, May 08, 2022571.6 有效數(shù)字及運(yùn)算規(guī)則1.6.1 有效數(shù)字有效數(shù)字 有效數(shù)字可代表一定的物理量，其可反映試驗(yàn)（儀器）的有效數(shù)字可代表一定的物理量，其可反映試驗(yàn)（儀器）的精度精度 。注意：。注意： （1）數(shù)字前）數(shù)字前0不計(jì)不計(jì),數(shù)字后計(jì)入；數(shù)字后計(jì)入；0.03400 （2） 數(shù)字后的數(shù)字后的0含義不清楚時(shí)含義不清楚時(shí), 最好用指數(shù)形式表示最好用指數(shù)形式表示 ； 1000 (1.0103, 1.00103, 1.000 103 )Sunday, May 08, 202258 m 分析天平分析天平(稱至稱至0.1mg) 12.8228g(6) , 0.2

43、348g(4) , 0.0600g(3) 千分之一天平千分之一天平(稱至稱至0.001g) 0.235g(3) 1%天平天平(稱至稱至0.01g) 4.03g(3), 0.23g(2) 臺秤臺秤(稱至稱至0.1g) 4.0g(2), 0.2g(1)Sunday, May 08, 202259 V 滴定管滴定管(量至量至0.01mL) 26.32mL(4), 3.97mL(3) 容量瓶容量瓶 100.0mL(4), 250.0mL (4) 移液管移液管 25.00mL(4); 量筒量筒(量至量至1mL或或0.1mL) 25mL(2), 4.0mL(2)Sunday, May 08, 202260

44、加減法加減法: 結(jié)果的位數(shù)與小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的數(shù)一致。結(jié)果的位數(shù)與小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的數(shù)一致。 0.112+12.1+0.3214=12.5乘除法乘除法: 結(jié)果的有效數(shù)字與有效數(shù)字位數(shù)最少的一結(jié)果的有效數(shù)字與有效數(shù)字位數(shù)最少的一致。致。 12.69.810.0506.21.6.2 運(yùn)算規(guī)則運(yùn)算規(guī)則Sunday, May 08, 2022611.6.3 有效數(shù)字運(yùn)算中的修約規(guī)則有效數(shù)字運(yùn)算中的修約規(guī)則尾數(shù)尾數(shù)5時(shí)進(jìn)時(shí)進(jìn)尾數(shù)尾數(shù)5時(shí)時(shí), 奇進(jìn)偶不進(jìn)奇進(jìn)偶不進(jìn)四舍六入五考慮四舍六入五考慮例例 下列值修約為四位有效數(shù)字下列值修約為四位有效數(shù)字 0.324 74 0.324 75 0.324 76 0.3

45、24 85 0.324 851 0.324 70.324 80.324 80.324 80.324 9Sunday, May 08, 202262禁止分次修約禁止分次修約0.57490.570.5750.58Sunday, May 08, 202263作業(yè)作業(yè) P41單號：習(xí)題1、3、6、8、10、11雙號：習(xí)題1、3、7、9、10、11 Sunday, May 08, 202264作業(yè)作業(yè)習(xí)題1：解：解：w1=1/0.012= 10000， w2=1/0.22=25， w3=1/0.0052=40000mol/L5 . 1 40000251000040000537. 125.71100001

46、.54xSunday, May 08, 202265習(xí)題3：已知（25.30.2）g/L，求相對誤差。解：解：%8 . 0%1003 .252 . 0RESunday, May 08, 202266習(xí)題6：求算術(shù)均值、幾何均值、調(diào)和均值等 解：解：4217. 311niixnx算術(shù)平均值4214. 321nnGxxxx幾何均值4211. 311niixnH調(diào)和均值0462. 01112niixxns樣本標(biāo)準(zhǔn)差0422. 0112niixxn總體標(biāo)準(zhǔn)差0021. 011122niixxns樣本方差0018. 01122niixxn總體方差0383. 011niixxn算術(shù)平均誤差1001 . 0

47、Rminmaxxx極差Sunday, May 08, 202267Sunday, May 08, 202268Sunday, May 08, 202269習(xí)題7：A、B倆人測定鐵含量的精密度是否有顯著差異？解：解：應(yīng)采用雙側(cè)F檢驗(yàn)精密度無顯著差異。故二人測定的鐵含量的臨界值：統(tǒng)計(jì)量：樣本方差：樣本均值：),1, 1() 1, 1(0260. 4) 1, 1(,2484. 0) 1, 1(6212. 1/3028. 211 7333. 311 5500. 61 ,2000. 712/05. 02/05. 012/05. 02/05. 012212212211BABABABABAniBiBBBni

48、AiAAAniiBBBniiAAAnnFFnnFnnFnnFssFxxnsxxnsxnxxnxBABASunday, May 08, 202270Sunday, May 08, 202271習(xí)題8:（1）新工藝是否更穩(wěn)定 （2）工藝間是否存在系統(tǒng)誤差解：（解：（1）即檢驗(yàn)新工藝的方差是否比舊工藝的有顯著）即檢驗(yàn)新工藝的方差是否比舊工藝的有顯著減小，故減小，故應(yīng)采用單側(cè)F檢驗(yàn)定。工藝比舊工藝生產(chǎn)更穩(wěn)藝的顯著減小，也即新故新工藝的方差比舊工臨界值：統(tǒng)計(jì)量：樣本方差：樣本均值：),1, 1(,3045. 0)12, 8() 1, 1(2662. 0/1640 . 011 6170 . 011 2511. 21 ,5493. 2105. 0195. 005. 012212212211oldnewoldnewoldnewninewinewnewnioldiold